点集的拓扑空间关系

对于点集的拓扑空间关系的理解
1、点集拓扑的基本知识
所谓度量空间即为在抽象集合中引进了度量，设有任意元素（点）的集合R，对于集合的任意两点x，y确定了他们间的距离p（x，y）并满足如下度量空间的公理：（1）p（x，y）>0,当x≠y；p（x，y）=0
（2）p（x，y）= p（y，x）（对称公理）
（3）p（x，y）+ p（y，z）p（x，z）（三角形不等式）
则集合R就形成了空间度量。

所谓拓扑空间即为满足下列条件的元素（点）的集合X，对于R的每一元素（点）x选定了一个以x的子集为成员的非空组，这个子集叫做x的一个邻域，并且满足下列拓扑空间公理：
（1）x在它自己的每个邻域里；
（2）x的任意两个邻域的交集为x的一个领域；
（3）若Ｎ是ｘ的邻域，Ｕ为Ｘ的子集包含Ｎ，则Ｕ是ｘ的邻域；
（4）若N是x的邻域，并且若Ｎ°表示集合｛ｚ∈Ｎ｜Ｎ是ｚ的邻域｝，则Ｎ°是ｘ的邻域，
集合Ｎ°叫作Ｎ的内部。

邻近的集合理论使得邻近的度量概念一般化，由Ｒ的某一度量ｄ得到的一个关于Ｒ的拓扑称为有ｄ定义的度量拓扑。

由此可见，每一个度量空间也是拓扑空间，但是相反的提法却是不准确的，即存在这样的拓扑空间，它不可能使成为度量空间。

拓扑空间Ｘ的子集Ｎ的余是一个集合｛ｘ｜ｘ∈Ｘ且ｘ N｝，表示为X|N。

点X称为集合N的边界点，如果它既不是集合N的内部点又不是它的余集X|N的内部点，所有边界点的集合成为集合N的边界，记为аN。

设X与Y是拓扑空间，映射f：X Y为连续，假如对于X的每点x，以及f(x)在Y内的任意邻域N，集合f-1 (N)为x在X内的邻域，则映射f：X Y叫作是一个同胚。

若此映射为一对一之连续漫射并且有连续的逆映射，则称X同胚于Y，或X拓扑等价与Y。

在同胚下拓扑空间的特性得以保持，即一个特性为某个拓扑空间所具有时它也为每一个同胚的空间所具有，这种特性就称为拓扑不变量。

拓扑关系即是拓扑变换下的拓扑不变量。

2、空间关系的描述
定义A，B是空间集合Ｘ的子集，集合Ａ，Ｂ的拓扑空间关系被描述成了四种模型аＡ∩аＢ，Ａ°∩B°，аＡ∩B°，Ａ°∩аB。

其中аＡ和аB表示边界点，Ａ°和B°表示内部点，他们的交集取值有空和非空（Φ和-Φ）如图则有24十六种空间关系。

r0则表示集合A和B相离，r1表示A和B相邻，r2表示A和B相等。

……r14表示A和B 覆盖，但是边界不相交；r15则是A和B有部分区域覆盖，边界相交。

对于实体的模型可以从下表中清晰看出：
然而对于四元组空间关系对于点、线、面的描述不够全面，会产生一种关系有多种情况出现，如线与线，线与面。

这是就需要引入空间实体的补，表示为-A。

这样空间关系Ａ与Ｂ就有９元：
这样根据排列组合就有２９＝５１２种可能的取值。

当让，绝大多数空间关系没有实际意义。