5.1.2弧度制(教学设计)-高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第一册)(解析版)

教学单元第五章三角函数I 教学内容I
教学目标5.1.2弧度制
学习目标
1. 了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．
2. 理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数（重点、难点）
3. 了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．（易错点）
核心素养
1理解"1弧度的角”的定义，了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系，培养数学抽象的核心素养；
2掌握弧度与角度的换算，熟悉特殊角的弧度数，提升数学运算的核心素养；
2掌握扇形的弧长公式和扇形面积公式，强化数学运算的核心素养。

教学重难点
重点：角度制与弧度制间的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明；
难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题。

学情分析
在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度“，并且上节课学了任意角的概念，将角的概念推广到了任意角；本节课作为三角函数的第二课时，该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备，因此本节课还起着启下的作用。

通过本节弧度制的学习，我们知道实数与角之间一一对应的关系，而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。

另外弧度制为今后学习三角函数带很大方
便。

教学环节情境导入
教学过程
教师活动学生活动
炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是一种【答案】角度制的单位有：
度、分、秒。

好办法扇子在美观设计上，可考虑用料、1【答案】规定：圆周1/360的
图案和形状．若从数学角度看，我们能否I圆心角称作lo角。

用黄金比例(0.618)去设计一把富有美感I
【答案】在数学和其他科学
的纸扇？要探索这个问题首先要认识-1
种新的角度单位——弧度．研究中还经常用到另—种度
【探究l】在平面几何里，度量角的大小量角的制度—弧度制
用什么单位?
【探究2】l o的角是如何定义的？＇【答案】无关
设计意图
通过复习初中所
学角的单位及定
义，类比长度的
不同度量制，用
类比的方法、联
系的观点引入本
节新课。

建立知
识间的联系，提
高学生概括、类
比推理的能力。

【探究3】日常生活中，度量长度可用【答案】＠圆心角不变，
不同的单位，如：一张课桌长80厘比值不变；比值的大小与所
米，也可以说长0.8米，显然两种结果取的圆的半径大小无关；
出现了不同的数值，那么有没有一种更＠圆心角改变，比值改变；
好的方法去表示角呢？比值的大小只与圆心角的大
【探究4】在圆内，圆心角的大小和半小有关
径大小有关系吗？
【探究5】角度为30°、60°的圆心角，
半径r=l,23时，
(1)分别计算相对应的弧长1
(2)分别计算对应弧长与半径之比
通过上面的计算，你发现了什么规律？
新知讲授【知识一：弧度的概念、角度与弧度的换算】
弧度的概念通过思考，进一
把长度等千半径长的弧所对的圆心角叫步巩固弧度制的
做l弧度(radian)的角定义，提高学生
弧度制：这种以弧度作为单位来度量角分析问题、概括
的单位制叫做弧度制，它的单位是弧度，能力。

单位符号是r ad.
约定：正角的弧度数为正数，
负角的弧度数为负数，
零角的弧度数为0.
常规写法通过思考，归纳
心用弧度数表示角时，常常把弧度数写弧度与角度的互
成多少兀的形式，不必写成小数．化。

提高学生分
＠用弧度制表示角时，“弧度”二字或析问题、概括能
"rad"通常略去不写，面只写该角所对力。

应的弧度数
＠）弧度与角度不能混用．即不能出现这样
冗
的形式：30°
+—。

6
例4.按照下列要求，把67°30'化成弧度：
(1)精确值；(2)精确到0.001的近似值．
例5.将3.14 rad 换算成角度（用度数表示，精确到0.001).
解：(1)因为67°
30'=
135
135
（ —) o , 所以67°
30'=2
了-x 亢
3亢
—rad =—rad .
180
8 (2)利用计算器可得：67°30'�1.178 rad. 解：利用计算器可得：3.14 rad :::::: 179.909°.
【知识二：扇形的弧长与面积问题】
通过例题学会角
度与弧度的转化，提高学生解
决问题的能力。

扇形的弧长及面积公式
证明：由公式旧＝组可得：I 通过例题总结弧R
设扇形的半径为R,弧长为l,a (O < l =
a R. 下面证明(2)(3). a.<2兀）为其圆心角，其中a=
礼5,
则
半径为R ,圆心角为n o
的
扇形的弧长公式和面积公式
度茄单位七
弧度制e 角度制e
类
别
扇形的弧长e
I =坐沪/= , ,R R
80
“
扇形的而积..,
S -寸R --I a R屯S � 旦
360
例6.利用弧度制证明下列关千扇形的公式：
(l)l=aR; (2)S=¼aR生(3)S=¼lR.其中R 是圆的半径，a(O <a< 2兀）为圆
心角，l 是扇形的弧长，S 是扇形的面积．
分别是：
l=
n 兀R
180
， S = n 冗R 2
360 ，将矿转换
为弧度制，得：a=皿
180 1
于是，S =-aR互2
， 将l= a R代入上式，即得
1
S
= -lR. 2 度制下的扇形的弧长公式、扇形的面积公式，提高学生的观察、
概括能力
课本练习课堂小结1把下列角度化成弧度：
(1)22°30'; (2)-210°; (3)1200°.
2. 把下列弧度化成角度：
(1) 冗耘.
3冗
—. (2)-—, (3)—
12'310 .
3、用弧度表示：
(1)终边在x轴的角的集合
(2)终边在y轴的角的集合
4. 利用计算工具比较下列各对值的大
小：
(1) c osO. 75° 和cosO.75:
(2)tanl. 2° 和tanl.2.
45万冗
解：(1)22·30• = 22.5°= -x -= -
2 180 8
兀7
(2)-210·= -210x—=-一冗
180 6
冗20
(3)1200·= t200x—=—冗
180 3
l
解：(1).!!....= -x l80°= 15°;
12 12
4冗4
(2)-—=-—X 180°= -240°;
3 12
3冗3
(3)—=—-x180°=54°.
10 10
(I){ala=k兀，k E Z};
兀
(2){a I a=—+k兀，k EZ};
2
Cl)·: cos0.75° �1.000,
cos0.75�0.732,
:. cos0.75°>cos0. 75
5. 分别用角度制，弧度制下的弧长公式I c2)。

tan 1.2�0.021,
计算半径为1cm的圆中，60°的圆心角
对对弧的长度。

tan 1.2�2.572,
: . tan 1.2°< tan 1.2
擅析：角霪割下：a•60•
＂霄R60霄冗
=>"竺60,, __
__二一
180 180 J
ll瘦割下·
霄霄霄
.a60•-, 1-aR竺一X I-一<••"')
J J J
/ 144 6
!••••l
6. 已知半径为120mm的圆上，有一条弧I简析：a=-= =-
r 120 5'
长为144mm求该弧所对圆心的弧度数和
角度数。

弧度制角度制
二三言;：:';:二二；二
换符关系1勹
勹畸br三二三
基个关系导出关系
6 180 96。

a=-x(—) o= (—)
5冗冗
学生先总结教师补充
通过练习巩固本
节所学知识，通
过学生解决问题
的能力，感悟其
中蕴含的数学思
想，增强学生的
应用意识。

通过总结，让学
生进一步巩固本
节所学内容，提
高概括能力，提
高学生的数学运
算能力和逻辑推
理能力。

板书设计
课后作业
度从单位
单位规定
换符关系
弧以制
弧度(IO进制）
把长度等于半径长
的弧所对的圆心角
叫做1弧度的角。

360°= 2,Trad
180°= m·ad
基本关系
．畛
对应分层作业
角度制
度(60进制，I0;60, I'=60")
周化的1/360叫做1度的
角。

1•=—rad a O O I 745rad
180
l rad=行180). �s1 30• = s1°1s'
导出关系
例4
例5
例6
完成作业。

练习
完成课后作
用，巩固回忆
知识。