高中数学 第3章 统计案例综合检测 苏教版选修23

第3章 统计案例
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列两变量有相关关系的是________． ①正方体的体积与边长
②匀速行驶的车辆的行驶距离与时间 ③人的身高与体重 ④人的身高与视力
【解析】 ①②为函数关系，④无关系，③相关关系． 【答案】 ③
2．如下图1所示，有5组(x ，y )数据，去掉数据________后，剩下的四组数据的线性相关系数最大．
图1
【解析】 由图形可知，去掉点D 后，相关关系最强． 【答案】 D
3．已知x 与y 之间的一组数据如下表，则y 与x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^
必过点________.
【解析】 x ＝0＋1＋2＋34＝2，y ＝4
＝4.
【答案】 (3
2
，4)
4．某皮肤病医院调查某桑场采桑员和辅助工桑毛虫皮炎发病情况，结果如下表：
则有________【解析】 χ2
＝114×（18×78－6×12）
2
24×90×30×84
≈37.159.
∵χ2
≈37.159>6.635，
∴有99%的把握认为发生皮炎与工种有关． 【答案】 99%
5．为了研究两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方程，求得回归直线分别为l 1和l 2.已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都为s ，对变量y 的观测数据的平均值都为t ，那么下列说法正确的是 ________．
①l 1与l 2相交，交点为(s ，t )； ②l 1与l 2相交，交点不一定是(s ，t )； ③l 1与l 2必关于点(s ，t )对称； ④l 1与l 2必定重合．
【解析】 设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，即a ^＝y －b ^x ，即a ^＝t －b ^s ，可得出t ＝b ^s ＋a ^
，所以点(s ，t )在回归直线上，所以直线l 1与l 2一定有公共点(s ，t )，故命题①正确．
【答案】 ①
6．对四对变量y 和x 进行线性相关检验，已知n 是观测值组数，r 是相关系数，且已知：①n ＝7，r ＝0.953 3；②n ＝15，r ＝0.301 2；③n ＝17，r ＝0.499 1；④n ＝3，r ＝0.995 0.则变量y 和x 具有线性相关关系的是________________．
【解析】 ①当n ＝7时，可知n －2＝5，查表得r 0.05＝0.754，∴r >r 0.05； ②当n ＝15时，查表得r 0.05＝0.514，∴r <r 0.05； ③当n ＝17时，查表得r 0.05＝0.482，∴r >r 0.05； ④当n ＝3时，查表得r 0.05＝0.997，∴r <r 0.05； ∴具有线性相关关系的是①③. 【答案】 ①③
7．为预测某种产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系，
现取了8组观察值．计算知：
i y i
＝1 849，则y 对x
的回归方程是________________。

【解析】
＝1 849－8×528×
288
8
798－8×（528）
2
＝－0.05， a ^
＝y －b ^
x ＝
2888＋0.05×52
8
＝36.325. ∴y 对x 的回归方程为y ^
＝36.325－0.05x . 【答案】 y ^
＝36.325－0.05x
8．某医疗机构通过抽样调查(样本容量n ＝1 000)，利用2×2列联表和χ2
统计量研究患肺病是否与吸烟有关．计算得χ2
＝4.453，经查对临界值表知P (χ2
≥3.841)≈0.05，则下列结论正确的是 ________．
①在100个吸烟的人中约有95个人患肺病 ②若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病 ③有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关” ④认为“患肺病与吸烟有关”，错误的可能性是5%
【解析】 H 0：患肺病与吸烟无关．P (χ2
≥3.841)≈0.05，是H 0成立的概率，故③④正确．
【答案】 ③④
9．在一项眼睛近视与青少年的性别是否有关的调查中，共调查中学生1 671人，经过计算得出χ2
≈27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为眼睛近视与青少年的性别是________的．(填“有关”或“无关”)
【解析】 ∵χ2
≈27.63>10.828，∴有理由认为眼睛近视与青少年的性别是有关的． 【答案】 有关
10．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为y ^＝60＋90x ，下列判断中正确的是 ________．
①劳动生产率为1 000元时，工资为50元；
②劳动生产率提高1 000元时，工资提高150元； ③劳动生产率提高1 000元时，工资提高90元； ④劳动生产率为1 000元时，工资为90元．
【解析】 回归直线的斜率为90，∴x 每增加1个单位，y 提高90个单位． 【答案】 ③
11．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为________．
【解析】 由表可计算x ＝
4＋2＋3＋54＝72，y ＝49＋26＋39＋544＝42，因为点(7
2
，42)在回归直线y ^＝b ^x ＋a ^上，且b ^为9.4，所以42＝9.4×72＋a ^，解得a ^＝9.1，故回归方程为y ^
＝
9.4x ＋9.1，令x ＝6得y ^
＝65.5(万元)
【答案】 65.5万元
12．某服装商场为了了解毛衣的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与月平均气温，其数据如下表：
月平均气温x /℃ 17 13 8 2 月销售量y /件
24
33
40
55
约为 6 ℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为________件．(参考公式：b ＝
【解析】 ∵⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝10
y ＝38，∴a ＝y －bx ＝38＋2×10＝58.
∴y ＝－2x ＋58＝－2×6＋58＝46(件)． 【答案】 46
13．在2013年十一国庆黄金周期间，某市物价部门对本市五个商场销售的某商品的一天销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：
价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y
11
10
8
6
5
通过分析，y 对商品的价格
x 的回归直线方程为 ________．
【解析】 x ＝10，y ＝8，∴b ^＝－3.2，a ^＝y －b ^
x ＝40， ∴回归直线方程为y ^
＝－3.2x ＋40. 【答案】 y ^
＝－3.2x ＋40
14．要考察玉米种子经灭菌处理与发生病虫害是否有关系，经试验得到的数据如下表：
种子灭菌处理
种子未灭菌处理
合计 病虫害 20 160 180 无病虫害 8 32 40 合计
28
192
220
【解析】 假设H 0：玉米种子经过灭菌处理与是否发生病虫害无关．由公式χ2
＝
n （ad －bc ）2
（a ＋c ）（b ＋d ）（a ＋b ）（c ＋d ）
，得
χ
2
＝
220×（20×32－160×8）2
180×40×28×192
＝
220×（640－1280）
2
38 707 200≈2.328.因为2.328<2.706，所以根据这些数据还不能说明玉米种子经
过灭菌处理与是否发生病虫害有明显的关系．
【答案】 不能说明玉米种子经过灭菌处理与是否发生病虫害有明显的关系
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：
温度x 0 10 20 50 70 溶解度y
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
由资料看y 【解】 x ＝30，y ＝66.7＋76.0＋85.0＋112.3＋128.05
＝93.6，≈
0.8809，a ^＝y －b ^x ＝93.6－0.880 9×30＝67.173.∴回归方程为y ^
＝0.880 9x ＋67.173.
16．(本小题满分14分)对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：
【解】 根据列联表中的数据，得到 χ2
＝392×（39×167－157×29）2
196×196×68×324
≈1.78.
因为1.78<2.706.
所以我们没有理由说这两种手术对发作心脏病的影响有差别．
17．(本小题满分14分)要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩，如下表所示．表中x 是学生入学的数学成绩，y 是高一年级期末考试数学成绩.
(1)(2)求线性回归方程；
(3)若某学生王明亮的入学时的数学成绩为80分，试预测他在高一年级期末考试中的数学成绩为多少？
【解】 (1)作出散点图如图所示，从散点图可以看出，这两个变量具有线性相关关系．
(2)可求得x ＝110(63＋67＋…＋76)＝70，y ＝1
10
(65＋78＋…＋75)＝76.
b ^
＝
55 094－10×70×7651 474－10×70
2
≈0.765 56，a ^
＝76－0.765 56×70≈22.41， 所求的线性回归方程为y ^
＝22.41＋0.765 56x .
(3)若学生王明亮入学成绩为80分，代入上面的线性回归方程y ^
＝22.41＋0.765 56x ，可求得y ^
≈84(分)．
18．(本小题满分16分)对某校学生进行心理障碍测试得到如下列联表.
【解】 提出假设H 0：焦虑、说谎、懒惰与性别无关．对于上述三种心理障碍分别构造三个随机变量χ21
，χ22
，χ23
.由表中数据可得χ21
＝110×（5×60－25×20）
2
30×80×25×85
≈0.863<2.706，
χ2
2
＝110×（10×70－20×10）230×80×20×90≈6.366>5.024，χ2
3＝110×（15×30－15×50）2
30×80×65×45
≈
1.410<
2.706.所以没有充分的证据显示焦虑与性别有关，有97.5%的把握认为说谎与性别有关，没有充分的证据显示懒惰与性别有关．
19．(本小题满分16分)随着我国经济的快速发展，城乡居民的生活水平不断提高，为研究某市家庭月平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计部门随机调查了10个家庭，得数据如下：
(2)若二者线性相关，求回归直线方程．
【解】 (1)作出散点图，如图所示．观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所以二者呈线性相关关系．
(2)x＝1
10(0.8＋1.1＋1.3＋1.5＋1.5＋1.8＋2.0＋2.2＋2.4＋2.8)＝1.74，y＝
1
10(0.7
＋1.0＋1.2＋1.0＋1.3＋1.5＋1.3＋1.7＋2.0＋2.5)＝1.42，≈0.813 6，
a^＝1.42－1.74×0.813 6≈0.0043，∴回归方程为y^＝0.813 6x＋0.004 3.
20．(本小题满分16分)下表是收集到的新房屋的销售价格y和房屋的大小x的数据.
房屋的大小/m211511080135105
销售价格/万元24.821.618.429.222
(1)
(2)求y对x之间的线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；
(3)此回归直线有意义吗？并回答回归系数的几何意义．
【解】(1)数据的散点图如图所示．
查表，n －2＝3时，临界值r 0.05＝0.878，由|r |>r 0.05知，变量y 与x 之间具有线性相关关系，回归直线是有意义的．
回归系数b ^＝0.196 2的几何意义是：房屋的大小每增大1 m 2
，新房屋的平均销售价格将提高0.196 2万元．。