初中数学压轴题之函数与几何

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中考数学精讲篇中考压轴题重难点突破七二次函数与几何综合题类型四

由勾股定理得 BC2＝22＋32＝13，CG2＝1＋(2－n)2，BG2＝4＋n2，
①若∠BCG＝90°，则 BC2＋CG2＝BG2，
即
13＋1＋(2－n)2＝4＋n2，解得
7 n＝2，此时点
G
的坐标为1，27.
②若∠CBG＝90°，则 CB2＋BG2＝CG2，
即 13＋4＋n2＝1＋(2－n)2，解得 n＝－3，此时点 G 的坐标为(1，－3)． ③若∠CGB＝90°，则 CG2＋BG2＝BC2，
即 1＋(2－n)2＋4＋n2＝13，解得 n＝1＋ 3或 n＝1－ 3，此时点 G 的坐标为(1，1＋ 3)或(1，1－ 3)．
7 综上所述，点 G 的坐标为1，2或(1，－3)或(1，1＋ 3)或(1，1－ 3)．
【思路点拨】要使以 B，C，G，H 为顶点的四边形是矩形，只需△BCG 是直角三角形即可，可分为①∠BCG＝90°；②∠CBG＝90°；③∠CGB＝90°三种情况，分别利用勾股定理列方程即可求解．
类型四：二次函数与特殊四边形问题
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋2(a≠0)与 x 轴交于 A(－1，0)，B(3，0)两点，与 y 轴交于点 C. (1)求该抛物线的解析式；
解：由题意知抛物线经过 A(－1，0)，B(3，0)，
a－b＋2＝0，
a＝－23，
∴9a＋3b＋2＝0，解得b＝43.
等及勾股定理得：AQ2＝CQ2，
∴12＋q2＝(2－q)2，解得
3 q＝4.
由中点坐标公式得－1＋0＝0＋x，0＋2＝q＋y，
∴x＝－1，y＝54，即 I－1，45.
②若 AC 是菱形的边，由菱形性质得：QI∥AC，QI＝AC. ∵当点 A 向右平移 1 个单位，向上平移 2 个单位得到点 C. ∴点 I(或 Q)向右平移 1 个单位，向上平移 2 个单位得到点 Q(或 I)，即 x＋1＝0，y＋2＝q 或 0＋1＝x，q＋2＝y， ∴x＝－1 或 x＝1.

解答题压轴题二次函数与几何图形综合(解析版)

周日解答题压轴题二次函数与几何图形综合一模块一2022中考真题集训类型一二次函数中的最值问题(1)自变量范围与最值问题1.(2022•绍兴)已知函数y =-x 2+bx +c (b ，c 为常数)的图象经过点(0，-3)，(-6，-3)．(1)求b ，c 的值．(2)当-4≤x ≤0时，求y 的最大值．(3)当m ≤x ≤0时，若y 的最大值与最小值之和为2，求m 的值．思路引领：(1)将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；(2)根据x 的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y 的最大值即可；(3)根据对称轴为x =-3，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m 的取值范围即可．解：(1)把(0，-3)，(-6，-3)代入y =-x 2+bx +c ，得b =-6，c =-3．(2)∵y =-x 2-6x -3=-(x +3)2+6，又∵-4≤x ≤0，∴当x =-3时，y 有最大值为6．(3)①当-3<m ≤0时，当x =0时，y 有最小值为-3，当x =m 时，y 有最大值为-m 2-6m -3，∴-m 2-6m -3+(-3)=2，∴m =-2或m =-4(舍去)．②当m ≤-3时，当x =-3时y 有最大值为6，∵y 的最大值与最小值之和为2，∴y 最小值为-4，∴-(m +3)2+6=-4，∴m =-3-10或m =-3+10(舍去)．综上所述，m =-2或-3-10．总结提升：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，正确分类讨论得出m 的取值范围是解题关键．2.(2022•安顺)在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如：点(1，1)，12，12 ，(-2，-2)，⋯⋯都是和谐点．(1)判断函数y =2x +1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；(2)若二次函数y =ax 2+6x +c (a ≠0)的图象上有且只有一个和谐点52，52．①求a ，c 的值；周日②若1≤x ≤m 时，函数y =ax 2+6x +c +14(a ≠0)的最小值为-1，最大值为3，求实数m 的取值范围．思路引领：(1)设函数y =2x +1的和谐点为(x ，x )，可得2x +1=x ，求解即可；(2)将点52，52代入y =ax 2+6x +c ，再由ax 2+6x +c =x 有且只有一个根，Δ=25-4ac =0，两个方程联立即可求a 、c 的值；②由①可知y =-x 2+6x -6=-(x -3)2+3，当x =1时，y =-1，当x =3时，y =3，当x =5时，y =-1，则3≤m ≤5时满足题意．解：(1)存在和谐点，理由如下，设函数y =2x +1的和谐点为(x ，x )，∴2x +1=x ，解得x =-1，∴和谐点为(-1，-1)；(2)①∵点52，52是二次函数y =ax 2+6x +c (a ≠0)的和谐点，∴52=254a +15+c ，∴c =-254a -252，∵二次函数y =ax 2+6x +c (a ≠0)的图象上有且只有一个和谐点，∴ax 2+6x +c =x 有且只有一个根，∴Δ=25-4ac =0，∴a =-1，c =-254；②由①可知y =-x 2+6x -6=-(x -3)2+3，∴抛物线的对称轴为直线x =3，当x =1时，y =-1，当x =3时，y =3，当x =5时，y =-1，∵函数的最大值为3，最小值为-1；当3≤m ≤5时，函数的最大值为3，最小值为-1．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合解题是关键．(2)胡不归问题3.(2022•淮安)如图(1)，二次函数y =-x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点B 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，3)，直线l 经过B 、C 两点．(1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；(2)点P 为直线l 上的一点，过点P 作x 轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M ，再过点M 作y 轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N ，当PM =12MN 时，求点P 的横坐标；(3)如图(2)，点C 关于x 轴的对称点为点D ，点P 为线段BC 上的一个动点，连接AP ，点Q 为线段AP 上一点，且AQ =3PQ ，连接DQ ，当3AP +4DQ 的值最小时，直接写出DQ 的长．周日思路引领：(1)用待定系数法求函数的解析式即可；(2)设P(t，-t+3)，则M(t，-t2+2t+3)，N(2-t，-t2+2t+3)，则PM=|t2-3t|，MN=|2-2t|，由题意可得方程|t2-3t|=12|2-2t|，求解方程即可；(3)由题意可知Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由QG∥BC，求出点G(2，0)，作A点关于GQ的对称点A'，连接A'D与AP交于点Q，则3AP+4DQ=4DQ+34AP=4 (DQ+AQ)≥4A'D，利用对称性和∠OBC=45°，求出A'(2，3)，求出直线DA'的解析式和直线QG的解析式，联立方程组y=-x+2y=3x-3，可求点Q54，34，再求DQ=5104．解：(1)将点B(3，0)，C(0，3)代入y=-x2+bx+c，∴-9+3b+c=0c=3，解得b=2c=3，∴y=-x2+2x+3，∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴顶点坐标(1，4)；(2)设直线BC的解析式为y=kx+b，∴3k+b=0b=3，解得k=-1b=3，∴y=-x+3，设P(t，-t+3)，则M(t，-t2+2t+3)，N(2-t，-t2+2t+3)，∴PM=|t2-3t|，MN=|2-2t|，∵PM=12MN，∴|t2-3t|=12|2-2t|，解得t=1+2或t=1-2或t=2+3或t=2-3，∴P点横坐标为1+2或1-2或2+3或2-3；(3)∵C(0，3)，D点与C点关于x轴对称，∴D(0，-3)，令y=0，则-x2+2x+3=0，解得x=-1或x=3，周日∴A (-1，0)，∴AB =4，∵AQ =3PQ ，∴Q 点在平行于BC 的线段上，设此线段与x 轴的交点为G ，∴QG ∥BC ，∴AQ AP =AG BA ，∴34=AG 4，∴AG =3，∴G (2，0)，∵OB =OC ，∴∠OBC =45°，作A 点关于GQ 的对称点A '，连接A 'D 与AP 交于点Q ，∵AQ =A 'Q ，∴AQ +DQ =A 'Q +DQ ≥A 'D ，∴3AP +4DQ =4DQ +34AP =4(DQ +AQ )≥4A 'D ，∵∠QGA =∠CBO =45°，AA '⊥QG ，∴∠A 'AG =45°，∵AG =A 'G ，∴∠AA 'G =45°，∴∠AGA '=90°，∴A '(2，3)，设直线DA '的解析式为y =kx +b ，∴b =-32k +b =3，解得k =3b =-3 ，∴y =3x -3，同理可求直线QG 的解析式为y =-x +2，联立方程组y =-x +2y =3x -3 ，解得x =54y =34，∴Q 54，34 ，∴DQ =5104．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．4.(2022•梧州)如图，在平面直角坐标系中，直线y =-43x -4分别与x ，y 轴交于点A ，B ，抛物线y =518x 2+bx +c 恰好经过这两点．周日(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C 的坐标是(0，6)，将△ACO 绕着点C 逆时针旋转90°得到△ECF ，点A 的对应点是点E ．①写出点E 的坐标，并判断点E 是否在此抛物线上；②若点P 是y 轴上的任一点，求35BP +EP 取最小值时，点P 的坐标．思路引领：(1)根据直线解析式可得点A 、B 的坐标，代入二次函数解析式，解方程即可；(2)①由旋转的性质可得E (6，3)，当x =6时，y =518×62-12×6-4=3，可知点E 在抛物线上；②过点E 作EH ⊥AB ，交y 轴于P ，垂足为H ，sin ∠ABO =AO AB=HP BP =35，则HP =35BP ，得35BP +EP =HP +PE ，可知HP +PE 的最小值为EH 的长，从而解决问题．解：(1)∵直线y =-43x -4分别与x ，y 轴交于点A ，B ，∴当x =0时，y =-4；当y =0时，x =-3，∴A (-3，0)，B (0，-4)，∵抛物线y =518x 2+bx +c 恰好经过这两点．∴518×(-3)2-3b +c =0c =-4，解得b =-12c =-4，∴y =518x 2-12x -4；(2)①∵将△ACO 绕着点C 逆时针旋转90°得到△ECF ，∴∠OCF =90°，CF =CO =6，EF =AO =3，EF ∥y 轴，∴E (6，3)，当x =6时，y =518×62-12×6-4=3，∴点E 在抛物线上；②过点E 作EH ⊥AB ，交y 轴于P ，垂足为H ，周日∵A(-3，0)，B(0，-4)，∴OA=3，OB=4，∴AB=5，∵sin∠ABO=AOAB =HPBP=35，∴HP=35BP，∴35BP+EP=HP+PE，∴当E，P，H三点共线时，HP+PE有最小值，最小值为EH的长，作EG⊥y轴于G，∵∠GEP=∠ABO，∴tan∠GEP=tan∠ABO，∴PG EG =AO BO，∴PG6=34，∴PG=92，∴OP=92-3=32，∴P0，-32．总结提升：本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将35BP转化为HP的长是解题的关键．5.(2022•济南)抛物线y=ax2+114x-6与x轴交于A(t，0)，B(8，0)两点，与y轴交于点C，直线y=kx-6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的表达式和t，k的值；(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+12PQ的最大值．思路引领：(1)用待定系数法求函数的解析式即可求解；周日(2)作PM ⊥x 轴交于M ，可求PM =14m 2-114m +6，AM =m -3，通过证明△COA ∽△AMP ，利用OA OC =PMAM，求m 的值即可求P 点坐标；(3)作PN ⊥x 轴交BC 于N ，过点N 作NE ⊥y 轴交于E ，通过证明△PQN ∽△BOC ，求出QN =35PN ，PQ =45PN ，再由△CNE ∽△CBO ，求出CN =54EN =54m ，则CQ +12PQ =CN +PN =-14m -132 2+16916，即可求解．解：(1)将B (8，0)代入y =ax 2+114x -6，∴64a +22-6=0，∴a =-14，∴y =-14x 2+114x -6，当y =0时，-14t 2+114t -6=0，解得t =3或t =8(舍)，∴t =3，∵B (8，0)在直线y =kx -6上，∴8k -6=0，解得k =34；(2)作PM ⊥x 轴交于M ，∵P 点横坐标为m ，∴P m ，-14m 2+114m -6 ，∴PM =14m 2-114m +6，AM =m -3，在Rt △COA 和Rt △AMP 中，∵∠OAC +∠PAM =90°，∠APM +∠PAM =90°，∴∠OAC =∠APM ，∴△COA ∽△AMP ，∴OA OC =PM AM，即OA •MA =CO •PM ，3(m -3)=614m 2-114m +6 ，解得m =3(舍)或m =10，∴P 10，-72；(3)作PN ⊥x 轴交BC 于N ，过点N 作NE ⊥y 轴交于E ，∴PN =-14m 2+114m -6-34m -6 =-14m 2+2m ，∵PN ⊥x 轴，∴PN ∥OC ，∴∠PNQ =∠OCB ，周日∴Rt△PQN∽Rt△BOC，∴PN BC =NQOC=PQOB，∵OB=8，OC=6，BC=10，∴QN=35PN，PQ=45PN，由△CNE∽△CBO，∴CN=54EN=54m，∴CQ+12PQ=CN+NQ+12PQ=CN+PN，∴CQ+12PQ=54m-14m2+2m=-14m2+134m=-14m-1322+16916，当m=132时，CQ+12PQ的最大值是16916．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．类型二二次函数中的面积问题1.(2022•内蒙古)如图，抛物线y=ax2+x+c经过B(3，0)，D-2，-52两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；(2)若点M在直线BC上方的抛物线上运动(与点B，C不重合)，求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；(请在图1中探索)(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．(请在图2中探索)思路引领：(1)用待定系数法求函数的解析式即可；(2)作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，求出直线BC的解析式，设M m，-12m2+m+32，则N m，-12m+32，可得S△MBC=12•MN•OB=-34m-322+2716，再求解即可；(3)设Q(0，t)，P m，-12m2+m+32，分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时；②当AQ为平行四边形的对角线时；③当AP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可．解：(1)将B(3，0)，D-2，-5 2代入y=ax2+x+c，周日∴9a +3+c =04a -2+c =-52，解得a =-12c =32 ，∴y =-12x 2+x +32，令x =0，则y =32，∴C 0，32；(2)作直线BC ，过M 点作MN ∥y 轴交BC 于点N ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴3k +b =0b =32，解得k =-12b =32 ，∴y =-12x +32设M m ，-12m 2+m +32 ，则N m ，-12m +32 ，∴MN =-12m 2+32m ，∴S △MBC =12•MN •OB =-34m -32 2+2716，当m =32时，△MBC 的面积有最大值2716，此时M 32，158；(3)令y =0，则-12x 2+x +32=0，解得x =3或x =-1，∴A (-1，0)，设Q (0，t )，P m ，-12m 2+m +32，①当AB 为平行四边形的对角线时，m =3-1=2，∴P 2，32；②当AQ 为平行四边形的对角线时，3+m =-1，解得m =-4，∴P -4，-212；③当AP 为平行四边形的对角线时，m -1=3，解得m =4，Y our Text07周日∴P 4，-52；综上所述：P 点坐标为2，32 或-4，-212 或4，-52．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．2.(2022•淄博)如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴相交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，顶点D(1，4)在直线l ：y =43x +t 上，动点P (m ，n )在x 轴上方的抛物线上．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥l 于点N ，当1<m <3时，求PM +PN 的最大值；(3)设直线AP ，BP 与抛物线的对称轴分别相交于点E ，F ，请探索以A ，F ，B ，G (G 是点E 关于x 轴的对称点)为顶点的四边形面积是否随着P 点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．思路引领：(1)利用顶点式求解，可得结论；(2)如图，设直线l 交x 轴于点T ，连接PT ，BD ，BD 交PM 于点J ．设P (m ，-m 2+2m +3)．四边形DTBP 的面积=△PDT 的面积+△PBT 的面积=12×DT ×PN +12×TB ×PM =52(PM +PN )，推出四边形DTBP 的面积最大时，PM +PN 的值最大，求出四边形DTBP 的面积的最大值，可得结论；(3)四边形AFBG 的面积不变．如图，设P (m ，-m 2+2m +3)，求出直线AP ，BP 的解析式，可得点E ，F 的坐标，求出FG 的长，可得结论．解：(1)∵抛物线的顶点D (1，4)，∴可以假设抛物线的解析式为y =-(x -1)2+4=-x 2+2x +3；(2)如图，设直线l 交x 轴于点T ，连接PT ，BD ，BD 交PM 于点J ．设P (m ，-m 2+2m +3)．点D (1，4)在直线l ：y =43x +t 上，∴4=43+t ，∴t =83，周日∴直线DT 的解析式为y =43x +83，令y =0，得到x =-2，∴T (-2，0)，∴OT =2，∵B (3，0)，∴OB =3，∴BT =5，∵DT =32+42=5，∴TD =TB ，∵PM ⊥BT ，PN ⊥DT ，∴四边形DTBP 的面积=△PDT 的面积+△PBT 的面积=12×DT ×PN +12×TB ×PM =52(PM +PN )，∴四边形DTBP 的面积最大时，PM +PN 的值最大，∵D (1，4)，B (3，0)，∴直线BD 的解析式为y =-2x +6，∴J (m ，-2m +6)，∴PJ =-m 2+4m -3，∵四边形DTBP 的面积=△DTB 的面积+△BDP 的面积=12×5×4+12×(-m 2+4m -3)×2=-m 2+4m +7=-(m -2)2+11∵-1<0，∴m =2时，四边形DTBP 的面积最大，最大值为11，∴PM +PN 的最大值=25×11=225；解法二：延长MP 交直线l 与点H ，易得直线l ：y =43x +83，∴H m ，43m +83设直线l 交x 轴于点C ，交y 轴于点L ，∴C (-2，0)，L 0，83，∴CL =103，∴sin ∠CLO =35，由LO ∥HM ，∴∠NHM =∠CLO ，∴sin ∠NHM =35，∴PH =43m +83+m 2-2m -3=m 2-23m -13，∴PN =35PH ，周日∴PM +PN =-m 2+2m +3+35m 2-23m -13 =-25(m -2)2+225，∵-25<0，∴m =2时，PM +PN 的值最小，最小值为225；(3)四边形AFBG 的面积不变．理由：如图，设P (m ，-m 2+2m +3)，∵A (-1，0)，B (3，0)，∴直线AP 的解析式为y =-(m -3)x -m +3，∴E (1，-2m +6)，∵E ，G 关于x 轴对称，∴G (1，2m -6)，∴直线PB 的解析式y =-(m +1)x +3(m +1)，∴F (1，2m +2)，∴GF =2m +2-(2m -6)=8，∴四边形AFBG 的面积=12×AB ×FG =12×4×8=16．∴四边形AFBG 的面积是定值．总结提升：本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．类型三二次函数与角度问题1.(2022•菏泽)如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于A (-2，0)、B (8，0)两点，与y 轴交于点C (0，4)，连接AC 、BC ．(1)求抛物线的表达式；(2)将△ABC 沿AC 所在直线折叠，得到△ADC ，点B 的对应点为D ，直接写出点D 的坐标，并求出四边形OADC 的面积；(3)点P 是抛物线上的一动点，当∠PCB =∠ABC 时，求点P 的坐标．思路引领：(1)利用待定系数法解答即可；(2)过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，利用轴对称的性质和三角形的中位线的性质定理求得线段OE ，DE ，则点D 坐标可得；利用四边形OADC 的面积=S △OAC +S △ACD ，S △ADC =S △ABC ，利用三角形的面积公式即可求得结论；周日(3)利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点P在BC上方时，利用平行线的判定与性质可得点C，P的纵坐标相等，利用抛物线的解析式即可求得结论；②当点P在BC下方时，设PC交x 轴于点H，设HB=HC=m，利用等腰三角形的判定与性质和勾股定理求得m值，则点H坐标可求；利用待定系数法求得直线PC的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点P坐标；解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-2，0)、B(8，0)两点，与y轴交于点C(0，4)，∴4a-2b+c=064a+8b+c=0c=4，解得：a=-14b=32c=4．∴抛物线的表达式为y=-14x2+32x+4；(2)点D的坐标为(-8，8)，理由：将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，如图，过点D作DE⊥x轴于点E，∵A(-2，0)、B(8，0)，C(0，4)，∴OA=2，OB=8，OC=4．∵OA OC =12，OCOB=12，∴OA OC =OC OB．∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB，∴∠ACO=∠CBO．∵∠CBO+∠OCB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠ACB=90°，∵将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，∴点D，C，B三点在一条直线上．由轴对称的性质得：BC=CD，AB=AD．∵OC⊥AB，DE⊥AB，∴DE∥OC，∴OC为△BDE的中位线，∴OE=OB=8，DE=2OC=8，∴D(-8，8)；由题意得：S△ACD=S△ABC，∴四边形OADC的面积=S△OAC+S△ADC=S△OAC+S△ABC=12×OC•OA+12×AB•OC=12×4×2+12×10×4=4+20 =24；周日(3)①当点P在BC上方时，如图，∵∠PCB=∠ABC，∴PC∥AB，∴点C，P的纵坐标相等，∴点P的纵坐标为4，令y=4，则-14x2+32x+4=4，解得：x=0或x=6，∴P(6，4)；②当点P在BC下方时，如图，设PC交x轴于点H，∵∠PCB=∠ABC，∴HC=HB．设HB=HC=m，∴OH=OB-HB=8-m，在Rt△COH中，∵OC2+OH2=CH2，∴42+(8-m)2=m2，解得：m=5，∴OH=3，∴H(3，0)．设直线PC的解析式为y=kx+n，∴n=43k+n=0，解得：k=-43n=4．∴y=-43x+4．∴y=-43x+4y=-14x2+32x+4，解得：x1=0y1=4，x2=343y2=-1009．∴P343，-100 9．综上，点P的坐标为(6，4)或343，-1009．总结提升：本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．2.(2022•鞍山)如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，2)，连接BC．(1)求抛物线的解析式．(2)点P是第三象限抛物线上一点，直线PB与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P的坐标．(3)在(2)的条件下，若点E是线段BC上点，连接OE，将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB'，当直线周日EB'与直线BP相交所成锐角为45°，时，求点B'的坐标．思路引领：(1)用待定系数法求函数的解析式即可；(2)先由△BDC的面积求出OD的长，从而确定D点坐标为(0，-4)，再由待定系数法求出直线BD的解析式，直线BD与抛物线的交点即为所求；(3)当B'在第一象限时，由∠ODB=45°，可知EB'∥CD，求出直线BC的解析式，可设E t，-12t+2，在Rt△OHB'中，B'H=16-t2，则BE=16-t2+12t-2，在Rt△BHE中，由勾股定理得16-t2+12t-22=(4-t)2+-12t+22，求出t的值即可求B'坐标；当B'在第二象限时，B'G∥x轴，可得四边形B'OBE是平行四边形，则B't-4，-12t+2，由折叠的性质可判断平行四边形OBEB'是菱形，再由BE=OB，可得(4-t)2+-12t+22=4，求出t的值即可求B'坐标．解：(1)将A(-1，0)，C(0，2)代入y=-12x2+bx+c，∴c=2-12-b+c=0 ，解得b=32c=2 ，∴y=-12x2+32x+2；(2)令y=0，则-12x2+32x+2=0，解得x=-1或x=4，∴B(4，0)，∴OB=4，∴S△BCD=12×4×(2+OD)=12，∴OD=4，∴D(0，-4)，设直线BD的解析式为y=kx+b，∴b=-44k+b=0 ，周日解得k =1b =-4 ，∴y =x -4，联立方程组y =x -4y =-12x 2+32x +2，解得x =-3y =-7 或x =4y =0 ，∴P (-3，-7)；(3)如图1，当B '在第一象限时，设直线BC 的解析式为y =k 'x +b '，∴b '=24k '+b '=0，解得k '=-12b '=2，∴y =-12x +2，设E t ，-12t +2 ，∴OH =t ，EH =-12t +2，∵D (0，-4)，B (4，0)，∴OB =OD ，∴∠ODB =45°，∵直线EB '与直线BP 相交所成锐角为45°，∴EB '∥CD ，由折叠可知，OB '=BO =4，BE =B 'E ，在Rt △OHB '中，B 'H =16-t 2，∴B 'E =16-t 2--12t +2 =16-t 2+12t -2，∴BE =16-t 2+12t -2，在Rt △BHE 中，16-t 2+12t -2 2=(4-t )2+-12t +2 2，解得t =±455，∵0≤t ≤4，∴t =455，∴B '455，855 ；如图2，当B '在第二象限，∠BGB '=45°时，∵∠ABP =45°，∴B 'G ∥x 轴，周日∵将△OEB 沿直线OE 翻折得到△OEB '，∴BE =B 'E ，OB =OB '，∠BOE =∠B 'OE ，∴∠BOE =∠B 'EO ，∴B 'E ∥B 'O ，∵B 'E =BO ，∴四边形B 'OBE 是平行四边形，∴B 'E =4，∴B 't -4，-12t +2 ，由折叠可知OB =OB '=4，∴平行四边形OBEB '是菱形，∴BE =OB ，∴(4-t )2+-12t +2 2=4，解得t =4+855或t =4-855，∵0≤t ≤4，∴t =4-855，∴B '-855，455；综上所述：B '的坐标为455，855 或-855，455．方法2：在Rt △BCO 中，BC =25，CO ：OB ：BC =1：2：5，∵BP 与x 轴和y 轴的夹角都是45°，BP 与B 'E 的夹角为45°，∴B 'E ∥x 轴或B 'E ∥y 轴，当B 'E ∥y 轴时，延长B 'E 交x 轴于F ，∴B 'F ⊥OB ，∵∠CBA =∠OB 'E ，∴△OB 'F ∽△CBO ，∴OF ：FB '：B 'O =1：2：5，∵OB =OB '=4，∴FO =455，B 'F =855，∴B '455，855 ；当B 'E ∥x 轴时，过B '作B 'F ⊥x 中交于F ，∴B 'F ⊥OF ，B 'E ∥OB ，∵B 'E 和BE 关于OE 对称，OB 和OB '关于OE 对称，∴BE ∥OB '，∵∠FOB '=∠OBC ，∴△OB 'F ∽△BCO ，∴B 'F ：FO ：OB '=1：2：5，∵OB =OB '=4，周日∴B 'F =455，OF =855，∴B '-855，455；综上所述：B '坐标为455，855 或-855，455．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用是解题的关键．类型四二次函数与圆综合1.(2022•扬州)如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB 在x 轴上，且AB =8dm ，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y 轴，高度OC =8dm ．现计划将此余料进行切割：(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB 上且面积最大，求此正方形的面积；(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB 上且周长最大，求此矩形的周长；(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm 的圆，请说明理由．思路引领：(1)先根据题意求出抛物线的解析式，当正方形的两个顶点在抛物线上时正方形面积最大，先根据GH =2OG 计算H 的横坐标，再求出此时正方形的面积即可；(2)由(1)知：设H t ，-12t 2+8 (t >0)，表示矩形EFGH 的周长，再根据二次函数的性质求出最值即可；(3)解法一：设半径为3dm 的圆与AB 相切，并与抛物线相交，设交点为N ，求出点N 的坐标，并计算点N 是圆M 与抛物线在y 轴右侧的切点即可．解法二：计算MN 2，配方法可得结论．解法三：同解法二得MN 2，利用换元法可解答．解：(1)如图1，由题意得：A (-4，0)，B (4，0)，C (0，8)，设抛物线的解析式为：y =ax 2+8，把B (4，0)代入得：0=16a +8，∴a =-12，∴抛物线的解析式为：y =-12x 2+8，∵四边形EFGH 是正方形，∴GH =FG =2OG ，设H t ，-12t 2+8 (t >0)，周日∴-12t2+8=2t，解得：t1=-2+25，t2=-2-25(舍)，∴此正方形的面积=FG2=(2t)2=4t2=4(-2+25)2=(96-325)dm2；(2)如图2，由(1)知：设H t，-12t2+8(t>0)，∴矩形EFGH的周长=2FG+2GH=4t+2-12t2+8=-t2+4t+16=-(t-2)2+20，∵-1<0，∴当t=2时，矩形EFGH的周长最大，且最大值是20dm；(3)解法一：若切割成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：如图3，N为⊙M上一点，也是抛物线上一点，过N作⊙M的切线交y轴于Q，连接MN，过点N作NP⊥y轴于P，则MN=OM=3，NQ⊥MN，设N m，-12m2+8，由勾股定理得：PM2+PN2=MN2，∴m2+-12m2+8-32=32，解得：m1=22，m2=-22(舍)，∴N(22，4)，∴PM=4-3=1，∵cos∠NMP=PMMN =MNQM=13，∴MQ=3MN=9，∴Q(0，12)，设QN的解析式为：y=kx+b，∴b=1222k+b=4 ，∴k=-22 b=12，∴QN的解析式为：y=-22x+12，-1 2x2+8=-22x+12，12x2-22x+4=0，Δ=(-22)2-4×12×4=0，即此时N为圆M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，∴若切割成圆，能切得半径为3dm的圆．解法二：如图3，取点M(0，3)，在抛物线上取点N m，-12m2+8，且0<m<4，周日则MN 2=m 2+-12m 2+8-3 2=14(m 2-8)2+9，∴当m =22时，MN 有最小值为3，此时抛物线上除了点N ，N '(点N ，N '关于y 轴对称)外，其余各点均在以点M (0，3)为圆心，3dm 为半径的圆外(铁皮底部边缘中点O 也在该圆上)，∴若切割成圆，能切得半径为3dm 的圆．解法三：如图3，取点M (0，m )，在抛物线上取点N a ，-12a 2+8 ，且0<a <4，则MN 2=a 2+-12a 2+8-m 2，令y =a 2，则MN 2=y +-12y +8-m 2=14(y +2m -14)2+15-2m ，∴MN 2的最小值是15-2m ，当MN 的最小值=OM =m 时，⊙O 与抛物线相切，此时⊙M 最大，∴15-2m =m ，∴m =-5(舍)或3，∴若切割成圆，能切得半径为3dm 的圆．总结提升：本题是二次函数与圆，四边形的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，圆的切线的性质，矩形和正方形的性质，二次函数的最值问题，综合性较强，并与方程相结合解决问题是本题的关键．2.(2022•盐城)【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O 为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O 为原点，过点O 的横线所在直线为x 轴，过点O 且垂直于横线的直线为y 轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为(-3，4)或(3，4)．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点P (0，m )，m 为正整数，以OP 为直径画⊙M ，是否存在所描的点在⊙M 上．若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．周日思路引领：【分析问题】根据题意可知：该点的纵坐标为4，利用勾股定理，即可求出该点的横坐标，进而可得出点的坐标；【解决问题】设所描的点在半径为n (n 为正整数)的同心圆上，则该点的纵坐标为(n -1)，利用勾股定理可得出该点的坐标为(-2n -1，n -1)或(2n -1，n -1)，结合点横、纵坐标间的关系，可得出该点在二次函数y =12x 2-12的图象上，进而可证出小明的猜想正确；【深度思考】设该点的坐标为(±2n -1，n -1)，结合⊙M 的圆心坐标，利用勾股定理，即可用含n 的代数式表示出m 的值，再结合m ，n 均为正整数，即可得出m ，n 的值．【分析问题】解：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，其纵坐标y =5-1=4，∵横坐标x =±52-42=±3，∴点的坐标为(-3，4)或(3，4)．【解决问题】证明：设所描的点在半径为n (n 为正整数)的同心圆上，则该点的纵坐标为(n -1)，∴该点的横坐标为±n 2-(n -1)2=±2n -1，∴该点的坐标为(-2n -1，n -1)或(2n -1，n -1)．∵(±2n -1)2=2n -1，n -1=2n -1-12，∴该点在二次函数y =12(x 2-1)=12x 2-12的图象上，∴小明的猜想正确．【深度思考】解：设该点的坐标为(±2n -1，n -1)，⊙M 的圆心坐标为0，12m ，∴(±2n -1-0)2+n -1-12m 2=12m ，∴m =n 2n -1=(n -1+1)2n -1=(n -1)2+2(n -1)+1n -1=n -1+2+1n -1．又∵m ，n 均为正整数，∴n -1=1，∴m =1+2+1=4，∴存在所描的点在⊙M 上，m 的值为4．总结提升：本题考查了勾股定理、二次函数图象上点的坐标特征以及与圆有关的位置关系，解题的关键是：【分析问题】利用勾股定理，求出该点的横坐标；【解决问题】根据点的横、纵坐标间的关系，找出点在二次函数y =12x 2-12的图象上；【深度思考】利用勾股定理，用含n 的代数式表示出m 的值．周日类型五二次函数中的定值问题1.(2022•巴中)如图1，抛物线y =ax 2+2x +c ，交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，F 为抛物线顶点，直线EF 垂直于x 轴于点E ，当y ≥0时，-1≤x ≤3．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是线段BE 上的动点(除B 、E 外)，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点D ．①当点P 的横坐标为2时，求四边形ACFD 的面积；②如图2，直线AD ，BD 分别与抛物线对称轴交于M 、N 两点．试问，EM +EN 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．思路引领：(1)由当y ≥0时，-1≤x ≤3，可知x 1=-1，x 2=3是ax 2+2x +c =0的两根，代入方程可得a ，c ，从而得解；(2)①把x =2代入抛物线解析式可得D 点坐标，再将x =0代入抛物线解析式可得C 点坐标，从而得知线段CD ∥x 轴，利用配方法可知点F 坐标，从而利用S 四边形ACFD =S △FCD +S △ACD =12CD (y F -y A )求面积；②设D (m ，-m 2+2m +3)(1<m <3)，用待定系数法求出直线AD 与直线BD 的解析式，再令x =1得y M ，y N ，从而得出ME ，NE 的长，从而得到NE +ME 是定值8．解：(1)∵当y ≥0时，-1≤x ≤3，∴x 1=-1，x 2=3是ax 2+2x +c =0的两根，A (-1，0)，B (3，0)，∴a -2+c =09a +6+c =0，解得：a =-1c =3 ，∴抛物线的表达式为：y =-x 2+2x +3；(2)①把x =2代入y =-x 2+2x +3得：y =3，∴D (2，3)．又当x =0，y =3，∴C (0，3)，∴线段CD ∥x 轴．∵y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4，∴F (1，4)，S 四边形ACFD =S △FCD +S △ACD =12CD (y F -y A )=4；②设D (m ，-m 2+2m +3)(1<m <3)，周日直线AD ：y =k 1x +b 1，BD ：y =k 2x +b 2，因此可得：0=-k 1+b 1-m 2+2m +3=k 1m +b 1或0=3k 2+b 2-m 2+2m +3=k 2m +b 2，解得：k 1=3-m b 1=3-m 或k 2=-1-mb 2=3m +3 ，∴直线AD ：y =(3-m )x +(3-m )，BD ：y =-(m +1)x +3(m +1)．令x =1得y M =6-2m ，y N =2m +2，∴ME =6-2m ，NE =2m +2，∴NE +ME =8．总结提升：本题考查二次函数与一次函数综合，涉及四边形的面积求法，待定系数法等知识，掌握待定系数法和面积求法是解题的关键．类型六二次函数中几何图形的存在性问题1.(2022•枣庄)如图①，已知抛物线L ：y =x 2+bx +c 经过点A (0，3)，B (1，0)，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的关系式；(2)若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当△OPE 面积最大时，求出P 点坐标；(3)将抛物线L 向上平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE 内(包括△OAE 的边界)，求h 的取值范围；(4)如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P ，使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．思路引领：(1)利用待定系数法可得抛物线的解析式；(2)过P 作PG ∥y 轴，交OE 于点G ，设P (m ，m 2-4m +3)，根据OE 的解析式表示点G 的坐标，表示PG 的长，根据面积和可得△OPE 的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；(3)求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE 的交点坐标、与AE 的交点坐标，用含h 的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h 的取值范围；(4)存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP ≌△PNF ，根据|OM |=|PN |，列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P 的坐标．解：(1)∵抛物线L ：y =x 2+bx +c 经过点A (0，3)，B (1，0)，∴1+b +c =0c =3，解得b =-4c =3 ，周日∴抛物线的解析式为：y =x 2-4x +3；(2)如图，过P 作PG ∥y 轴，交OE 于点G ，设P (m ，m 2-4m +3)，∵OE 平分∠AOB ，∠AOB =90°，∴∠AOE =45°，∴△AOE 是等腰直角三角形，∴AE =OA =3，∴E (3，3)，∴直线OE 的解析式为：y =x ，∴G (m ，m )，∴PG =m -(m 2-4m +3)=-m 2+5m -3，∴S △OPE =S △OPG +S △EPG=12PG •AE =12×3×(-m 2+5m -3)=-32(m 2-5m +3)=-32m -52 2+398，∵-32<0，∴当m =52时，△OPE 面积最大，此时，P 点坐标为52，-34；(3)由y =x 2-4x +3=(x -2)2-1，得抛物线l 的对称轴为直线x =2，顶点为(2，-1)，抛物线L 向上平移h 个单位长度后顶点为F (2，-1+h )．设直线x =2交OE 于点M ，交AE 于点N ，则E (3，3)，∵直线OE 的解析式为：y =x ，∴M (2，2)，∵点F 在△OAE 内(包括△OAE 的边界)，∴2≤-1+h ≤3，解得3≤h ≤4；(4)设P (m ，m 2-4m +3)，分四种情况：①当P 在对称轴的左边，且在x 轴下方时，如图，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∴∠OMP =∠PNF =90°，∵△OPF 是等腰直角三角形，∴OP =PF ，∠OPF =90°，周日∴∠OPM +∠NPF =∠PFN +∠NPF =90°，∴∠OPM =∠PFN ，∴△OMP ≌△PNF (AAS )，∴OM =PN ，∵P (m ，m 2-4m +3)，则-m 2+4m -3=2-m ，解得：m =5+52(舍)或5-52，∴P 的坐标为5-52，1-52 ；②当P 在对称轴的左边，且在x 轴上方时，同理得：2-m =m 2-4m +3，解得：m 1=3+52(舍)或m 2=3-52，∴P 的坐标为3-52，5+12 ；③当P 在对称轴的右边，且在x 轴下方时，如图，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP ≌△PMF ，∴PN =FM ，则-m 2+4m -3=m -2，解得：m 1=3+52或m 2=3-52(舍)；P 的坐标为3+52，1-52 ；④当P 在对称轴的右边，且在x 轴上方时，如图，同理得m 2-4m +3=m -2，解得：m =5+52或5-52(舍)，P 的坐标为：5+52，5+12；综上所述，点P 的坐标是：5-52，1-52或3-52，5+12或3+52，1-52 或5+52，5+12 ．方法二：作直线DE ：y =x -2，E (1，-1)是D 点(2，0)绕O 点顺时针旋转45°并且OD 缩小2倍得到，易知直线DE 即为对称轴上的点绕O 点顺时针旋转45°，且到O 点距离缩小2倍的轨迹，联立直线DE 和抛物线解析式得x 2-4x +3=x -2，周日解得x 1=5+52，x 2=5-52，同理可得x 3=3+52或x 4=3-52；综上所述，点P 的坐标是：5-52，1-52 或3-52，5+12 或3+52，1-52 或5+52，5+12 ．总结提升：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想解决问题的关键．2.(2022•攀枝花)如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于O (O 为坐标原点)，A 两点，且二次函数的最小值为-1，点M (1，m )是其对称轴上一点，y 轴上一点B (0，1)．(1)求二次函数的表达式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P ，连结PA ，PB ，设点P 的横坐标为t ，△PAB 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(3)在二次函数图象上是否存在点N ，使得以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N 的坐标，若不存在，请说明理由．思路引领：(1)根据题意知，二次函数顶点为(1，-1)，设二次函数解析式为y =a (x -1)2-1，将点B (0，0)代入得，a -1=0，即可得出答案；(2)连接OP ，根据题意得点A 的坐标，则S =S △AOB +S △OAP -S △OBP ，代入化简即可；(3)设N (n ，n 2-2n )，分AB 或AN 或AM 分别为对角线，利用平行四边形的性质和中点坐标公式，分别求出n =的值，进而得出答案．解：(1)∵二次函数的最小值为-1，点M (1，m )是其对称轴上一点，∴二次函数顶点为(1，-1)，设二次函数解析式为y =a (x -1)2-1，将点O (0，0)代入得，a -1=0，∴a =1，∴y =(x -1)2-1=x 2-2x ；(2)连接OP ，。

2021年中考数学真题分类汇编--函数：函数与几何(压轴题2)(学生版)

中考真题分类汇编（函数）----函数与几何（2）1.（2021•四川省眉山市）如图，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线MN∥AB，且与△AOB的外接圆⊙P相切，与双曲线y＝﹣在第二象限内的图象交于C、D两点．（1）求点A，B的坐标和⊙P的半径；（2）求直线MN所对应的函数表达式；（3）求△BCN的面积．2.（2021•四川省南充市）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．3.（2021•遂宁市）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，与y轴x=-，直线y＝－2x＋m经过点A，且与y轴交于点D，交于C（0，－3），对称轴为直线1与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．（1）求抛物线的解析式和m的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．4. (2021•四川省自贡市) 如图，抛物线(1)()y x x a =+-（其中1a >）与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ．（1）直接写出OCA ∠的度数和线段AB 的长（用a 表示）；（2）若点D 为ABC 的外心，且BCD △与ACO △104，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线(1)()y x x a =+-上是否存在一点P ，使得CAP DBA ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5. （2021•天津市）已知抛物线22y ax ax c =-+（a ，c 为常数，0a ≠）经过点()0,1C -，顶点为D ．（Ⅰ）当1a =时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）当0a >时，点()0,1E a +，若22DE DC =，求该抛物线的解析式；（Ⅲ）当1a <-时，点()0,1F a -，过点C 作直线l 平行于x 轴，(),0M m 是x 轴上的动点，()3,1N m +-是直线l 上的动点．当a 为何值时，FM DN +的最小值为10，并求此时点M ，N 的坐标．6. 2021•湖北省恩施州）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点B ，D （﹣4，5）两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．7.（2021•浙江省金华市）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①若BA＝BO，求证：CD＝CO．②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．8.（2021•湖北省荆门市）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3），点Q为线段BC上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求|QO|+|QA|的最小值；（3）过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接P A，PB，记△P AQ与△PBQ面积分别为S1，S2，设S＝S1+S2，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．9.（2021•江苏省盐城市）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P ′也随之运动，并且点P ′的运动轨迹能形成一个新的图形．试根据下列各题中所给的定点A 的坐标、角度α的大小来解决相关问题．【初步感知】如图1，设A （1，1），α＝90°，点P 是一次函数y ＝kx +b 图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P 1（﹣1，1）．（1）点P 1旋转后，得到的点P 1′的坐标为（1，3）；（2）若点P ′的运动轨迹经过点P 2′（2，1），求原一次函数的表达式．【深入感悟】如图2，设A （0，0），α＝45°，点P 是反比例函数y ＝﹣（x ＜0）的图象上的动点，过点P ′作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M ，求△OMP ′的面积．【灵活运用】如图3，设A （1，﹣），α＝60°，点P 是二次函数y ＝x 2+2x +7图象上的动点，已知点B （2，0）、C （3，0），试探究△BCP ′的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．10. （2021•重庆市A ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过A （0，﹣1），B （4，1）．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PE ∥x 轴，交AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE 的周长取得最大值时，求点P 的坐标和△PDE 周长的最大值；（3）把抛物线2y x bx c =++平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P ．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．11.（2021•重庆市B ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0），B （4，0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛物线上一动点，连接P A ，PD ，求△P AD 面积的最大值．（3）在（2）的条件下，将抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4（a ≠0）沿射线AD 平移4个单位，得到新的抛物线y 1，点E 为点P 的对应点，点F 为y 1的对称轴上任意一点，在y 1上确定一点G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．12. （2021•湖北省十堰市）已知抛物线25y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -和()5,0B -，与y 轴交于点C ，顶点为P ，点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连AN 交抛物线于M ，连AC 、CM ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan 2ACM ∠=时，求M 点的横坐标；（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l ，过M 作MD l ⊥于D ，若3MD MN =，求N 点的坐标．13. （2021•湖南省张家界市）如图，已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点)3,2(-C ，且与x 轴交于原点及点)0,8(B .(1)求二次函数的表达式；(2)求顶点A 的坐标及直线AB 的表达式；（3）判断ABO 的形状，试说明理由；（4）若点P 为⊙O 上的动点，且⊙O 的半径为 22，一动点E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP 匀速运动到点P ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB 匀速运动到点B 后停止运动，求点E 的运动时间t 的最小值.14. （2021•海南省）已知抛物线y ＝ax 2+x +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且点A 的坐标为（﹣1，0）、点C 的坐标为（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，若该抛物线的顶点为P ，求△PBC 的面积；（3）如图2，有两动点D 、E 在△COB 的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C 和点B 同时出发，点D 沿折线COB 按C →O →B 方向向终点B 运动，点E 沿线段BC 按B →C 方向向终点C 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，请解答下列问题： ①当t 为何值时，△BDE 的面积等于；②在点D 、E 运动过程中，该抛物线上存在点F ，使得依次连接AD 、DF 、FE 、EA 得到的四边形ADFE 是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标．_y _x _ A_ B _ O _ C _ P15. （2021•广西玉林市）已知抛物线：234y ax ax a =--（0a >）与x 轴交点为A ，B（A 在B 的左侧），顶点为D ．（1）求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴；（2）若直线32y x =-与抛物线交于点M ，N ，且M ，N 关于原点对称，求抛物线的解析式；（3）如图，将（2）中抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点D 在直线7:8l y =上，设直线l 与y 轴的交点为O '，原抛物线上的点P 平移后的对应点为点Q ，若O P O Q ''=，求点P ，Q 的坐标．16. （2021•广西贺州市）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，且()1,0A -，对称轴为直线2x =．（1）求该抛物线的函数达式；（2）直线l 过点A 且在第一象限与抛物线交于点C ．当45CAB ∠=︒时，求点C 的坐标；（3）点D 在抛物线上与点C 关于对称轴对称，点P 是抛物线上一动点，令(,)P P P x y ，当1P x a ≤≤，15a ≤≤时，求PCD 面积的最大值（可含a 表示）．17. 2021•山东省济宁市）如图，直线y ＝﹣x +分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，过点A 的抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴的另一交点为C ，与y 轴交于点D （0，3），抛物线的对称轴l 交AD 于点E ，连接OE 交AB 于点F ．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：OE ⊥AB ；（3）P 为抛物线上的一动点，直线PO 交AD 于点M ，是否存在这样的点P ，使以A ，O ，M 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．18 . (2021•内蒙古包头市) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y x x =-+经过坐标原点，与x 轴正半轴交于点A ，点(,)M m n 是抛物线上一动点．（1）如图1，当0m >，0n >，且3n m =时，①求点M 的坐标： ②若点15,4B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在该抛物线上，连接OM ，BM ，C 是线段BM 上一动点（点C 与点M ，B 不重合），过点C 作//CD MO ，交x 轴于点D ，线段OD 与MC 是否相等？请说明理由；（2）如图2，该抛物线的对称轴交x 轴于点K ，点7,3E x ⎛⎫ ⎪⎝⎭在对称轴上，当2m >，0n >，且直线EM 交x 轴的负半轴于点F 时，过点A 作x 轴的垂线，交直线EM 于点N ，G 为y 轴上一点，点G 的坐标为180,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接GF ．若2EF NF MF +=，求证：射线FE 平分AFG ∠．19. （2021•齐齐哈尔市）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线2()20y ax x c a =++≠与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，1OA =，对称轴为2x =，点D 为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C，D两点之间的距离是__________；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．20.（2021•内蒙古通辽市）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。

2021年中考数学真题分类汇编--函数：函数与几何(压轴题1)(老师版)

（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当∠CP′M为直角时，则P′C∥x轴，即可求解；当∠PCM为直角时，用解直角三角形的方法求出PN＝MN+PM＝6+ ＝，即可求解；
【详解】（1）将代入，
化简得，则（舍）或，
∴ ，
得：，则．
设直线对应的函数表达式为，
将、代入可得，解得，
则直线对应的函数表达式为．
（2）如图，过点A作 ∥BC，设直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移GC个单位，得到线，
【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．
6.（2021•株洲市）已知二次函数．
（1）若，，求方程的根的判别式的值；
（2）如图所示，该二次函数的图像与轴交于点、，且，与轴的负半轴交于点，点在线段上，连接、，满足，．
①求证：；
②连接，过点作于点，点在轴的负半轴上，连接，且，求的值．
当x＝±2时，y＝＝±2，
故“雁点”坐标为（2,2）或（﹣2，﹣2）；
（2）①∵“雁点”的横坐标与纵坐标相等，
故“雁点”的函数表达式为y＝x，
∵物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，
则ax2+5x+c＝x，
则△＝25﹣4ac＝0，即ac＝4，
∵a＞1，
故c＜4；
②∵ac＝4，则ax2+5x+c＝0为ax2+5x+ ＝0，
作点C关于函数对称轴的对称点C′（2，8），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣4），

二次函数与几何综合压轴题(原卷版)-2024年中考数学

二次函数与几何综合压轴题几乎所有的地方都把二次函数与几何综合压轴题作为中考压轴题。

1．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =−++的图象与x 轴相交于点A 和点()1,0C ，交y 轴于点()0,3B ．(1)求此二次函数的解析式；(2)设二次函数图象的顶点为P ，对称轴与x 轴交于点Q ，求四边形AOBP 的面积（请在图1中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M ，使得△AMB 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴的交点分别为A 和()10B ,（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点()0,3C ，点P 是直线AC 上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点P 作x 轴平行线交AC 于点E ，过点P 作y 轴平行线交x 轴于点D ，求PE PD +的最大值及点P 的坐标；(3)如图2，设点M 为抛物线对称轴上一动点，当点P ，点M 运动时，在坐标轴上确定点N ，使四边形PMCN 为矩形，求出所有符合条件的点N 的坐标．3．（2023·海南·中考真题）如图1，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A ，()3,0B 两点，交y 轴于点()0,3C −．点P 是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P 的坐标为()1,4−时，求四边形BACP 的面积；(3)当动点P 在直线BC 上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q ，使得以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如图2，点D 是抛物线的顶点，过点D 作直线DH y ∥轴，交x 轴于点H ，当点P 在第二象限时，作直线PA ，PB 分别与直线DH 交于点G 和点I ，求证：点D 是线段IG 的中点．4．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于()30A −,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图甲，在y 轴上找一点D ，使ACD 为等腰三角形，请直接写出点D 的坐标；(3)如图乙，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在P 、Q 两点使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2023·四川甘孜·中考真题）已知抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于()10A −，，B 两点，与y 轴相交于点()03C −，．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第一象限抛物线上一点，PBC 的面积与ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；(3)在（2）的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ′，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P ′恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P ′的坐标；如果不存在，请说明理由．6．（2023·四川达州·中考真题）如图，抛物线2y ax bx c ++过点()()()1,0,3,,00,3A B C −．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a ++≠经过点(1,0)A −和(0,3)B ，其顶点的横坐标为1．(1)求抛物线的表达式．(2)若直线x m =与x 轴交于点N ，在第一象限内与抛物线交于点M ，当m 取何值时，使得AN MN +有最大值，并求出最大值．(3)若点P 为抛物线2(0)y ax bx c a ++≠的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M ，是否能与A 、P 、Q 构成平行四边形？若能构成，求出Q 点坐标；若不能构成，请说明理由．8．（2023·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c ++与x 轴交于点()()3,0,1,0A B −两点，与y 轴交于点()0,3C ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PD DB的值最大时，求点P 的坐标及PD DB 的最大值； (3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将PCM △沿直线PC 翻折，当点M 的对应点'M 恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．9．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c ++与x 轴交于()4,0B ，()2,0C −两点．与y 轴交于点()0,2A −．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK PD +的最大值及此时点P 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得MAB △是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．10．（2023·湖北黄冈·中考真题）已知抛物线212y x bx c =−++与x 轴交于,(4,0)A B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ，点P 为第一象限抛物线上的点，连接,,,CA CB PB PC ．(1)直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=______；(2)如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标； (3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD OB =，点Q 为抛物线上一点，90QBD ∠=°，点E ，F 分别为BDQ △的边,DQ DB 上的动点，QE DF =，记BE QF +的最小值为m ． ①求m 的值；②设PCB 的面积为S ，若214S m k =−，请直接写出k 的取值范围．11．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线21:28=−−C y x x 交x 轴于,A B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于点C ．(1)直接写出,,A B C 三点的坐标；(2)如图（1），作直线()04=<<x t t ，分别交x 轴，线段BC ，抛物线1C 于,,D E F 三点，连接CF ．若BDE 与CEF △相似，求t 的值；(3)如图（2），将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，其顶点为原点．直线2y x =与抛物线2C 交于,O G 两点，过OG 的中点H 作直线MN （异于直线OG ）交抛物线2C 于,M N 两点，直线MO 与直线GN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．12．（2023·湖南郴州·中考真题）已知抛物线24y ax bx ++与x 轴相交于点 1,0A ，()4,0B ，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，当PAC △的周长最小时，求PAPC的值； (3)如图2，取线段OC 的中点D ，在抛物线上是否存在点Q ，使1tan 2QDB ∠=若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．且与直线:1l y x =−−交于D E 、两点（点D 在点E 的右侧），点M 为直线l 上的一动点，设点M 的横坐标为t ．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M 作x 轴的垂线，与拋物线交于点N ．若04t <<，求NED 面积的最大值．(3)抛物线与y 轴交于点C ，点R 为平面直角坐标系上一点，若以B C M R 、、、为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R 的坐标．在此抛物线上，其横坐标分别为,2(0)m m m >，连接AP ，AQ ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q 与此抛物线的顶点重合时，求m 的值．(3)当PAQ ∠的边与x 轴平行时，求点P 与点Q 的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A 与点P 之间部分（包括点A 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标的差为1h ，在点A 与点Q 之间部分（包括点A 和点Q ）的最高点与最低点的纵坐标的差为2h ．当21h h m −=时，直接写出m 的值．15．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点()6,0A ，与y 轴交于点()0,6B −，抛物线经过点A ，B ，且对称轴是直线1x =．(1)求直线l 的解析式； (2)求抛物线的解析式；(3)点P 是直线l 下方抛物线上的一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，交直线l 于点D ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ．求PM 的最大值及此时P 点的坐标．16．（2023·湖南·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，其中()10B ,，()0,3C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P ，使得PAC ABC S S =△△？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q 是对称轴l 上一点，且点Q 的纵坐标为a ，当QAC △是锐角三角形时，求a 的取值范围．17．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线()210y ax bx a +−≠与x 轴交于点 1,0A 和点B ，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点()3,0D ，过点B 作直线l x ⊥轴，过点D 作DE CD ⊥，交直线l 于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 为第三象限内抛物线上的点，连接CE 和BP 交于点Q ，当57BQ PQ =时．求点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，连接AC ，在直线BP 上是否存在点F ，使得DEF ACD BED ∠=∠+∠？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1），二次函数25y ax x c =−+的图像与x 轴交于()4,0A −，(),0B b 两点，与y 轴交于点()0,4C −．(1)求二次函数的解析式和b 的值．(2)在二次函数位于x 轴上方的图像上是否存在点M ，使13BOM ABC S S =△△？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图（2），作点A 关于原点O 的对称点E ，连接CE ，作以CE 为直径的圆．点E ′是圆在x 轴上方圆弧上的动点（点E ′不与圆弧的端点E 重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE ，使点E 移动到点E ′，线段AE 的对应线段为A E ′′，连接E C ′，A A ′，A A ′的延长线交直线E C ′于点N ，求AA CN′的值．19．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，抛物线23y ax bx ++与x 轴交于点()10A −，，()30B ，，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点Q 是x 轴上方抛物线上一点，射线QM x ⊥轴于点N ，若QM BM =，且4tan 3MBN ∠=，请直接写出点Q 的坐标．(3)如图2，点E 是第一象限内一点，连接AE 交y 轴于点D ，AE 的延长线交抛物线于点P ，点F 在线段CD 上，且CF OD =，连接FA FE BE BP ，，，，若AFE ABE S S =△△，求PAB 面积．20．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx ++过点()1,3，且交x 轴于点()1,0A −，B 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，求PDE △周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PDE △周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N ，使得以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．21．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()1,0，对称轴是直线=1x −，点P 是x 轴上一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点O 不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2023·湖北十堰·中考真题）已知抛物线28y ax bx ++过点()4,8B 和点()8,4C ，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接,AB BC ，点D 在线段AB 上（与点,A B 不重合），点F 是OA 的中点，连接FD ，过点D 作DE FD ⊥交BC 于点E ，连接EF ，当DEF 面积是ADF △面积的3倍时，求点D 的坐标；(3)如图2，点P 是抛物线上对称轴右侧的点，(),0H m 是x 轴正半轴上的动点，若线段OB 上存在点G （与点,O B 不重合），使得GBP HGP BOH ∠=∠=∠，求m 的取值范围．23．（2023·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx ++的图象与x 轴交于点()2,0A −，()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴l 上一点，以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=°，求出点F 的坐标； (3)如图2，P 为第一象限内抛物线上一点，连接AP 交y 轴于点M ，连接BP 并延长交y 轴于点N ，在点P 运动过程中，12OM ON +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．24．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线21y ax bx c =++的图象经过(6,0)A −，(2,0)B −，(0,6)C 三点，且一次函数6y kx =+的图象经过点B ．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E ，F 为平面内两点，若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形，且点E 在点F 的左侧．这样的E ，F 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线21y ax bx c =++的图象向右平移8个单位长度得到抛物线2y ，此抛物线的图象与x 轴交于M ，N 两点（M 点在N 点左侧）．点P 是抛物线2y 上的一个动点且在直线NC 下方．已知点P 的横坐标为m ．过点P 作PD NC ⊥于点D ．求m 为何值时，12CD PD +有最大值，最大值是多少？25．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点(4,0)A −，(2,0)B ，与y 轴交于点(0,4)C −．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x 轴下方的部分沿x 轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线6y kx =+与新图象有三个公共点时，求k 的值； (3)如图2，如果把直线AB 沿y 轴向上平移至经过点D ，与抛物线的交点分别是E ，F ，直线BC 交EF 于点H ，过点F 作FG CH ⊥于点G ，若DF HG=F 的坐标．26．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，抛物线2y bx c ++交x 轴于点()1,0A −和B ，交y 轴于点(C ，顶点为D ．(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB 的面积为E 的坐标；(3)在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G ，使以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是菱形，且60EFG ∠=°，如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．27．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图1，抛物线253y ax x c =++经过点()3,1，与y 轴交于点()0,5B ，点E 为第一象限内抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式．(2)直线243y x =−与x 轴交于点A ，与y 轴交于点D ，过点E 作直线EF x ⊥轴，交AD 于点F ，连接BE ．当BE DF =时，求点E 的横坐标．(3)如图2，点N 为x 轴正半轴上一点，OE 与BN 交于点M ．若OE BN =，3tan 4BME ∠=，求点E 的坐标．28．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线24y ax bx +−与x 轴交于点()4,0A −，()2,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，点D 是抛物线上的一个动点，设点D 的横坐标是()42m m −<<，过点D 作直线DE x ⊥轴，垂足为点E ，交直线AC 于点F ．当D ，E ，F 三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段DF 的长；(3)若点P 是抛物线上的一个动点（点P 不与顶点重合），点M 是抛物线对称轴上的一个点，点N 在坐标平面内，当四边形CMPN 是矩形邻边之比为1:2时，请直接写出点P 的横坐标．。

中考数学压轴题,如何解函数与几何综合问题篇：二次函数与正方形.doc

中考数学压轴题，如何解函数与几何综合问题篇：二次函数与正方形什么是正方形？有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

什么是二次函数？一般地，如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0），那么y 叫做x 的二次函数。

y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式。

正方形与二次函数作为初中数学最重要知识内容之一，一直是中考数学热点和重点。

像二次函数的重要性，相信不要老师多说，它一直是中考数学必考的热点，超过90%以上的压轴题都和二次函数有关。

正方形作为一种特殊的平行四边形，不仅具有一般平行四边形所有性质，更具自身特殊的性质，如：1、具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；2、正方形的四个角都是直角，四条边都相等；3、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；4、正方形是轴对称图形，有4条对称轴；5、正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；6、正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

因此，在中考数学中，若把二次函数和正方形放在一起，就可以“创造”出很多具有综合性强、创新型、解法灵活等鲜明特点的题型。

中考数学，二次函数与正方形相关题型，典型例题分析1：巳知二次函数y=a（x2-6x+8）（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．（1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a 的值；（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）．“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标l是大于3的常数，试问：是否存在一个正数阿a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．考点分析：二次函数综合题．题干分析：（1）本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出AO，从而求出a．（2）本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PC＞PB，从而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．（3）本题需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出关于t 与a的方程，从而得出a的值，即可求出答案．解题反思：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键．二次函数与正方形相关题型本质上就是函数与几何综合类问题，此类问题一直是中考数学的热点。

全国各地中考数学常考试题及答案

全国各地中考数学常考试题及答案一、函数与几何综合的压轴题1.（2018安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上；(2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程.(3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式.[方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB''''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC''+= ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=，∴2316EO DO DB AB ''=⨯=⨯=∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ②联立①②得02x y =⎧⎨=-⎩图②∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上（2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3）E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-⎧⎪++=-⎨⎪=-⎩解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2（3）（本小题给出三种方法，供参考）由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。

同（1）可得：1E F E FAB DC''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '⇒=，∴13DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =11122223DC DB DC DF DC DB ∙-∙=∙=13DC DB ∙=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()1132322BD E F k k '=∙=+⨯=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式.证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()2213992AE C ABCD S S AB CD BD k '∆==⨯+∙=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式.2. （2018广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点.（1）求点A 的坐标；（2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明；（3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若421hS S =，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式.[解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1，在Rt△AOM 中，AO ＝122=-OM AM ，∴点A 的坐标为A （0，1）（2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B（—1，0），AB ＝2112222=+=+AO BO 在△ABM 中，AB ＝2，AM ＝2，BM ＝2222224)2()2(BM AM AB ==+=+∴△ABM 是直角三角形，∠BAM＝90° ∴直线AB 是⊙M 的切线（3）解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB ＝2，AC ＝22， ∴BC＝10)22()2(2222=+=+AC AB∵∠BAC＝90° ∴△ABC 的外接圆的直径为BC ，∴πππ25)210()2(221=∙=∙=BC S而πππ2)222()2(222=∙=∙=AC S421h S S = ，5,4225=∴=h h 即 ππ 设经过点B （—1，0）、M （1，0y ＝a （＋1）（x －1），（a≠0）即y ＝ax 2－a ，∴－a ＝±5，∴a＝±5 ∴抛物线的解析式为y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法二：（接上）求得∴h＝5由已知所求抛物线经过点B （—1，0）、M （1、0），则抛物线的对称轴是y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）∴抛物线的解析式为y ＝a （x －0）2±5又B （－1,0）、M （1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a ＝±5∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5解法三：（接上）求得∴h＝5因为抛物线的方程为y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-===⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±=-=+-=++5055c 0b 5544002c b a a ab ac c b a c b a 或＝－解得∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5.3.(2018湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P （1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A 、B 两点，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 过点A 、B ，且顶点C 在⊙P 上. (1)求⊙P 上劣弧⌒AB 的长； (2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点D ，使线段OC 与PD 互相平分？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.[解] （1）如图，连结PB ，过P 作PM⊥x 轴，垂足为在Rt△PMB 中，PB=2,PM=1, ∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120° ⌒AB 的长＝342180120ππ=⋅⋅︒︒ （2）在Rt△PMB 中，PB=2,PM=1,则MB ＝MA ＝3. 又OM=1，∴A（1－3，0），B （1＋3，0），由抛物线及圆的对称性得知点C 在直线PM 上，则C(1，－3).点A 、B 、C 在抛物线上，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-+-+-=++++=c b a c b a c b a 3)31()31(0)31()31(022 解之得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==221c b a∴抛物线解析式为222--=x x y（3）假设存在点D ，使OC 与PD 互相平分，则四边形OPCD 为平行四边形，且PC∥OD. 又PC∥y 轴，∴点D 在y 轴上，∴OD＝2，即D （0，－2）.又点D （0，－2）在抛物线222--=x x y 上，故存在点D （0，－2），使线段OC 与PD 互相平分.4.（2018湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC 的直角顶点C （0）在y 轴的正半轴上，A 、B 是x 轴上是两点，且OA ∶OB ＝3∶1，以OA 、OB 为直径的圆分别交AC 于点E ，交BC 于点F .直线EF 交OC 于点Q . （1）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）请猜想：直线EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.（3）在△AOC 中，设点M 是AC 边上的一个动点，过M 作MN∥AB 交OC 于点N .试问：在x 轴上是否存在点P ，使得△PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P[解] (1)在Rt△ABC 中，OC ⊥AB ，∴△AOC ≌△COB . ∴OC 2＝OA ·OB .∵OA ∶OB＝3∶1,C ), ∴23.OB OB =∴OB ＝1.∴OA ＝3. ∴A (-3,0),B (1,0).设抛物线的解析式为2.y ax bx c =++则930,0,a b c a b c c ⎧-+=⎪++=⎨⎪=⎩解之，得,3a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为2y =- (2)EF 与⊙O 1、⊙O 2都相切. 证明：连结O 1E 、OE 、OF .∵∠ECF ＝∠AEO ＝∠BFO ＝90°,。

中考数学-函数与几何综合问题(共25题)(解析版)

专题32函数与几何综合问题(25题)一、填空题1(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为-8，6，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线y=-2x-6与AB交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段BC上，动点N在直线y=-2x-6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为【答案】M-8,6或M-8,2 3【分析】如图，由△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得N在以AM为直径的圆H上，MN= AN，可得N是圆H与直线y=-2x-6的交点，当M,B重合时，符合题意，可得M-8,6，当N在AM的上方时，如图，过N作NJ⊥y轴于J，延长MB交BJ于K，则∠NJA=∠MKN=90°，JK=AB=8，证明△MNK≌△NAJ，设N x,-2x-6，可得MK=NJ=-x，KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12，而KJ=AB =8，则-2x-12-x=8，再解方程可得答案．【详解】解：如图，∵△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，∴N在以AM为直径的圆H上，MN=AN，∴N是圆H与直线y=-2x-6的交点，当M,B重合时，∵B-8,6，则H-4,3，∴MH=AH=NH=4，符合题意，∴M-8,6，当N在AM的上方时，如图，过N作NJ⊥y轴于J，延长MB交BJ于K，则∠NJA=∠MKN=90°，JK=AB=8，∴∠NAJ+∠ANJ=90°，∵AN=MN，∠ANM=90°，∴∠MNK+∠ANJ=90°，∴∠MNK=∠NAJ，∴△MNK≌△NAJ，设N x,-2x-6，∴MK=NJ=-x，KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12，而KJ=AB=8，∴-2x-12-x=8，解得：x =-203，则-2x -6=223，∴CM =CK -MK =223-203=23，∴M -8,23 ；综上：M -8,6 或M -8,23 ．故答案为：M -8,6 或M -8,23．【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．2(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，直线y =-13x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点D 是线段AB 上一动点，点H 是直线y =-43x +2上的一动点，动点E m ，0 ，F m +3，0 ，连接BE ，DF ，HD ．当BE +DF 取最小值时，3BH +5DH 的最小值是．【答案】392【分析】作出点C 3，-2 ，作CD ⊥AB 于点D ，交x 轴于点F ，此时BE +DF 的最小值为CD 的长，利用解直角三角形求得F 113，0 ，利用待定系数法求得直线CD 的解析式，联立即可求得点D 的坐标，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，此时3BH +5DH 的最小值是5DG 的长，据此求解即可．【详解】解：∵直线y =-13x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，∴B 0，2 ，A 6，0 ，作点B 关于x 轴的对称点B 0，-2 ，把点B 向右平移3个单位得到C 3，-2 ，作CD ⊥AB 于点D ，交x 轴于点F ，过点B 作B E ∥CD 交x 轴于点E ，则四边形EFCB 是平行四边形，此时，BE =B E =CF ，∴BE +DF =CF +DF =CD 有最小值，作CP ⊥x 轴于点P ，则CP =2，OP =3，∵∠CFP =∠AFD ，∴∠FCP =∠FAD ，∴tan ∠FCP =tan ∠FAD ，∴PF PC =OB OA ，即PF 2=26，∴PF =23，则F 113，0 ，设直线CD 的解析式为y =kx +b ，则3k +b =-2113k +b =0，解得k =3b =-11 ，∴直线CD 的解析式为y =3x -11，联立，y =3x -11y =-13x +2 ，解得x =3910y =710，即D 3910，710；过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，直线y =-43x +2与x 轴的交点为Q 32，0 ，则BQ =OQ 2+OB 2=52，∴sin ∠OBQ =OQ BQ =3252=35，∴HG =BH sin ∠GBH =35BH ，∴3BH +5DH =535BH +DH =5HG +DH =5DG ，即3BH +5DH 的最小值是5DG =5×3910=392，故答案为：392．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3(2023·江苏无锡·统考中考真题)二次函数y =a (x -1)(x -5)a >12的图像与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，过点M 3，1 的直线将△ABC 分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则a 的值为．【答案】910或2+25或2+12【分析】先求得A 1,0 ，B 5,0 ，C 0,5a ，直线BM 解析式为y =-12x +52，直线AM 的解析式为y =12x -12，1)、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则①如图1，直线AM 过BC 中点，②如图2，直线BM 过AC 中点，直线BM 解析式为y =-12x +52，AC 中点坐标为12,52a ，待入直线求得a =910；③如图3，直线CM 过AB 中点，AB 中点坐标为3,0 ，直线MB 与y 轴平行，必不成立；2)当分成三角形和梯形时，过点M 的直线必与△ABC 一边平行，所以必有“A ”型相似，因为平分面积，所以相似比为1:2．④如图4，直线EM ∥AB ，根据相似三角形的性质，即可求解；⑤如图5，直线ME ∥AC ，⑥如图6，直线ME ∥BC ，同理可得AE AB =12，进而根据tan ∠MEN =tan ∠CBO ，即可求解．【详解】解：由y =a (x -1)(x -5)，令x =0，解得：y =5a ，令y =0，解得：x 1=1,x 2=5，∴A 1,0 ，B 5,0 ，C 0,5a ，设直线BM 解析式为y =kx +b ，∴5k +b =03k +b =1解得：k =-12b =52 ∴直线BM 解析式为y =-12x +52，当x =0时，y =52，则直线BM 与y 轴交于0,52，∵a >12，∴5a >52，∴点M 必在△ABC 内部．1)、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线设直线AM 的解析式为y =mx +n∴k +b =03k +b =1解得：m =12n =-12 则直线AM 的解析式为y =12x -12①如图1，直线AM 过BC 中点，，BC 中点坐标为52, 52a ，代入直线求得a =310<12，不成立； ②如图2，直线BM 过AC 中点，直线BM 解析式为y =-12x +52，AC 中点坐标为12,52a ，待入直线求得a =910；③如图3，直线CM 过AB 中点，AB 中点坐标为3,0 ，∴直线MB 与y 轴平行，必不成立；2)、当分成三角形和梯形时，过点M 的直线必与△ABC 一边平行，所以必有“A ”型相似，因为平分面积，所以相似比为1:2．④如图4，直线EM ∥AB ，∴△CEN ∽△COA∴CE CO =CN CA =12，∴5a -15a =12，解得a =2+25；⑤如图5，直线ME∥AC，MN∥CO，则△EMN∽△ACO∴BE AB =12，又AB=4，∴BE=22，∵BN=5-3=2<22，∴不成立；⑥如图6，直线ME∥BC，同理可得AEAB=12，∴AE=22，NE=22-2，tan∠MEN=tan∠CBO，∴1 22-2=5a5，解得a=2+12；综上所述，a=910或2+25或2+12．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．二、解答题4(2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2-6x+8=0的两个根(OB>OC)．请解答下列问题：(1)求点B的坐标；(2)若OD:OC=2:1，直线y=-x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求tan∠MND的值；(3)在(2)的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)B-4,0(2)tan∠MND=13(3)存在，等腰三角形的个数是8个，Q16-522,52-42，Q26+522,-52+42，Q34,-3，Q4 -4,3【分析】(1)解方程得到OB，OC的长，从而得到点B的坐标；(2)由OD:OC=2:1，OC=2，得OD=4．由AD=BC=6，M是AD中点，得到点M的坐标，代入直线y =-x+b中，求得b的值，从而得到直线的解析式，进而求得点E，点F的坐标，由坐标特点可得∠FEO= 45°．过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K．从而△DOC∽△NKC，DO:OC=NK:CK=2: 1，进而得到NK=2CK，易证∠KEN=∠KNE=45°，可得EK=NK=2CK，因此EC=CK，由EC=OC -OE=2-1=1可得CK=1，NK=2，EK=2，从而通过解直角三角形在Rt△ENK中，得到EN=EK cos∠KEN =22，在Rt△ECH中，CH=EH=EC⋅cos∠CEH=22，因此求得NH=EN-EH=322，最终可得结果tan∠MND=CHNH=13；(3)分PN=PQ，PN=NQ，PQ=NQ三大类求解，共有8种情况．【详解】(1)解方程x2-6x+8=0，得x1=4，x2=2．∵OB>OC，∴OB=4，OC=2．∴B-4,0；(2)∵OD:OC=2:1，OC=2∴OD=4．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=6．∵M是AD中点，∴MD=3．∴M-3,4．将M-3,4代入y=-x+b，得3+b=4．∴b=1．∴E1,0，F0,1．∴∠FEO=45°．过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K．∵△DOC∽△NKC，DO:OC=NK:CK=2:1．∴NK=2CK∵∠KEN=∠FEO=45°∴∠KNE=90°-∠KEN=45°∴∠KEN=∠KNE∴EK=NK=2CK∴EC=CK∵EC=OC-OE=2-1=1∴CK=1，NK=2，EK=2∴在Rt△ENK中，EN=EKcos∠KEN =2cos45°=22在Rt△ECH中，CH=EH=EC⋅cos∠CEH=1⋅cos45°=22∴NH =EN -EH =22-22=322∴tan ∠MND =CH NH =22322=13(3)解：由(2)知：直线EF 解析式为y =-x +1，N 3,-2 ，设P 0,p ，Q q ,-q +1 ，①当PN =QN =5时，3-0 2+-2-p 2=52，3-q 2+-2+q -1 2=52，解得p =-6或p =2，q =6+522或q =6-522，∴Q 16-522,52-42 ，Q 26+522,-52+42 ，P 10,-6 ，P 20,2 ，如图，△P 1Q 1N 、△P 1Q 2N 、△P 2Q 1N 、△P 2Q 2N 都是以5为腰的等腰三角形，；②当PQ =QN =5时，由①知：Q 16-522,52-42 ，Q 26+522,-52+42 ，∵6+522>5，∴PQ 2不可能等于5，如图，△P 3Q 1N ，△P 4Q 1N 都是以5为腰的等腰三角形，；③当PN=PQ=5时，由①知：P10,-6，P20,2，当P10,-6时，0-q2+-6+q-12=5，解得q1=3(舍去)，q2=4，∴Q34,-3，如图，当P20,2时，0-q2+2+q-12=5，解得q1=3(舍去)，q2=-4，∴Q4-4,3，如图，综上，等腰三角形的个数是8个，符合题意的Q坐标为Q16-522,52-42，Q26+522,-52+42，Q34,-3，Q4-4,3【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与平行四边形，等腰三角形的综合问题，数形结合思想是解题的关键．5(2023·湖南·统考中考真题)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上运动，满足AB 2=BC 2+AC 2，延长AC 至点D ，使得∠DBC =∠CAB ，点E 是弦AC 上一动点(不与点A ，C 重合)，过点E 作弦AB 的垂线，交AB 于点F ，交BC 的延长线于点N ，交⊙O 于点M (点M 在劣弧AC上)．(1)BD 是⊙O 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；(2)记△BDC ，△ABC ，△ADB 的面积分别为S 1，S 2，S ，若S 1⋅S =S 2 2，求tan D 2的值；(3)若⊙O 的半径为1，设FM =x ，FE ⋅FN ⋅1BC ⋅BN +1AE ⋅AC=y ，试求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【答案】(1)BD 是⊙O 的切线，证明见解析(2)1+52(3)y =x 0<x ≤1【分析】(1)依据题意，由勾股定理，首先求出∠ACB =90°，从而∠CAB +∠ABC =90°，然后根据∠DBC =∠CAB ，可以得解；(2)由题意，据S 1⋅S =S 2 2得CD CD +AC =AC 2，再由tan ∠D =BC CD =tan ∠ABC =AC BC ，进而进行变形利用方程的思想可以得解；(3)依据题意，连接OM ，分别在Rt △OFM 、Rt △AFE 、Rt △BFN 中，找出边之间的关系，进而由FE ⋅FN ⋅1BC ⋅BN +1AE ⋅AC=y ，可以得解．【详解】(1)解：BD 是⊙O 的切线．证明：如图，在△ABC 中，AB 2=BC 2+AC 2，∴∠ACB =90°．又点A ，B ，C 在⊙O 上，∴AB 是⊙O 的直径．∵∠ACB =90°，∴∠CAB +∠ABC =90°．又∠DBC =∠CAB ，∴∠DBC +∠ABC =90°．∴∠ABD =90°．∴BD 是⊙O 的切线．(2)由题意得，S 1=12BC ⋅CD ，S 2=12BC ⋅AC ，S =12AD ⋅BC ．∵S 1⋅S =S 2 2，∴12BC ⋅CD ⋅12AD ⋅BC =12BC ⋅AC 2．∴CD •AD =AC 2．∴CD CD +AC =AC 2．又∵∠D +∠DBC =90°，∠ABC +∠A =90°，∠DBC =∠A ，∴∠D =∠ABC ．∴tan ∠D =BC CD =tan ∠ABC =AC BC．∴CD =BC 2AC．又CD CD +AC =AC 2，∴BC 4AC2+BC 2=AC 2．∴BC 4+AC 2⋅BC 2=AC 4．∴1+AC BC 2=AC BC4．由题意，设tan D 2=m ，∴AC BC2=m ．∴1+m =m 2．∴m =1±52．∵m >0，∴m =1+52．∴tan D 2=1+52．(3)设∠A =α，∵∠A +∠ABC =∠ABC +∠DBC =∠ABC +∠N =90°，∴∠A =∠DBC =∠N =α．如图，连接OM ．∴在Rt △OFM 中，OF =OM 2-FM 2=1-x 2．∴BF =BO +OF =1+1-x 2，AF =OA -OF =1-1-x 2．∴在Rt △AFE 中，EF =AF ⋅tan α=1-1-x 2 ⋅tan α，AE =AF cos α=1-1-x 2cos α．在Rt △ABC 中，BC =AB ⋅sin α=2sin α．(∵r =1，∴AB =2)AC =AB ⋅cos α=2cos α．在Rt △BFN 中，BN =BF sin α=1+1-x 2sin α，FN =BF tan α=1+1-x 2tan α．∴y =FE ⋅FN ⋅1BC ⋅BN +1AE ⋅AC=x 2⋅12+21-x 2+12-21-x 2=x 2⋅2-21-x 2+2+21-x 24-41-x 2 =x 2⋅1x 2=x 2⋅1x=x ．即y =x ．∵FM ⊥AB ，∴FM 最大值为F 与O 重合时，即为1．∴0<x ≤1．综上，y =x 0<x ≤1 ．【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，切线的判定定理，求角的正切值，解题时要熟练掌握并灵活运用．6(2023·湖南·统考中考真题)我们约定：若关于x 的二次函数y 1=a 1x 2+b 1x +c 1与y 2=a 2x 2+b 2x +c 2同时满足a 2-c 1+(b 2+b 1)2+c 2-a 1 =0，b 1-b 22023≠0，则称函数y 1与函数y 2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：(1)若关于x 的二次函数y 1=2x 2+kx +3与y 2=mx 2+x +n 互为“美美与共”函数，求k ，m ，n 的值；(2)对于任意非零实数r ，s ，点P r ，t 与点Q s ，t r ≠s 始终在关于x 的函数y 1=x 2+2rx +s 的图像上运动，函数y 1与y 2互为“美美与共”函数．①求函数y 2的图像的对称轴；②函数y 2的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x 的二次函数y 1=ax 2+bx +c 与它的“美美与共”函数y 2的图像顶点分别为点A ，点B ，函数y 1的图像与x 轴交于不同两点C ，D ，函数y 2的图像与x 轴交于不同两点E ，F ．当CD =EF 时，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．【答案】(1)k 的值为-1，m 的值为3，n 的值为2(2)①函数y 2的图像的对称轴为x =-13；②函数y 2的图像过两个定点0，1 ，-23,1 ，理由见解析(3)能构成正方形，此时S >2【分析】(1)根据题意得到a 2=c 2，a 1=c 2，b 1=-b 2≠0即可解答；(2)①求出y 1的对称轴，得到s =-3r ，表示出y 2的解析式即可求解；②y 2=-3rx 2-2rx +1=-3x 2+2x r +1，令3x 2+2x =0求解即可；(3)由题意可知y 1=ax 2+bx +c ，y 2=cx 2-bx +a 得到A 、B 的坐标，表示出CD ，EF ，根据CD =EF 且b 2-4ac >0，得到a =c ，分a =-c 和a =c 两种情况求解即可．【详解】(1)解：由题意可知：a 2=c 2，a 1=c 2，b 1=-b 2≠0，∴m =3，n =2，k =-1．答：k 的值为-1，m 的值为3，n 的值为2．(2)解：①∵点P r ，t 与点Q s ，t r ≠s 始终在关于x 的函数y 1=x 2+2rx +s 的图像上运动，∴对称轴为x =r +s 2=-2r 2，∴s =-3r ，∴y 2=sx 2-2rx +1，∴对称轴为x =--2r 2s =r s =-13．答：函数y 2的图像的对称轴为x =-13．②y 2=-3rx 2-2rx +1=-3x 2+2x r +1，令3x 2+2x =0，解得x 1=0,x 2=-23，∴过定点0，1，-2 3 ,1．答：函数y2的图像过定点0，1，-2 3 ,1．(3)解：由题意可知y1=ax2+bx+c，y2=cx2-bx+a，∴A-b2a ,4ac-b24a,B b2c,4ac-b24c，∴CD=b2-4aca ，EF=b2-4acc，∵CD=EF且b2-4ac>0，∴a =c ；①若a=-c，则y1=ax2+bx-a,y2=-ax2-bx+a，要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，则△CAD，△CBD为等腰直角三角形，∴CD=2y A ，∴b2+4a2|a|=2⋅-4a2-b24a，∴2b2+4a2=b2+4a2，∴b2+4a2=4，∴S正=12CD2=12⋅b2-4aca2=12⋅b2+4a2a2=2a2，∵b2=4-4a2>0，∴0<a2<1，∴S正>2；②若a=c，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时S>2．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．7(2023·江苏无锡·统考中考真题)如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A=60°，点Q为CD的中点，P为线段AB上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB C Q．(1)当∠QPB=45°时，求四边形BB C C的面积；(2)当点P在线段AB上移动时，设BP=x，四边形BB C C的面积为S，求S关于x的函数表达式．【答案】(1)43+8(2)S=323xx2+12+43【分析】(1)连接BD、BQ，根据菱形的性质以及已知条件可得△BDC为等边三角形，根据∠QPB=45°，可得△PBQ为等腰直角三角形，则PB=23，PQ=26，根据翻折的性质，可得∠BPB =90°，PB=PB ，则BB =26，PE=6；同理CQ=2，CC =22，QF=2；进而根据S四边形BB C C=2S梯形PBCQ-S△PBB+S △CQC，即可求解；(2)等积法求得BE =23x x 2+12，则QE =12x 2+12，根据三角形的面积公式可得S △QEB =123x x 2+12，证明△BEQ ∼△QFC ，根据相似三角形的性质，得出S △QFC =43x x 2+12，根据S =2S △QEB +S △BQC +S △QFC 即可求解．【详解】(1)如图，连接BD 、BQ ，∵四边形ABCD 为菱形，∴CB =CD =4，∠A =∠C =60°，∴△BDC 为等边三角形．∵Q 为CD 中点，∴CQ =2，BQ ⊥CD ，∴BQ =23，QB ⊥PB ．∵∠QPB =45°，∴△PBQ 为等腰直角三角形，∴PB =23，PQ =26，∵翻折，∴∠BPB =90°，PB =PB ，∴BB =26，PE =6；.同理CQ =2，∴CC =22，QF =2，∴S 四边形BB C C =2S 梯形PBCQ -S △PBB +S △CQC =2×12×2+23 ×23-12×23 2+12×22=43+8；(2)如图2，连接BQ 、B Q ，延长PQ 交CC 于点F ．∵PB =x ，BQ =23，∠PBQ =90°，∴PQ =x 2+12．∵S △PBQ =12PQ ×BE =12PB ×BQ ∴BE =BQ ×PB PQ =23x x 2+12，∴QE =12x 2+12，∴S △QEB =12×23x x 2+12×12x 2+12=123x x 2+12．∵∠BEQ =∠BQC =∠QFC =90°，则∠EQB =90°-∠CQF =∠FCQ ，∴△BEQ ∼△QFC ，∴S △QFC S △BEQ =CQ QB 2=223 2=13，∴S △QFC =43x x 2+12．∵S △BQC =12×2×23=23，∴S =2S △QEB +S △BQC +S △QFC =2123x x 2+12+23+43x x 2+12=323x x 2+12+43．【点睛】本题考查了菱形与折叠问题，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．8(2023·江苏徐州·统考中考真题)如图，在平而直角坐标系中，二次函数y=-3x2+23x的图象与x 轴分别交于点O,A，顶点为B．连接OB,AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连接BC．点D,E分别在线段OB,BC上，连接AD,DE,EA,DE与AB交于点F,∠DEA=60°．(1)求点A,B的坐标；(2)随着点E在线段BC上运动．①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段DE的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，△BDE的面积为．【答案】(1)A2，0，B1，3；(2)①∠EDA的大小不变，理由见解析；②线段BF的长度存在最大值为12；(3)239【分析】(1)y=0得-3x2+23x=0，解方程即可求得A的坐标，把y=-3x2+23x化为顶点式即可求得点B的坐标；(2)①在AB上取点M，使得BM=BE，连接EM，证明△AED是等边三角形即可得出结论；②由BM= AB-AF=2-AF，得当AF最小时，BF的长最大，即当DE⊥AB时，BF的长最大，进而解直角三角形即可求解；(3)设DE的中点为点M，连接AM，过点D作DH⊥BN于点H，证四边形OACB是菱形，得BC∥OA，进而证明△MBE≌△MHD得DH=BE，再证△BME∽△NAM，得ANBM=MNBE=AMME即1BM=MNBE=3，结合三角形的面积公式即可求解．【详解】(1)解：∵y=-3x2+23x=-3x-12+3，∴顶点为B1，3，令y=0，-3x2+23x=0，解得x=0或x=2，∴A2，0；(2)解：①∠EDA的大小不变，理由如下：在AB上取点M，使得BM=BE，连接EM，∵y=-3x-12+3，∴抛物线对称轴为x=1，即ON=1，∵将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，∴∠BAC=60°，AB=AC，∴△BAC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠C=60°，∵A2，0，B1，3，O0，0，ON=1，∴OA=2，OB=12+32=2，AB=2-12+32=2，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AC=BC=2，∴∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°，∵∠MBE=60°，BM=BE，∴△BME是等边三角形，∴∠BME=60°=∠ABE，ME=BE=BM，∴∠AME=180°-∠BME=120°，BD∥EM，∵∠DBE=∠ABO+∠ABC=120°，∴∠DBE=∠AME，∵BD∥EM，∴∠FEM+∠BED=180°-120°=60°=∠AEF=∠MEA+∠FEM，∴∠BED=∠MEA，∴△BED≌△MEA，∴DE=EA，又∠AED=60°，∴△AED是等边三角形，∴∠ADE=60°，即∠ADE的大小不变；②，∵BF=AB-AF=2-AF，∴当AF最小时，BF的长最大，即当DE⊥AB时，BF的长最大，∵△DAE是等边三角形，∴∠DAF=12∠DAE=30,∴∠OAD=60°-∠DAF=30°，∴AD⊥OB，∴AD=OA×cos∠OAD=2×cos30°=3，∴AF=AD×cos∠DAF=2×cos30°=32，∴BF=AB-AF=2-32=12，即线段BF的长度存在最大值为12；(3)解：设DE的中点为点M，连接AM，过点D作DH⊥BN于点H，∵OA=OB=AC=BC=2，∴四边形OACB是菱形，∴BC∥OA，∵DH⊥BN，AN⊥BN，∴DH∥BC∥OA，∴∠MBE=∠MHD，∠MEB=∠MDH，∵DE的中点为点M，∴MD=ME，∴△MBE≌△MHD，∴DH =BE ，∵∠ANM =90°，∴∠MBE =180°-90°=90°=∠ANM ，∠NMA +∠NAM =90°，∵DE 的中点为点M ，△DAE 是等边三角形，∴AM ⊥DE ，∴∠AME =90°，∴∠BME +∠NMA =180°，∴∠BME =∠NAM ，∴△BME ∽△NAM ，∴AN BM =MN BE =AM ME 即1BM =MN BE=3，∴BM =33， ∴MN =BN -BM =233，∴DH =BE =MN 3=23，∴S △BDE =S △BDM +S △BEM =12×33×23+12×33×23=239，故答案为239．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质以及解直角三角形，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键．9(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧)，交y 轴于点D ，交x 轴于点E ．(1)求点D ,E ,C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点OF <EF ，连接AF ,DF ,CF ，且AF 2+EF 2=21．①求证：△DFC 是直角三角形；②∠DFC 的平分线FK 交线段DC 于点K ,P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan ∠PFK =1时，求点P 的坐标．【答案】(1)C (3,1)，D (0,2)，E (6,0)(2)①证明见解析，②点P 的坐标为(1,3)或(7,37-6)【分析】(1)根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；(2)①设F (m ,0),然后利用勾股定理求解，m =2，过点C 作CG ⊥x 轴，垂足为G ．再由等腰三角形及各角之间的关系即可证明；②根据题意得出tan ∠PFK =13，设点P 的坐标为t ,-t 2+3t +1 ，根据题意得13<t <3．分两种情况分析：(i )当点P 在直线KF 的左侧抛物线上时，tan ∠P 1FK =13,13<t <2．(ii )当点P 在直线KF 的右侧抛物线上时，tan ∠P 2FK =13,2<t <3．求解即可．【详解】(1)解：∵直线y =-13x +2交y 轴于点D ，交x 轴于点E ，当x =0时，y =2,∴D 0,2 ，当y =0时，x =6,∴E 6,0 ．∵直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点，∴-x 2+3x +1=-13x +2，∴3x 2-10x +3=0，解得x 1=13,x 2=3．∵点B 在点C 的左侧，∴点C 的横坐标为3，当x =3时，y =1．∴C (3,1)；(2)如图，①抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，当x =0时，y =1,．∴A (0,1),∴OA =1,在Rt △AOF 中，∠AOF =90°，由勾股定理得AF 2=OA 2+OF 2，设F (m ,0),∴OF =m ,∴AF 2=1+m 2，∵E (6,0),．∴OE =6,∴EF =OE -OF =6-m ，∵AF 2+EF 2=21,∴1+m 2+(6-m )2=21,∴m 1=2,m 2=4，∵OF <EF ,∴m =2,∴OF =2，∴F (2,0)．∵D (0,2),∴OD =2，∴OD =OF ．∴△DOF 是等腰直角三角形，∴∠OFD=45°．过点C作CG⊥x轴，垂足为G．∵C(3,1),∴CG=1,OG=3，∵GF=OG-OF=1,∴CG=GF,∴△CGF是等腰直角三角形，∴∠GFC=45°,∴∠DFC=90°,∴△DFC是直角三角形．②∵FK平分∠DFC,∠DFC=90°,∴∠DFK=∠CFK=45°∴∠OFK=∠OFD+∠DFK=90°,∴FK∥y轴．∵3tan∠PFK=1，∴tan∠PFK=13．设点P的坐标为t,-t2+3t+1，根据题意得13<t<3．(i)当点P在直线KF的左侧抛物线上时，tan∠P1FK=13,13<t<2．过点P1作P1H⊥x轴，垂足为H．∴P1H∥KF,∠HP1F=∠P1FK，∴tan∠HP1F=13．∵HF=OF-OH,∴HF=2-t，在Rt△P1HF中，∵tan∠HP1F=HFP1H =13,∴P1H=3HF，∵P1H=-t2+3t+1，∴-t2+3t+1=3(2-t),∴t2-6t+5=0,∴t1=1,t2=5(舍去)．当t=1时，-t2+3t+1=3,∴P1(1,3)(ii)当点P在直线KF的右侧抛物线上时，tan∠P2FK=13,2<t<3．过点P2作P2M⊥x轴，垂足为M．∴P2M∥KF,∴∠MP2F=∠P2FK，∴tan∠MP2F=13,∵MF=OM-OF,∴MF=t-2在Rt △P 2MF 中，∵tan ∠MP 2F =MF P 2M=13,∴P 2M =3MF ，∵P 2M =-t 2+3t +1，∴-t 2+3t +1=3(t -2),∴t 2=7,∴t 3=7,t 4=-7(舍去)．当t =7时，-t 2+3t +1=37-6,∴P 2(7,37-6)∴点P 的坐标为(1,3)或(7,37-6)．【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，特殊三角形问题及解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．10(2023·吉林·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，AB =4cm ，点O 是对角线AC 的中点，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，点P 以1cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动，点Q 以2cm/s 的速度沿折线BC -CD 向终点D 匀速运动．连接PO 并延长交边CD 于点M ，连接QO 并延长交折线DA -AB 于点N ，连接PQ ，QM ，MN ，NP ，得到四边形PQMN ．设点P 的运动时间为x (s )(0<x <4)，四边形PQMN 的面积为y (cm 2)(1)BP 的长为cm ，CM 的长为cm ．(用含x 的代数式表示)(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．(3)当四边形PQMN 是轴对称图形时，直接写出x 的值．【答案】(1)4-x ；x(2)y =4x 2-12x +160<x ≤2 -4x +162<x ≤4(3)x =43或x =83【分析】(1)根据正方形中心对称的性质得出OM =OP ,OQ =ON ，可得四边形PQMN 是平行四边形，证明△ANP ≌△CQM 即可；(2)分0<x ≤2，2<x ≤4两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解；(3)根据(2)的图形，分类讨论即可求解．【详解】(1)解：依题意，AP =x ×1=x cm ，则PB =AB -AP =4-x cm ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ,∠DAB =∠DCB =90°，∵点O 是正方形对角线AC 的中点，∴OM =OP ,OQ =ON ，则四边形PQMN 是平行四边形，∴MQ =PN ，MQ ∥NP ，∴∠PNQ =∠MQN ，又AD ∥BC ，∴∠ANQ =∠CQN ，∴∠ANP =∠MQC ，在△ANP ,△CQM 中，∠ANP =∠MQC∠NAP =∠QCM NP =MQ，∴△ANP ≌△CQM ，∴MC =AP =x cm故答案为：4-x ；x ．(2)解：当0<x ≤2时，点Q 在BC 上，由(1)可得△ANP ≌△CQM ，同理可得△PBQ ≌△MDN ，∵PB =4-x ,QB =2x ,MC =x ，QC =4-2x ，则y =AB 2-2S △MCQ -2S △BPQ=16-4-x ×2x -x 4-2x=4x 2-12x +16；当2<x ≤4时，如图所示，则AP =x ，AN =CQ =2x -CB =2x -4，PN =AP -AN =x -2x -4 =-x +4，∴y =-x +4 ×4=-4x +16；综上所述，y =4x 2-12x +160<x ≤2-4x +162<x ≤4 ；(3)依题意，①如图，当四边形PQMN 是矩形时，此时∠PQM =90°，∴∠PQB +∠CQM =90°，∵∠BPQ +∠PQB =90°，∴∠BPQ =∠CQM ，又∠B =∠BCD ，∴△BPQ ~△CQM ，∴BP CQ =BQCM ，即4-x 4-2x =2x x，解得：x =43，当四边形PQMN 是菱形时，则PQ =MQ ，∴4-x 2+2x 2=x 2+4-2x 2，解得：x =0(舍去)；②如图所示，当PB =CQ 时，四边形PQMN 是轴对称图形，4-x =2x -4，解得x =83，当四边形PQMN 是菱形时，则PN =PQ=4，即-x +4=4，解得：x =0(舍去)，综上所述，当四边形PQMN 是轴对称图形时，x =43或x =83．【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．11(2023·广东·统考中考真题)综合运用如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，如图2，将正方形OABC绕点O 逆时针旋转，旋转角为α0°<α<45°，AB交直线y=x于点E，BC交y轴于点F．(1)当旋转角∠COF为多少度时，OE=OF；(直接写出结果，不要求写解答过程)(2)若点A(4,3)，求FC的长；(3)如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y=x于点N，连接FN，将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2，设S=S1-S2，AN=n，求S关于n的函数表达式．【答案】(1)22.5°(2)FC=154(3)S=1n22【分析】(1)根据正方形的性质及直角三角形全等的判定及性质得出∠AOG=∠AOE，再由题意得出∠EOG=45°，即可求解；(2)过点A作AP⊥x轴，根据勾股定理及点的坐标得出OA=5，再由相似三角形的判定和性质求解即可；(3)根据正方形的性质及四点共圆条件得出O、C、F、N四点共圆，再由圆周角定理及等腰直角三角形的判定和性质得出FN=ON，∠FNO=90°，过点N作GQ⊥BC于点G，交OA于点Q，利用全等三角形及矩形的判定和性质得出CG=OQ,CO=QG，结合图形分别表示出S1，S2，得出S=S1-S2=NQ2，再由等腰直角三角形的性质即可求解．【详解】(1)解：∵正方形OABC，∴OA=OC，∠A=∠C=90°，∵OE=OF，∴Rt△OCF≌Rt△OAE(HL)，∴∠COF=∠AOE，∵∠COF=∠AOG，∴∠AOG=∠AOE，∵AB交直线y=x于点E，∴∠EOG=45°，∴∠AOG=∠AOE=22.5°，即∠COF=22.5°；(2)过点A作AP⊥x轴，如图所示：∵A (4,3)，∴AP =3,OP =4，∴OA =5，∵正方形OABC ，∴OC =OA =5，∠C =90°，∴∠C =∠APO =90°，∵∠AOP =∠COF ，∴△OCF ∽△OPA ，∴OC OP =FC AP即54=FC 3，∴FC =154；(3)∵正方形OABC ，∴∠BCA =∠OCA =45°，∵直线y =x ，∴∠FON =45°，∴∠BCA =∠FON =45°，∴O 、C 、F 、N 四点共圆，∴∠OCN =∠FON =45°，∴∠OFN =∠FON =45°，∴ΔFON 为等腰直角三角形，∴FN =ON ，∠FNO =90°，过点N 作GQ ⊥BC 于点G ，交OA 于点Q ，∵BC ∥OA ，∴GQ ⊥OA ，∵∠FNO =90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，∴△FGN ≌△NQO (AAS )∴GN =OQ ,FG =QN ，∵GQ ⊥BC ，∠FCO =∠COQ =90°，∴四边形COQG 为矩形，∴CG =OQ ,CO =QG ，∴S 1=S ΔOFN =12ON 2=12OQ 2+NQ 2 =12GN 2+NQ 2 =12GN 2+12NQ 2，S 2=S ΔCOF =12CF ⋅CO =12GC -FG GN +NQ =12GN 2-NQ 2 =12GN 2-12NQ 2，∴S =S 1-S 2=NQ 2，∵∠OAC =45°，∴△AQN 为等腰直角三角形，∴NQ =22AN =22n ，∴S =NQ 2=22n 2=12n2【点睛】题目主要考查全等三角形、相似三角形及特殊四边形的判定和性质，四点共圆的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．12(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B (4,0)两点，与y 轴交于点C (0,2)，点P 为第一象限抛物线上的点，连接CA ,CB ,PB ,PC ．(1)直接写出结果；b =，c =，点A 的坐标为，tan ∠ABC =；(2)如图1，当∠PCB =2∠OCA 时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD =OB ，点Q 为抛物线上一点，∠QBD =90°，点E ，F 分别为△BDQ 的边DQ ,DB 上的动点，QE =DF ，记BE +QF 的最小值为m ．①求m 的值；②设△PCB 的面积为S ，若S =14m 2-k ，请直接写出k 的取值范围．【答案】(1)32，2，-1,0 ，12(2)2,3(3)m =217，13≤k <17【分析】(1)利用待定系数法求二次函数解析式即可求得b =32、c =2，从而可得OB =4，OC =2，由y =0，可得-12x 2+32x +2=0，求得A -1,0 ，在Rt △COB 中，根据正切的定义求值即可；(2)过点C 作CD ∥x 轴，交BP 于点D ，过点P 作PE ∥x 轴，交y 轴于点E ，由tan ∠OCA =tan ∠ABC =12，即∠OCA =∠ABC ，再由∠PCB =2∠ABC ，可得∠EPC =ABC ，证明△PEC ∼△BOC ，可得EP OB=EC OC，设点P 坐标为t ,-12t 2+32t +2 ，可得t4=-12t 2+32t 2，再进行求解即可；(3)①作DH ⊥DQ ，且使DH =BQ ，连接FH ．根据SAS 证明△BQE ≌△HDF ，可得BE +QF =FH +QF ≥QH ，即Q ，F ，H 共线时，BE +QF 的值最小．作QG ⊥AB 于点G ，设G (n ,0)，则Q n ,-12n 2+32n +2 ，根据QG =BG 求出点Q 的坐标，燃然后利用勾股定理求解即可；②作PT ∥y 轴，交BC 于点T ，求出BC 解析式，设T a ,-12a +2 ，P a ,-12a 2+32a +2 ，利用三角形面积公式表示出S ，利用二次函数的性质求出S 的取值范围，结合①中结论即可求解．【详解】(1)解：∵抛物线y =-12x 2+bx +c 经过点B (4,0)，C (0,2)，∴-8+4b +c =0c =2 ，解得：b =32c =2 ，∴抛物线解析式为：y =-12x 2+32x +2，∵抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B (4,0)两点，∴y =0时，-12x 2+32x +2=0，解得：x 1=-1，x 2=4，∴A -1,0 ，∴OB =4，OC =2，在Rt △COB 中，tan ∠ABC =OC OB=24=12，故答案为：32，2，-1,0 ，12；(2)解：过点C 作CD ∥x 轴，交BP 于点D ，过点P 作PE ∥x 轴，交y 轴于点E ，∵AO =1，OC =2，OB =4，∴tan ∠OCA =AOCO=12，由(1)可得，tan ∠ABC =12，即tan ∠OCA =tan ∠ABC ，∴∠OCA =∠ABC ，∵∠PCB =2∠OCA ，∴∠PCB =2∠ABC ，∵CD ∥x 轴，EP ∥x 轴，∴∠ACB =∠DCB ，∠EPC =∠PCD ，∴∠EPC =ABC ，又∵∠PEC =∠BOC =90°，∴△PEC ∽△BOC ，∴EP OB =EC OC，设点P 坐标为t ,-12t 2+32t +2 ，则EP =t ，EC =-12t 2+32t +2-2=-12t 2+32t ，∴t4=-12t 2+32t 2，解得：t =0(舍)，t =2，∴点P 坐标为2,3 ．(3)解：①如图2，作DH ⊥DQ ，且使DH =BQ ，连接FH ．∵∠BQD +∠BDQ =90°，∠HDF +∠BDQ =90°，∴∠QD =∠HDF ，∵QE =DF ，DH =BQ ，∴△BQE ≌△HDF (SAS )，∴BE =FH ，∴BE +QF =FH +QF ≥QH ，∴Q ，F ，H 共线时，BE +QF 的值最小．作QG ⊥AB 于点G ，∵OB =OD ，∠BOD =90°，∴∠OBD =45°，∵∠QBD =90°，∴∠QBG =45°，∴QG=BG．设G(n,0)，则Q n,-12n2+32n+2，∴-12n2+32n+2=4-n，解得n=1或n=4(舍去)，∴Q(2,3)，∴QG=BG=4-1=3，∴BQ=DH=32，QD=52，∴m=QH=322+522=217；②如图3，作PT∥y轴，交BC于点T，待定系数法可求BC解析式为y=-12x+2，设T a,-12a+2，P a,-12a2+32a+2，则S=12-12a2+32a+2+12a-2×4=-a-22+4，∴0<S≤4，∴0<14m2-k≤4，∴0<17-k≤4，∴13≤k<17．【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与x轴的交点、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、二次函数最值、用分割法求三角形面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．13(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，已知A(0,2),B(2,0)．点E位于第二象限且在直线y=-2x 上，∠EOD=90°，OD=OE，连接AB，DE，AE，DB．(1)直接判断△AOB的形状：△AOB是三角形；(2)求证：△AOE≌△BOD；(3)直线EA交x轴于点C(t,0),t>2．将经过B，C两点的抛物线y1=ax2+bx-4向左平移2个单位，得到抛物线y2．①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值；②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值；③将抛物线y2再向下平移，2(t-1)2个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标．【答案】(1)等腰直角三角形(2)详见解析(3)①t=3；②t=6；③D125,6 5【分析】(1)由A(0,2),B(2,0)得到OA=OB=2，又由∠AOB=90°，即可得到结论；(2)由∠EOD=90°，∠AOB=90°得到∠AOE=∠BOD，又有AO=OB，OD=OE，利用SAS即可证明△AOE≌△BOD；(3)①求出直线AC的解析式和抛物线y1的解析式，联立得x2-t+3x+3t=0，由Δ=(t+3)2-4×3t= (t-3)2=0即可得到t的值；②抛物线y1=-2tx2+2t(t+2)x-4向左平移2个单位得到抛物线y2=-2tx-t-222+(t-2)22t，则抛物线y2的顶点Pt-22,(t-2)22t，将顶点P t-22,(t-2)22t代入y AC=-2t x+2得到t2-6t=0，解得t1=0,t2=6,根据t>2即可得到t的值；③过点E作EM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N，先证明△ODN≌△EOM(AAS)，则ON=EM,DN=OM，设EM=2OM=2m,由OA∥EM得到OC:CM=OA:EM,则tt+m =22m,求得m=tt-1,得到D2tt-1,tt-1，由抛物线y2再向下平移2(t-1)2个单位，得到抛物线y3=-2tx2+2t(t-2)x-2(t-1)2,把D2tt-1,tt-1代入抛物线y3=-2t x2+2t(t-2)x-2(t-1)2,得到3t2-19t+6=0,解得t1=13,t2=6,由t>2，得t=6,即可得到点D的坐标．【详解】(1)证明：∵A(0,2),B(2,0)，∴OA=OB=2，∵∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形(2)如图，∵∠EOD=90°，∠AOB=90°，∴∠AOB-∠AOD=∠DOE-∠AOD，∴∠AOE=∠BOD，∵AO=OB,OD=OE，∴△AOE≌△BOD(SAS)；(3)①设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A(0,2),C(t,0)，∴b=2kt+b=0 ，∴y AC=-2tx+2，将C(t,0),B(2,0)代入抛物线y1=ax2+bx-4得，0=at2+bt-40=4a+2b-4，解得a=-2t,b=2t(t+2)，∴y1=-2t x2+2t(t+2)x-4，∵直线y AC=-2t x+2与抛物线y1=-2tx2+2t(t+2)x-4有唯一交点∴联立解析式组成方程组解得x2-t+3x+3t=0∴Δ=(t+3)2-4×3t=(t-3)2=0∴t=3②∵抛物线y1=-2tx2+2t(t+2)x-4向左平移2个单位得到y2，∴抛物线y2=-2tx-t-222+(t-2)22t，∴抛物线y2的顶点P t-22,(t-2)22t，将顶点Pt-22,(t-2)22t代入y AC=-2t x+2，∴t2-6t=0，解得t1=0,t2=6,∵t>2，∴t=6；③过点E作EM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N,∴∠EMO=∠OND=90°，∵∠DOE=90°，∴∠EOM+∠MEO=∠EOM+∠NOD=90°，∴∠MEO=∠NOD，∵OD=OE，∴△ODN≌△EOM(AAS)，∴ON=EM,DN=OM，∵OE的解析式为y=-2x，∴设EM=2OM=2m,∴DN=OM=m，∵EM⊥x轴,∴OA∥EM,∴△CAO~△CEM，∴OC:CM=OA:EM,∴t t+m =2 2m,∴m=tt-1,∴EM=ON=2OM=2m=2tt-1，DN=OM=m=tt-1，∴D2tt-1,t t-1,∵抛物线y2再向下平移2(t-1)2个单位，得到抛物线y3，∴抛物线y3=-2t x2+2t(t-2)x-2(t-1)2,∴D2tt-1,t t-1代入抛物线y3=-2t x2+2t(t-2)x-2(t-1)2,∴3t2-19t+6=0,解得t 1=13,t 2=6,由t >2，得t =6,∴2t t -1=126-1=125,t t -1=66-1=65，∴D 125,65．【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了二次函数的平移、二次函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，熟练掌握二次函数的平移和数形结合是解题的关键．14(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的一边OC 在x 轴正半轴上，顶点A 的坐标为2,23 ，点D 是边OC 上的动点，过点D 作DE ⊥OB 交边OA 于点E ，作DF ∥OB 交边BC 于点F ，连接EF ．设OD =x ,△DEF 的面积为S ．(1)求S 关于x 的函数解析式；(2)当x 取何值时，S 的值最大？请求出最大值．【答案】(1)S =-32x 2+23x(2)当x =2时，S 的最大值为23【分析】(1)过点A 作AG ⊥OC 于点G ，连接AC ，证明△AOC 是等边三角形，可得DE =x ，进而证明△CDF ∽△COB ，得出DF =34-x ，根据三角形面积公式即可求解；(2)根据二次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：如图所示，过点A 作AG ⊥OC 于点G ，连接AC ，∵顶点A 的坐标为2,23 ，∴OA =22+232=4，OG =2，AG =23∴cos ∠AOG =OG AO=12，∴∠AOG =60°∵四边形OABC 是菱形，∴∠BOC =∠AOB =30°，AC ⊥BD ,AO =OC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠ACO =60°，∵DE ⊥OB ，∴DE ∥AC ,∴∠EDO =∠ACO =60°∴△EOD 是等边三角形，。

中考数学二次函数和几何综合汇编经典和答案解析1

中考数学二次函数和几何综合汇编经典和答案解析1一、二次函数压轴题1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++>与x 轴相交于()()1, 0, 3, 0A B -两点，点C 为抛物线的顶点．点(0,)M m 为y 轴上的动点，将抛物线绕点M 旋转180︒，得到新的抛物线，其中B C 、旋转后的对应点分别记为’'B C 、．（1）若1a =，求原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，当四边形''BCB C 的面积为40时，求m 的值；（3）探究a 满足什么条件时，存在点M ，使得四边形' 'BCB C 为菱形?请说明理由．2．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，()2,0A -，()4,0B ，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接AD ，BD ，BC ，CD ．（1）求抛物线的函数表达式：（2）若点D 在x 轴的下方，当BCD △的面积是92时，求ABD △的面积；（3）在直线l 上有一点P ，连接AP ，CP ，则AP CP 的最小值为______；（4）在（2）的条件下，点M 是x 轴上一点，点N 是抛物线上一动点，是否存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于A （﹣12，0），B （2，0）两点，与y 轴交于点C （0，1）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第一象限内抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，求DEAE的最大值；（3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l ∥BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点．试探究：在第四象限内是否存在这样的点P ，使△BPQ ∽△CAB ．若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣8与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．5．小明结合自己的学习经验，对新函数y ＝21b kx +的解析式、图象、性质及应用进行探究：已知当x ＝0时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝1．（1）函数解析式探究：根据给定的条件，可以确定由该函数的解析式为：．（2）函数图象探究：①根据解析式，补全如表，则m ＝，n ＝．②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象． x …… ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣12 0121 2 n 4 ……y……21715 25m85285 12515 217…… （3）函数性质探究：请你结合函数的解析式及所画图象，写出该函数的一条性质：．（4）综合应用：已知函数y ＝|715x ﹣815|的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|715x ﹣815|≤21bkx +．6．如果抛物线C 1：2y ax bx c =++与抛物线C 2：2y ax dx e =-++的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C 2是C 1的“对顶”抛物线．（1）求抛物线247y x x =-+的“对顶”抛物线的表达式；（2）将抛物线247y x x =-+的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线247y x x =-+形成两个交点M 、N ，记平移前后两抛物线的顶点分别为A 、B ，当四边形AMBN 是正方形时，求正方形AMBN 的面积．（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C 1与C 2的顶点位于x 轴上，那么系数b 与d ，c 与e 之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．7．某校九年级数学兴趣社团的同学们学习二次函数后，有兴趣的在一起探究“函数2||y x x =-的有关图象和性质”．探究过程如下：（1）列表：问m =______． x …3- 2- 1- 0 1 2 122…y (6)20 0 2 m…（2）请在平面直角坐标系中画出图象．（3）若方程2||x x p -=（p 为常数）有三个实数根，则p =______．（4）试写出方程2||x x p -=（p 为常数）有两个实数根时，p 的取值范围是______． 8．定义：如果一条直线把一个封闭的平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条中分线．如三角形的中线所在的直线是三角形的一条中分线．（1）按上述定义，分别作出图1，图2的一条中分线．（2）如图3，已知抛物线2132y x x m =-+与x 轴交于点(2,0)A 和点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．①求m 的值和点D 的坐标；②探究在坐标平面内是否存在点P ，使得以A ，C ，D ，P 为顶点的平行四边形的一条中分线经过点O ．若存在，求出中分线的解析式；若不存在，请说明理由．9．已知抛物线()2n n n y x a b =--+（n 为正整数，且120n a a a ≤<<<）与x 轴的交点为(0,0)A 和()1,0,2n n nn A c c c -=+．当1n =时，第1条抛物线()2111=--+y x a b 与x 轴的交点为(0,0)A 和1(2,0)A ，其他以此类推．（1）求11,a b 的值及抛物线2y 的解析式．（2）抛物线n y 的顶点n B 的坐标为（_______，_______）；以此类推，第(1)n +条抛物线1n y +的顶点1n B +的坐标为（______，_______）；所有抛物线的顶点坐标(,)x y 满足的函数关系式是_________．（3）探究以下结论：①是否存在抛物线n y ，使得△n n AA B 为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线n y 的解析式；若不存在，请说明理由．②若直线(0)=>x m m 与抛物线n y 分别交于点12,,,n C C C ，则线段12231,,,n n C C C C C C -的长有何规律？请用含有m 的代数式表示．10．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a x 2+b x+3经过A(1，0) 、B(－3，0)两点，与y 轴交于点C ．直线BC 经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1，请探究在平移的过程中是否存在点 O 1落在抛物线上的情形，若存在，求出点O 1的坐标，若不存在，说明理由；（3）如图2，设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，连结AC ，请探究在抛物线上是否存在一点F ，使直线EF ∥AC ，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由．二、中考几何压轴题11．如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，,GE BC ⊥垂足为点,E GF CD ⊥，垂足为点F ．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形；②推断：AGBE的值为_ _；（2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转a 角)045(a ︒<<︒，如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：若24AB EC ==，正方形CEGF 在绕点C 旋转过程中，当A E G 、、三点在一条直线上时，则BE = ．12．我们定义：连结凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线”．（1）概念理解：如图1，四边形ABCD 中，F 为CD 的中点，90ADB ∠=︒，E 是AB 边上一点，满足DE AE =，试判断EF 是否为四边形ABCD 的准中位线，并说明理由．（2）问题探究：如图2，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，动点E 以每秒1个单位的速度，从点A 出发向点C 运动，动点F 以每秒6个单位的速度，从点C 出发沿射线CB 运动，当点E 运动至点C 时，两点同时停止运动．D 为线段AB 上任意一点，连接并延长CD ，射线CD与点,,,A B E F 构成的四边形的两边分别相交于点,M N ，设运动时间为t ．问t 为何值时，MN 为点,,,A B E F 构成的四边形的准中位线．（3）应用拓展：如图3，EF 为四边形ABCD 的准中位线，AB CD =，延长FE 分别与BA ，CD 的延长线交于点,M N ，请找出图中与M ∠相等的角并证明． 13．几何探究：（问题发现）（1）如图1所示，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等边三角形，BD 、CE 的关系是_______（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）（类比探究）（2）如图2所示，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的含有30角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由；（拓展延伸）（3）如图3所示，△ADE 和△ABC 是有公共顶点且相似比为1 : 2的两个等腰直角三角形，将△ADE 绕点A 自由旋转，若22BC =，当B 、D 、E 三点共线时，直接写出BD 的长．14．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．（问题理解）(1)如图1，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，连接AD 、CD ．求证：四边形ABCD 是等补四边形；（拓展探究）(2)如图2，在等补四边形ABCD 中，AB ＝AD ，连接AC ，AC 是否平分∠BCD ？请说明理由；（升华运用）(3)如图3，在等补四边形ABCD 中，AB ＝AD ，其外角∠EAD 的平分线交CD 的延长线于点F ．若CD ＝6，DF ＝2，求AF 的长． 15．综合与实践操作探究（1）如图1，将矩形ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，AC 与EF 交于点G ．请回答下列问题：①与AEG △全等的三角形为______，与AEG △相似的三角形为______．并证明你的结论：（相似比不为1，只填一个即可）：②若连接AF 、CE ，请判断四边形AFCE 的形状：______．并证明你的结论；拓展延伸（2）如图2，矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，点M 、N 分別在AB 、DC 边上，且AM NC =，将矩形折叠，使点M 与点N 重合，折痕为EF ，MN 与EF 交于点G ，连接ME ．①设22m AM AE =+，22n ED DN =+，则m 与n 的数量关系为______； ②设AE a =，AM b =，请用含a 的式子表示b ：______； ③ME 的最小值为______．16．综合与实践．特例感知．两块三角板△ADB 与△EFC 全等，∠ADB ＝∠EFC ＝90°，∠B ＝45°，AB ＝6．将直角边AD 和EF 重合摆放．点P 、Q 分别为BE 、AF 的中点，连接PQ ，如图1．则△APQ 的形状为．操作探究（1）若将△EFC 绕点C 顺时针旋转45°，点P 恰好落在AD 上，BE 与AC 交于点G ，连接PF ，如图2． ①FG ：GA ＝；②PF 与DC 的位置关系为； ③求PQ 的长；开放拓展（2）若△EFC 绕点C 旋转一周，当AC ⊥CF 时，∠AEC 为． 17．综合与实践动手实践：一次数学兴趣活动，张老师将等腰Rt AEF 的直角顶点A 与正方形ABCD 的顶点A 重合（AE AD >），按如图（1）所示重叠在一起，使点E 在CD 边上，连接BF ．则可证：ADE ≌△△______，______三点共线；发现问题：（1）如图（2），已知正方形ABCD ，E 为DC 边上一动点，DC nDE =，AF AE ⊥交CB 的延长线于F ，连结EF 交AB 于点G ．若2n =，则AG BG =______，AGE BGFS S =△△______；尝试探究：（2）如图（3），在（1）的条件下若3n =，求证：5AG GB =；拓展延伸：（3）如图（4），在（1）的条件下，当n =______时，AG 为GB 的6倍（直接写结果，不要求证明）． 18．综合与实践数学活动课上，老师让同学们结合下述情境，提出一个数学问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，四边形BEDF 是矩形．探究展示：“兴趣小组”提出的问题是：“如图2，连接CE ．求证：AE ⊥CE ．”并展示了如下的证明方法：证明：如图3，分别连接AC ，BD ，EF ，AF ．设AC 与BD 相交于点O ． ∵四边形ABCD 是正方形，∴OA =OC =12AC ，OB =OD =12BD ，且AC =BD ．又∵四边形BEDF 是矩形，∴EF经过点O，∴OE=OF=1EF，且EF=BD．2∴OE=OF，OA=OC．∴四边形AECF是平行四边形．（依据1）∵AC=BD，EF=BD，∴AC=EF．∴四边形AECF是矩形．（依据2）∴∠CEA=90°，即AE⊥CE．反思交流：（1）上述证明过程中“依据1”“依据2”分别是什么？拓展再探：（2）“创新小组”受到“兴趣小组”的启发，提出的问题是：“如图4，分别延长AE，FB交于点P，求证：EB=PB．”请你帮助他们写出该问题的证明过程．（3）“智慧小组”提出的问题是：若∠BAP=30°，AE=31，求正方形ABCD的面积．请你解决“智慧小组”提出的问题．19．（1）问题发现如图1，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，直线BD，CE交于点F，直线BD，AC交于点G．则线段BD和CE的数量关系是，位置关系是；（2）类比探究如图2，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，直线BD，CE交于点F，AC与BD相交于点G．若AB＝kAC，试判断线段BD和CE的数量关系以及直线BD和CE相交所成的较小角的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3.0），点N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转90得到线段MP，连接NP，OP．请直接写出线段OP 长度的最小值及此时点N的坐标．20．如图，已知ABC和ADE均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是；（2）拓展探究：如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，25AC ＝，AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、二次函数压轴题1．B解析：（1）2 23;y x x =--（2）416m m ==-或；（3）3a ≥M ，使得四边形''BCB C 为菱形，理由见解析【分析】（1）因为1a =，所以2y x bx c =++，将()()1, 0, 3, 0A B -代入得关于b 和c 的二元一次方程组，解方程组得到b 和c 即可求得原抛物线的解析式；（2）连接','CC BB ，延长BC 与y 轴交于点E ，根据题（1）可求出点B 、C 的坐标，继而求出直线BC 的解析式及点E 的坐标，根据题意易知四边形''BCB C 是平行四边形，继而可知()1312BCM MBE MCE S S S ME ME ∆∆∆=-=⨯-⨯=，由此可知ME ＝10，继而即可求解点M 的坐标；（3）如图，过点C 作CD y ⊥轴于点D ，当平行四边形''BCB C 为菱形时，应有MB MC ⊥，故点M 在,O D 之间，继而可证MOB CDM ∆∆，根据相似三角形的性质可得MO MD BO CD •=•代入数据即可求解．【详解】解：（1）∵1a =，∴2y x bx c =++将()()1, 0, 3, 0A B -代入得：10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩解得：23b c =-⎧⎨=-⎩∴原抛物线的函数表达式为：2 23y x x =--；（2）连接','CC BB ，并延长BC 与y 轴交于点E ，二次函数2 23y x x =--的项点为(1,4,)-()1,4,C ∴-()3, 0,B∴直线BC 的解析式为： 2 6.y x =--()0,6E ∴-抛物线绕点M 旋转180︒','MB MB MC MC ==∴四边形''BCB C 是平行四边形，()1312BCM MBE MCE S S S ME ME ∆∆∆∴=-=⨯-⨯= 10ME416m m ∴==-或（3）如图，过点C 作CD y ⊥轴于点D当平行四边形''BCB C 为菱形时，应有MB MC ⊥，故点M 在,O D 之间，当MB MC ⊥时，MOB CDM ∆∆，MO BO CD MD∴= 即MO MD BO CD •=•二次函数()()13y a x x =+-的顶点为()()()1,4,0,,3,0a M m B - 1,,4,3CD MO m MD m a ON ∴==-=+=，()43m m a ∴-+=，∴2430m am ，216120,0a a ∆-≥>a ∴≥所以a ≥M ，使得四边形''BCB C 为菱形．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到平行四边形的性质、菱形的性质，难度较大，解题的关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质及二次函数的性质，注意挖掘题目中的隐藏条件．2．A解析：（1）233642y x x =--；（2）454；（3）134）存在，点N 的坐标为：15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或151,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）把A 、B 两点坐标代入26y ax bx =+-可得关于a 、b 的二元一次方程组，解方程组求出a 、b 的值即可得答案；（2）过D 作DG x ⊥轴于G ，交BC 于H ，根据抛物线解析式可得点C 坐标，利用待定系数法可得直线BC 的解析式，设233,642D x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，根据BC 解析式可表示出点H 坐标，即可表示出DH 的长，根据△BCD 的面积列方程可求出x 的值，即可得点D 坐标，利用三角形面积公式即可得答案；（3）根据二次函数的对称性可得点A 与点B 关于直线l 对称，可得BC 为AP +CP 的最小值，根据两点间距离公式计算即可得答案；（4）根据平行四边形的性质得到MB //ND ，MB =ND ，分MB 为边和MB 为对角线两种情况，结合点D 坐标即可得点N 的坐标．【详解】（1）∵抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，()2,0A -，()4,0B ，∴426016460a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：3432a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为：233642y x x =--．（2）如图，过D 作DG x ⊥轴于G ，交BC 于H ，当0x =时，6y =-，∴()0,6C -，设BC 的解析式为y kx b =+，则640b k b =-⎧⎨+=⎩，解得326k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴BC 的解析式为：362y x =-，设233,642D x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则3,62H x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴2233336632424DH x x x x x ⎛⎫=----=-+ ⎪⎝⎭， ∵BCD △的面积是92， ∴1922DH OB ⨯=， ∴213943242x x ⎛⎫⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，解得：1x =或3，∵点D 在直线l 右侧的抛物线上，∴153,4D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴ABD △的面积11154562244AB DG ⨯=⨯⨯=；（3）∵抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，∴点A 与点B 关于直线l 对称，∴BC 为AP +CP 的最小值，∵B （4，0），C （0，-6），∴AP +CP 的最小值=BC =2246+=213．故答案为：213（4）①当MB 为对角线时，MN //BD ，MN =BD ，过点N 作NE ⊥x 轴于E ，过当D 作DF ⊥x 轴于F ，∵点D （3，154-）， ∴DF =154，在△MNE 和△BDF 中，NEM DFB NMB DBF MN BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△MNE ≌△BDF ，∴DF =NE =154， ∵点D 在x 轴下方，MB 为对角线，∴点N 在x 轴上方，∴点N 纵坐标为154，把y =154代入抛物线解析式得：215336442x x =--，解得：1114x =-，2114x =+， ∴1N （114-，154），2N （114+，154）如图，当BM 为边时，MB //ND ，MB =ND ，∵点D （3，154-）， ∴点N 纵坐标为154-， ∴233156424x x --=-，解得：11x =-，23x =（与点D 重合，舍去），∴3N （1-，154-），综上所述：存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的坐标为：15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或151,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查的是二次函数的综合，首先要掌握待定系数法求解析式，其次要添加恰当的辅助线，灵活运用面积公式和平行四边形的判定和性质，应用数形结合的数学思想解题． 3．A解析：（1）2312y x x =-++；（2）DE AE 的最大值为45；（3）914511924145(P -+-+或9177317()P --+ 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；（2）构造出△AGE ∽△DEH ，可得DE DH AE AG=，而DE 和AG 都可以用含自变量的式子表示，最后用二次函数最大值的方法求值．（3）先发现△ABC 是两直角边比为2：1的直角三角形，由△BPQ ∽△CAB ，构造出△BPQ ，表示出Q 点的坐标，代入解析式求解即可．【详解】解：（1）分别将C （0，1）、A （﹣12，0）、B （2，0）代入y ＝ax 2+bx +c 中得110424201a b c a b c c ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：1321a b c =-⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为2312y x x =-++．（2）过A 作AG ∥y 轴交BC 的延长线于点G ，过点D 作DH ∥y 轴交BC 于点H ，∵B （2，0）C （0，1），∴直线BC ：y ＝12x +1，∵A （-12，0），∴G （-12，54），设D （23,12m m m -++），则H （1,12m m -+）， ∴DH ＝（2312m m -++）﹣（112m -+），＝﹣m 2+2m ，∴AG=54， ∵AG ∥DH ， ∴()2224415554DE DH m m m AE AG -+===--+，∴当m ＝1时，DE AE 的最大值为45．（3）符合条件的点P 914511924145-+-+9177317--+ ∵l ∥BC ， ∴直线l 的解析式为：y ＝-12x ，设P （n ，-12n ），∵A （-12，0），B （2，0），C （0，1），∴AC 2＝54，BC 2＝5，AB 2＝254．∵AC 2+BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°．∵△BPQ ∽△CAB ， ∴12BP AC BQ BC ==，分两种情况说明：①如图3，过点P 作PN ⊥x 轴于N ，过点Q 作QM ⊥x 轴于M ．∵∠PNB ＝∠BMQ ＝90°， ∠NBP +∠MBQ ＝90°，∠MQB +∠MBQ ＝90°，∴∠NBP ＝∠MQB ．∴△NBP ∽△MQB ，∴12PN NB BM MQ ==， ∵1,2P n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴1,2PN n ON n ==， ∴BN ＝2﹣n ，∴BM ＝2PN ＝n ，QM ＝2BN ＝4﹣2n ，∴OM ＝OB +BM ＝2+n ，∴Q （2+n ，2n ﹣4），将Q 的坐标代入抛物线的解析式得：()()23221242n n n -++++=-， 2n 2+9n ﹣8＝0，解得：)1291459145n n -+--==舍∴P (914511924145,416-+-+)． ②如图4，过点P 作PN ⊥x 轴于N ，过点Q 作QM ⊥x 轴于M ．∵△PNB ∽△BMQ ，又∵△BPQ ∽△CAB ，∴2BC QM AC BN==， ∵1,2P n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴Q （2﹣n ，4﹣2n ），将Q 的坐标代入抛物线的解析式得：()()23221422n n n --+-+=-，化简得：2n 2﹣9n +8＝0，解得：)12917917n n -+==舍， ∴P 9177317--+．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，平行线分线段成比例，利用二次函数求线段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定与性质，抛物线与一元二次方程，掌握待定系数法求抛物线解析式，平行线分线段成比例，利用二次函数求线段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定与性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题关键．4．A 解析：（1）A （﹣2，0），B （4，0），C （0，﹣8）；（2）存在，Q 点坐标为124(85,858)55Q ，21722(,)77Q ．【分析】(1)解方程2280x x --=，可求得A 、B 的坐标，令0x =，可求得点C 的坐标；(2)利用勾股定理计算出AC =BC 的解析式为28y x =-，可设Q （m ，2m ﹣8）（0＜m ＜4），分三种情况讨论：当CQ ＝AC 时，当AQ ＝AC 时，当AQ ＝QC 时，然后分别解方程求出m 即可得到对应的Q 点坐标．【详解】(1)当0y =，2280x x --=，解得x 1＝﹣2，x 2＝4，所以(2,0)A -，(4,0)B ，x ＝0时，y ＝﹣8，∴(0,8)C -；(2)设直线BC 的解析式为y kx b =+，把(4,0)B ，(0,8)C -代入解析式得：408k b b +=⎧⎨=-⎩，解得28k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式为28y x =-，设Q （m ，2m ﹣8）（0＜m ＜4），当CQ ＝CA 时，22(288)68m m +-+=，解得，1m =2m =∴Q 8)，当AQ ＝AC 时，22(2)(28)68m m ++-=，解得：128m 5=（舍去），m 2＝0（舍去）；当QA ＝QC 时，2222(2)(28)(2)m m m m ++-=+，解得177m =， ∴Q 1722(,)77-．综上所述，满足条件的Q 点坐标为18)Q ，21722(,)77Q -．【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，会利用勾股定理表示线段之间的关系，会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．(1) y=221x +;(2)m=1,n=3;(3) 函数存在最大值,当x=0是,y 取得最大值2.(4)-1≤x≤2 【分析】(1)待定系数法求解函数解析式(2)分别将m,n 代入函数解析式,求出对应的横纵坐标即可求解(3)观察图像即可,答案不唯一(4)观察图像选择曲线在上方的区域即可.【详解】解(1)将(0,2),(1,1)代入解析式得20111b b k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 解得:12k b =⎧⎨=⎩ ∴函数的解析式为y =221x + (2) ①令x =-1, 则y=1, ∴m =1令y =15,则x =±3,∵2＜n ＜4, ∴n =3②(3)函数存在最大值,当x =0是,y 取得最大值2. (4)直接观察图象可知,当|715x ﹣815|≤时,-1≤x ≤2 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式,函数的图象和性质,根据函数图象求解不等式等问题,综合性强,熟悉函数的图象和性质是解题关键.6．C解析：（1）241y x x =-+-；（2）2；（3）b dc e =-⎧⎨=-⎩【分析】（1）先求出抛物线C 1的顶点坐标，进而得出抛物线C 2的顶点坐标，即可得出结论；（2）设正方形AMBN 的对角线长为2k ，得出B （2，3＋2k ），M （2＋k ，3＋k ），N （2−k ，3＋k ），再用点M （2＋k ，3＋k ）在抛物线y ＝（x −2）2＋3上，建立方程求出k 的值，即可得出结论；（3）先根据抛物线C 1，C 2的顶点相同，得出b ，d 的关系式，再由两抛物线的顶点在x 轴，求出c ，e 的关系，即可得出结论．【详解】解：（1）解：（1）∵y ＝x 2−4x ＋7＝（x −2）2＋3， ∴顶点为（2，3），∴其“对顶”抛物线的解析式为y ＝−（x −2）2＋3，即y ＝−x 2＋4x −1；（2）如图，由（1）知，A （2，3），设正方形AMBN 的对角线长为2k ，则点B （2，3＋2k ），M （2＋k ，3＋k ），N （2−k ，3＋k ）， ∵M （2＋k ，3＋k ）在抛物线y ＝（x −2）2＋3上， ∴3＋k ＝（2＋k −2）2＋3，解得k ＝1或k ＝0（舍）；∴正方形AMBN 的面积为12×(2k )2＝2；（3）根据抛物线的顶点坐标公式得，抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为（2b a-，244ac b a-），抛物线C 2：y ＝−ax 2＋dx ＋e 的顶点为（2d a ，244ae d a---），∵抛物线C 2是C 1的“对顶”抛物线， ∴22b d a a-=， ∴=-b d ，∵抛物线C 1与C 2的顶点位于x 轴上，∴224444ac b ae d a a ---=-， ∴c e =-，即b d c e =-⎧⎨=-⎩．【点睛】此题主要考查了抛物线的顶点坐标公式，正方形的性质，理解新定义式解本题的关键． 7．（1）154m =；（2）见解析；（3）0p =；（4）14p =-或0p >．【分析】（1）把x=122代入解析式，计算即可；（2）按照画图像的基本步骤画图即可；（3）一个方程有两个不同实数根，另一个方程有两个相等的实数根和两个方程都有两个不同的实数根，但是有一个公共根；（4）结合函数的图像，分直线经过顶点和在x 轴上方两种情形解答即可．【详解】（1）当x=122时，2||y x x =-=25)2|(|52- =154， ∴154m =；（2）画图像如下；（3）当x≥0时，函数为2y x x ；当x ＜0时，函数为2y x x =+；∵方程2||x x p -=（p 为常数）有三个实数根， ∴两个方程有一个公共根，设这个根为a ，则22a a a a -=+，解得a=0，当a=0时，p=0，故答案为：p=0；（4）∵方程2||x x p -=（p 为常数）有两个实数根， ∴p ＞0；或△=0 即1+4p=0，解得14p =-．综上所述，p 的取值范围是14p =-或0p >．【点睛】本题考查了二次函数图像，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线与一元二次方程的关系，灵活运用分类思想，数形结合思想是解题的关键． 8．（1）见解析；（2）①4m =，1(3,)2D -；②存在，76y x =或2y x =或110y x =-【分析】（1）对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线；（2）①将(2,0)A 代入抛物线2132y x x m =-+，得143202m ⨯-⨯+=，解得4m =，抛物线解析式2211134(3)222y x x x =-+=--，顶点为1(3,)2D -；②根据抛物线解析式求出(2,0)A ，(4,0)B ，(0,4)C ，当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．Ⅰ．当CD 为对角线时，对角线交点坐标为37(,)24，中分线解析式为76y x =；Ⅱ．当AC 为对角线时，对角线交点坐标(1,2)．中分线解析式为2y x =；Ⅲ．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为51(,)24-，中分线解析式为110y x =-．【详解】解：（1）如图，对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线，（2）①将(2,0)A 代入抛物线2132y x x m =-+，得 143202m ⨯-⨯+=，解得4m =，∴抛物线解析式2211134(3)222y x x x =-+=--，∴顶点为1(3,)2D -；②将0y =代入抛物线解析式21342y x x =-+，得 234201x x -+=，解得2x =或4，(2,0)A ∴，(4,0)B ，令0x =，则4y =，(0,4)C ∴，当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点． Ⅰ．当CD 为对角线时，对角线交点坐标为14032(,)22-+，即37(,)24，中分线经过点O ，∴中分线解析式为76y x =；Ⅱ．当AC 为对角线时，对角线交点坐标为2004(,)22++，即(1,2)．中分线经过点O ，∴中分线解析式为2y x =；Ⅲ．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为10232(,)22-+，即51(,)24-，中分线经过点O ，∴中分线解析式为110y x =-，综上，中分线的解析式为式为76y x =或为2y x =或为110y x =-．【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质与平行四边形的性质是解题的关键．9．C解析：（1）1111a b =⎧⎨=⎩ ；y 2 ＝−（x−2）2＋4；（2）（n ，n 2 ）；[（n ＋1），（n ＋1）2 ]；y ＝x 2；（3）①存在，理由见详解；②C 1n -C n ＝2m ．【分析】（1）1(2,0)A ），则1c ＝2，则2c ＝2＋2＝4，将点A 、1A 的坐标代入抛物线表达式得：()2112110=-0(-2-)a b a b ⎧-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得：1111a b =⎧⎨=⎩ ，则点2A （4，0），将点A 、2A 的坐标代入抛物线表达式，同理可得：2a ＝2，2b ＝4，即可求解；（2）同理可得：3a ＝3，3b ＝9，故点n B 的坐标为（n ，2n ），以此推出：点1n B +[（n ＋1），（n ＋1）2]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y ＝2x ，即可求解；（3）①△AAnBn 为等腰直角三角形，则AAn 2 ＝2ABn 2，即（2n ）2＝2（n 2＋4n ），即可求解；②y 1n c -＝−（m−n ＋1）2＋（n−1）2，y n c ＝−（m−n ）2＋n 2，C 1n -C n = y n c −y 1n c -，即可求解．【详解】解：（1）1(2,0)A ，则1c ＝2，则2c ＝2＋2＝4，将点A 、1A 的坐标代入抛物线表达式得：2112110=()0(2)a b a b ⎧--+⎨=---+⎩，解得：1111a b =⎧⎨=⎩，则点2A （4，0），将点A 、2A 的坐标代入抛物线表达式，同理可得：2a ＝2，2b ＝4；故y 2 ＝−（x−2a ）2＋2b ＝−（x−2）2＋4；（2）同理可得：3a ＝3，3b ＝9，故点n B 的坐标为（n ，2n ），以此推出：点1n B + [（n ＋1），（n ＋1）2]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y ＝2x ；故答案为：（n ，n 2 ）；[（n ＋1），（n ＋1）2]；y ＝x 2；（3）①存在，理由：点A （0，0），点An （2n ，0）、点n B （n ，n 2 ），△AAnBn 为等腰直角三角形，则AAn 2 ＝2ABn 2，即（2n ）2＝2（n 2 ＋n 4），解得：n ＝1（不合题意的值已舍去），抛物线的表达式为：y ＝−（x−1）2 ＋1； ②y 1n c -＝−（m−n ＋1）2＋（n−1）2， y n c ＝−（m−n ）2＋n 2，C 1n -C n ＝y n c −y 1n c -＝−（m−n ）2＋n 2 ＋（m−n ＋1）2−（n−1）2＝2m ．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，这种找规律类型题目，通常按照题设的顺序逐次求解，通常比较容易．10．F解析：（1）223y x x =--+，1x =-；（2）O 1)3）满足条件的点F 的坐标为F 1(-2，3)，F 2(3，-12)．【分析】（1）把A （1，0），B （-3，0）代入y=ax 2+bx+3即可求解；（2）先求出直线OO 1的解析式为y x =，再根据223x x x --+=，求解即可或是根据23(23)3x x x +---+=得出x 的值，再根据直线OO 1的解析式为y x =求解；（3）先求出直线EF 解析式为 33y x =--，再根据22333x x x --+=--求解即可．【详解】解：（1）将点A （1, 0），B （-3, 0）代入抛物线解析式y=a x 2+b x+3 得：{309330a b a b ++=-+=解得：{12a b =-=-∴抛物线解析式为 223y x x =--+ ∴2(1)4y x =++ ∴1x =-（2）∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3） ∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45° ∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1 ∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45° ∴直线OO 1的解析式为y x = 根据题意得 223x x x --+= 整理得 2330x x +-=解得 1x =2x =∴O 1 )或)解法2 ∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3）∴OC=3 ∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1 01C 1=3 ∴23(23)3x x x +---+= 整理得 2330x x +-= 解得 13212x -+=23212x --= ∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45° ∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1 ∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45° ∴直线OO 1的解析式为y=x ∴O 1(3212-+,3212-+ )或（3212--，3212--）(3)∵抛物线对称轴与x 轴交于点E,则点E 的坐标为E(-1,0),过点C 作CF ∥x 轴根据抛物线的对称性得F 的坐标为F(-2,3) ∴AE=CF=2 ∵CF ∥AE ∴四边形CFEA 为平行四边形 ∴EF ∥CA设直线EF 的解析式为y kx b =+ 得：{320k bk b =-+=-+ 解得：{33k b =-=-∴直线EF 解析式为 33y x =-- 根据题意得 22333x x x --+=-- 解得12x =- 23x =满足条件的点F 的坐标为F 1(-2，3)，F 2(3，-12)．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用转化的思想思考问题．二、中考几何压轴题11．（1）证明见解析；；（2）线段与之间的数量关系为；（3）或【分析】（1）①由、结合可得四边形CEGF 是矩形，再由即可得证；②由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得；（2解析：（1）①证明见解析；2）线段AG 与BE 之间的数量关系为AG =；（3【分析】（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CGCE=GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG ，只需证ACG BCE 即可得；（3）由（2）证出ACGBCE 就可得到BE AG =，再根据A E G 、、三点在同一直线上分在CD 左边和右边两种不同的情况求出AG 的长度，即可求出BE 的长度．【详解】（1）①证明：四边形ABCD 是正方形，90,45BCD BCA ∴∠=︒∠=︒ ,,GE BC GF CD ⊥⊥90,CEG CFG ECF ∴∠=∠=∠=︒∴四边形CEGF 是矩形，45,CGE ECG ∠=∠=︒,EG EC ∴=∴四边形CEGF 是正方形；②解：由①知四边形CEGF 是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴CGCE=，GE ∥AB ，∴AG CGBE CE==（2）如下图所示连接,CG 由旋转性质知,BCE ACG a ∠=∠=在Rt CEG △和Rt CBA 中，45CE cos CG =︒=45CB cos CA =︒=CG CACE CB∴== ,ACGBCE ∴AG CABE CB∴==∴线段AG 与BE 之间的数量关系为2AG BE =；（3）解：①当正方形CEGF 在绕点C 旋转到如下图所示时：当A E G 、、三点在一条直线上时，由（2）可知ACG BCE ，2AG CABE CB∴==， 22BE AG ∴=∠CEG=∠CEA=∠ABC=90°，24AB EC ==，222224432AC AB BC ∴=+=+=42AC ∴=22222(42)228AE AC CE ∴=-=-=27AE ∴=272AG AE EG ∴=+=+22(272)14222BE AG ∴==⨯+=+②当正方形CEGF 在绕点C 旋转到如下图所示时：当A E G 、、三点在一条直线上时，由（2）可知ACG BCE ，2AG CA BE CB∴==， 2BE AG ∴=∠CEA=∠ABC=90°，24AB EC ==，222224432AC AB BC ∴=+=+= 42AC ∴=22222(42)228AE AC CE ∴=-=-= 27AE ∴=272AG AE EG ∴=-=-22(272)14222BE AG ∴==⨯-=-142142【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．12．（1）是，理由见解析；（2）或或；（3），证明见解析．【分析】（1）证明，可得，又点F 为CD 中点,即可得出结论；（2）当为点构成的四边形的准中位线．则M 、N 一定是中点，再分两种情况讨论：和，根解析：（1）是，理由见解析；（2）1211t =或2t =或4t =；（3）M CNF ∠=∠，证明见解析．【分析】（1）证明EDB ABD ∠=∠，可得DE BE AE ==，又点F 为CD 中点,即可得出结论；（2）当MN 为点,,,A B E F 构成的四边形的准中位线．则M 、N 一定是中点，再分两种情况讨论：BE AF 和EF AB ∥，根据平行线分线段成比例列方程即可求解；（3）连接BD ，取BD 的中点H ，连接EH ，FH 得两条中位线，根据中位线定理，得平行，可找到相等角和线段，从而可得EFH △是等腰三角形，进而可得M HEF HFE CNF ∠=∠=∠=∠．【详解】解：（1）EF 是四边形ABCD 的准中位线，理由如下：∵DE AE =，。

中考数学精讲篇中考压轴题重难点突破七二次函数与几何综合题类型二

设 M(0，m)，直线 BM 的解析式为 y＝k2x＋b2，将点 M，B 代入，得m0＝＝b－2，2k2＋b2，解得kb22＝＝m2m.，
m ∴直线 BM 的解析式为 y＝2x＋m，∵点 P为直线 BM 与抛物线的交点，
m y＝2x＋m， ∴联立方程组得y＝－14x2＋32x＋4，化简得(x＋2)(x－8＋2m)＝0，
∵S△ACD＝3，∴－32t2－92t＝3，解得 t1＝－1，t2＝－2.
当 t＝－1 时，点 D 的坐标为(－1，－4)，当 t＝－2 时，点 D 的坐标为(－2，－3)．综上所述，满足条件的点 D 的坐标为(－1，－4)或(－2，－3)．
【思路点拨】第一步：设点 D 的横坐标为 t, 用含 t 的式子表示△ACD 的面积；第二步：利用面积关系 S△ACD＝3，列关于 t 的方程求解，进而得出点 D 的坐标．
(4)如图，已知点 P 是直线 AC 下方抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 m，求四边形 APCO 面积的最大值；
解：由(1)(3)可知点 A(－3，0)，C(0，－3)， lAC：y＝－x－3，设直线 x＝m 与直线 AC 交于点 F，则点 P 的坐标为(m，m2＋2m－3)，点 F 的坐标为(m，－m－3)．则 PF＝－m－3－(m2＋2m－3)＝－m2－3m.
∴S 四边形 APCO＝S△ACP＋S△ACO＝12OA·PF＋12OA·OC＝12×3×(－m2－3m＋3) ＝－32(m2＋3m)＋92＝－32m＋322＋683.
由题意可知，－3＜m＜0，
3
63
∴当 m＝－2时，S 四边形 APCO 最大值为 8 .
【思路点拨】第一步：设直线 x＝m 与直线 AC 交于点 F，用含 m 的式子表示出 PF 的长；第二步：由 S 四边形＝S ＋S APCO △ACP △ACO 列出式子，即可得到最大值．

中考数学精讲篇中考压轴题重难点突破七二次函数与几何综合题类型三

解：(1)在直线 y＝－2x＋10 中，令 x＝0，则 y＝10，令 y＝0，则 x＝5， ∴A(5，0)，B(0，10)，
∵点 C 是 OB 中点，∴C(0，5)，
0＝25＋5b＋c， b＝－6，
将 A 和 C 代入抛物线 y＝x2＋bx＋c 中，5＝c，
解得c＝5，
∴抛物线的函数解析式为 y＝x2－6x＋5.
∴E(m，－2m＋10)， ∴DE＝－2m＋10－m2＋6m－5＝－m2＋4m＋5，
∴S△ABD＝12×OA×DE＝12×5×(－m2＋4m＋5)＝425，解得 m＝2， ∴点 D 的坐标为(2，－3)．
(3)抛物线解析式为 y＝x2－6x＋5， ∵△APB 是以 AB 为直角边的直角三角形设点 P(n，n2－6n＋5)， ∵A(5，0)，B(0，10)，∴AP2＝(n－5)2＋(n2－6n＋5)2， BP2＝n2＋(n2－6n＋5－10)2，AB2＝125，
①若 AB 为斜边时，点 Q 与点 O 重合，不符合题意，舍去；
②若 AB 为直角边时，如图，当∠BAQ1＝90°时，点 Q1 在 x 轴上，∵∠ABQ1＝45°， ∴△BAQ1 为等腰直角三角形， ∵AO⊥BQ1，∴OQ1＝OB＝6， ∴Q1(－6，0)；
当∠ABQ2＝90°时，点 Q2在 y 轴上，
y＝－2x＋10， x＝－1， x＝5， (2)联立y＝x2－6x＋5，解得y＝12 或y＝0， ∴直线 AB 与抛物线交于点(－1，12)和(5，0)， ∵点 D 是直线 AB 下方抛物线上的一点，设 D(m，m2－6m＋5)， ∴－1<m<5，如解图 1，过点 D 作 DE⊥x 轴，交直线 AB 于点 E，
【思路点拨】第一步：先确定点 C，F 的坐标，求出△ACF 的各边长；第二步：判断△ACF 的形状．

2023学年北师大版八年级数学上学期压轴题专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型含解析

专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型类型一、面积问题例1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AB 与x 轴交于A 点（2，0）与y 轴交于点B （0，1）．（1）求直线AB 的解析式；（2）点M （-1，y 1），N （3，y 2）在直线AB 上，比较y 1与y 2的大小. （3）若x 轴上有一点C ，且S △ABC =2，求点C 的坐标【变式训练1】已知一次函数12y kx =+的图象与x 轴交于点(2,0)B -，与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ．（1）分别求k ，m 的值；（2）点C 为x 轴上一动点，如果ABC 的面积是6，请求出点C 的坐标．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 为线段DC 上的一个动点．设DP x =，由点,,,A B C P 首尾顺次相接形成图形的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数表达式及x 的取值范围；（2）设（1）中函数图象的两个端点分别为M N 、，且P 为第一象限内位于直线MN 右侧的一个动点，若MNP △正好构成一个等腰直角三角形，请求出满足条件的P 点坐标；（3）在（2）的条件下，若l 为经过(1,0)-且垂直于x 轴的直线，Q 为l 上的一个动点，使得MNQNMPS S=，请直接写出符合条件的点Q 的坐标．【变式训练3】如图，已知直线1:3l y x =+与过点A （3，0）的直线2l 交于点C （1，m ），且与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ．（1）求直线2l 的解析式；（2）若点D 关于x 轴的对称点为P ，求△PBC 的面积．类型二、一次函数与平行四边形例1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x ，y 轴分别交于点(4,0)A ，(0,3)B ，点C 是直线554y x =-+上的一个动点，连接BC ．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）如图1，若//BC x 轴，求点C 到直线AB 的距离；（3）如图2，点(1,0)E ，点D 是直线AB 上的动点，试探索点C ，D 在运动过程中，是否存在以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C ，D 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】一次函数y = kx+1（k ≠ 0）的图象过点P （-3，2），与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求k 的值及点A 、B 的坐标；（2）已知点C （-1，0），若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标．【变式训练2】平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ．（1）求m ，b 的值；（2）直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点，当MN ＝3时，若以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标．类型三、一次函数与等腰三角形例1．一次函数的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 0），B （0，1），以AB 为边在第一象限内做等边△ABC ．（1）线段AB 的长是，△BAO ＝ °，点C 的坐标是；（2）如果在第二象限内有一点P （a ，1），试用含a 的代数式表示四边形ABPO 的面积．（3）在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等腰三角形，请直接写出点M 的坐标．【变式训练1】如图一，已知直线l ：6y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线m 与v 轴交于点(0,2)C -，与直线l 交于点(,1)D t ．（1）求直线m 的解析式；（2）如图二，点P 在直线l 上且在y 轴左侧，过点P 作//PQ y 轴交直线m 于点Q ，交x 轴于点G ，当2PCG QCG S S ∆∆=，求出P ，Q 两点的坐标；（3）将直线l ：6y x =-+向左平移12个单位得到直线n 交x 轴于E 点，点F 是点C 关于原点对称点．过点F 作直线//k x 轴．点M 在直线k 上，写出以点C ，E ，M ，为顶点且CE 为腰的等腰三角形，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．【变式训练2】在如图的平面直角坐标系中，直线n 过点A （0，﹣2），且与直线l 交于点B （3，2），直线l 与y 轴交于点C ．（1）求直线n 的函数表达式；（2）若△ABC 的面积为9，求点C 的坐标；（3）若△ABC 是等腰三角形，求直线l 的函数表达式．【变式训练3】如图，直线1:l y ax a =-，1l 与x 轴交于点B ，直线2l 经过点(4,0)A ，直线1l ，2l 交于点(2,3)C -．（1）a =______；点B 的坐标为______．（2）求直线2l 的解析表达式；（3）求ABC 的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ABP △为等腰三角形，请直接写出P 点的横坐标？类型四、一次函数与直角三角形例1.如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝13x ＋b 的图象交于点C （－2，m ）．（1）求m 和b 的值；（2）函数y ＝－x ＋b 的图象与x 轴交于点D ，点E 从点D 出发沿DA 向，以每秒2个单位长度匀速运动到点M （到A 停止运动），设点E 的运动时间为t 秒． ①当ΔACE 的面积为12时，求t 的值；②在点E 运动过程中，是否存在t 的值，使ΔACE 为直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图1，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，对角线AC BD 、交于点,O P 从B 点出发，沿B DC →→方向匀速运动，P 点运动速度为1cm/s ．图2是点P 运动时，APC △的面积2()cm y 随P 点运动时间()s x变化的函数图像．（1）AB =_______cm,a =_____；（2）P 点在BD 上运动时，x 为何值时，四边形ADCP ；（3）在P 点运动过程中，是否存在某一时刻使得APB △为直角三角形，若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．【变式训练2】在平面直角坐标系xOy 中，将直线2y x =向下平移2个单位后，与一次函数132y x =-+的图象相交于点A ．（1）将直线2y x =向下平移2个单位后对应的解析式为；（2）求点A 的坐标；（3）若P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，直接写出点P 的坐标．类型五、最值问题例1．如图，将直线34y x=-向上平移后经过点()4,3A，分别交x轴y轴于点B、C．（1）求直线BC的函数表达式；（2）点P为直线BC上一动点，连接OP．问：线段OP的长是否存在最小值？若存在，求出线段OP的最小值，若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，四边形OABC是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，5OC=，点E在边BC上．（1）若点N的坐标为(3,0)，过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M，将纸片沿直线OE折叠，顶点C恰好落在MN上，并与MN上的点G重合．①求点G、点E的坐标；②若直线:l y mx n=+平行于直线OE，且与长方形ABMN有公共点，请直接写出n的取值范围．（2）若点E为BC上的一动点，点C关于直线OE的对称点为G，连接BG，请求出线段BG的最小值．专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型类型一、面积问题例1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AB 与x 轴交于A 点（2，0）与y 轴交于点B （0，1）．（1）求直线AB 的解析式；（2）点M （-1，y 1），N （3，y 2）在直线AB 上，比较y 1与y 2的大小. （3）若x 轴上有一点C ，且S △ABC =2，求点C 的坐标【答案】（1）112y x =-+；（2）y 1＞y 2；（3）()6,0C 或()2,0-．【解析】（1）解：设直线AB 的解析式为y kx b =+△A （2，0）B （0,1），△201k b b +=⎧⎨=⎩，解得：k =12-，b =12△直线AB 的解析式为112y x =-+ （2）△y ＝﹣12x +1中k ＝﹣12＜0，△y 值随x 值的增大而减小， △﹣1＜3，△y 1＞y 2；（3）△x 轴上有一点C ，设点C （x ，0），△AC ＝|2﹣x |， △S △ABC ＝2，△12×|2﹣x |×1＝2，△x ＝﹣2或x ＝6， △C （﹣2，0）或C （6，0）．故答案为：（1）112y x =-+；（2）y 1＞y 2；（3）()6,0C 或()2,0-．【变式训练1】已知一次函数12y kx =+的图象与x 轴交于点(2,0)B -，与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ．（1）分别求k ，m 的值；（2）点C 为x 轴上一动点，如果ABC 的面积是6，请求出点C 的坐标．【答案】（1）1k =，3m =；（2）点C 的坐标为(2,0)或(6,0)- 【解析】（1）一次函数1=2y kx +的图象与x 轴交于点2,0B -（），220k ∴-+=1k ∴=12y x ∴=+一次函数12y x =+的图象与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ，12a ∴=+，a m =，3m ∴=；（2）设点C 的坐标为(,0)n ，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．ABC 的面积是6，162BC AD ∴⋅=，1|(2)|362n ∴--⨯=，2n ∴=或6n =-∴点C 的坐标为(2,0)或(6,0)-，或过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．ABC 的面积是6，162BC AD ∴⋅=，1362BC ∴⨯=，4BC ∴=，点B 的坐标为(2,0)-，∴点C 的坐标为(2)0，或(60)-，．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 为线段DC 上的一个动点．设DP x =，由点,,,A B C P 首尾顺次相接形成图形的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数表达式及x 的取值范围；（2）设（1）中函数图象的两个端点分别为M N 、，且P 为第一象限内位于直线MN 右侧的一个动点，若MNP △正好构成一个等腰直角三角形，请求出满足条件的P 点坐标；（3）在（2）的条件下，若l 为经过(1,0)-且垂直于x 轴的直线，Q 为l 上的一个动点，使得MNQNMPS S=，请直接写出符合条件的点Q 的坐标．【答案】（1）y =-2x +16，0＜x ＜4；（2）（12，12）或（8，20）或（6，14）；（3）（-1，-2）或（-1，8）或（-1，38）或（-1，28）【解析】（1）由线段的和差，得PC =（4-x ），由梯形的面积公式，得y =-2x +16， △四边形ABCD 是正方形，△AB =CD =4，△x 的取值范围是0＜x ＜4；（2）设P 点坐标是（a ，b ），M （0，16），N （4，8），以MN 为边，在MN 右侧做正方形，MNAB ，正方形中心为H ，则易知A ，B ，H 即为所求P 的坐标；示意图如下求得A （12，12），B （8，20），O （6，14），故P 点可能的坐标为（12，12）或（8，20）或（6，14）；（3）由S △MNQ =S △NMP ，设Q （-1，m ），QN 所在直线方程为y =kx +b ，把Q 和N 代入方程，求得b =845m +，则可求S △NMP =12|16-b |×[4-（-1）]=|36-2m |当P 为（12，12）时，S △MNQ =40，△|36-2m |=40；解得m =-2或38，当P （8，20），同理解得m =-2或38，当P （8，20），有S △MNQ =20，解得m =8或28，综上，符合条件的Q 的坐标为（-1，-2）或（-1，8）或（-1，38）或（-1，28）．【变式训练3】如图，已知直线1:3l y x =+与过点A （3，0）的直线2l 交于点C （1，m ），且与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ．（1）求直线2l 的解析式；（2）若点D 关于x 轴的对称点为P ，求△PBC 的面积．【答案】（1）-26y x =+；（2）12．【解析】（1）把(1,)C m 代入y ＝x ＋3，得1＋3＝m ，△m ＝4，△(1,4)C设2l 的解析式为：y ＝kx ＋b （k ≠0），将点A ,C 的坐标代入，则430k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得26k b =-⎧⎨=⎩，△2l 的解析式为：-26y x =+（2）当y ＝0时，30x += ，△3x =-，△(3,0)B -，当x =0时，y =3，△(0,3)D ，△点P 、D 关于x 轴对称，△(0,3)P - ,如图，连接BP ,PC ,设PC 与x 轴的交点为Q ，设直线PC 的解析式为(0)y kx b k =+≠，将点(1,4),(0,3)C P -代入：43k b b +=⎧⎨=-⎩，解得73k b =⎧⎨=-⎩，△直线PC 的解析式为：73y x =-，令y =0，解得37x =， △BPCBQP BQCSSS=+1122c BQ OP BQ y =+1124()712227c BQ OP y =+=⨯⨯=．类型二、一次函数与平行四边形例1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x ，y 轴分别交于点(4,0)A ，(0,3)B ，点C 是直线554y x =-+上的一个动点，连接BC ．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）如图1，若//BC x 轴，求点C 到直线AB 的距离；（3）如图2，点(1,0)E ，点D 是直线AB 上的动点，试探索点C ，D 在运动过程中，是否存在以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C ，D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）334y x =-+；（2）2425；（3）17(2，45)8-、15(2-，69)8或1(2-，45)8、1(2，21)8或17(2，45)8-、15(2，21)8- 【解析】（1）设直线AB 的表达式为y kx b =+，则304b k b =⎧⎨=+⎩，解得343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故AB 的表达式为334y x =-+；（2）//BC x 轴，故点C 的纵坐标为3，当3y =时，即5534y x =-+=，解得85x =，即点C 的坐标为8(5，3)，则85BC =；由点A 、B的坐标得，5AB ==，过点C 作CH AB ⊥于点H ，在△ABC 中，S △ABC =1122BC OB AB CH ⨯⨯=⨯⨯，即18135252CH ⨯⨯=⨯⨯，解得：2425CH =，即点C 到直线AB 的距离为2425；（3）设点C 、D 的坐标分别为5(,5)4m m -+、3(,3)4n n -+，当EB 是对角线时，由中点坐标公式得：01m n +=+且53305344m n +=-+-+，解得172152m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2-，69)8；当EC 是对角线时，同理可得：1m n +=且5353344m n -+=-++，解得，1212m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故点C 、D 的坐标分别为1(2-，45)8、1(2，21)8；当ED 是对角线时，同理可得：1n m +=且35035344n m -+=-++，解得152172m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2，21)8-．综上，点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2-，69)8或1(2-，45)8、1(2，21)8或17(2，45)8-、15(2，21)8-．【变式训练1】一次函数y = kx+1（k ≠ 0）的图象过点P （-3，2），与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求k 的值及点A 、B 的坐标；（2）已知点C （-1，0），若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标．【答案】（1）13k =-，与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B （0，1）；（2）D （4，1）或D （2，-1）或D （-4，1）．【解析】（1）将P （-3，2）代入()10y kx k =+≠，得：13k =-函数表达式：113y x =-+，令y =0，x =3，令x =0，y =1，△与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B （0，1）；（2）分三种情况：①BC 为对角线时，点D 的坐标为（-4，1）；②AB 为对角线时，点D 的坐标为（4，1），③AC 为对角线时，点D 的坐标为（2，-1）．综上所述，点D 的坐标是（4，1）或（-4，1）或（2，-1）．【变式训练2】平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ．（1）求m ，b 的值；（2）直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点，当MN ＝3时，若以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标．【答案】（1）13m b ==-,；（2）点Q 的坐标为()2,4，()2,2-或()6,6 【解析】（1）△直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ，△4122m b m =+⎧⎪⎨=⨯⎪⎩，△1 3.m b ==-，（2）依题意可得直线1l ：23y x =-，△直线1l 与y 轴的交点为（0，-3） △直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点， MN ＝3， △M ，N 不是y 轴上的点，设M （x ，2x -3），则N （x ，12x ）由MN ＝3，得（2x -3）-12x =3，解得x =4，△M （4，5），则N （4，2） △以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，①当MN 为四边形MPNQ 的对角线时，MN 的中点坐标为（4，3.5）故()2,1P 、Q 关于（4，3.5）对称，△点Q 的坐标为()6,6，②当MN 为四边形MNQP 的一边时，MN =PQ =3，且PQ 与y 轴平行，故点Q 的坐标为()2,4或()2,2- 综上，点Q 的坐标为()2,4，()2,2-或()6,6．类型三、一次函数与等腰三角形例1．一次函数的图像与x 轴、y 轴分别交于点A0），B （0，1），以AB 为边在第一象限内做等边△ABC ．（1）线段AB 的长是，△BAO ＝ °，点C 的坐标是；（2）如果在第二象限内有一点P （a ，1），试用含a 的代数式表示四边形ABPO 的面积．（3）在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等腰三角形，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）2，30，C2）；（22a-；（3）（0，-1）或（0，3）【解析】（1）(3A ，0)，(0,1)B ，在Rt AOB ∆中，2AB =，2OB =AB ，可30BAO ∴∠=︒，以AB 为边在第一象限内做等边ABC ∆，60ACB ∠=︒∴，AB AC =，90OAC ∴∠=︒，C ∴2)，故答案为2，30，C 2)；（2）四边形ABPO 的面积BAO =∆的面积OBP +∆的面积1111()222a a =+⨯⨯-=；（3）2AB =，30BAO ∠=︒，60OBA ∴∠=︒，①当AB BM =时，2BM =，(0,1)M -或(0,3)M ；②当AB AM =时，ABM ∆是等边三角形，M ∴与B 关于x 轴对称，(0,1)M ∴-； ③当BM AM =时，ABM ∆是等边三角形，M ∴与B 关于x 轴对称，(0,1)M ∴-；综上所述：MAB ∆为等腰三角形时，M 点坐标为(0,1)-或(0,3)．【变式训练1】如图一，已知直线l ：6y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线m 与v 轴交于点(0,2)C -，与直线l 交于点(,1)D t ．（1）求直线m 的解析式；（2）如图二，点P 在直线l 上且在y 轴左侧，过点P 作//PQ y 轴交直线m 于点Q ，交x 轴于点G ，当2PCG QCG S S ∆∆=，求出P ，Q 两点的坐标；（3）将直线l ：6y x =-+向左平移12个单位得到直线n 交x 轴于E 点，点F 是点C 关于原点对称点．过点F 作直线//k x 轴．点M 在直线k 上，写出以点C ，E ，M ，为顶点且CE 为腰的等腰三角形，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．【答案】（1）直线m 的解析式为325y x =-；（2）P 点的坐标为（-10，16），Q 点坐标为（-10，-8）；（3）当CE 为腰时，点M 的坐标为：M （2）或M （-2）或M （0，2）．过程见解析．【解析】（1）△D （t ，1）在直线l ：y =-x +6上，△1=-t +6，△t =5，△D （5，1），设直线m 的解析式为y =kx +b ，将点C ，D 代入得，512k b b +=⎧⎨=-⎩，解得，352k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以，直线m 的解析式为325y x =-；（2）设P （a ，6-a ），△点P 在x 轴的左侧，△0a < △PQ △轴，G （a ，0），Q （a ，325a -），如图，点P 、Q 在x 轴两侧，△S △PCG =12PG •（-a ），S △QCG =12GQ •(-a )且S △PCG =2S △QCG ， △PG =2QG ，△6-a =2（2-35a ），解得：a =-10， △66(10)16a -=--=，332(10)2855a -=⨯--=-△P 点的坐标为（-10，16），Q 点坐标为（-10，-8）；（3）对于直线l ：y =-x +6，当x =0时，y =6；当y =0时，x =6．△A （6，0），B （0，6），△将直线l ：y =-x +6向左平移12个单位得直线n 交x 轴于点E ，点F 是点C 关于原点的对称点．点C （0，-2）， △E （-6，0），F （0，2），如图，△将直线l ：y =-x +6向左平移12个单位得直线n ，△直线n ：y =-x -6，又△F （0，2）△k 的解析式为：y =2，设M （a ，2），则MCME，CE ，当△MCE 为等腰三角形，且CE 为腰，有：①CE =MCa =a =-M （2）．M （-2）， ②ME =CE解得，a =0或a =-12（此时三点共线，不构成三角形，舍去），即M （0，2），综上，当CE 为腰时，点M 的坐标为：M （2）或M （-2）或M （0，2）．【变式训练2】在如图的平面直角坐标系中，直线n 过点A （0，﹣2），且与直线l 交于点B （3，2），直线l 与y 轴交于点C ．（1）求直线n 的函数表达式；（2）若△ABC 的面积为9，求点C 的坐标；（3）若△ABC 是等腰三角形，求直线l 的函数表达式．【答案】（1）y ＝43x ﹣2；（2）C （0，4）或（0，﹣8）；（3）直线l 的解析式为：y ＝﹣13x +3或y ＝3x ﹣7或y ＝﹣43x +6或y ＝724x +98 【解析】（1）设直线n 的解析式为：y ＝kx +b ，△直线n ：y ＝kx +b 过点A （0，﹣2）、点B （3，2），△232b k b =-⎧⎨+=⎩ ，解得：432k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ，△直线n 的函数表达式为：y ＝43x ﹣2；（2）△△ABC 的面积为9，△9＝12•AC •3，△AC ＝6， △OA ＝2，△OC ＝6﹣2＝4或OC ＝6+2＝8，△C （0，4）或（0，﹣8）；（3）分四种情况：①如图1，当AB ＝AC 时，△A （0，﹣2），B （3，2），△AB 22(22)＝5，△AC ＝5，△OA ＝2，△OC ＝3，△C （0，3），设直线l 的解析式为：y ＝mx +n ，把B （3，2）和C （0，3）代入得：323m n n +=⎧⎨=⎩ ，解得：133m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，△直线l 的函数表达式为：y ＝13-x +3； ②如图2，AB ＝AC ＝5，△C （0，﹣7），同理可得直线l 的解析式为：y ＝3x ﹣7； ③如图3，AB ＝BC ，过点B 作BD △y 轴于点D ，△CD ＝AD ＝4，△C （0，6），同理可得直线l 的解析式为：y ＝43-x +6； ④如图4，AC ＝BC ，过点B 作BD △y轴于D ，设AC ＝a ，则BC ＝a ，CD ＝4﹣a ，根据勾股定理得：BD 2+CD 2＝BC 2，△32+（4﹣a ）2＝a 2，解得：a ＝258， △OC ＝258﹣2＝98 ，△C （0，98），同理可得直线l 的解析式为：y ＝724x +98；综上，直线l 的解析式为：y ＝13-x +3或y ＝3x ﹣7或y ＝43-x +6或y ＝724x +98．【变式训练3】如图，直线1:l y ax a =-，1l 与x 轴交于点B ，直线2l 经过点(4,0)A ，直线1l ，2l 交于点(2,3)C -．（1）a =______；点B 的坐标为______．（2）求直线2l 的解析表达式；（3）求ABC 的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ABP △为等腰三角形，请直接写出P 点的横坐标？【答案】（1）3a =-，()10B ,；（2）362y x =-；（3）92；（4）52，2813【解析】（1）△直线1:l y ax a =-经过点(2,3)C -，32a a ∴-=-，解得：3a =-；即直线1:l y ax a =-的解析式为33y x =-+；当y =0时，-3x +3=0，解得1x =，则()10B ,；故答案为：-3，（1,0）；（2）设直线2l 的解析式为:y kx b =+， △经过点()4,0A 和点(2,3)C -，△0432k b k b=+⎧⎨-=+⎩，解得：32k ，6b =-．△直线2l 的解析式为：362y x =-；（3）设ABC 的面积的面积为ABC S ；则413AB =-=，ABC 的高为3，则193322ABCS=⨯⨯=；（4）存在，设点P 的坐标为（x ，362x ），分三种情况： ①当AP=BP 时，点P 在线段AB 的垂直平分线上，△A （4,0），B （1,0），△点P 的横坐标为：41522+=； ②当AP=AB =3时，过点P 作PH △x 轴于点H ，△222PH AH AP +=，△2223(6)(4)32x x -+-=，解得x③当AB=BP =3时，作PM △x 轴于点M ， △222PM BM BP +=，△2223(6)(1)32x x -+-=，解得x =2813或x =4（舍去）；综上，符合条件的P 点的横坐标是52，2813，5213± 类型四、一次函数与直角三角形例1.如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝13x ＋b 的图象交于点C （－2，m ）．（1）求m 和b 的值；（2）函数y ＝－x ＋b 的图象与x 轴交于点D ，点E 从点D 出发沿DA 向，以每秒2个单位长度匀速运动到点M （到A 停止运动），设点E 的运动时间为t 秒． ①当ΔACE 的面积为12时，求t 的值；②在点E 运动过程中，是否存在t 的值，使ΔACE 为直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）m =4，b =143；（2）①t =5；②t ＝4或t ＝6 【解析】（1）△点C （−2，m ）在直线y ＝−x ＋2上， △m ＝−（−2）＋2＝2＋2＝4，△点C （−2，4）， △函数y ＝13x ＋b 的图象过点C （−2，4），△4＝13×（−2）＋b ，得b =143，即m 的值是4，b 的值是143；（2）①△函数y ＝−x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，△点A （2，0），点B （0，2）， △函数y ＝13x ＋143的图象与x 轴交于点D ，△点D 的坐标为（−14，0），△AD ＝16， △△ACE 的面积为12，△(16−2t )×4÷2＝12，解得，t ＝5．即当△ACE 的面积为12时，t 的值是5； ②当t ＝4或t ＝6时，△ACE 是直角三角形，理由：当△ACE ＝90°时，AC △CE ， △点A （2，0），点B （0，2），点C （−2，4），点D （−14，0），△OA ＝OB ，AC ＝，△△BAO ＝45°，△△CAE ＝45°，△△CEA ＝45°，△CA ＝CE ＝，△AE ＝8， △AE ＝16−2t ，△8＝16−2t ，解得，t ＝4；当△CEA ＝90°时，△AC ＝，△CAE ＝45°，△AE ＝4， △AE ＝16−2t ，△4＝16−2t ，解得，t ＝6；由上可得，当t ＝4或t ＝6时，△ACE 是直角三角形．【变式训练1】如图1，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，对角线AC BD 、交于点,O P 从B 点出发，沿B DC →→方向匀速运动，P 点运动速度为1cm/s ．图2是点P 运动时，APC △的面积2()cm y 随P 点运动时间()s x变化的函数图像．（1）AB =_______cm,a =_____；（2）P 点在BD 上运动时，x 为何值时，四边形ADCP；（3）在P 点运动过程中，是否存在某一时刻使得APB △为直角三角形，若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2；（2；（3或1【解析】（1）在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，则ABC ∆、ACD ∆为全等的两个等边三角形，设ABC ∆的边长为a，则其面积为24a ，由图2知，当点P 在点A 时，y ABC =∆的面积2=，解得2a =（负值已舍去），即菱形的边长为2，则2()AB cm =，由题意知，点P 与点O 重合时，对于图2的a 所在的位置，则1AO =，故a BO ====2（2）由（1）知点P 在BO 段运动时，对于图2第一段直线，而该直线过点、0)，设其对应的函数表达式为y kx t =+，则0t t ⎧=⎪+=，解得1k t =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故该段函数的表达式为=-+y x ，当点P 在BD 上运动时，四边形ADCP，则点P 只能在BO 上，则四边形ADCP 的面积ACD S y ∆=+=x x =；（3）存在，理由：由（1）知，菱形的边长为2，则BP =1AO =，过点A 作AP DC ''⊥于点P ''交BD 于点P '，ABC ∆、ACD ∆均为等边三角形，则30PAP DAP ∠'=∠''=︒，①当点P 和点O 重合时，APB ∠为直角，则x BP ==②当BAP ∠'为直角时，则同理可得：PP '=x BP PP =+'=；③当BAP ∠''为直角时，则112x BD DP AD =+''=+=，综上，x 或1．【变式训练2】在平面直角坐标系xOy 中，将直线2y x =向下平移2个单位后，与一次函数132y x =-+的图象相交于点A ．（1）将直线2y x =向下平移2个单位后对应的解析式为；（2）求点A 的坐标；（3）若P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）22y x =-；（2）（2，2）；（3）（2，0）或（4，0）．【解析】（1）根据题意，得22y x =-；故答案为：22y x =-．（2）由题意得：22132y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：22x y =⎧⎨=⎩，△点A 的坐标为（2，2）；（3）如图所示，△P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，当OA =OP 时，P 点坐标为（4，0），当OP =AP 时，P 点坐标为（2，0），综上，P 点的坐标为：（2，0）或（4，0）．类型五、最值问题例1．如图，将直线34y x =-向上平移后经过点()4,3A ，分别交x 轴y 轴于点B 、C ．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）点P 为直线BC 上一动点，连接OP ．问：线段OP 的长是否存在最小值？若存在，求出线段OP 的最小值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）364y x =-+；（2）存在，线段OP 的最小值为4.8．【解析】（1）设平移后的直线BC 的解析式为34y x b =-+，代入()4,3A 得3344b =-⨯+，解得6b = △直线BC 的解析式为364y x =-+；（2）存在，理由如下：令x =0，得y =6，△C （0，6），故OC =6令y =0，得x =8，△B （8，0）故OB =8△BC 10= △OP △BC 时，线段OP 最小， △S △ABC =12BO CO ⨯=12BC OP ⨯，△OP = 4.8BO COBC⨯=，即线段OP 的最小值为4.8．【变式训练1】如图，四边形OABC 是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，5OC =，点E 在边BC 上．（1）若点N 的坐标为(3,0)，过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ，将纸片沿直线OE 折叠，顶点C 恰好落在MN 上，并与MN 上的点G 重合． ①求点G 、点E 的坐标；②若直线:l y mx n =+平行于直线OE ，且与长方形ABMN 有公共点，请直接写出n 的取值范围．（2）若点E 为BC 上的一动点，点C 关于直线OE 的对称点为G ，连接BG ，请求出线段BG 的最小值．【答案】（1）①G （3，4），E （53，5）；②-15≤n ≤-4；（2）5【解析】（1）由折叠的性质可知，OG =OC =5，由勾股定理得，GN 4=， △点G 的坐标为（3，4）；设CE =x ，则EM =3-x ，由折叠的性质可知：EG =CE =x ， △GN =4，△GM =5-4=1，在Rt △EMG 中，222EG EM MG =+，即()22231x x =-+，解得：x =53， △点E 的坐标为（53，5）；设OE所在直线的解析式为：y=kx，则53k=5，解得，k=3，△OE所在直线的解析式为：y=3x，△直线l：y=mx+n平行于直线OE，△m=3，即直线l的解析式为y=3x+n，当直线l经过点M（3，5）时，5=3×3+n，解得，n=-4，当直线l经过点A（5，0）时，0=3×5+n，解得，n=-15，△直线l与长方形ABMN有公共点时，-15≤n≤-4；（3）连接OB，OG，△OC=BC=5，△OCB=90°，△BC OC=△点C关于直线OE的对称点为点G，△OC=OG=5，△BG≥OB-OG，△当O、B、G三点共线时，BG取得最小值，△BG的最小值为5．。

初二下学期压轴题练习- 一次函数与几何变换(含答案)

专题09一次函数与几何变换一．选择题1．（2021春•大同期末）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论正确的是（）A．函数的图象与y轴的交点坐标是（4，0）B．函数的图象不经过第三象限C．函数的图象向上平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象D．若A（x1，y1），B（x2，y2）两点在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＜y22．（2021•扬州）如图，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（）A．+B．3C．2+D．+3．（2020秋•天桥区期末）如图1，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y＝x﹣3沿x轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中b的值为（）A．5B．4C．3D．24．（2020秋•碑林区校级期中）将直线y＝﹣3x沿着x轴向右平移2个单位，所得直线的表达式为（）A．y＝﹣3x+6B．y＝﹣3x﹣6C．y＝﹣3x+2D．y＝﹣3x﹣2 5．（2020•碑林区校级模拟）若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（）A．k＝2、b＝﹣3B．k＝﹣2、b＝﹣3C．k＝﹣2、b＝1D．k＝﹣2、b＝﹣1 6．（2019•嘉祥县三模）在平面直角坐标系中，将直线y1：y＝2x﹣2平移后，得到直线y2：y＝2x+4，则下列平移作法正确的是（）A．将y1向上平移2个单位长度B．将y1向上平移4个单位长度C．将y1向左平移3个单位长度D．将y2向右平移6个单位长度7．（2018春•雨花区校级月考）如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒，当M、N位于直线l的异侧时，t应该满足的条件是（）A．3＜t＜6B．4＜t＜7C．3＜t＜7D．＜t＜7二．填空题8．（2021春•安丘市期末）在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为（1，），将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，过A'作A'C垂直于OA′交y轴于点C，则点C 的坐标为．9．（2021春•东台市月考）如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，那么ABCD面积为．10．（2021•广东模拟）如图，已知一条直线经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），将这条直线向右平移与x 轴、y轴分别交于点C、D，若AB＝AD，则直线CD的函数表达式为．11．（2020春•黄陂区期末）将直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移2个单位后，所得直线的解析式是．12．（2018秋•福田区校级期中）如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；…，按此规律作下去，则点B n的坐标为．13．（2017秋•碑林区校级期末）如图，一次函数y＝，的图象向下平移2个单位后得直线l，直线l交x轴于点A、交y轴于点B，在线段AB上有一动点P（不与点A、B重合），过点P分别作PE⊥x 轴点E，PF⊥y轴于点F，当线段EF的长最小时，点P的坐标为．14．（2018春•丰南区期末）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则将直线l向右平移3个单位长度后所得直线l′的函数解析式为．15．（2019春•西湖区校级期中）在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝4x+1以每秒2个单位的速度向下平移，经过秒该直线可将平行四边形OABC的面积平分．16．（2019•天津二模）将函数y＝3x+1的图象平移，使它经过点（1，1），则平移后的函数表达式是．17．（2019春•常州期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B（6，2），C（4，0），直线y＝2x+1以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过秒该直线可将平行四边形OABC分成面积相等的两部分．三．解答题18．（2021春•古丈县期末）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象．（1）求出这个一次函数的解析式；（2）将该函数的图象向下平移5个单位，求出平移后一次函数的解析式，并写出平移后的图象与x轴的交点坐标．19．（2021春•武汉月考）已知，在平面直角坐标系中，函数y1＝2|x﹣a|，（1）若该函数经过点A（1，0），求该函数的解析式，并在图1中画出函数图象；（2）在（1）的条件下，将函数y2＝x向上平移m个单位后与函数y1的图象相交于点B和C点，若BC ＝，求m；（3）如图2，设直线y3＝6n与直线y4＝2n分别与函数y1＝2|x﹣a|相交于点E、F和M、N，点P为直线y3＝6n上一点，连接PM、PN并延长交直线y5＝kn于点G、H，若2EF＝3GH，求k．20．（2021春•河北区期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形ABCD在第一象限内，AB∥x 轴，点A的坐标为（5，4）经过点O、点C作直线l，将直线l沿y轴上下平移．（1）当直线l与正方形ABCD只有一个公共点时，求直线l的解析式；（2）当直线l在平移过程中恰好平分正方形ABCD的面积时，直线l分别与x轴、y轴相交于点E、点F，连接BE、BF，求△BEF的面积．21．（2019秋•罗湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝kx+b相交于点A，点A的横坐标为3，直线l2交y轴于点B，且OA＝OB．（1）试求直线l2的函数表达式；（2）若将直线l1沿着x轴向左平移3个单位，交y轴于点C，交直线l2于点D．试求△BCD的面积．22．（2018秋•宿迁期末）如图，一次函数y＝（m+1）x+4的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB面积为4．（1）则m＝，点A的坐标为（，）．（2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP＝4OA，求直线BP的解析式；（3）将一次函数y＝（m+1）x+4的图象绕点B顺时针旋转45°，求旋转后的对应的函数表达式．23．（2019•大渡口区模拟）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD在第一象限内，AD∥y轴，点A的坐标为（5，3），已知直线l：y＝x﹣2．（1）将直线l向上平移m个单位，使平移后的直线恰好经过点A，求m的值；（2）在（1）的条件下，平移后的直线与正方形的边长BC交于点E，求△ABE的面积．24．（2018春•沙坪坝区校级期末）如图：一次函数y＝x+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．（1）求点B的坐标；（2）求四边形ABCO的面积；（3）求直线CD的解析式．25．（2017春•武昌区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象过点A（﹣4，﹣2）和点B（2，4）（1）求直线AB的解析式；（2）将直线AB平移，使其经过原点O，则线段AB扫过的面积为．26．（2017春•安岳县期中）已知直线y＝（m+1）x|m|﹣1+（2m﹣1），当x1＞x2时，y1＞y2，求该直线的解析式．并求该直线经过怎么的上下平移就能过点（2，5）？27．（2016春•大兴区期末）阅读材料：通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数的表达式．有这样一个问题：直线l1的表达式为y＝﹣2x+4，若直线l2与直线l1关于y轴对称，求直线l2的表达式．下面是小明的解题思路，请补充完整．第一步：求出直线l1与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标；第二步：在平面直角坐标系中，作出直线l1；第三步：求点A关于y轴的对称点C的坐标；第四步：由点B，点C的坐标，利用待定系数法，即可求出直线l2的表达式．小明求出的直线l2的表达式是．请你参考小明的解题思路，继续解决下面的问题：（1）若直线l3与直线l1关于直线y＝x对称，则直线l3的表达式是；（2）若点M（m，3）在直线l1上，将直线l1绕点M顺时针旋转90°．得到直线l4，求直线l4的表达式．28．（2016•河北模拟）如图，直线l1在平面直角坐标系中，直线l1与y轴交于点A，点B（﹣3，3）也在直线l1上，将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，点C恰好也在直线l1上．（1）求点C的坐标和直线l1的解析式；（2）若将点C先向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点D，请你判断点D是否在直线l1上；（3）已知直线l2：y＝x+b经过点B，与y轴交于点E，求△ABE的面积．29．（2015秋•栖霞区期末）课本P152有段文字：把函数y＝2x的图象分别沿y轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数y＝2x+3或y＝2x﹣3的图象．【阅读理解】小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数y＝﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？老师给了以下提示：如图1，在函数y＝﹣2x的图象上任意取两个点A、B，分别向右平移3个单位长度，得到A′、B′，直线A′B′就是函数y＝﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度后得到的图象．请你帮助小尧解决他的困难．（1）将函数y＝﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为．A．y＝﹣2x+3；B．y＝﹣2x﹣3；C．y＝﹣2x+6；D．y＝﹣2x﹣6【解决问题】（2）已知一次函数的图象与直线y＝﹣2x关于x轴对称，求此一次函数的表达式．【拓展探究】（3）一次函数y＝﹣2x的图象绕点（2，3）逆时针方向旋转90°后得到的图象对应的函数表达式为．（直接写结果）专题09一次函数与几何变换一．选择题1．（2021春•大同期末）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论正确的是（）A．函数的图象与y轴的交点坐标是（4，0）B．函数的图象不经过第三象限C．函数的图象向上平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象D．若A（x1，y1），B（x2，y2）两点在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＜y2【思路引导】代入y＝0求出与之对应的x值，即可得出A不正确；根据一次函数的系数结合一次函数的性质，即可得知B选项正确、D选项不正确，根据平移的规律求得平移后的解析式，即可判断C不正确，此题得解．【完整解答】解：A、令y＝﹣2x+4中y＝0，则x＝2，∴一次函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0），故本选项不符合题意；B、∵k＝﹣2＜0，b＝4＞0，∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，即函数的图象不经过第三象限，故本选项符合题意；C、根据平移的规律，函数的图象向上平移4个单位长度得到的函数解析式为y＝﹣2x+4+4，即y＝﹣2x+8，故本选项不符合题意；D、∵k＝﹣2＜0，∴一次函数中y随x的增大而减小，∴若A（x1，y1），B（x2，y2）两点在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2，故本选项不符合题意．故选：B．【考察注意点】本题考查了一次函数的图象以及一次函数的性质，解题的关键是逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题时，熟悉一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系是解题的关键．2．（2021•扬州）如图，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（）A．+B．3C．2+D．+【思路引导】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．【完整解答】解：∵一次函数y＝x+的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝﹣，则A（﹣，0），B（0，），则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，∴AB＝＝2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵∠CAD＝∠OAB＝45°，∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，∴AC＝＝x，由旋转的性质可知∠ABC＝30°，∴BC＝2CD＝2x，∴BD＝＝x，又BD＝AB+AD＝2+x，∴2+x＝x，解得：x＝+1，∴AC＝x＝（+1）＝，故选：A．【考察注意点】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．3．（2020秋•天桥区期末）如图1，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y＝x﹣3沿x轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中b的值为（）A．5B．4C．3D．2【思路引导】先根据△AEF为等腰直角三角形，可得直线l与直线BD平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，再根据BD的长即可得到b的值．【完整解答】解：如图1，连接BD并且两端延长，直线y＝x﹣3中，令y＝0，得x＝3；令x＝0，得y ＝﹣3，即直线y＝x﹣3与坐标轴围成的△OEF为等腰直角三角形，∴直线l与直线BD平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，由图2可得，t＝2时，直线l经过点A，∴AO＝3﹣2×1＝1，∴A（1，0），由图2可得，t＝12时，直线l经过点C，∴当t＝+2＝7时，直线l经过B，D两点，∴AD＝（7﹣2）×1＝5，∴等腰Rt△ABD中，BD＝5，即当a＝7时，b＝5．故选：A．【考察注意点】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数图象与几何变换，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．解决问题的关键是掌握正方形的性质以及平移的性质．4．（2020秋•碑林区校级期中）将直线y＝﹣3x沿着x轴向右平移2个单位，所得直线的表达式为（）A．y＝﹣3x+6B．y＝﹣3x﹣6C．y＝﹣3x+2D．y＝﹣3x﹣2【思路引导】根据平移性质可由已知的解析式写出新的解析式．【完整解答】解：根据题意，得直线向右平移2个单位，即对应点的纵坐标不变，横坐标减2，所以得到的解析式是y＝﹣3（x﹣2）＝﹣3x+6．故选：A．【考察注意点】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，解题时注意：y＝kx左右平移|a|个单位长度的时候，即直线解析式是y＝k（x±|a|）；当直线y＝kx上下平移|b|个单位长度的时候，则直线解析式是y ＝kx±|b|．5．（2020•碑林区校级模拟）若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（）A．k＝2、b＝﹣3B．k＝﹣2、b＝﹣3C．k＝﹣2、b＝1D．k＝﹣2、b＝﹣1【思路引导】先求出一次函数y＝kx+3与y轴交点关于直线x＝1的对称点，得到b的值，再求出一次函数y＝2x+b与y轴交点关于直线x＝1的对称点，代入一次函数y＝kx+3，求出k的值即可．【完整解答】解：∵一次函数y＝kx+3与y轴交点为（0，3），∴点（0，3）关于直线x＝1的对称点为（2，3），代入直线y＝2x+b，可得4+b＝3，解得b＝﹣1，一次函数y＝2x﹣1与y轴交点为（0，﹣1），（0，﹣1）关于直线x＝1的对称点为（2，﹣1），代入直线y＝kx+3，可得2k+3＝﹣1，解得k＝﹣2．故选：D．【考察注意点】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键．6．（2019•嘉祥县三模）在平面直角坐标系中，将直线y1：y＝2x﹣2平移后，得到直线y2：y＝2x+4，则下列平移作法正确的是（）A．将y1向上平移2个单位长度B．将y1向上平移4个单位长度C．将y1向左平移3个单位长度D．将y2向右平移6个单位长度【思路引导】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．【完整解答】解：∵将直线y1：y＝2x﹣2平移后，得到直线y2：y＝2x+4，∴2（x+a）﹣2＝2x+4，解得：a＝3，故将y1向左平移3个单位长度．故选：C．【考察注意点】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．7．（2018春•雨花区校级月考）如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒，当M、N位于直线l的异侧时，t应该满足的条件是（）A．3＜t＜6B．4＜t＜7C．3＜t＜7D．＜t＜7【思路引导】分别求出直线l经过点M、点N时的t值，即可得到t的取值范围．【完整解答】解：当直线y＝﹣x+b过点M（3，2）时，2＝﹣3+b，解得：b＝5，5＝1+t，解得t＝4．当直线y＝﹣x+b过点N（4，4）时，4＝﹣4+b，解得：b＝8，8＝1+t，解得t＝7．故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围是：4＜t＜7．故选：B．【考察注意点】本题考查了坐标平面内一次函数的图象与性质，关键是利用一次函数图象上点的坐标特征解答．二．填空题8．（2021春•安丘市期末）在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为（1，），将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，过A'作A'C垂直于OA′交y轴于点C，则点C 的坐标为（0，﹣4）．【思路引导】依据轴对称的性质可得OB'＝OB＝，A′B′＝AB＝1，OA′＝OA＝2，进而通过证得△A′OB′∽△COA′，求得OC＝4，即可证得C的坐标为（0，﹣4）．【完整解答】解：∵点A的坐标为（1，），∴AB＝1，OB＝，∴OA＝＝＝2，∵将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，∴OB'＝OB＝，A′B′＝AB＝1，OA′＝OA＝2，∴A'（﹣，﹣1），∵过A'作A'C垂直于OA'交y轴于点C，∴∠A′OC+∠A′CO＝90°，∵∠A′OB′+∠A′OC＝90°，∴∠A′CO＝∠A′OB′，∵∠A′B′O＝∠OA′C＝90°，∴△A′OB′∽△OCA′，∴＝，即＝，∴OC＝4，∴C（0，﹣4），故答案是：（0，﹣4）．【考察注意点】本题考查了轴对称的性质，正比例函数的性质，求得对称点的坐标是解题的关键．9．（2021春•东台市月考）如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，那么ABCD面积为8．【思路引导】通过图象中（4，0），（7，2），（8，2）可得直线运动到A，D，B三点时所移动距离，从而求出AB长度，再通过添加辅助线构造直角三角形求出平行四边形的高而求解．【完整解答】解：由图象可知，直线经过A时移动距离为4，经过D时移动距离为7，经过B时移动距离为8，∴AB＝8﹣4＝4．如图，当直线经过点D时，交AB于点E，作DF垂直于AB于点F，由图2可知DE＝2，∵直线与AB夹角为45°，∴DF＝EF＝2，∴ABCD面积为AB•DF＝4×2＝8．故答案为：8．【考察注意点】本题考查一次函数图象与图形结合问题，解题关键是掌握k＝﹣1时直线与x轴所夹锐角为45°．10．（2021•广东模拟）如图，已知一条直线经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），将这条直线向右平移与x 轴、y轴分别交于点C、D，若AB＝AD，则直线CD的函数表达式为y＝﹣2x+2．【思路引导】先求出直线AB的解析式，再根据平移的性质求直线CD的解析式．【完整解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵点A（﹣1，0）点B（0，﹣2）在直线AB上，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2，∵AB＝AD，AO⊥BD，∴OD＝OB，∴D（0，2），∴直线CD的函数解析式为：y＝﹣2x+2，故答案为：y＝﹣2x+2．【考察注意点】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．11．（2020春•黄陂区期末）将直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移2个单位后，所得直线的解析式是y＝2x﹣1．【思路引导】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【完整解答】解：由“上加下减”的原则可知，直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移2个单位，所得直线的函数关系式为y＝2x﹣3+2，即y＝2x﹣1；故答案为y＝2x﹣1．【考察注意点】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．12．（2018秋•福田区校级期中）如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；…，按此规律作下去，则点B n的坐标为（2n﹣1，2n）．【思路引导】先根据题意求出A2点的坐标，再根据A2点的坐标求出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点B n的坐标．【完整解答】解：∵点A1坐标为（1，0），∴OA1＝1，过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，可知B1点的坐标为（1，2），∵点A2与点O关于直线A1B1对称，∴OA1＝A1A2＝1，∴OA2＝1+1＝2，∴点A2的坐标为（2，0），B2的坐标为（2，4），∵点A3与点O关于直线A2B2对称．故点A3的坐标为（4，0），B3的坐标为（4，8），依此类推便可求出点A n的坐标为（2n﹣1，0），点B n的坐标为（2n﹣1，2n）．故答案为：（2n﹣1，2n）．【考察注意点】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质．13．（2017秋•碑林区校级期末）如图，一次函数y＝，的图象向下平移2个单位后得直线l，直线l交x轴于点A、交y轴于点B，在线段AB上有一动点P（不与点A、B重合），过点P分别作PE⊥x轴点E，PF⊥y轴于点F，当线段EF的长最小时，点P的坐标为（﹣，）．【思路引导】利用勾股定理和一次函数图象上点的坐标特征，列出二次函数关系式，结合二次函数最值的求法解答．【完整解答】解：由已知条件得到直线l解析式为：y＝﹣2，即y＝，设P（a，），所以EF2＝a2+（）2＝a2+a+．当EF取最小值时，a＝﹣＝﹣，此时，＝，即P（﹣，），故答案是：（﹣，）．【考察注意点】考查了一次函数图象与几何变换，解题时，利用了二次函数最值的求法，熟记二次函数顶点坐标公式是解题的关键．14．（2018春•丰南区期末）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则将直线l向右平移3个单位长度后所得直线l′的函数解析式为y＝x﹣．【思路引导】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过点A作AB⊥y轴于点B，过点A作AC⊥x 轴于点C，易知OB＝3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标，再利用待定系数法可求出该直线l的解析式，再根据平移规律即可得到直线l′的函数解析式．【完整解答】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C，∵正方形的边长为1，∴OB＝3，∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴两边分别是4，∴三角形ABO面积是5，∴OB•AB＝5，∴AB＝，∴OC＝，由此可知直线l经过（，3），设直线l为y＝kx，则3＝k，k＝，∴直线l解析式为y＝x，∴直线l向右平移3个单位长度后所得直线l′的函数解析式为y＝（x﹣3），即y＝x﹣，故答案为：y＝x﹣．【考察注意点】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，解题的关键是作AB⊥y轴，作AC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面积公式求出AB的长．15．（2019春•西湖区校级期中）在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝4x+1以每秒2个单位的速度向下平移，经过6秒该直线可将平行四边形OABC的面积平分．【思路引导】首先连接AC、BO，交于点D，当y＝4x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y＝4x+1的直线解析式，从而可得直线y＝4x+1要向下平移，进而可得答案．【完整解答】解：连接AC、BO，交于点D，当y＝4x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分；∵四边形AOCB是平行四边形，∴BD＝OD，∵B（6，2），点C（4，0），∴D（3，1），设DE的解析式为y＝kx+b，∵平行于y＝4x+1，∴k＝4，∵过D（3，1），∴DE的解析式为y＝4x﹣11，∴直线y＝4x+1要向下平移12个单位，∴时间为6秒，故答案为：6【考察注意点】此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．16．（2019•天津二模）将函数y＝3x+1的图象平移，使它经过点（1，1），则平移后的函数表达式是y＝3x﹣2．【思路引导】根据函数图象平移的性质得出k的值，设出相应的函数解析式，再把经过的点代入即可得出答案．【完整解答】解：新直线是由一次函数y＝3x+1的图象平移得到的，∴新直线的k＝3，可设新直线的解析式为：y＝3x+b．∵经过点（1，1），则1×3+b＝1，解得b＝﹣2，∴平移后图象函数的解析式为y＝3x﹣2；故答案为：y＝3x﹣2．【考察注意点】此题考查了一次函数图形与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值的变化．17．（2019春•常州期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B（6，2），C（4，0），直线y＝2x+1以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过6秒该直线可将平行四边形OABC分成面积相等的两部分．【思路引导】首先连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y＝2x+1的直线解析式，从而可得直线y＝2x+1要向下平移6个单位，进而可得答案．【完整解答】解：连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分；∵四边形AOCB是平行四边形，∴BD＝OD，∵B（6，2），点C（4，0），∴D（3，1），设DE的解析式为y＝kx+b，∵平行于y＝2x+1，∴k＝2，∵过D（3，1），∴DE的解析式为y＝2x﹣5，∴直线y＝2x+1要向下平移6个单位，∴时间为6秒，故答案为：6．【考察注意点】此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．三．解答题18．（2021春•古丈县期末）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象．（1）求出这个一次函数的解析式；（2）将该函数的图象向下平移5个单位，求出平移后一次函数的解析式，并写出平移后的图象与x轴的交点坐标．【思路引导】（1）利用待定系数法确定该一次函数的解析式；（2）根据平移规律“上加下减”写出平移后一次函数解析式，然后根据一次函数图象上点的坐标特征求直线与x轴的交点坐标．【完整解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，0）和点（2，2），∴．解得k＝，b＝1．∴一次函数的解析式为：y＝x+1；（2）∵一次函数y＝x+1向下平移5个单位的解析式为y＝x+1﹣5＝x﹣4，即y＝x﹣4．∴当y＝0时，x＝8，∴平移后的图象与x轴的交点坐标为（8，0）．【考察注意点】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的性质是解答此题的关键．19．（2021春•武汉月考）已知，在平面直角坐标系中，函数y1＝2|x﹣a|，（1）若该函数经过点A（1，0），求该函数的解析式，并在图1中画出函数图象；（2）在（1）的条件下，将函数y2＝x向上平移m个单位后与函数y1的图象相交于点B和C点，若BC＝，求m；（3）如图2，设直线y3＝6n与直线y4＝2n分别与函数y1＝2|x﹣a|相交于点E、F和M、N，点P为直线y3＝6n上一点，连接PM、PN并延长交直线y5＝kn于点G、H，若2EF＝3GH，求k．【思路引导】（1）把点A坐标代入函数，求出a，得到函数y1的解析式，画出图象；（2）设出函数y2的解析式，得到B、C的坐标，根据BC＝列出方程，求m的值；（3）由三角形相似得出MN和GH的比例，求出k的值．【完整解答】解：（1）把点A（1，0）代入y1＝2|x﹣a|，得：2|1﹣a|＝0，解得：a＝1，∴y1＝2|x﹣1|，图象如右所示．（2）由题意得y2＝x+m（m＞0），x≤1时，y1＝﹣2x+2，x＞1时，y1＝2x﹣2，由，解得：，∴B（，），由，解得：，∴C（m+2，2m+2），∵BC＝，∴（m+2﹣）2+（2m+2﹣）2＝128，解得：m1＝5，m2＝﹣7（舍），∴m＝5．（3）∵直线y3＝6n与直线y4＝2n间的距离为4n，直线y4＝2n与x轴间的距离为2n，∴EF＝3MN，∵2EF＝3GH，∴MN：GH＝1：2，∴MN是△PGH的中位线，∴y3＝6n与y4＝2n间的距离和y3＝6n与y5＝kn间的距离相等，∴k＝﹣2．【考察注意点】本题考查了分段函数图象和函数图象变换，画图的关键顺序是“列表﹣描点﹣连线”，需要注意的是连线的时候要用平滑的曲线连接．20．（2021春•河北区期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形ABCD在第一象限内，AB∥x 轴，点A的坐标为（5，4）经过点O、点C作直线l，将直线l沿y轴上下平移．（1）当直线l与正方形ABCD只有一个公共点时，求直线l的解析式；（2）当直线l在平移过程中恰好平分正方形ABCD的面积时，直线l分别与x轴、y轴相交于点E、点F，连接BE、BF，求△BEF的面积．【思路引导】（1）根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，直线平移，斜率不变，设平移后的直线方程为y＝x+b；把点B和D的坐标代入进行解答即可；（2）根据正方形是中心对称图形，当直线l经过对角线的交点时，恰好平分正方形ABCD的面积，求得交点坐标，代入y＝x+b，根据待定系数法即可求得直线l此时的解析式，然后求得E、F的坐标，根据待定系数法求得直线BE的解析式，得到与y轴的交点Q的坐标，根据三角形面积公式即可求得．【完整解答】解：（1）∵长为3的正方形ABCD中，点A的坐标为（5，4），∴B（2，4），C（2，1），D（5，1），设直线l的解析式为y＝kx，把C（2，1）代入得，1＝2k，解得k＝，∴直线l为y＝，设平移后的直线方程为y＝x+b，。

中考数学压轴题讲解分析：一次函数与几何综合问题.doc

中考数学压轴题讲解分析：一次函数与几何综合问题下面我们先来看一道典型例题。

中考数学，一次函数与几何相关综合题，典型例题分析1：如图，已知一次函数y=－x+7与正比例函数y=4x/3的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A 的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA 或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．考点分析：一次函数综合题.题干分析：（1）根据图象与坐标轴交点求法直接得出即可，再利用直线交点坐标求法将两直线解析式联立即可得出交点坐标；（2）①利用S梯形ACOB－S△ACP－S△POR－S△ARB ＝8，表示出各部分的边长，整理出一元二次方程，求出即可；②根据一次函数与坐标轴的交点得出，∠OBN＝∠ONB ＝45°，进而利用勾股定理以及等腰三角形的性质和直角三角形的判定求出即可。

解题反思：此题主要考查了一次函数与坐标轴交点求法以及三角形面积求法和等腰直角三角形的性质等知识，此题综合性较强，利用函数图象表示出各部分长度，再利用勾股定理求出是解决问题的关键。

动态综合问题一直是中考数学压轴题非常喜欢考查的内容，解决此类问题需要考生根据变量之间的关系，对动态几何中的“变量”进行分类讨论,如运动的点、运动的线等等。

考生要想正确解决此类问题，关键在于要抓住点与线的运动和变化,数量之间的关系也随之发生着变化,再把这些“变化”的几何问题就转化为函数问题。

中考数学，一次函数与几何相关综合题，典型例题分析2：如图，在平面直角坐标系中，以点B（0，8）为端点的射线BG∥x轴，点A是射线BG上的一个动点（点A与点B 不重合）．在射线AG上取AD=OB，作线段AD的垂直平分线，垂足为E，且与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C．连接OC、CD，设点A的横坐标为t．（1）用含t的式子表示点E的坐标为_______；（2）当t为何值时，∠OCD=180°？（3）当点C与点F不重合时，设△OCF的面积为S，求S与t之间的函数解析式．考点分析：一次函数综合题；相似三角形的判定与性质．题干分析：（1）由点B坐标为（0，8），可知OB=8，根据线段垂直平分线的定义可知：AE=4，从而求得：BE=t+4，故此点E 的坐标为（t+4，8）；（2）过点D作DH⊥OF，垂足为H．先证明△OBA∽△AEC，由相似三角形的性质可知，EC/AB=AE/OB可求得EC=t/2，从而得到点C的坐标为（t+4，8﹣t/2），因为∠OCD=180°，CF∥DH，可知，OF/OH=FC/DH即从（t+4）/（t+8）=（8﹣t/2）/8而可解得t的值；（3）三角形OCF的面积=OF•FC/2从而可得S与t的函数关系式．解题反思：本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，用含字母t 的式子表示点C的坐标是解题的关键。

中考数学压轴题大集合

[解]（1）（本小题介绍二种方法，供参考）
方法一：过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB∥EO′∥DC
∴
又∵DO′+BO′=DB
∴
∵AB=6，DC=3，∴EO′=2
又∵ ，∴
∴DO′=DO，即O′与O重合，E在y轴上
方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：y=2x-2①
再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：y=-x-2②
（3）若过A、B、C三点，求的半径.
（4）抛物线上是否存在点M，过点M作轴于点N，使被直线BC分成面积比为的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
[解]（1）由题意得：
解得
经检验m=1，∴抛物线的解析式为：
或：由得，或
抛物线的解析式为
由得
∴A（－5，0），B（1，0），C（0，－5）.
(1)求⊙P上劣弧的长；
(2)求抛物线的解析式；
(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
[解]（1）如图，连结PB，过P作PM⊥x轴，垂足为M.
在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,
∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120°
的长＝
（2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝ .
（3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若，抛物线
y＝ax2＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到轴的距离为 .求这条抛物线的解析式.
[解]（1）解：由已知AM＝，OM＝1，
在Rt△AOM中，AO＝，
∴点A的坐标为A（0，1）
（2）证：∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1∴y＝x＋1

一本·数学压轴题函数几何模型

一本·数学压轴题函数几何模型
数学压轴题通常是指难度较高、综合性较强的题目，而函数和
几何模型是数学中的两个重要内容。

因此，一本数学压轴题的函数
几何模型可能涉及以下几个方面：
1. 函数的基本概念和性质，这包括函数的定义、定义域、值域、图像、奇偶性、周期性等。

题目可能要求分析函数的性质，如极值、单调性、对称性等，并结合几何图形进行讨论。

2. 函数的图像与几何模型，这部分可能涉及到各种函数类型的
图像与几何模型的关系。

例如，直线、抛物线、双曲线、指数函数、对数函数等的图像与几何模型之间的联系和特点。

3. 函数的运算与组合，这包括函数的四则运算、复合函数、反
函数等。

题目可能要求进行函数的运算和组合，并结合几何模型进
行实际问题的求解。

4. 几何模型的方程与函数，这部分可能涉及到几何图形的方程
与函数的关系。

例如，圆的方程与圆的参数方程、椭圆的方程与椭
圆的参数方程、直线与函数的关系等。

5. 函数与几何模型的应用，这包括函数和几何模型在实际问题中的应用。

题目可能要求利用函数和几何模型解决实际问题，如最优化问题、面积和体积问题、运动问题等。

综上所述，一本数学压轴题的函数几何模型可能涉及函数的性质、图像与几何模型的关系、函数的运算与组合、几何模型的方程与函数的关系以及函数与几何模型的应用等方面。

这些题目可能会从多个角度出发，考察学生对数学知识的理解和应用能力。

专题08 一次函数与几何综合的五种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册北师大版)

专题08一次函数与几何综合的五种考法类型一、等腰三角形存在性问题(1)求直线CB的解析式；(2)点E在x轴上，【答案】(1)12y x =+(2)(4,0)、(16,0)-、当10BE AB ==时，1E 点的坐标为(4,0)，2E 点的坐标为当AB AE =时，点B 与点E 是关于y 轴对称，E 当EA EB =时，设点E 坐标为(,0)x ，则2228(6)x x +=+，解得：73x =4E 点的坐标为7(,0)3，(1)当点P 在线段BO 上时，①求证：AOP BOQ ≌△△；②若点P 为BO 的中点，求△(2)在点P 的运动过程中，是否存在某一位置，的坐标；若不存在，请说明理由．当点P 在线段OB 上时，若OC OQ =，由于OP OQ =，则有在OCP △中，OPC AOP ∠=∠+OC OP ∴>，即OC OQ =不可能；若CQ OQ =，由于OP OQ =，则有过点C 作CH x ⊥轴于点H ，显然即CQ OQ =不可能，∴当COQ 是等腰三角形时，只有当点P在BO的延长线上时，同理可得：(0,424)P--，综上所述：(0,424)P-或P【点睛】本题考查了一次函数与几何图形综合，图形是解题的关键．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交于点B、A，点P为y(1)求点A、B的坐标；(2)当点P在y轴负半轴上，且ABP的面积为6时，求点(3)是否存在点P使得ABP为等腰三角形?若存在，求出点设()()0,0P n n <，则2PA =-所以()22224PA n n n =-=-+所以224416n n n -+=+解得3n =-，所以此时点P 的坐标为(0,3-综上所述，存在点P 使得ABP 例．如图，直线24y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 是OB 的中点．(1)求点C 的坐标：(2)在x 轴上找一点D ，使得ACD ABC S S = ，求点D 的坐标；(3)在x 轴上是否存在一点P ，使得ABP 是直角三角形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()0,2C (2)点D 的坐标为()4,0-或()0,0(3)存在，满足条件的P 点的坐标为()0,0或()8,0(1)填空：b =，m =，k =；(2)如图2，点D 为线段BC 上一动点，将ACD 沿直线AD 翻折得到AED △，线段AE 交轴于点F ．①求线段AE 的长度；②当点E 落在y 轴上时，求点E 的坐标；③若DEF 为直角三角形，请直接写出满足条件的点D 的坐标．【答案】(1)8，2-，12-(2)①45；②点E 的坐标为()0,4219-；③点D 的坐标为()20，或()254,0-【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）①过点A 作AH y ⊥轴于点H ，作AG x ⊥轴于点G ，根据勾股定理得到()222262480AE AC ==++=，于是得到结论；②利用勾股定理求出219HE =，可得2194OE =-，即可得答案；③分两种情况讨论，当90EDF ∠=︒时，求出135ADC ∠=︒，得45ADO ∠=︒，得DG AD ==得点D 坐标；当90DFE ∠=︒时，设DF x =，则8DE DC x ==-，由勾股定理得：()()2228454x x -=+-，求出DF ，得点D 坐标．【详解】（1）解：把()40B -，代入2y x b =+，∵()024b =⨯-+，∴8b =，∴直线AB ：28y x =+，把()4A m ，代入28y x =+，∴2m =-，∵ACD 翻折得到AED△∴()222262480AE AC ==++=，∴45AE =②当E 点落在y 轴上时，在Rt AHE △中，∵222AE AH HE -=∴222802HE AE AH =-=-=∴2194OE HE OH =-=-，∴点E 的坐标为()04219-，；③如下图，当90EDF ∠=︒时，由翻折得ADC ∠∴1359045ADO ∠︒︒=-=︒，∵4AG =，∴4DG AG ==，∴422OD DG OG =-=-=，∴点D 的坐标为()20，；如下图，当90DFE ∠=︒时，80AE AC ==设DF x =，则8DE DC x ==-，在Rt DEF △中，由勾股定理得：(解得：252x =-，∴254OD DF OF =-=-，∴点D 的坐标为()254,0-，综上，点D 的坐标为()20，或(2【点睛】本题考查了一次函数的综合题，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线．(1)如图1，求出AOP 的面积；(2)如图2，已知点C 是直线85y x =上一点，若APC △是以AP 为直角边的等腰直角三角形，求点C 的坐标．【答案】(1)AOP 的面积为40(2)点C 的坐标为()1016，或162,⎛⎫⎪∵直线l x ∥轴，点B ∴8PH OB ==，∴12AOP S OA PH == 故答案为：40；（2）设点(),8P n (n ≠过点P 作直线FE ，交APC 为等腰直角三角形，则90APE FPC ∴∠+∠=︒，APE FCP ∴∠=∠，90PEA CFP ∠=∠=︒ ，(AAS)PEA CFP ∴ ≌，同理可得：(AAS)AMP ANC ≌AM AM ∴=且MP NC =，8|10|m ∴=-或8105n m -=解得：2565m n =⎧⎪⎨=⎪⎩或181945m n =⎧⎪⎨=⎪⎩(1)求直线l 的解析式；(2)求证：ABC 是等腰直角三角形；(3)将直线l 沿y 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与在直线CD 上存在点P ，使得A △的坐标．【答案】(1)142y x =-+∴90DPE A PB ''∠=∠=︒，∴A PD B PE ''∠=∠，∵90A FP CEB ''∠=∠=︒，∴A FP CEB '' ≌，∴4,PE PF A F B E ''===，此时点P 的坐标为()44--，；如图，若以点P 为直角顶点时，过点同理此时点P 的坐标为()44-，；如图，若以点B '为直角顶点时，过点P 作同理A OB B GP ''' ≌，∴44OB PG OF t '====+，B '∴8t =-或0（舍去），∴8B G OA ''==，∴12OG =，∴此时点P 的坐标为()412--，；如图，若以点B '为直角顶点时，过点B '作B M CD '⊥轴于点M ，则4B M OF '==，OB MF '=，同理PB M A B O ''' ≌，∴44B M B O t ''===+，82PM OA t '==+，∴0=t （舍去）；如图，若以点A '为直角顶点时，同理A PF B A O ''' ≌，∴,PF A O B O A F '''==，∴4482t t --=---，解得：8t =-，∴8PF =，此时点P 的坐标为()48-，；如图，若以点A '为直角顶点时，同理A PF B A O ''' ≌，∴,PF A O B O A F '''==，∴4824t t --=++，解得：163t =-，∴83PF =，∴此时点P 的坐标为84⎛⎫--，；(1)①A 的坐标是_____________②求直线AB 的表达式；(2)点P 是直线y =(3)当ABP 为等腰直角三角形时，请直接写出【答案】(1)①(0,3【分析】（1）把x（3）解：如图1，当点P 为顶点时，过点P 作PE x ⊥轴，过点A 作AF 垂直于PE 的延长线于点F ，∵ABP 是等腰直角三角形，AP PB ∴=，APB ∠=90︒，=90FAP APF +∠︒ ，=90APF BPE ∠+∠︒，=FAP BPE ∴∠∠，在AFP 和PEB △中，F E FAP EPB AP PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFP PEB AAS ∴≅ ，AF PE ∴=，BE PF =，===90O F E ∠∠∠︒ ，∴四边形AOEF 是矩形，==AF PE OB BE ∴+，===AO FE FP PE BE PE ++，==2AO BE OB BE BE OB +++，()0,3A 、()1,0B ，=3AO ∴，1OB =，21=3BE ∴+，=1BE ∴，==31=2PE AO BE --，==11=2OE OB BE ∴++，∴点P 的坐标为()2,2；如图2，当点B 为顶点时，过点P 作PG x ⊥轴，ABP 是等腰直角三角形，AB BP ∴=，=90ABO OAB ∠+∠︒ ，=90ABO PBG ∠+∠︒，=OAB PBG ∴∠∠，在AOB 和BGP 中，O PGB OAB PBG AB BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOB BGP AAS ∴≅ ，=PG OB ∴，BG AO =，()0,3A 、()1,0B ，=3AO ∴，1OB =，==13=4OG OB BE ∴++，=1PG ，∴点P 的坐标为()4,1；如图3，当点A 为顶点时，过点P 作PM y ⊥轴，PAB △是等腰直角三角形，PA AB ∴=，=90PAB ∠︒，90MAP OAB ∠+∠=︒ ，90MAP MPA ∠+∠=︒，=MPA OAB ∴∠∠，在PMA △和AOB 中，M O MPA OAB AP AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PMA AOB AAS ∴≅ ，=MP AO ∴，=MA OB ，()0,3A 、()1,0B ，=3AO ∴，1OB =，3MP ∴=，==13=4OM MA AO ++，∴点P 的坐标为()3,4，故答案为：()2,2；()4,1；()3,4．【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，等腰直角三角形的性质和矩形的性质及全等三角形的性质的判定，熟练求一次函数的解析式和构造全等三角形是解题的关键．类型四、全等问题(1)点A坐标为________，点B坐标为(2)当BOP△的面积是4时，求点(3)在y轴上是否存在点Q，使得以接写出所有符合条件的点P的坐标，否则请说明理由．【答案】(1)(3,0)，(0,4)，12 5(2)4(2,)20(2,)125OM OQ ==，12(0,)5Q 或12(0,)5-，6(5P ，12)5或24(5，12)5-；②如图3，图4，当OMP PQO ≌△△时，125PQ OM ∴==，12(5P ∴-，36)5或12(5，4)5；综上所述：P 点坐标为(65，12)5或24(5，12)5-或12(5-，36)5或12(5，4)5．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，判定及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．【变式训练1】如图，一次函数364y x =+的图象与于点C ，点P 在直线AB 上运动，点Q 在(1)求点A ，B 的坐标；(2)求OC 的长；(3)若以O ，P ，Q 为顶点的三角形与【答案】(1)()8,0A -，(B (3)Q 的坐标为120,5⎛⎫ ⎪⎝⎭或0,⎛ ⎝则OC PQ=，∴245PQ =，∴245m=-，∴33241266 4455m⎛⎫+=⨯-+=⎪⎝⎭，∵PQ OC=，∴245 PQ=．∴245=m，∴33244866 4455m+=⨯+=，∴48 0,5Q⎛⎫ ⎪⎝⎭；则245 OQ OC==，∴240,5Q⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上所述，Q的坐标为12 0,5⎛⎫ ⎪⎝⎭或(1)求点B 的坐标及直线BC 的函数表达式；(2)在坐标系平面内，存在点D ，使以点A ，B ，D 为顶点的三角形与ABC 全等，画出ABD ，并求出点D 的坐标．【答案】(1)点B 的坐标为(0，3)，33y x =-+；(2)图见解析，点D 的坐标为(4-，3)或(3-，4)或(0，1)-．【分析】（1）将点点(3A -，0)代入解析式得出3b =，继而得出点B 的坐标为(0，3)，根据:3:1OB OC =得出1OC =，即点C 的坐标为(1，0)，然后待定系数法求解析式即可求解；（2）分在x 轴上方：BAD ABC ≌和(ABD ABC ≌如图1)和点D 在y 轴上(如图②)两种情况，根据全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）解：∵直线AB ：y x b =+过点(3A -，0)，03b ∴=-+，3b ∴=．当0x =时，3y x b b =+==，∴点B 的坐标为(0，3)，即3OB =．OB ：3OC =：1，1OC ∴=．点C 在x 轴正半轴，∴点C 的坐标为(1，0)．设直线BC 的解析式为()0y kx c k =+≠，将(0B ，3)、(1C ，0)代入y kx c =+，得：30c k c =⎧⎨+=⎩，解得：33k c =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的函数表达式为33y x =-+．（2）分在x 轴上方：BAD ABC ≌和(ABD ABC ≌如图1)和点D 在y 轴上(如图②)两种情况考虑：如图①：①当BAD ABC ≌时，3OA OB == ，45BAC ∴∠=︒．BAD ABC ≌，45ABD BAC ∴∠=∠=︒，4BD AC ==，BD ∴∥AC ，∴点D 的坐标为(4-，3)；②当ABD ABC ≌时，45BAD BAC ∠=∠=︒，4AD AC ==，90DAC ∴∠=︒，∴点D 的坐标为(3-，4)．如图②当ABD BCA ≌时，4BD AC ==，1OD ∴=，∴点D 的坐标为(0，1)-．综上所述，点D 的坐标为(4-，3)或(3-，4)或(0，1)-．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键．【变式训练3】如图①，已知直线24y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，以OA OC ，为边在第一象限内作长方形OABC ．类型五、角度之间关系过点P 作EF y ⊥轴于点E ，过点H 作∴45POG ∠=︒，∵()3,1P ，∴1,3EP OE ==∵OA OB =，45AOB ∠=︒∴AOB 是等腰直角三角形，∵45APO EOP ∠+∠=︒，PQO APO∠=∠∴45PQO EOP ∠+∠=︒又∵9045EOP GOQ POG ∠+∠=︒-∠=∴GOQ GQO∠=∠∴GQ GO =，即点G 在OG 的垂直平分线上，∵90OEP PFH OPH ∠=∠=∠=︒，∴90OPE FPH PHF ∠=︒-∠=∠，(1)求直线AB的关系式；(2)连接PD，当线段PD AB⊥时，直线AD上有一点动M∴1284,2525S ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∵45,DKR DAO KT RK ∠=∠=︒⊥∴45DKR DKT ∠=︒=∠，∴KT KP =，∴P ，T 关于直线AD 对称，连接TS 交AD 于M ，交x 轴于N 4y x =-+12x =-得y =∵3,4OB OA ==，∴34PH PH AH HW==，设3PH t =，则4AH HW t ==∴5PW t OW ==，∵4OW HW AH OA ++==，∵12POA BAO ∠=∠，∴2POA APO POA ∠+∠=∠∴APO POA ∠=∠，∴4AO AP ==，∵34PF OB AF AF ==，∴165AF =36(1)求直线BC 的函数解析式；(2)设点M 是x 轴上的一个动点，过点M 作y 轴的平行线，交直线于点Q ．①若PQB △的面积为83，求点M 的坐标．②连接BM ，如图2，在点M 的运动过程中是否存在点P ，使∠求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．则113(3)22PQ m m m =-+-+=，则PQB ∆的面积21122PQ BD m =⋅=故点M 的坐标为43(3，0)或4(-②如图，当点M 在y 轴的左侧时，点C 与点A 关于y 轴对称，AB BC ∴=，BAC BCA ∴∠=∠，BMP BAC ∠=∠ ，BMP BCA ∴∠=∠，90BMP BMC ∠+∠=︒ ，90BMC BCA ∴∠+∠=︒(1)求点A，B的坐标；(2)若直线AC⊥AB交y轴负半轴于点(3)在y轴上是否存在点P，使以求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A(−1，0)；B(0，2)(2)1.25；(3)y轴上存在点P，使以A，当BA＝BP时，BP＝∴点P1的坐标为(0，当PB＝PA时，设OP ∴(2−x)2=1+x2，解得：∴点P3的坐标为(0，当AB＝AP时，OP＝∴点P4的坐标为(0，综上所述：y轴上存在点标为(0，2+5）或(0(1)填空：=a ______，b =______；(2)在射线CD 上有一动点E ，过点E 作EF 平行于y 轴交直线AB 时，求点E 的坐标；(3)点M 为直线AB 上一点，且45CDM ∠=︒，求点M 的坐标．【答案】(1)1，2-1112132⎛⎫∴90QCP QPC ∠+∠=︒，∵CP CD ⊥，∴90QCP DCL ∠+∠=︒∴QPC DCL ∠=∠，∴QPC LCP ≌△△，∵()1,1C -，()0,2D -，∴CG HK =，GH KD =，∵()1,1C -，()0,2D -，设(,H c d ∴2c =-，1d =-，∴()2,1H --，可得直线DH 的解析式为联立12213y x ⎧=--⎪⎪⎨，解得721x ⎧=-⎪⎪⎨(1)求点C的坐标；∥轴交AB于点(2)如图2，过点C作直线CD x①求线段CD的长；②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M DC≌△BDC时，当△1M和点B关于直线则点1M的坐标为：（-1∴点1M CD≌△BDC时，当△2。

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1、（2012四川绵阳）如图1，在直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，二次函数y =ax 2+16x +c 的图象F 交x 轴于B 、C 两点，交y 轴于M 点，其中B （-3，0），M （0，-1）。

已知AM =BC 。

（1）求二次函数的解析式；（2）证明：在抛物线F 上存在点D ，使A 、B 、C 、D 四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD 的解析式；（3）在（2）的条件下，设直线l 过D 且分别交直线BA 、BC 于不同的P 、Q 两点，AC 、BD 相交于N 。

①若直线l ⊥BD ，如图1所示，试求11BP BQ+的值； ②若l 为满足条件的任意直线。

如图2所示，①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例。

【答案】解：（1）∵二次函数y =ax 2+16x +c 的图象经过点B （-3，0），M （0，-1）， ∴ ()19a 3c 0 6c 1⎧+⨯-+=⎪⎨⎪=-⎩ ，解得1a 6c 1⎧=⎪⎨⎪=-⎩。

∴二次函数的解析式为：211y x x 166=+-。

（2）证明：在211y x x 166=+-中，令y =0，得211x x 1066+-=，解得x 1=－3，x 2=2。

∴C （2，0），∴BC =5。

令x =0，得y =-1，∴M （0，－1），OM =1。

又AM =BC ，∴OA =A M －OM =4。

∴A （0，4）。

设AD ∥x 轴，交抛物线于点D ，如图1所示，则2D 11y x x 1=OA=466=+-，解得x 1=5，x 2=－6（位于第二象限，舍去）。

∴D 点坐标为（5，4）。

∴AD =BC =5。

又∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，即在抛物线F 上存在点D ，使A 、B 、C 、D 四点连接而成的四边形恰好是平行四边形。

设直线BD 解析式为：y =kx +b ，∵B （－3，0），D （5，4），∴ 3k b 0 5k b 4-+=⎧⎨+=⎩，解得：1k 23b 2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。

∴直线BD 解析式为：13y x 22=+。

（3）在Rt △AOB中，AB 5=，又AD =BC =5，∴▱ABCD 是菱形。

①若直线l ⊥BD ，如图1所示，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD 。

∴AC ∥直线l 。

∴BA BC BN 1BP BQ BD 2===。

∵BA =BC =5，∴BP =BQ =10。

∴11111BP BQ 10105+=+=。

②若l 为满足条件的任意直线，如图2所示，此时①中的结论依然成立，理由如下：∵AD ∥BC ，CD ∥AB ，∴△PAD ∽△DCQ 。

∴AP ADCD CQ=。

∴AP •CQ =AD •CD =5×5=25。

()()1111115CQ 5AP BP BQ ?A B AP BC CQ ?5AP 5CQ 5AP 5CQ ++++=+=+=++++++ ()()()10AP CQ 10AP CQ 10AP CQ 125+5AP CQ +AP CQ 25+5AP CQ +2550+5AP CQ 5++++++====+⋅++。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形、菱形的判定和性质，平行线间的比例线段关系，相似三角形的判定和性质，分式化简。

【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式。

（2）首先求出D 点的坐标，可得AD =BC 且AD ∥BC ，所以四边形ABCD 是平行四边形；再根据B 、D 点的坐标，利用待定系数法求出直线BD 的解析式。

（3）本问的关键是判定平行四边形ABCD 是菱形。

①推出AC ∥直线l ，从而根据平行线间的比例线段关系，求出BP 、CQ 的长度，计算出111BP BQ 5+=。

②判定△PAD ∽△DCQ ，得到AP •CQ =25，利用这个关系式对11BP BQ+进行分式的化简求值，结论为111BP BQ 5+= 不变。

2、（2011乐山）已知顶点为A(1,5)的抛物线2y ax bx c =++经过点B(5,1).(1)求抛物线的解析式;(2)如图（1）,设C,D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点，求四边形ABCD 周长的最小值；（3）在（2）中，当四边形ABCD 的周长最小时，作直线CD.设点P(x y ，)(0x >)是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图（2）所示构造等腰直角三角形PRQ. ①当△PBR 与直线CD 有公共点时,求x 的取值范围；②在①的条件下，记△PBR 与△COD 的公共部分的面积为S.求S 关于x 的函数关系式，并求S 的最大值。

【答案】解：（1）∵抛物线的顶点为A （1，5）， ∴设抛物线的解析式为2(1)5y a x =-+，将点B （5，1）代入，得2(51)51a -+=，解得14a =-， ∴21119424y x x =-++（2）作A 关于y 轴的对称点'A ，作B 关于x 轴的对称点'B ，显然A'(1 5)-，，B'(5 1)-，如图(5.1)，连结''A B 分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点，∵'DA DA =，'CB CB =∴此时四边形ABCD 的周长最小，最小值就是''A B AB +。

而22''(51)(15)62A B =+++=，22(51)(15)42AB =-+-=∴''102A B AB +=四边形ABCD 周长的的最小值为102。

（3）①点B 关于x 轴的对称点B ′（5 1-，），点A 关于y 轴的对称点A′（﹣1，5），连接A′B′，与x 轴，y 轴交于C ，D 点， ∴CD 的解析式为：4y x =-+，联立4y x y x=-+⎧⎨=⎩，得：22x y =⎧⎨=⎩∵点P 在y x =上，点Q 是OP 的中点，∴要使等腰直角三角形与直线CD 有公共点，则24x ≤≤．故x 的取值范围是：24x ≤≤．②如图：点E （2，2），当EP=EQ 时，1222x x -=-，得：83x =，当823x ≤≤时，2111111()()2(2)2(2)222222S PR RQ EP x x x x x x =⋅-=-⋅--⋅-⋅-227716444()8877S x x x =-+-=--+当167x =时，4=7S 最大．当843x ≤≤时，22111112(2)2(2)(4)22224S EQ x x x ==⋅-⋅-=- 当83x =时，4=9S 最大．故S 的最大值为：47．3、（12南充）如图，⊙C 的内接⊿AOB 中，AB =AO =4,tan ∠AOB =43,抛物线y =ax 2+bx 经过点A (4，0)与点（-2，6）（1）求抛物线的函数解析式．（2）直线m 与⊙C 相切于点A 交y 轴于点D ，动点P 在线段OB 上，从点O 出发向点B 运动;同时动点Q 在线段DA 上，从点D 出发向点A 运动，点P 的速度为每秒1个单位长，点Q 的速度为每秒2个单位长，当PQ ⊥AD 时,求运动时间t 的值（3）点R 在抛物线位于x 轴下方部分的图象上，当⊿ROB 面积最大时，求点R 的坐标.考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；二次函数最值的应用；三角函数和勾股定理的应用；待定系数法求二次函数解析式。

专题：计算题；代数几何综合题。

分析：（1）点A (4，0)与点（-2，6）代入抛物线y =ax 2+bx ，得： 16a +4b =0 a =21 4a -2b =6 解得： b = -2 从而求出解析式。

（2）先得到∠ OAD =∠AOB ，作OF ⊥AD 于F ，再算出OF 的长，t 秒时，OP =t ,DQ =2t ,若PQ ⊥AD 则FQ =OP = tDF =DQ -FQ = t ⊿ODF 中，t =DF =22OF OD -=224.23-=1.8（秒）（3）先设出R (x ,21x 2-2x ) ，作RG ⊥y 轴于G 作RH ⊥OB 于H 交y 轴于I ，则RG = x OG = 21x 2+2x 再算出IR 、HI 的长，从而求出RH 的长52( x -411)2+40121当x =411时，RH 最大。

S ⊿ROB 最大。

这时：21x 2-2x =21×(411)2-2×411=-3255 ∴点R (411,-3255)解答：（1）把点A (4，0)与点（-2，6）代入抛物线y =ax 2+bx ，得：16a +4b =0 a =21 4a -2b =6 解得： b = -2 ∴抛物线的函数解析式为：y =21x 2-2x （2）连AC 交OB 于E∵直线m 切⊙C 于A ∴AC ⊥m ，∵ 弦 AB =AO ∴ AB ⌒=AO ⌒∴AC ⊥OB ∴m ∥OB ∴∠ OAD =∠AOB ∵OA =4 tan ∠AOB =43 ∴OD =OA ·tan ∠OAD =4×43=3 作OF ⊥AD 于FOF =OA ·sin ∠OAD =4×53=2.4t 秒时，OP =t ,DQ =2t ,若PQ ⊥AD 则FQ =OP = tDF =DQ -FQ = t ⊿ODF 中，t =DF =22OF OD -=224.23-=1.8（秒）（3）令R (x ,21x 2-2x ) (0＜x ＜4) 作RG ⊥y 轴于G 作RH ⊥OB 于H 交y 轴于I点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，三角函数和勾股定理的应用等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度．4、（2012湖北荆门12分）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=13，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．【答案】解：（1）∵抛物线经过点A（3，0），D（﹣1，0），∴设抛物线解析式为y=a（x ﹣3）（x+1）。