论文：浅谈求数列通项公式的几种方法

浅谈求数列通项公式的几种方法
灵璧县黄湾中学 柯林
摘要:本文通过几个最新的具体的高考实例分别介绍了高中阶段
求数列通项公式的几种不同方法。

数列在理论上和实践中均有较高的价值,是培养学生观察能力、理解能力、逻
辑思维能力的绝好载体，高考对数列知识的考察从未间断过，而且在前几年,很多省市的高考数学卷都把数列题作为压轴题。

数列的通项公式是数列的核心内容之一,它如同函数中的解析式一样，有了解析式便可研究性质等；而有了数列的通项公式便可求出数列中的任一项及前n 项和等。

因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点.本文即通过几个高考实例总结了在高中阶段，求数列的通项公式的常用方法和策略。

1． 观察法
即归纳推理,就是观察数列特征,找出各项共同的构成规律,横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n 的内在联系，从而归纳出数列的通向公式,然后利用数学归纳法加以证明即可。

例1。

（2014年重庆理科)设11=a ,)(222
1*+∈++-=N n b a a a n n n 。

(Ⅰ）若1=b ，求32,a a 及数列}{n a 的通项公式．
解：由题意可知：11111+-==a ，
112212212
12+-==++-=a a a , 113121222223+-=+=++-=a a a .
因此猜想11+-=n a n 。

下面用数学归纳法证明上式． (1)当n ＝1时，结论显然成立．
（2）假设当n ＝k 时结论成立,即11+-=k a k ，则
11)1(11)1(11)1(12222
1+-+=++-=++-=++-=+k k a a a a k k k k ，
即当n ＝k ＋1时结论也成立． 由（1）、(2）可知,对于一切正整数n ，都有)(11*∈+-=N n n a n ． 点评:采用数学归纳法证明是理科教学内容，较为容易，好掌握.
2． 定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。

例2。

(2015年北京文科）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式;
（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =,问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d .
因为432a a -=，所以2d =.
又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =。

（Ⅱ)设等比数列{}n b 的公比为q 。

因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =,14b =。

所以61642128b -=⨯=. 由12822n =+，得63n =。

所以6b 与数列{}n a 的第63项相等.
点评：当已知数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数列的定义求出数列的首项与公差或公比，再写出通项公式。

3．公式法 若已知数列的前n 项和n s 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式
求解。

例3。

（2015年山东理科）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知23 3.n n S =+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式. 解：（Ⅰ）由 233n n S =+
可得：当1=n 时， 111
(33)32a S ==+=，
当2≥n 时，11111
(33)(33)3(2)22
n n n n n n a S S n ---=-=+-+=≥
而 11133a -=≠，
所以 13,1,
3, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩
点评：利用公式求解时，要注意对n 分类讨论，但
若能合写时一定要合并.
4．累加法
当递推公式为)(1n f a a n n +=+时,其中(1)(2)...()f f f n +++的和比较易求 ,通常解法是把原递推公式转化为1()n n a a f n +-=，利用累加法（逐差相加法)求解.
例4.(2015年江苏）数列}{n a 满足11=a ,且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数
列}1
{n
a 的前10项和为
解：由题意得：
112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---
12)1(+++-+= n n
2
)1(+=
n n 所以
)1
11(2)1(21+-=+=n n n n a n 所以 )2
1
1(2)111(2)111(2-++--++-
= n n n n s n )1
11(2+-
=n 1
2+=n n 所以 11
20
10=s
5．累乘法
当递推公式为)(1n f a a n n =+时，其中)()2()1(n f f f ⋅⋅⋅ 的积比较易求 ，通常解法是把原递推公式转化为
)(1
n f a a n
n =+,利用累乘法（逐商相乘法）求解。

例5.已知数列{}n a 满足112,31
n n n
a a a n +==
+，求n a 的通项公式。

解：由条件知
11
n n a n
a n +=+， 在上式中分别令)1(,,3,2,1-=n n ，得1-n 个等式累乘之,
即
n
n a a a a a a a a n n 1
4332211342312-⋅
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅- ， 即 n a a n 11= 又 321=
a n
a n 32
=∴
6。

构造法
（1）当递推公式为q pa a n n +=+1（其中q p ,均为常数，且0)1(≠-p pq ）时，通常解法是把原递推公式转化为)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=
1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例6。

（2014年新课标全国卷Ⅱ）已知数列}{n a 满足13,111+==+n n a a a 。

（I ）证明}2
1
{+n a 是等比数列，并求}{n a 的通项公式。

解：由 131+=+n n a a
得 )21
(3211+=++n n a a
又 2
3
211=+a
所以}2
1
{+n a 是首项为23,公比为3的等比数列
所以 2
3323211n
n n a =⨯=+-
因此数列}{n a 的通项公式为21
3-=n n a .
(2)当递推公式为)0,,(1≠++=+pk b k p b kn pa a n n 均为常数，且其中时，通常解法是把原递推公式转化为)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，其中y x ,的值由方
程⎩
⎨⎧=--=-b y x py k x px 给出。

例7。

（2007年天津文科)在数列}{n a 中,1a =2，1n a +=431n a n -+。

(I )求数列}{n a 的通项n a 。

解：由 1341+-=+n a a n n 得 )(4)1(1n a n a n n -=+-+ 又 111=-a
所以数列}{n a n -是首项为1，公比为4的等比数列
所以 14-=-n n n a ,即 n a n n +=-14.
（3）当递推公式为n n n c pa a +=+1（其中c p ,均为常数，且0≠pc ）时，通
常解法是把原递推公式转化为
c c a c p c a n n n n 111+⋅=++。

①若c p =,则
c
c a c a n n n n 1
11=-++，此时数列}{n
n c a 是以c a 1为首项,以c 1为公差的等差数列，则c
n c a c a n n 1)1(1⋅-+=，即1
1)1(--+=n n c a n a 。

②若c p ≠，则可化为
)1
)((11p
c t t c a c p t c a n n n n -=-=-++其中形式求解。

例8。

已知数列{n a }中,1a =1,1n a +=23n n a +，求数列的通项公式。

解：由 n n n a a 321+=+
得 )3(2311n n n n a a -=-++
所以数列{3}n n a -是首项为113a -=2-，2=q 的等比数列 所以 3n n a -=122n --⨯ ， 即 n a =32n n -
（4）当递推公式为11()n n n a ba b f n ++=++)0(≠b 时，通常解法是把原递推公
式转化为111)(++++=n n n n n b n f b a b a (其中∑-==+1
11)
(n i i i b
i f 可求和）,从而可由累加法求解。

例9。

（2007年天津理科）在数列｛n a ｝中，1a =2，且
11(2)2n n n n a a λλλ++=++- （n N *∈）其中λ＞0。

()I 求数列{n a ｝的通项公式。

解：由 11(2)2n n n n a a λλλ++=++-
得 1
1
11221n n
n n
n n n n a a λλλλ
++++=++-
即
1
11
221
n n
n n n n
a a λλ+++--=
+
所以2{
}n
n n
a λ
-是首项为
12
0a λ
-=,公差1=d 的等差数列
所以
20(1)1n
n n
a n n λ
-=+-=-， 即 (1)2n n n a n λ=-+。

（5)当递推公式为1n
n n pa a qa s
+=
+（s q p ,,为常数，且0≠pqs ）时，通常两边同时取倒数,把原递推公式转化为p
q
pa s a n n +=+11。

①若s p =,则}1{n a 是以11a 为
首项，以p q 为公差的等差数列，则p q n a a n ⋅-+=)1(111，即1
1)
1(pa n q a p a n -+=。

②
若s p ≠，则可转化为)1
(11t a p s t a n
n -=-+(其中s p q t -=
)形式求解。

例10.(2006年江西理科）已知数列{n a }满足132a =
，且1
1321
n n n na a a n --=+-（2n ≥n N *∈）
()I 求数列{n a ｝的通项公式.
解：原式可变形为 112(1)3n n n n a a n a na --+-= 两边同除以31n n a a +得
1112
33
n n n n a a --=+ …… ⑴ 构造新数列{
}n
n
a λ+，使其成为公比=q 13的等比数列
即
1
11
()3n n n n a a λλ--+=+
整理得
112
33
n n n n a a λ--=- 满足⑴式使2233λ-= ∴1λ=-
∴数列{
1}n n a -是首项为111
13
a -=-，q= 13的等比数列
∴11111()()333
n n
n n a --=-=- ∴331n n n n a ⋅=-。

（6）当递推公式为1n n n sa t
a pa q
++=
+（ ,,,,s t p q 为常数，且0≠stpq )时可用方程sx t
x px q +=
+解得两根12,x x ，然后利用111n
n n sa t a x x pa q
++-=-+或
122n n n sa t
a x x pa q
++-=
-+，直接整理转化求解，也可将两式作比进行求解，此种方
法称为“特征根法”或“不动点法”.
例11。

设数列}{n a 满足7
24
5,211++=
=+n n n a a a a ，求}{n a 的通项公式.
解:由 7
24
51++=
+n n n a a a
得 7
2524
7)52(7247)52(72451++++
+=++++=+++=++n n n n n n
n a t t a t a t a t t a a t a 令 5
24
7++=
t t t , 解之得21或-=t . 代入上式得 7213
11+-=-+n n n a a a , 7
22
921++=++n n n a a a
两式相除得
2
1
312111+-⋅
=+-++n n n n a a a a 所以数列}21{
+-n n a a 是以4
1
2111=+-a a 为首项，31为公比的等比数列
所以 1
)3
1(4121-⋅=+-n n n a a , 解得 13423411-⋅+⋅=
--n n n a . （7)当递推公式为r
n n pa a =+1（其中r p ,为常数）时.①若0,0>>n a p ，可用对数法，即等式两边同时取对数,转化为p a r a n n lg lg lg 1+=+形式求解。

②若
0<p ，可用迭代法求解.
例12。

（2005年江西理科）已知数列}{n a 的各项都是正数,且满足10=a ，
))(4(2
1
1N n a a a n n n ∈-=
+. (I ）证明N n a a n n ∈<<+,21； (II ）求数列}{n a 的通项公式n a .
解：（I ）略;
（II ）因为 ]4)2([2
1
)4(2121+--=-=
+n n n n a a a a 所以 21)2()2(2--=-+n n a a 令 2-=n n a b ，
则 n n b b b b n n n 202212
22211)
2
1()21(2121-++---==--=-= 又 1200-=-=a b
所以 12)21(--=n n b ， 即 12)2
1(22--=+=n
n n b a 。

（8）当递推公式为2n a +=p 1n a +q +n a (q p ,均为常数）（又称二阶递归)时，将原递推公式2n a +=p 1n a +q +n a 转化为2n a +—α1n a +＝β（1n a +—αn a ）.其中α、
β由p
q
αβαβ+=⎧⎨=-⎩解出，由此可得到数列{1n a +-αn a }是等比数列。

例13。

（2015年广东文科）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．
已知11a =，232a =
，35
4
a =,且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．
()1求4a 的值；
()2证明：112n n a a +⎧
⎫
-⎨⎬⎩
⎭
为等比数列；
()3求数列{}n a 的通项公式．
解：(1）略；
(2）因为 )2(854112≥+=+-++n S S S S n n n n
所以 )2(44441112≥-=-+-+-++n S S S S S S n n n n n n 即 )2(4412≥=+++n a a a n n n 因为 21344a a a =+ 所以 1244++=+n n n a a a
因为 21)2(22242424242
1211111111211
2=--=---=--=--+++++++++++n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a
所以数列}21{1n n a a -+是以1
2
1
12=-a a 为首项，以21为公比的等比数列.
（3）由（2）知11)2
1(21-+=-n n n a a ，即 4)2
1()21(11=-++n n
n n a a 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a )21(是以2)2
1(1
=a 为首项，4为公差的等差数列。

所以 24)1(42)2
1(-=-+=n n a n n
即 1)21
)(12(--=n n n a .
（9）当递推公式为0),(=n n a S f 型时，通常解法是把n S 转化为n a 或把n a 转化为n S ，从而得到关于n a 或n S 的递推公式,再用以上方法求解.
例14.（2015年新课标2理科）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，
11n n n a S S ++=，则n S =________。

解：由已知得 111n n n n n a S S S S +++=-=⋅, 两边同时除以1n n S S +⋅，得
111
1n n
S S +=--， 故数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭是以1-为首项,1-为公差的等差数列,
则
1
1(1)n
S n n =---=-， 所以1n S n =-．
总之,求数列通项公式的方法并不满足以上所述，对于同一问题的求解也不
仅只有一种方法，只有在平时学习与探究过程中不断地体会与总结，将知识与方法学活，才可以做到游刃有余。