2018届福建省厦门一中高三上学期总复习限时训练理科数

厦门一中2018届高三理科数学总复习----限时训练
2018.10.23
班 号 姓名 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)
1.已知全集为R ，集合{}{}221,320x A x B x x x =≥=-+≤，则R A C B = ( )
A. {}0x x ≤
B. {}1x x ≤≤2
C. {}012x x x ≤<>或
D. {}012x x x ≤<≥或
2.已知()(1)2a i bi i +-=(其中,a b 均为实数,i 为虚数单位),则||a bi +等于 ( )
A.2
B.
C.1
D.1
3.已知函数
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x >0，
3－x
＋1，x ≤0，
则f (f (1))＋f (log 31
2
)
的值是 ( )
A ．5
B ．3
C ．－1 D.72
4.设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB ( )
A.
AD C.
D. BC
5.要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在岸边选择分别位于电视塔南偏东75°和北偏东
75°的甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别
为45°，30°，甲、乙两地相距500 m ，则电视塔的高度是 ( )
A ．100 2 m
B ．400 m
C ．200 3 m
D ．500 m
6．已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（R x ∈，0A >，0ω>，2
πϕ<）的
图象（部分）如图所示，则要得到()y f x =的图像，只需要把cos y A x ω=的图像 ( )
A ．向左平移3π个单位
B ．向右平移3
π个单位
C ．向左平移13个单位
D ．向右平移13
个单位
7.设向量(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ=
，其中0αβπ<<<，若22a b a b +=-
，则βα-等于
( )
A ．2
π B. 4
π C. 2
π-
D.4
π-
8.函数f (x )＝
2e －x
2－x
的图象大致是
( )
9.已知()(),29cos 2,61cos 2,74cos ,16cos 0000==则ABC ∆面积为 ( )
A ．4
2 B. 2 C ．2
3 D ．2
2
10．称(,)||d a b a b =-
为两个向量,a b 间的“距离”.若向量,a b 满
足：
①||1b =
； ②a b ≠ ； ③对任意的t R ∈，恒有
(,)(,)d a tb d a b ≥
．
则以下结论一定成立的是
( ) A ．a b ⊥ B ．()b a b ⊥- C ．()a a b ⊥-
D ．()()a b a b +⊥-
11．已知正方形ABCD 的面积为36，BC 平行于x 轴，顶点A 、B 和C 分别在函数y ＝3log a x 、
y ＝2log a x 和y ＝log a x (其中a >1)的图象上，则实数a 的值为
( )
A. 3
B.6
C.
63
D.3
6 12．已知△
ABC 的面积为,E F 分别是,AB AC 的中点，点P 在直线EF 上，
则2
PB PC BC + 的最小值是 ( )
A ．2
B ．3
C ．154
D ．4
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13.△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，
若p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，且p ∥q ，则角C ＝________.
14.已知函数x x x f 3)(3+=，对任意的[]2,2-∈m ， 0)2()8(<+-x f mx f 恒成立，则正实数．．．x 的取值范围为____________.
15.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ， 若C
c B
b A
a cos 3cos 2cos ==则A ∠的大小为
16.已知关于x 的方程log x a a x =无实根，则实数a 的取值范围为
_________________________．
三、解答题(本题共6小题，17题10分，18-22题每小题12分，共70分) 17.设
()21
()11
x f x x x +=>-，
（I ）求函数()y f x =的最小值； （II ）设正数x ,y 满足33x y x y +=-，求使122≤+λy x 恒成立的实数λ的最大值.
18.设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n S n 是等差数列，已知
,
11=a 124
324
32=++S S S . （Ⅰ）求{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）当2≥n 时，λλ
≥++n
n a a 1恒成
立，求λ的取值范围.
19.如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，设AC 与BD 相交于点O ，
若060=∠=∠DBF DAB ，且FC FA =.
（I ）求证：FC ∥∥平面EAD ；（II ）求二面角A FC B --的余弦值.
E
C
F
20.设
ABC
∆的三边
c
b a ,,上的高分别为
c
b a h h h ,,，满足
663
=+-c
b a h c
h b h a 。

（I ）若ABC ∆的面积为S ，证明：)63(12
1
222c b a S +-=；（II ）求A ∠及
a
a
h 的值。

21.已知向量())
cos ,sin ,m x x n ωω==
，且满足
(),0f x m n ω=⋅>u r r
（I ）若函数()f x 在区间[]2ππ,上是增函数，求ω的最大值； （II ）存在[],2,a b a b ππ∈<,满足()()()()4f a f b f a f b +=-+-+，求ω的取值范围。

22. 已知a 为实常数，函数]2,0[,sin )(π∈+=-x ax x e x f x ，记)(x f 的导函数为)(x g ．
（I ）求)(x g 在]2,0[π上的单调区间；
（II ）若)(x f 在)2,0(π的极大值点和极小值点恰好各有一个，求实数a 的取值范围.
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2018.10.23 参考答案
一、选择题 1-6CBAADD 7-12ABDBCB 二、填空题
13．3
π； 14．()0,2； 15．4
π；
16．1
e
a e >． 17.解
：（I ）因为
212()2(1)2211x f x x x x +==+-+≥+=+--
等号仅当211
x x -=-，即1x =()y f x =的最
小值为222+；
解法二：()(()
22
21121
'()11x x x x f x x x +--+==
--，
所以，当(1,1x ∈+时'()0f x <；当()1x ∈+∞
时'()0f x >；
即函数()y f x =在(
1,1上单调递减，在()1+
+∞上单调递增
所以()(min 12f x f ==+（II ）由正数x ,y 满足y x y x -=+33，知0>>y x .
由
1
2
2
≤+λy x 得
y
x y x λy x -+≤
+3
32
2
，即
y
x y y x x y x y x λy -+=
--+≤322
332
，
()2
3
2y y x y y x λ-+≤ 令1>=y x t ，则22221()1
x y t λf t xy y t ++≤==--.
要使122≤+λy x 恒成立则min ()2λf t ≤=+λ的最大
值为222+.
18.解: （Ⅰ）由题意可得123
3
3
=S ,∴
43
3
=S ,∴
2
123-=n n S n ∴=
n S n n 2
1232- 231-=-=∴-n S S a n n n ()2≥n 当1=n 时也成立, 23-=∴n a n
（Ⅱ）λλ≥++n
n a a 1⇒λλ≥-++2313n n ⇒()())1(32313--+n n n λ≥
设=n b ()())
1(32313--+n n n
=-+n n b b 1()()-++n n n 34313()())1(32313--+n n n =∴n b 的最小值为3282=b ,3
28
≤∴λ. 19.（I ）证明：因为四边形所以BC AD ∥，BF DE ∥.
因为FBC AD 平面⊄，FBC D 平面⊄E ， 所以FBC AD 平面∥，FBC DE 平面∥
又AD DE D ⋂=，EAD AD 平面⊂，EAD DE 平面⊂，
所以EAD 平面∥平面FBC 又FBC FC 平面⊂，所以EAD FC 平面∥
（II ）连接FO 、FD ,因为四边形BDEF 为菱形，且060=∠DBF ，所以DBF ∆为等边三角形，
因为O 为BD 中点.所以BD FO ⊥，又因为O 为AC 中点,且FC FA =，所以FO AC ⊥ 又AC BD O ⋂=，所以ABCD FO 平面⊥ 由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -设2=AB ，因为四边形ABCD 为菱形，060=∠DAB ，则2=BD ，1=OB ，3==OF OA ，所以)3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O - 所以)
0,1,3(),3,0,3(
==→
→
CB CF 设平面
BFC
的一个法向量为
)
,,(z y x n =→
，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→0
0CB n CF n ,所以
⎩⎨
⎧=+=+0
30
33y x z x ，令
1
=x ，则
)1,3,1(--=→
n 因为AFC 平面⊥BD ，所以平面AFC 的一个法向量为
)0,1,0(OB =→
.因为二面角B FC --A 为锐二面角，设二面角的平面
角为θ，则5
155
3,cos cos =
-=
⋅⋅=
>
<=→
→
→
→
→
→OB
n OB
n OB n θ. 所以二面角B FC --A 的余弦值为
5
15
20.解：（I ）因为1112
22a b c S ah bh ch ===，所以222,,a b c S S S h h h a b c
===，
代入663=+-c
b a h c
h b h a 得222366222a b c S S S -+=所以2221236S a b c =-+，
即)63(12
1222c b a S +-=
（II ）因为22211(36)sin 122
S a b c bc A =-+=所以222366sin a b c bc A -+=
由余弦定理，
2222cos a b c bc A
=+-代入上式得
22296sin 6cos b c bc A bc A +=+
即22
sin 294A b c π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
，所以22sin 14A π⎛⎫+=≥= ⎪⎝⎭
等号当且仅
当
3c
=时成立，又因为sin 14A π⎛⎫
+≤ ⎪⎝
⎭
，所以
sin 14A π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
所以()2,2424A k A k k Z πππππ+=+=+∈因为()0,A π∈所以0,4
k A π==；
3c =
即3
c =，所以222252cos 9a b c bc A b =+-=，
所以222
22113(36)12610S a b c b a =-+==，所以2523a a a h S ==，综上可知
5
,43
a a A h π==。

21.解：（I ）(
)sin 2sin 3f x m n x x x πωωω⎛⎫
=⋅=+=+ ⎪⎝
⎭u r r 由()22232k x k k Z ππππωπ-≤+≤+∈得
()52266k k x k Z ππππωω
-+
≤≤∈ 要使得函数()f x 在区间[]2ππ,上是增函数则()526262k k Z k πππωπππω⎧
-⎪≥⎪
⎪∈⎨
⎪+
⎪≤⎪⎩
解得()512612k k k Z ω-≤≤+∈，因为0ω>，所以1012
k +>又k Z ∈所以
0k ≥
又因为512612k k -≤+所以1112
k ≤又k Z ∈所以0k ≤，所以0k =
所以1012ω<≤，即ω的最大值为112
；
（II ）因为(
)sin ,f x x x ωω=
+
所以()(
)
)()())
sin sin 2sin f x f x x x x x x ωωωωω--=+-
-+-=
所以由()()()()4f a f b f a f b +=-+-+得sin sin 2a b ωω+=， 所以sin sin 1a b ωω==，又因为[],2,a b a b ππ∈<,，所以2a b ωπωωωπ≤<≤
所以存在整数k l <使得2222
2
k l ππωπππωπ≤+<+≤
当4ω≥时，区间[]2ωπωπ,的长度不小于4π，故必存在整数k l <满足条件；
当04ω<<时，注意到[]()20,8ωπωππ⊆,，故只需考虑以下三种情
形： ①5222ππωπωπ≤<
≤，此时12ω≤且54
ω≥，无解； ②59222ππωπωπ≤<≤，此时有9542
ω≤≤； ③913222ππωπωπ≤<≤，此时有13942ω≤≤得1344
ω≤<； 综上可知，ω的取值范围是9542ω≤≤或134ω≥ 22. 解：（I ）]2,0[,sin )(π∈+=-x ax x e x f x ，故()()'()sin cos ,x g x f x a e x x -==--
于是()'2cos ,x g x e x -=- 由()'0g x =知2x π=或32
x π= 由()'0g x <解得02x π<<或322x π
π<<；由()'0g x >解得322x π
π
<<
所以,函数()g x 在]2,0[π上的单调递增区间为3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 单调递减区间为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭和3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. （II ）由（I ）知()g x 在2x π=处取得极小值，在32x π=处取得极大值，
又因为()()3222301,,,2,22g a g a e g a e g a e ππ
ππππ---⎛⎫⎛⎫=+=-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
一方面，显然()()30222g g g g πππ⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
若02g π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，则()0g x >即()'0f x >在)2,0(π上恒成立，)(x f 在)2,0(π上无极值，不合题意，故02g π⎛⎫< ⎪⎝⎭即2a e π-<； （1）若()20g π≤，则 ①当302g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭时，()0g x ≤即()'0f x ≤在,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上恒成立，)(x f 在,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上无极值点， ()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，所以()g x 即()'f x 在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦
上至多一个零点，即)(x f 在)2,0(π上至多一个极值点，不合题意；
②当302g π⎛⎫> ⎪⎝⎭时，()30,00222g g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，又因为()g x 即()'f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()'f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭和3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上分别有一个零点12,x x 且当()10,x x ∈时()'0f x >，当()12,x x x ∈时()'0f x <，当23,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭时()'0f x >，即()f x 在()10,x 和23,2x π⎛⎫ ⎪⎝
⎭上递增，在()12,x x 上递减，所以12,x x 分别是()f x 的极大值点和极小值点，要使)(x f 在)2,0(π的极大值和极小值恰好各
有一个，则()f x 在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上无极值点，所以()20g π≥，所以()20g π=，所以2a e π-=-；
（2）若()20g π>，即2a e π->-则因为()g x 即()'f x 在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，所以
()'0f x >在3,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，()f x 在3,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上无极值点，
302g π⎛⎫> ⎪⎝⎭时，()30,00222g g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，又因为()g x 即()'f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()'f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭和3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上分别有一个零点12,x x 且当()10,x x ∈时()'0f x >，当()12,x x x ∈时()'0f x <，当23,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭时()'0f x >，即()f x 在()10,x 和23,2x π⎛⎫ ⎪⎝
⎭上递增，在()12,x x 上递减，所以12,x x 分别是()f x 的极大值点和极小值点，()f x 在)2,0(π的极大值和极小值恰好各有一个，符合题意；
综上可知，实数a 的取值范围为22e
a e ππ---≤<.。