2019-2020学年高中数学苏教版必修5同步训练：第一章 章末检测 Word版含答案

第一章 章末检测
1、在ABC △中,60A =︒,且最大边长和最小边长是方程27110x x -+=的两个根,则第三边的长为( ) A.2
B.3
C.4
D.5
2、在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()
()22m ,,tan ,tan a b n A B ==,且//m n ,那么
ABC ∆一定是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰或直角三角形 3、根据下列情况,判断三角形解的情况,其中正确的是( ) A. 8a =,16b =,30A =︒,有两解 B. 18b =,20c =,60B =,有一解 C. 5a =,2c =,90A =︒,无解 D. 30a =,25b =,150A =,有一解
4、如图所示,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为
30,则此山的高度CD =______m .
A. 100
B.
C.
D.
5、在ABC ∆中,若a=
b,A=2B 2
,则cosB 等于( )
A.
B.
4
C.
5
D.
6
6、在ABC ∆中, 45B =︒,60C =︒,1c =,则最短边的边长等于( )
A.
B.
C.
12
D.
7、在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ,又
1
2
asin Bcos C csin Bcos A b +=,且a b >,则B =( )
A. 6π
B. 3π
C. 23π
D. 56
π
8、已知三角形的两边之差是2,这两边夹角的余弦值为3
5
,且这个三角形的面积为14,那么
这两边的长分别为( )
A.3,5
B.4,6
C.6,8
D.5,7
9、设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若2, a c cos A ===,且b c <,则b =( ) A. 3
B. C. 2
D.
10、在ABC ∆中, 15,20,30a b A ===︒,则cosB =( )
A. B.
23
C. -
D.
11、一艘船以20km/h 的速度向正北航行,船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向上,1h 后,船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75︒的方向上,这时船与灯塔的距离BC 等于_____km . 12、在ABC ∆中,内角
A ,
B ,
C 的对边分别是a ,b ,c ,若
22a b -=,sin C B =,则A 等于__________.
13、已知角,,A B C 是三角形ABC 的内角,,,a b c 分别是其对边长,向量
223sin ,cos ,cos ,2,222A A A m n m n ⎛⎫⎛⎫
==-⊥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
且2, 2a cos B ==
则b =__________ 14、在ABC ∆中,已知 AB AC tan A ⋅=,当π
6
A =
时ABC ∆的面积为________. 15、如图所示,已知O 的半径是1,点C 在直径AB 的延长线上, 1BC =,点P 是O 半圆上的一个动点,以PC 为边作等边三角形PCD ,且点D 与圆心分别在PC 的两侧.
(1)若POB θ∠=,试将四边形OPDC 的面积y 表示成关于θ的函数; (2)求四边形OPDC 面积的最大值.
答案以及解析
1答案及解析： 答案：C
解析：在ABC △中,60A =︒,所以,B C 不可能均大于A 或均小于A ,一角比A 大,一角比A 小, 故,b c 分别是最大边长和最小边长且为方程27110x x -+=的两个根,7,11b c bc +==, 第三边的长()2
2222cos 216a b c bc A b c bc bc =+-=+--=,4a =.
2答案及解析： 答案：D 解析：
由//m n 得: 2
2
a tan B
b tan A =,结合正弦定理有=22sin B tanB sin A tanA ,所以=
sinB cosA
sinA cosB
, 所以22sin A sin B =,所以22A B =或22A B π+=. 所以A B =或2
A B π
+=,即ABC ∆是等腰或直角三角形.
3答案及解析： 答案：D
解析：A. 8,16,30a b A ===︒,则90B =,有一解; B. 18,20,60b c B ===︒,由正弦定理得
1820
,sin sin sin 60sin b c B C C
==
︒
解得sin C =
,因为b c <,有两解; C. 5,2,90a c A ===︒,有一解;
D. 30,25,150a b A ===︒,有一解是正确的.故选D. 考点:三角形解得个数的判断.
4答案及解析： 答案：B 解析：
在ABC ∆中,30,18075105BAC ABC ∠=︒∠=︒-︒=︒,故45ACB ∠=︒.
又600AB m =,由
=
︒︒
600BC
sin45sin30得)BC m =.
在Rt BCD ∆中, )30CD BC tan m =⋅︒==.
5答案及解析： 答案：B 解析：
由正弦定理得
sin sin a A
b B =
,所以a=2可化为=sinA sinB 2.
又2A B =,所以
=sin2B sinB ,
所以cosB =
6答案及解析： 答案：A
解析：∵45,60,1B C c =︒=︒=,
∴由正弦定理
sin sin b c
B C
=
得sin sin 45sin sin 60c B b C ︒===︒故选A. 考点:本题考查了正弦定理的运用
点评:熟练掌握正弦定理及其变形是解决此类问题的关键,属基础题
7答案及解析： 答案：A 解析： 由正弦定理得,
1
2
sinAsinBcosC sinCsinBcosA sinB +=
, 即()1122
sinAcosC cosAsinC sin A C +=⇒+=, 亦即1sin 2B =,又a b >,所以.6
B π
=
8答案及解析： 答案：D
解析：设三角形的两边为,a b ,夹角为α,由3cos 5α=可知, sin α=4
5
,由三角形面积公式,得
1142ab ⋅=4
5
,得
35ab =,观察选项知选D.
9答案及解析： 答案：C
解析：由2222?a b c bccos A =+-,得24126b b =+-,解得2b =或4.又b c <,所以
2b =.
10答案及解析： 答案：A 解析： 因为
sin sin a b A B =,所以=
︒1520
sin30sinB
,
解得sinB =
2
3
.因为b a >,所以B A >,故B 有两解,
所以 cos B =
11答案及解析：
答案：解析：如图所示,易知30B ∠=︒,则
sin 45sin 30BC AC
=
︒︒
,
所以)20sin 45km 1sin 3022
AC BC =
⨯︒=⨯=︒
.
12答案及解析： 答案：30°
解析：由sin C B =,
得c =,
把它代入2
2
a b -=得2226a b b -=, 即227a b =.
由余弦定理,
得2222222cos 2b c a A bc +-====. 又∵0180A ︒<<︒, ∴30A =︒.
13答案及解析：
解析：
∵0m n ⋅=
∴220,222
A A cos co A
s -=∵ 0,cos ≠
30,60,2A tan
A ∴=∴=︒∴=︒
∵,sin sin sin 3a b B A B ===
∴2sin sin a B
b A
=
==
14答案及解析： 答案：
16
解析：
已知π6A =,由题意得c s 23
o AB AC tan AB AC ππ⋅=⋅=66, 所以ABC ∆的面积1121sin 1
22326
S AB AC π=⋅⋅=⨯⨯=
6
15答案及解析：
答案：(1) 2sin
ππ3y ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
(2) 2+
解析：(1)在POC △中,由余弦定理得:
2222cos 54cos PC OP OC
OP OC θθ=+-⋅=-, ∴ 112sin 4cos )2OPC PCD
y S S θθ=+=⨯⨯-△△
2sin ππ3⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
(2)当2π
π3θ-
=,即5π
6
θ=
时
, max 2y =. 即四边形OPDC 面积的最大值为2.。