2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(九省联考)数学试题(解析)

2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）
数学试题（答案在最后）
注意事项：
]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（）
A.14
B.16
C.18
D.20
【答案】B 【解析】
【分析】由中位数定义即可得.
【详解】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其中位数为16.故选：B.
2.椭圆2221(1)x y a a
+=>的离心率为1
2，则=a （
）
A.
3
B.
C.
D.2
【答案】A 【解析】
【分析】由椭圆的离心率公式即可求解.
【详解】由题意得112
e a ==
，解得
3a =，故选：A.
3.记等差数列{}n a 的前n 项和为3712,6,17n S a a a +==，则16S =（）
A.120
B.140
C.160
D.180
【答案】C 【解析】
【分析】利用下标和性质先求出512a a +的值，然后根据前n 项和公式结合下标和性质求解出16S 的值.【详解】因为37526a a a +==，所以53a =，所以51231720a a +=+=，所以()()
116165121681602
a a S a a +⨯==+=，
故选：C.
4.设,αβ是两个平面，,m l 是两条直线，则下列命题为真命题的是（）
A.若,,m l αβαβ⊥∥∥，则m l ⊥
B.若,,m l m l αβ⊂⊂∥，则αβ∥
C.若,,m l l αβαβ= ∥∥，则m l ∥
D.若,,m l m l αβ⊥⊥∥，则αβ
⊥【答案】C 【解析】
【分析】由线面平行性质判断真命题，举反例判定假命题即可.
【详解】对于A ，,m l 可能平行，相交或异面，故A 错误，对于B ，,αβ可能相交或平行，故B 错误，对于D ，,αβ可能相交或平行，故D 错误，由线面平行性质得C 正确，故选：C
5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（）
A.20种
B.16种
C.12种
D.8种
【答案】B 【解析】
【分析】分类讨论：乙丙及中间2人占据首四位、乙丙及中间2人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果.
【详解】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位，①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有22A 种方法，排甲有12A 种方法，剩余两个位置两人全排列有2
2A 种排法，所以有2
1
2
222A A A 8⨯⨯=种方法；
②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有22A 种方法，排甲有12A 种方法，剩余两个位置两人全排列有2
2A 种排法，所以有2
1
2
222A A A 8⨯⨯=种方法；
由分类加法计数原理可知，一共有8816+=种排法，故选：B.
6.已知Q 为直线:210l x y ++=上的动点，点P 满足()1,3QP =-
，记P 的轨迹为E ，则（
）
A.E
B.E 是一条与l 相交的直线
C.E 上的点到l
D.E 是两条平行直线
【答案】C 【解析】
【分析】设(),P x y ，由()1,3QP =-
可得Q 点坐标，由Q 在直线上，故可将点代入坐标，即可得P 轨迹E ，
结合选项即可得出正确答案.
【详解】设(),P x y ，由()1,3QP =-
，则()1,3Q x y -+，
由Q 在直线:210l x y ++=上，故()12310x y -+++=，化简得260x y ++=，即P 的轨迹为E 为直线且与直线l 平行，
E 上的点到l
的距离d =
=A 、B 、D 错误，C 正确.
故选：C .7.已知3ππ,π,tan24tan 44θθθ⎛⎫⎛
⎫∈=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则21sin22cos sin2θθθ+=+（）
A.
1
4 B.
34
C.1
D.
32
【答案】A 【解析】
【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将2
1sin22cos sin2θ
θθ
++齐次化即可得出答案.【详解】由题3ππ,π,tan24tan 44θθθ⎛⎫⎛
⎫∈=-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
得
()()2
2
4tan 12tan 4tan 12tan 1tan 1tan θθθθθθ
-+=⇒-+=--，
则()()2tan 1tan 20tan 2θθθ++=⇒=-或1tan 2
θ=-，因为()3π,π,tan 1,04θθ⎛⎫
∈∈-
⎪⎝⎭
，所以1tan 2θ=-，
22222
1sin2sin cos 2sin cos tan 12tan 2cos sin22cos 2sin cos 22tan θθθθθθθ
θθθθθθ+++++==+++()1
11
1
4214
+-==+-.故选：A
8.设双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过坐标原点的直线与C 交于,A B 两点，
211222,4F B F A F A F B a =⋅=
，则C 的离心率为（
）
A.
B.2
C.
D.
【答案】D 【解析】
【分析】由双曲线的对称性可得12F A F B =、12F B F A =且四边形12AF BF 为平行四边形，由题意可得出21F BF ∠，结合余弦定理表示出与a 、c 有关齐次式即可得离心率.
【详解】
由双曲线的对称性可知12F A F B =，12F B F A =，有四边形12AF BF 为平行四边形，令12F A F B m ==，则122F B F A m ==，
由双曲线定义可知212F A F A a -=，故有22m m a -=，即2m a =，即122F A F B m a ===，124F B F A a ==，
2222222cos 24cos 4F A F B F A F B AF B a a AF B a ⋅=⋅∠=⨯∠=
，
则21cos 2AF B ∠=
，即23AF B π∠=，故212π3F BF ∠=，
则有()()()222
2
2
2
1212
21124221
cos 22422
a a c F B F B F F F BF F B F B
a a
+-+-∠=
=
=-⋅⨯⨯，
即222
2041162a c a -=-，即2204116162
e -=-，则27e =，由1e >
，故e =.故选：D.
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于a 、b 、c 之间的等量关系，本题中结合题意与双曲线的定义得出1F A 、2F B 与a 的具体关系及21F BF ∠的大小，借助余弦定理表示出与a 、c 有关齐次式，即可得解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知函数()3π3πsin 2cos 244f x x x ⎛
⎫⎛
⎫=+
++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，则（）
A.函数π4f x ⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
为偶函数B.曲线()y f x =的对称轴为π,Z x k k =∈C.()f x 在区间ππ,32⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增D.()f x 的最小值为2-【答案】AC 【解析】
【分析】利用辅助角公式化简()3π3πsin 2cos 244f x x x ⎛
⎫⎛
⎫=+++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，再根据三角函数的性质逐项判断即可.
【详解】()3π3πsin 2cos 244f x x x ⎛
⎫⎛
⎫=+
++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭3π3π3π3π
sin 2cos sin cos 2cos2cos sin2sin 4444
x x x x =++
-sin 2cos 2cos2sin22222
x x x x x =-
+--=，
即()f x x =，
对于A ，i ππ42n 2x x f x ⎛⎫⎛⎫-
== ⎪ ⎪⎝
⎭-⎝
⎭，易知为偶函数，所以A 正确；
对于B ，()f x x =对称轴为πππ
2π,Z ,Z 242
k x k k x k =
+∈⇒=+∈，故B 错误；对于C ，ππ2π,,2,π323x x ⎛⎫⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，sin2y x =单调递减，则
()
f x x =单调递增，故C 正确；
对于D ，()f x x =，则[]
sin21,1x ∈-，所以()f x ⎡∈⎣，故D 错误；
故选：AC
10.已知复数,z w 均不为0，则（）
A.2
2
||
z z = B.
2
2||
z z z z =C.z z w w -=- D.
z z w w
=【答案】BCD 【解析】
【分析】设出i z a b =+、i w c d =+，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得.【详解】设i z a b =+(),R a b ∈、i w c d =+(),R c d ∈；
对A ：设i z a b =+(),R a b ∈，则()2
22222i 2i 2i z a b a ab b a b ab =+=+-=-+，
2
2
2
2||z a
b =
=+，故A 错误；
对B ：2
z z z z z
=⋅，又2z z z ⋅=，即有22
||z z z z =，故B 正确；对C ：()i i i a b c d z a c d w b =+-=+----，则()i a c z w b d ----=，
i z a b =-，i w c d =-，则()i i i z w a b c d a c b d =--+=----，
即有z z w w -=-，故C 正确；
对D ：
()()()()
()22i i i i i i i z c w a b c d ac bd ad bc a b c d c d c d d +-+--+===++-+
==
22
c d =
=+
，
22z w c d =
==+22
c d =
+，
故z z w w
=，故D 正确.故选：BCD.
11.已知函数()f x 的定义域为R ，且102f ⎛⎫
≠
⎪⎝⎭
，若()()()4f x y f x f y xy ++=，则（）
A.102f ⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
B.122f ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
C.函数12f x ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
是偶函数 D.函数12f x ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
是减函数【答案】ABD 【解析】
【分析】对抽象函数采用赋值法，令12x =、0y =，结合题意可得()01f =-，对A ：令1
2
x =、0y =，代入计算即可得；对B 、C 、D ：令1
2
y =-
，可得122f x x ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭
，即可得函数
12f x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭及函数
12f x ⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭函数的性质，代入1x =，即可得12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.【详解】令1
2x =
、0y =，则有()()1110100222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤+⨯=+= ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，又102f ⎛⎫
≠
⎪⎝⎭
，故()100f +=，即()01f =-，令12
x =
、1
2y =-，则有
1111114222222f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-+-=⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭，
即()110122f f f ⎛⎫⎛⎫
+-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，由()01f =-，可得11022f f ⎛⎫
⎛⎫
-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，又102f ⎛⎫
≠
⎪⎝⎭
，故102f ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭，故A 正确；令1
2
y =-
，则有()
1114222f x f x f x ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
，即122f x x ⎛
⎫
-
=- ⎪⎝⎭，故函数12f x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭是奇函数，
有()1121222f x x x ⎛⎫
+-
=-+=-- ⎪⎝
⎭
，即1222f x x ⎛
⎫+=-- ⎪⎝
⎭，
即函数12f x ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
是减函数，令1x =，有12122f ⎛⎫
=-⨯=-
⎪⎝⎭
，故B 正确、C 错误、D 正确.故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到()01f =-，再重新赋值，得到102f ⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭，再得到122f x x ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知集合{}{}
2,0,2,4,3A B x x m =-=-≤，若A B A = ，则m 的最小值为__________．【答案】5【解析】
【分析】由A B A = 可得A B ⊆，解出集合B 后结合集合的关系计算即可得.【详解】由A B A = ，故A B ⊆，由3x m -≤，得33m x m -+≤≤+，
故有4323m m ≤+⎧⎨-≥-+⎩，即1
5m m ≥⎧⎨≥⎩
，即5m ≥，
即m 的最小值为5.故答案为：5.
13.已知轴截面为正三角形的圆锥MM '的高与球O 的直径相等，则圆锥MM '的体积与球O 的体积的比值是__________，圆锥MM '的表面积与球O 的表面积的比值是__________．【答案】①.
23
②.1
【解析】
【分析】设圆锥的底面圆半径r 以及球的半径R ，用r 表示出圆锥的高h 和母线l 以及球的半径R ，然后根据体积公式求出体积比，根据表面积公式求得表面积之比.【详解】设圆锥的底面半径为r ，球的半径为R ，
因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高h =，母线2l r =，
由题可知：2h R =
，所以球的半径2
R =
所以圆锥的体积为(
)2311ππ33
V r r =
⨯⨯=，
球的体积3
33
244πππ3322V R r ⎛⎫=
=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
，
所以312π233
r
V V ==；圆锥的表面积2
2
1ππ3πS rl r r =+=，
球的表面积2
22
24π4π3π2S R r ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪
⎝⎭，所以
2
12
23π13πS r S r ==，故答案为：2
3
；1.14.以
max M
表示数集M 中最大的数．设01a b c <<<<，已知2b a ≥或1a b +≤，则
{}max ,,1b a c b c ---的最小值为__________．
【答案】1
5
##0.2【解析】
【分析】利用换元法可得11b n p
a m n p =--⎧⎨=---⎩
，进而根据不等式的性质，分情况讨论求解.
【详解】令,,1,b a m c b n c p -=-=-=其中,,0m n p >，
所以11b n p
a m n p =--⎧⎨=---⎩
，
若2b a ≥，则()121b n p m n p =--≥---，故21m n p ++≥，令{}{}=max ,,1max ,,M b a c b c m n p ---=，
因此22M m
M n M p
≥⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
,故421M m n p ≥++≥,则14M ≥，
若1a b +≤，则111n p m n p --+---≤，即221m n p ++≥，
{}{}=max ,,1max ,,M b a c b c m n p ---=，则2222M m
M n M p
≥⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
,故5221M m n p ≥++≥,则15M ≥，
当22m n p ==时，等号成立，
综上可知{}max ,,1b a c b c ---的最小值为15
，故答案为：
15
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在2b a ≥和1a b +≤前提下进行合理分类讨论，根据题意得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词是“或”.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知函数()2
ln 2f x x x ax =+++在点()()
22f ,处的切线与直线230x y +=垂直．
（1）求a ；
（2）求()f x 的单调区间和极值．【答案】（1）3
a =-（2）单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
、()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫
⎪⎝⎭，极大值3ln 24-，极小值0
【解析】
【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得；
（2）借助导数可讨论单调性，即可得极值.
【小问1详解】
()12f x x a x '=++，则()1922222
f a a '=+⨯+=+，由题意可得92123a ⎛⎫⎛⎫+⨯-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3a =-；【小问2详解】
由3a =-，故()2
ln 32f x x x x =+-+，则()()()2211123123x x x x f x x x x x
---+'=+-==，0x >，故当102x <<时，()0f x ¢>，当112
x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x ¢>，故()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
、()1,+∞，()f x 的单调递减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()f x 有极大值2
11113ln 32ln 222224f ⎛⎫⎛⎫=+-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，有极小值()21ln113120f =+-⨯+=.16.盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
（2）记取出的3个小球上的最小数字为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．
【答案】（1）47
（2）分布列见解析，()10
7E X =
【解析】
【分析】（1）先确定3个不同数字的小球，然后再从确定的每种小球中取1个，通过计算可求符合要求的取法数，再除以总的取法数可得结果；
（2）先确定X 的可取值为1,2,3，然后计算出不同取值的概率，注意X 的每种取值对应两种情况，由此可求分布列和期望()E X .
【小问1详解】
记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M ，
先确定3个不同数字的小球，有3
4C 种方法，
然后每种小球各取1个，有111222C C C ⨯⨯种取法，
所以()3111422238C C C C 4=C 7P M ⨯⨯⨯=.【小问2详解】
由题意可知，X 的可取值为1,2,3，
当1X =时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，
所以()1221262638C C C C 91=C 14
P X +==；当2X =时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，
所以()1221242438C C C C 22=C 7
P X +==；当3X =时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，
所以()1221222238C C C C 13=C 14
P X +==，所以X 的分布列为：X
123P 9142
7114
所以()92110123147147
E X =⨯+⨯+⨯=.17.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，1
1112,,45AA C CB C CD C CO =∠=∠∠=︒．
（1）证明：1C O ⊥平面ABCD ；
（2）求二面角1B AA D --的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）22
3
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的正弦值.
【小问1
详解】
连接11,BC DC ，
因为底面ABCD 是边长为2的正方形，所以BC DC =，
又因为11C CB C CD ∠=∠，11CC CC =，
所以11C CB C CD ≅ ，所以11BC DC =，
点O 为线段BD 中点，所以1C O BD ⊥，
在1C CO △
中，112
2,CC CO AC ===，145C CO ∠=︒，
所以222
11111cos 22C C OC C O C CO C O C C OC
+-∠==⇒=⨯⨯，则222
111C C OC C O C O OC =+⇒⊥，
又OC BD O = ，OC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，
所以1C O ⊥平面ABCD .
【小问2详解】
由题知正方形ABCD 中AC BD ⊥，1C O ⊥平面ABCD ，所以建系如图所示，则()())()(12,0,0,2,0,2,0,0,2,0,0,0,0,2B D A C C ，则112,0,2AA CC == ，
()()2,2,0,2,2,0AB AD == ，设面1BAA 的法向量为()111,,m x y z = ，面1DAA 的法向量为()222,,x n y z = ，则()1111122001,1,10220
z AA m m AB m ⎧⎧+=⋅=⎪⇒⇒=-⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩ ，()2212222001,1,10220x z AA n n AD m ⎧+=⋅=⎪⇒⇒=--⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩
，设二面角1B AA D --大小为θ，则212cos sin 1cos 3333m n m n
θθθ⋅===⇒=-⨯⋅ ，所以二面角1B AA D --的正弦值为23
.18.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于,A B 两点，过F 与l 垂直的直线交C 于,D E 两点，其中,B D 在x 轴上方，,M N 分别为,AB DE 的中点．
（1）证明：直线MN 过定点；
（2）设G 为直线AE 与直线BD 的交点，求GMN 面积的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）8
【解析】
【分析】（1）设出直线AB 与直线CD 的方程，联立曲线后得到与纵坐标有关韦达定理，结合题意，表示出直线MN 后即可得定点坐标；
（2）设出直线AE 与直线BD 的方程，联立两直线后结合第一问中韦达定理得出点G 的横坐标恒为1-，再结合面积公式及基本不等式即可得.
【小问1详解】
由2:4C y x =，故()1,0F ，由直线AB 与直线CD 垂直，
故两只直线斜率都存在且不为0，
设直线AB 、CD 分别为11x m y =+、21x m y =+，有121m m =-，
()11,A x y 、()22,B x y 、()33,E x y 、()44,D x y ，
联立2
:4C y x =与直线AB ，即有2141y x x m y ⎧=⎨=+⎩，
消去x 可得21440y m y --=，2
116160m ∆=+>，故1214y y m +=、124y y =-，
则()2
121112112111242x x m y m y m y y m +=+++=++=+，故2121212x x m +=+，12122
y y m +=，即()21121,2M m m +，同理可得()22221,2N m m +，
当22122121m m +≠+时，
则()()
221
2112212122:12221MN m m l m m x m y m ---=++-+，即()
()21212121212121112221212122m m m m x y x m m m m m m m m m m m m +-+=-+-=--++++121221212121
2211212122m m m m x x m m m m m m m m m m =--=-+++-++-，由121m m =-，即()212121
3121y x x m m m m m m -=++=-++，故3x =时，有()21
3013m m y -+==，
此时MN 过定点，且该定点为()3,0，
当22122121m m +=+时，即2212m m =时，由121m m =-，即11m =±时，
有213:MN l x =+=，亦过定点()3,0，
故直线MN 过定点，且该定点为()3,0；
【小问2详解】
由()11,A x y 、()22,B x y 、()33,E x y 、()44,D x y ，则()311131
:AE y y l y x x y x x -=-+-，由2114y x =、2224y x =，故22231113131112231313131313144444
y y y y y y y y y x x y x y y y y y y y y y y y y y ⎛⎫-+=-+=-+= ⎪+++++⎝⎭-，同理可得2442424:BD y y x l y y y y y =+++，联立两直线，即13313124
424244y y x y y y y y y y x y y y y y ⎧=+⎪++⎪⎨⎪=+⎪++⎩
，有132431314242
44y y y y x x y y y y y y y y +=+++++，即()()()()42134231243144x y y y y y y x y y y y y y +++=+++，
有()()
()2431134242314y y y y y y y y x y y y y +-+=+--，由124y y =-，同理344y y =-，
故()()
()
()243113422341241341234231423144y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x y y y y y y y y +-++--==+--+--()
()
24134231414y y y y y y y y -+--==-+--，故1G x =-，
过点G 作//GQ x 轴，交直线MN 于点Q ，则12M N Q G GMN S y y x x =
-⨯- ，由()21121,2M m m +、()22221,2N m m +，
故121122224M N y y m m m m -=-=+
≥，当且仅当11m =±时，等号成立，下证4Q G x x -≥：
由抛物线的对称性，不妨设10m >，则20m <，
当11m >时，有()21
11,0m m =-∈-，则点G 在x 轴上方，点Q 亦在x 轴上方，有2112
0111m m m m =>+-，由直线MN 过定点()3,0，此时()314Q G x x ->--=，
同理，当11m <时，有点G 在x 轴下方，点Q 亦在x 轴下方，有21
10m m <+，故此时4Q G x x ->，当且仅当11m =时，3Q x =，故4Q G x x -≥恒成立，且11m =±时，等号成立，故1144822
MN M G N Q G S y y x x =-⨯-≥⨯⨯= ，
【点睛】关键点睛：第二问关键在于借助直线联立及第一问中韦达定理得出点G 的横坐标恒为1-，此时可根据三角形的面积公式及基本不等式求取最值.
19.离散对数在密码学中有重要的应用．设p 是素数，集合{}1,2,,1X p =- ，若,,u v X m ∈∈N ，记u v ⊗为uv 除以p 的余数，,m u ⊗为m u 除以p 的余数；设a X ∈，2,2,1,,,,p a a a ⊗-⊗ 两两不同，若{}(),0,1,,2n a b n p ⊗=∈- ，则称n 是以a 为底b 的离散对数，记为log()a n p b =．
（1）若11,2p a ==，求1,p a -⊗；
（2）对{}12,0,1,,2m m p ∈- ，记12m m ⊕为12m m +除以1p -的余数（当12m m +能被1p -整除时，120m m ⊕=）．证明：()log()log()log()a a a p b c p b p c ⊗=⊕，其中,b c X ∈；
（3）已知log()a n p b =．对{},1,2,,2x X k p ∈∈- ，令,,12,k k y a
y x b ⊗⊗==⊗．证明：()2,21n p x y y -⊗=⊗．
【答案】（1）1
（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）第一问直接根据新定义来即可.
（2）第二问结合新定义、带余除法以及费马小定理即可得证.
（3）根据新定义进行转换即可得证.
【小问1详解】
若11,2p a ==，又注意到102102493111==⨯+，
所以1,01,21p a -⊗⊗==.
【小问2详解】
当2p =时，此时{1}X =，此时1b c ==，1b c ⊗=，
故()log()0,log()0,log()0a a a p b c p b p c ⊗===，
此时()log()log()log()a a a p b c p b p c ⊗=⊕.
当2p >时，因2,2,1,,,,p a a a ⊗-⊗ 相异，故2a ≥，
而a X ∈，故,a p 互质.
设()12=log(),log(),=log()a a a n p b c n p b n p c
⊗=记()12=log(),log(),=log()a a a n p b c n p b n p c ⊗=，
则12,N m m ∃∈，使得1212,n n a pm b a
pm c =+=+，故()()1212n n a pm b pm c +=++，故12(mod )n n a bc p +≡，
设()121,02n n t p s s p +=-+≤≤-，则12n n s ⊕=，
因为1,2,3,..1p -除以p 的余数两两相异，
且(),2,3,..1a a a p a -除以p 的余数两两相异，
故()()1!23,..1(mod )p a a a p a p ⎡⎤-≡⨯⨯⨯-⎣⎦，故11mod p a p -≡，
故(mod )s a bc p ≡，而(mod )(mod ),n a b c p bc p ≡⊗=其中02n p ≤≤-，
故s n =即()log()log()log()a a a p b c p b p c ⊗=⊕.
【小问3详解】
当2b ≥时，由（2）可得11mod p b p -≡，若1b =，则11mod p b p -≡也成立.
因为log()a n p b =，所以()mod n
a b p ≡.另一方面，()()()()()22,2,,,2121n p n p n p k k y y y y x b a --⊗-⊗⊗⊗
⊗≡≡⊗()()()()()()()()11221
1mod mod k k kn p k p k k p xb a xb b x b x p x p -----≡≡≡≡≡.由于x X ∈，所以()2,21n p x y y -⊗=⊗.
【点睛】关键点睛：本题的关键是充分理解新定义，然后结合带余除法以及费马小定理等初等数论知识即可顺利得解.。