2018届高三好教育云平台5月份内部特供卷高三理科数学(一)(解析版附后)

2018届高三好教育云平台5月份内部特供卷高三理科数学（一）
（解析版附后）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知复数（为虚数单位），则（ ） A ．3
B ．2 C
D
2．已知集合，，则（ ） A ．
B ．
C ．
D ． 3．已知椭圆（）经过点，，则椭圆的离心率为（ ） A ．
B
C ．
D ．
4．已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是（ ） A ．，
B ．，
C ．，，
D ．，，
5．若为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知展开式中的系数为，则展开式中所有项的二项式系数之和为（ ） A ．64
B ．32
C ．
D ．
7．已知非零实数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
8．运行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框内的条件应该是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
2i
1i
z =+i z ={}220A x x x =∈-≥R {}2210B x x x =∈--=R ()A B =R I ð∅12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
{}11 12⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
，22
22:1y x E a b +=0a b >>)
A
()0 3B ，
E 2
3
4959
111 2 3 23α⎧
⎫∈-⎨⎬⎩⎭
，，
，，()f x x α=()0 +∞，α1-31
331-1
3313
1
23l m ，αl α⊥//m αm l ⊥()()*12n
x n -∈N 3x 80-11-a b a a b b >33a b >22a b >11
a b
<112
2
log log a b <s 10-3?k <4?k <5?k <6?k <
9．若正项等比数列满足，则的值是（ ） A
B ．
C ．
D ．
10．如图，给
7
条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供
选择，则不同的涂色方法种数有（ ）
A ．24
B ．48
C ．96
D ．120
11．我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍童．如图所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．12．已知函数有零点，，函数有零点，，且，
则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若实数，满足条件，则的最大值为___________．
{}n a ()2*12n n n a a n +=∈N 65a a --24016+16+()22f x x x a =---1x 2x ()2
(1)2g x x a x =-+-3x 4x 3142x x x x <<<a 924⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，9 04⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，()20-，
()1 +∞，
x y 10
10330x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
2z x y =-
14．已知，，，，当最小时，___________． 15．在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，且的面积等于，则___________．
16．设等差数列的公差为，前项的和为，若数列也是公差为的等差数列，则___________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数图象的对称轴方程； （2）将函数图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为．当时，求函数的值域．
18．（本小题满分12分）
2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行．4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行．为
了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：
（1（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取人参加年北京冬奥会志愿者宣传活动．
（i ）问男、女学生各选取了多少人？
（ii ）若从这人中随机选取人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的人中女生人数为，写出的分布列，并求． 附：，其中．
()
OA =u u r
()0
2OB =uu u r ，
AC t AB =uuu r uu u r
t ∈R OC uuu r t =ABC △A B C a b c 45A =︒2sin sin 2sin b B c C a A -=ABC
△3b ={}n a d n n S d =
n a ()1πcos cos 223f x x x x ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭()f x ()f x π4()g x π0 2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
()g x 1220221233X X ()E X ()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++n a b c d =+++
如图，在多面体中，平面平面，，，，． （1）求的长；
（2）已知，求点到平面的距离的最大值．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线（）的焦点为，以抛物线上一动点为圆心的圆经过点．若圆的面积最小值为． （1）求的值；
（2）当点的横坐标为且位于第一象限时，过作抛物线的两条弦，，且满足．若直线恰好与圆相切，求直线的方程．
ABCDE ABD ⊥ABC AB AC ⊥AE BD ⊥1
2
DE AC ∥＝
1AD BD ==AB 24AC ≤≤E BCD E
D
C
B
A
2:2C y px =0p >F M F M πp M 1M MA MB AMF BMF ∠=∠AB M AB
已知函数有两个极值点，（为自然对数的底数）． （1）求实数的取值范围； （2）求证：．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的方程为 ．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线及圆的极坐标方程；
（2）若直线与圆交于，两点，求的值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数． （1）解不等式；
（2）设函数的最小值为，实数满足，，，求证：
．
()21
e 2
x f x x ax =--1x 2x e a ()()122f x f x +>xOy
l 11x y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪
=⎪⎩
t C ()
()2
2
215x y -+-=O x l C l C A B cos AOB ∠()13f x x x =-+-()1f x x ≤+()f x c a b ，0a >0b >a b c +=22
111
a b a b +≥++
2018届高三好教育云平台5月份内部特供卷高三理科数学（一）
（解析版附后）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知复数（为虚数单位），则（ ） A ．3 B ．2 C
D
【答案】D
2．已知集合，，则（ ） A ． B ．
C ．
D ． 【答案】C
3．已知椭圆（）经过点，，则椭圆的离心率为（ ） A ．
B
C ．
D ．
【答案】A
4．已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是（ ） A ．， B ．，
C ．，，
D ．，，
【答案】B
5．若为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
6．已知展开式中的系数为，则展开式中所有项的二项式系数之和为（ ）
A ．64
B ．32
C ．
D ．
【答案】B
7．已知非零实数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
2i
1i
z =+i z ={}220A x x x =∈-≥R {}2210B x x x =∈--=R ()A B =R I ð∅12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
{}11 12⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
，22
22:1y x E a b +=0a b >>)
A
()0 3B ，
E 2
3
4959
111 2 3 23α⎧
⎫∈-⎨⎬⎩⎭
，，
，，()f x x α=()0 +∞，α1-31
331-1
3313
1
23l m ，αl α⊥//m αm l ⊥()()*12n
x n -∈N 3x 80-11-a b a a b b >
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
8．运行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框内的条件应该是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
9．若正项等比数列满足，则的值是（ ） A
B ．
C
．
D ．
【答案】
D
10．如图，给7条线段的
5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（
）
A ．24
B ．48
C ．96
D ．120
【答案】C
11．我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍童．如图所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．【答案】D
12．已知函数有零点，，函数有零点，，且，
33a b >22a b >11a b
<112
2
log log a b <s 10-3?k <4?k <5?k <6?k <{}n a ()2*12n n n a a n +=∈N 65a a --24016+16+()22f x x x a =---1x 2x ()2
(1)2g x x a x =-+-3x 4x 3142x x x x <<<
则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若实数，满足条件，则的最大值为___________．
【答案】4
14．已知，
，，，当最小时，___________． 【答案】3
4
15．在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，且的面积等于，则___________． 【答案】3
16．设等差数列的公差为，前项的和为，若数列也是公差为的等差数列，则___________． 【答案】1n a =-或
15
24n a n =
-
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数图象的对称轴方程； （2）将函数图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为．当时，求函数的值域．
【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）． a 924⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，9 04⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，()20-，
()1 +∞，
x y 10
10330x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
2z x y =
-()
OA =u u r
()0 2OB =uu u r ，AC t AB =uuu r uu u r t ∈R OC uuu r t =ABC △A B C a b c 45A =︒2sin sin 2sin b B c C a A -=ABC
△3b ={}n a d n n
S d =
n a (
)1πcos cos 223f x x x x ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭()f x ()f x π4()g x π0 2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
()g x ππ32k x =
+k ∈
Z 12⎡-⎢⎣⎦
(
)1
π1
1
πcos cos 22cos 2sin 223426f x x x x x x x ⎛
⎫
⎛
⎫
=--=-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
令，，解得．
∴函数图象的对称轴方程为，．…………………………5分 （2）易知．
∵，∴，∴， ∴， 即当时，函数的值域为．…………………………12分
18．（本小题满分12分）
2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行．4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行．为
了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看
（1（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取人参加年北京冬奥会志愿者宣传活动．
（i ）问男、女学生各选取了多少人？
（ii ）若从这人中随机选取人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的人中女生人数为，写出的分布列，并求． 附：，其中．
【答案】（1【解析】（1）因为，
所以有的把握认为，收看开幕式与性别有关．………………………5分 （2）（i ）根据分层抽样方法得，男生人，女生人， 所以选取的人中，男生有人，女生有人．………………………8分
ππ
2π62
x k -
=+k ∈Z ππ32k x =+()f x ππ32
k x =+k
∈Z ()12πsin 223g x x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
π0 2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，2π2ππ2 333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，2πsin 213x ⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝
⎭⎣⎦
()1
2π1
sin 2232g x x ⎡⎛
⎫
=-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦
π0 2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，()g x 12⎡-⎢⎣⎦
1220221233X X ()E X ()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++n a b c d =+++()2
2
120602020207.5 6.63580408040
K ⨯⨯-⨯=
=>⨯⨯⨯99%3
1294
⨯=11234
⨯=1293
（ii ）由题意可知，的可能取值有，，，．
，，
，，
∴的分布列是：
∴．……………………12分 19．（本小题满分12分）
如图，在多面体中，平面平面，，，，． （1）求的长；
（2）已知，求点到平面的距离的最大值．
【答案】（1；（2． 【解析】（1）∵平面平面，且交线为，而，∴平面． 又∵，∴平面，从而． 注意到，且，∴平面，于是．
而，∴．………………………5分 （2）∵，取
的中点为，∴． 又∵平面平面，∴平面．
过作直线，以点为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
X 0123(
)3093
312C C 840220C P X ===()2193312C C 1081220C P X ===()1293
312C C 272220C P X ===()03
93312
C C 13220C P X ===X ()8401232202202202204
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=ABCDE ABD ⊥ABC AB AC ⊥AE BD ⊥1
2
DE AC ∥＝
1AD BD ==AB 24AC ≤≤E BCD E
D
C
B
A
ABD ⊥ABC AB AC AB ⊥AC ⊥ABD DE AC ∥
DE ⊥ABD DE BD ⊥BD AE ⊥DE AE E =BD ⊥ADE BD AD ⊥1AD BD ==AB AD BD =AB O DO AB ⊥ABD ⊥ABC DO ⊥ABC O OY AC ∥O OB OY OD x y z O xyz -
记，则，，，，，， ，． 令平面的一个法向量为．
由得．令，得． 又∵，∴点到平面的距离．
∵，∴当时，取得最大值，．………………………12分 20．（本小题满分12分）
已知抛物线（）的焦点为，以抛物线上一动点为圆心的圆经过点．若圆的面积最小值为． （1）求的值；
（2）当点的横坐标为且位于第一象限时，过作抛物线的两条弦，，且满足．若直线恰好与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由抛物线的性质知，当圆心位于抛物线的顶点时，圆的面积最小，
此时圆的半径为，∴
，解得．……………………4分 （2）依题意得，点的坐标为，圆的半径为． 由知，轴． 由知，弦，所在直线的倾斜角互补，∴． 设（），则直线的方程为，∴， 代入抛物线的方程得，，∴，
∴，． 将换成，得，
2AC a =12a ≤
≤ 0 0A ⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭
0 0B ⎫⎪⎪⎝⎭
2 0C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，0 0D ⎛ ⎝⎭
0E a ⎛- ⎝⎭
，
()
0BC a =
， 0BD ⎛=- ⎝⎭
BCD ()x y z =，，n 00BC BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪
⎩
n
n 20
0ay x ⎧+=⎪⎨
=⎪⎩x
=1a =，n ()0 0DE a =-，
，E
BCD ||
DE d ⋅=n
n 12a ≤≤2
a =
d max d =
2:2C y px =0p >F M F M πp M 1M MA MB AMF BMF ∠=
∠AB M AB 23y x =-+-M M 2p OF =2
ππ4
P =2p =M ()12，M 2()10F ，
MF x ⊥AMF BMF ∠=∠MA MB 0MA MB k k +=MA k k =0k ≠MA ()12y k x =-+()1
21x y k
=
-+()21421y y k ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
24840y y k k -+-=42A y k +=
4
2A y k
=-k k -4
2B y k
=--
∴．
设直线的方程为，即． 由直线与圆
，解得．
经检验不符合要求，故舍去．
∴所求直线的方程为
．……………………12分 21．（本小题满分12分）
已知函数有两个极值点
，（为自然对数的底数）． （1）求实数的取值范围； （
2）求证：． 【答案】（1）；（2
）见解析．
【解析】（1）∵，∴．
设，则． 令，解得．
∴当时，；当时，． ∴．
当时，，∴函数单调递增，没有极值点；
当时，，且当时，；当时，．
∴当时，有两个零点．
不妨设，则．
∴当函数有两个极值点时，的取值范围为．…………………5分 （2）由（1）知，，为的两个实数根，，在上单调递减． 下面先证，只需证．
∵，得，∴．
设，，
则，∴在上单调递减， ∴，∴，∴．
2244
14
44
A B A B AB A B A B A B y y y y k x x y y y y --=
====--+--AB y x m =-+0x y m +-=AB M 2=3m =±3m =+3m =+AB 3y x =-+-()21
e 2
x f x x ax =--1x 2x e a ()()122f x f x +>()1 +∞，()21e 2
x f x x ax =--()e x
f x x a '=--()e x
g x x a =--()e 1x g x '=-()e 10x g x '=-=0x =() 0x ∈-∞，
()0g x '<()0x ∈+∞，()0g x '>()()min 01g x g a ==-1a ≤()()0g x f x '=≥()f x 1a >()010g a =-<x →-∞()g x →+∞x →+∞()g x →+∞1a >()()e x
g x f x x a '==--12x x ，12x x <120x x <<()f x a ()1 +∞，
1x 2x ()0g x =120x x <<()g x () 0-∞，
120x x <-<()()210g x g x -<=()2
22e 0x g x x a =--=2
2e x a x =-()222
222e e e 2x x x
g x x a x ---=+-=-+()e e 2x x
h x x -=-+0x >()1
e 20e
x x
h x '=-
-+<()h x ()0 +∞，()()00h x h <=()()220h x g x =-<120x x <-<
∵函数在上单调递减，∴． ∴要证，只需证，即证． 设函数，，则． 设，则， ∴在上单调递增，∴，即． ∴在上单调递增，∴． ∴当时，，则， ∴，∴．………………………12分
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的方程为 ．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线及圆的极坐标方程；
（2）若直线与圆交于，两点，求的值． 【答案】（1）见解析；（2
． 【解析】（1）由直线的参数方程得，其普通方程为
， ∴直线的极坐标方程为．
又∵圆的方程为， 将代入并化简得，
∴圆的极坐标方程为．……………………5分 （2）将直线：，
与圆：联立，得， 整理得，∴或． 不妨记点对应的极角为
，点对应的极角为，且． ()f x ()1 0x ，
()()12f x f x >-()()122f x f x +>()()222f x f x -+>2
2
2
2
e e 20x x x -+-->()2e e 2x x k x x -=+--()0x ∈+∞，
()e e 2x x k x x -'=--()()e e 2x x x k x x ϕ-'==--()e e 20x x x ϕ-'=+->()x ϕ()0+∞，
()()00x ϕϕ>=()0k x '>()k x ()0+∞，
()()00k x k >=()0x ∈+∞，
2e e 20x x x -+-->2
2
2
2e e 20x x x -+-->()()222f x f x -+>()()122f x f x +>xOy l 11x y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪
=⎪⎩
t C ()
()2
2
215x y -+-=O x l C l C A B cos AOB ∠l 11x y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪
=⎪⎩
2y x =+l sin cos 2ρθρθ=+C ()()2
2
215x y -+-=cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
4cos 2sin ρθθ=+C 4cos 2sin ρθθ=+l sin cos 2ρθρθ=+C 4cos 2sin ρθθ=+()()4cos 2sin sin cos 2θθθθ+-=2sin cos 3cos θθθ=π
2
θ=tan 3θ=A π
2
B θtan =3θ
于是．……………………10分
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数． （1）解不等式；
（2）设函数的最小值为，实数满足，，，求证：
． 【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1），即． ①当时，不等式可化为，． 又∵，∴；
②当时，不等式可化为，． 又∵，∴．
③当时，不等式可化为，． 又∵，∴．
综上所得，或，即． ∴原不等式的解集为．…………………5分 （2）由绝对值不等式性质得，， ∴，即．
令，，则，，，，，
，当且仅当时取等号， 原不等式得证．…………………10分
π
cos cos sin 2AOB θθ⎛⎫
∠=-= ⎪⎝⎭()13f x x x =-+-()1f x x ≤+()f x c a b ，0a >0b >a b c +=22
111a b a b +≥++[]1 5，()1f x x ≤+131x x x -+-≤+1x <421x x -≤+1x ≥1x <x ∈∅13x ≤≤21x ≤+1x ≥13x ≤≤13x ≤≤3x >241x x -≤+5x ≤3x >35x <≤13x ≤≤35x <≤15x ≤≤[]1 5，
()()13132x x x x -+-≥-+-=2c =2a b +=1a m +=1b n +=1m >1n >1a m =-1b n =-4m n +=()()22
222
111144
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