2018-2019学年湖南省邵阳市周旺中学高三数学文期末试卷含解析

2018-2019学年湖南省邵阳市周旺中学高三数学文期末
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）
A．求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和
B．求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和
C．求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和
D．求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和
参考答案：
C
由题意可知，为求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和.故选C.
2. 下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增且存在零点的是（）
A B.
C. D.
参考答案：
C
【分析】
根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案；
【详解】对A，方程无解，不存在零点，故A错误；
对B，无解，不存在零点，故B错误；
对D，在单调递减，在单调递增，在不具有单调性，故D错误；
故选：C.
【点睛】本题考查通过函数的解析式研究函数的零点和单调性，考查转化与化归思想，属于基础题.
3. 已知函数，则是（）
A.最小正周期为的奇函数
B.最小正周期为的偶函数
C.最小正周期为的奇函数
D.最小正周期为的偶函数
参考答案：
D
4. 下列结论正确的是( )
A．若向量∥，则存在唯一的实数λ，使=
B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
C．命题“?x∈R，都有2x≥2x”的否定为“?x0∈R，使得2x≤2x0”
D．“a=0”是“直线（a+1）x+a2y﹣3=0与2x+ay﹣2a﹣1=0平行”的充要条件
参考答案：
D
考点：复合命题的真假．
专题：简易逻辑．
分析：对于选项A：利用向量的共线的充要条件即可判断，
对于选项B；根据复合命题的真假即可判断；
对于选项C；根据命题的否定，即可判断；
对于选项D；根据两直线的平行的充要条件即可判断．
解答：解：对于选项A：若向量∥，则存在唯一的实数λ，使=，且λ≠0，故A 错误；
对于选项B；若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故B错误；
对于选项C；命题“?x∈R，都有2x≥2x”的否定为“?x0∈R，使得2x＜2x0”，故C错误；
对于选项D；直线（a+1）x+a2y﹣3=0与2x+ay﹣2a﹣1=0平行，则（a+1）a=2a2，且（﹣2a﹣1）（a+1）≠2×（﹣3），解得a=0，故D正确．
故选：D．
点评：本题考查了命题的真假的判断，涉及了向量，复合命题，命题的否定，两直线平行等知识，属于基础题．
5. 若函数与的图象关于直线对称，则
(A). (B).
(C). (D).
参考答案：
B
略
6. 若x、y满足约束条件，则的最小值为（）
A．9 B．7 C．1 D．－3
参考答案：
C
7. 设全集，集合，，则为
A． B． C. D．
参考答案：
C
8. 将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为
（）
A． B．2+ C．4+ D．
参考答案：
B
9. 已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是（）
A．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3 B．若a+b+c=3，则a2+b2+c2＜3
C．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3D．若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=3
参考答案：
A
【考点】四种命题．
【分析】若原命题是“若p，则q”的形式，则其否命题是“若非p，则非q”的形式，由原命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”，我们易根据否命题的定义给出答案．
【解答】解：根据四种命题的定义，
命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是
“若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3”
故选A
【点评】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的定义及相互之间的关系是解答本题的关键．
10. 已知椭圆：和双曲线：有相同的焦点、，是它们的共同焦距，且它们的离心率互为倒数，是它们在第一象限的交点，当时，下列结论中正确的是（）
．．
．．
参考答案：
A
设椭圆的离心率为，则.双曲线的离心率为，.，则由余弦定理得
，当点看做是椭圆上的点时,有
，当点看做是双曲线上的点时,有
，两式联立消去得，又因为
，代入得，整理得，即，选A.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在展开式中的系数为,则实数的值为 .
参考答案：
1
12. 已知tanα=﹣2，则2sinαcosα﹣cos2α的值是．
参考答案：
﹣1
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】化简所求的表达式为正切函数的形式，代入求解即可．
【解答】解：tanα=﹣2，
则2sinαcosα﹣cos2α====﹣1．
故答案为：﹣1．
13. 我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性
质．①_____________________；②_______________________．
参考答案：
①；②；
③；④
由类比可知整除关系的两个性，为①；②；
③；④。

14. （理）已知点是的重心，( , )，若
，，则的最小值
是。

参考答案：
15. 计算：_____________．
参考答案：
16. 已知等差数列中，，则
参考答案：
17. 下列命题是真命题的序号为：▲
①定义域为R的函数，对都有，则为偶函数
②定义在R上的函数，若对，都有，则函数
的图像关于中心对称
③函数的定义域为R，若与都是奇函数，则是奇函数
④函数的图形一定是对称中心在图像上的中心对称图
形。

⑤若函数有两不同极值点，若，且，则关于的方程的不同实根个数必有三个
参考答案：
③④⑤
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18.
函数的定义域为R，且.
（1）求证：a>0，b<0;
（2）若上的最小值为，
求证：.
参考答案：
解析：（1）定义域为R，
（2）由（1）知上为增函数，
19. 如图，已知抛物线y2=2px（p＞0）上点（2，a）到焦点F的距离为3，直线l：my=x+t （t≠0）交抛物线C于A，B两点，且满足OA⊥OB．圆E是以（﹣p，p）为圆心，p为直径的圆．
（1）求抛物线C和圆E的方程；
（2）设点M为圆E上的任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线方程．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由焦点弦的性质可得2+=3，解得p，即可得出；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立方程，可得根与系数的关系．利用OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，可得t=﹣4，故直线AB过定点N（4，0）．由于当MN⊥l，动点M 经过圆心E（﹣2，2）时到直线l的距离d取得最大值．即可得出．
解：（1）由题意得2+=3，得p=2，
∴抛物线C和圆E的方程分别为：y2=4x；
（x+2）2+（y﹣2）2=1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立方程，
整理得y2﹣4my+4t=0，
由韦达定理得…①
则，
由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，
即（m2+1）y1y2﹣mt（y1+y2）+t2=0，
将①代入上式整理得t2+4t=0，
由t≠0得t=﹣4．
故直线AB过定点N（4，0）．
∴当MN⊥l，动点M经过圆心E（﹣2，2）时到直线l的距离d取得最大值．
由k MN==﹣，得k l=3．
此时的直线方程为l：y=3（x﹣4），即3x﹣y﹣12=0．
【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、点到直线的距离公式、直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20. （本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.
（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；
（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
参考答案：
（Ⅰ）当x≤19时，y=3800；当x＞19时，y=3800+500(x-19)=500x-5700.
所以y与x的函数解析式为(x∈N).
（Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.
（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000，10台的费用为4500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
.
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.
21. （本小题满分12分）
已知，与的夹角为。

（1）求与方向上的投影；
（2）与的夹角为锐角，求的取值范围。

参考答案：
22. 平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为
．
（1）求直线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线相交于、两点，求．
参考答案：
（Ⅰ）消去参数得直线的直角坐标方程：---------2分
由代入得．
（也可以是：或）---------------------5分
（Ⅱ）得
-----------------------------7分
设，，
则．---------10分
（若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分）。