高三教学质量检查数学文科(一)参考答案.doc

福建省诏安一中2007年高三教学质量检测
数 学 试 题（文科） 2007.06.1
考试时间：120分钟 满分：150分
一．选择题：每小题5分，共60分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
13．６人 14．（０，２） 15．1 80 16．π6
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．本小题考查三角函数的定义域、值域以及三角函数式的变换。

解：（1）∵m ⊥n ，∴m·n ＝0，∴cos A ＋1－3sin A ＝0 （2分）
3sin A －cos A ＝1，sin （A －π6）＝1
2
（4分）
∵0<A <π， ∴－π6<A －π6<5π6，A －π6＝π6， ∴A ＝π
3 （6分）
（2）∵b ＋c ＝3a ，∴由正弦定理得：sin B ＋sin C ＝3sin A ＝3
2
（8分）
∵B ＋C ＝2π3，∴sin B ＋sin （2π3－B ）＝32·32cos B ＋32sin B ＝3
2 （10分）
即sin （B ＋π
6）＝32
（12分）
18．解：（1）该同学恰好得3分的概率为P ＝C 14×
2A 44＝13
（6分）
（2）P （ξ＝6）＝C 24
A 44＝624＝14，P （ξ＝12）＝1A 44＝124
该同学得分不少于6分的概率为P ＝P （ξ＝6）＋P （ξ＝12）＝7
24
（12分）
19．（本小题满分12分） 解：（1）三棱锥E —P AD 的体积
6
3
)21(3131=⋅⋅=⋅=
∆AB AD PA S PA V ADE ……………4分 （2）当点E 为BC 的中点时，EF 与平面P AC 平行. ∵在△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点， ∴EF ∥PC ，又EF 分别为BC 、PB 的中点， ∴EF //PC ，又EF ⊄平面P AC ，而PC ⊂平面P AC ，
∴EF //平面P AC .……………………………………8分 （3）证明：∵P A ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，
∴EB ⊥P A ，又EB ⊥AB ，AB ∩AP =A ，AB ，AP ⊂平面P AB , ∴EB ⊥平面P AB ，又AF ⊂平面P AB ，∴AF ⊥PB ， 又P A=AB=1，点F 是PB 中点， ∴AF ⊥PB 又∵PB ∩BE =B ， PB ，BE ⊂面PBE ，
∴AF ⊥面PBE ∵PE ⊂面PBE ∴AF ⊥PE ………12分 解法二：（向量法）（I ）（II ）同解法一
（Ⅲ）建立图示空间直角坐标系，
则P （0，0，1），B （0，1，0），
)0,0,3(),2
1
,21,0(D F
设)0,1,(,x E x BE 则=
0)2
1
,21,0()1,1,(=⋅-=⋅x
∴AF ⊥PE
20．本小题考查等比数列的性质、通项公式，以及对数的运算及二次函数最值的求法.
解：（1）设数列{a n }的公比为q .
由等比数列性质可知：645371==a a a a ， 而.,65171a a a a n <=++ 1,6471==∴a a ， （3分）
由2
1,21,1646
-==
=q q q 或得（舍）
，故.27n
n a -= （6分） （2）n
n n a b 2722-==
)
lg(lg lg lg 2121n n
n b b b b b b T =+++=∴
2lg ]9)3([2lg )6(2
2
+--=+-=n n n ， （10分） ∴当n = 3时，T n 的最大值为9lg2. （12分）
20．（12分） 解：设初中x 个班，高中y 个班，则⎩⎨⎧≤+≤+≤)
2(1200
5828)1(30
20y x y x ……………（4分）
设年利润为s ，则
y x y x y x s 22.16.15.22.1215.04006.060+=⨯-⨯-⨯+⨯=……（6分）
作出（1）、（2）表示的平面区域，如图，易知当直线1.2x +2y=s 过点A 时，s 有最大值.
由⎩
⎨⎧=+=+1200582830y x y x 解得A （18，12）.……（10分）
6.45122182.1max =⨯+⨯=∴s （万元）. 即学校可规划初中18个班，高中12个班，
可获最大年利润为45.6万元.……（12分）
21．解：
（1）设C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1（a >b >0），设c >0，c 2＝a 2－b 2，由条件知a 2c －c ＝b 2c ＝22，c a ＝22
，
∴a ＝1，b ＝c ＝
2
2
， 故C 的方程为：y 2
＋x 2
12
＝1 （6分）
（2）由AP ＝λPB 得OP －OA ＝λ（OB －OP ），（1＋λ）OP ＝OA ＋λOB ，
∴λ＋1＝4 λ＝3 （6分）
设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）
⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m
2x 2＋y 2
＝1 得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2－1）＝0 Δ＝（2km ）2－4（k 2＋2）（m 2－1）＝4（k 2－2m 2＋2）>0 （*） x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2－1k 2＋2
（10分）
∵AP ＝3PB ∴－x 1＝3x 2 ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝－2x 2
x 1x 2＝－3x 2
2 消去x 2，得3（x 1＋x 2）2
＋4x 1x 2＝0，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2－1
k 2＋2
＝0
整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0 （12分） m 2
＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2
＝2－2m 24m 2－1
，
由（*）式得k 2>2m 2－2
因λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2
＝2－2m 24m 2－1
>0，∴－1<m <－12或1
2<m <1
即所求m 的取值范围为（－1，－12）∪（1
2
，1） （14分）。