求二次函数的表达式

练
即
评析：
本题可采用一般式、顶点式和交点式求 解，通过对比可发现用顶点式和交点式求解 比用一般式求解简便。同时也培养学生一题 多思、一题多解的能力，从不同角度进行思 维开放、解题方法开放的培养。注重解题技 巧的养成训练，可事半功倍。
近年中考数学命题趋势，贴近学生生活，
倍 速
联系实际，把实际问题转化为数学模型，
课
培养学生分析问题、解决问题的能力，
时 学
增强学以致用的意识。
练
三、应用举例
例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度 OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。
（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是米时， 高米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。 船的高度指船在水面上的高度）。 解：（1）、由图可知：四边形ACBO是等腰梯形
解：设所求的解析式为
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0）
∴ ∴
又∵点（0，1）在图像上，
倍
∴
速
课
∴ a = -1
时 学
∴
练
即：
四、尝试练习
3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大 高度为，跨度为．一辆卡车车高3米，宽米，它能否通过 隧道？
分析：卡车能否通过，只要看卡 车在隧道正中间时，其车高3米是否 超过其位置的拱高。
倍 ∵A(-1,0)、B（3，0）和
速 课
C（1，4）在抛物线上，
时
学
∴
练
即
的图像如图所示，
三、应用举例
例1、已知二次函数 求其解析式。
解法二：顶点式
设解析式为
∵顶点C（1，4）， ∴ h=1, k=4.
∴
又∵A(-1,0)在抛物线上，
倍 速
∴
课
∴ a = -1
时 学
∴
练 即
的图像如图所示，
三、应用举例
二次函数的几种解析式及求法
前言 二次函数解析式
思想方法 一般式 顶点式 交点式 平移式
应用举例
例1 一般式 顶点式 交点式
例2 应用 例3 平移式
倍
速
练习1
课 时 学 练
尝试练习
练习2
练习3 练习4
小结
二次函数是初中代数的重要内
容之一，也是历年中考的重点。这
部分知识命题形式比较灵活，既有
填空题、选择题，又有解答题，而
四、尝试练习
1、已知二次函数的图像过原点，当x=1时，y有最小值为 -1，求其解析式。
解：设二次函数的解析式为
∵ x = 1, y= -1 , ∴顶点（1，-1）。
∴
又（0，0）在抛物线上，
倍
∴
速
课
∴ a =1
时
学
∴
练
即
四、尝试练习
2、已知二次函数与x 轴的交点坐标为（-1，0）, （1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。
2、求二次函数解析式的 常用思想：
转化思想
解方程或方程组
3、二次函数解析式的最终形式：
倍
速
无论采用哪一种解析式求解，最后
课 时
结果都化为一般式。
学
练
三、应用举例
例1、已知二次函数 求其解析式。
解法一： 一般式 设解析式为
∵顶点C（1，4）， ∴对称轴 x=1.
∵A(-1,0)关于 x=1对称， ∴B（3，0）。
例1、已知二次函数 求其解析式。
解法三：交点式 设解析式为
∵抛物线与x 轴的两个交点坐标 为 A (-1,0)、B（3，0）
的图像如图所示，
∴ y = a (x+1) (x- 3)
倍 又 C（1，4）在抛物线上
速 课
∴ 4 = a (1+1) (1-3)
时 学
∴ a = -1 ∴ y = - ( x+1) (x-3)
练
谢谢！
倍 速 课 时 学 练
2、求二次函数解析式的一般方法：平移式
.已知图象上三点坐标，通常选择一般式。
.已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。
.已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2， 通常选择交点式。 倍
速 已知图象中发生变化的只有顶点坐标，通常选择平移式。
课 时 学
3. 确定二次函数的解析式的关键是根据条件的 特点，恰当地选择一种函数表达式，灵活应用。
倍
速
课
时
学
当时，
练
∴卡车能通过这个隧道。
四、尝试练习
4、将二次函数
的图像向右平移1个单位，
再向上平移4个单位，求其解析式。
解：∵ 二次函数解析式为
（1）由
向右平移1个单位得
（左加右减）
倍
速
（2）再把
向上平移4个单位得
课
时
（上加下减）
学
练
即所求的解析式为
五、小结
1、二次函数常用解析式
一般式 顶点式 交点式
即当米时，过C点作CD⊥AB 倍 交抛物线于D点，若y=CD≥3米， 速 则卡车可以通过。 课 时 学 练
四、尝试练习
3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大 高度为，跨度为．一辆卡车车高3米，宽米，它能否通过 隧道？
解：由图知：米，米，，∴A（，0），
B（，0），P（0，）。
又∵P（0，）在图像上，
倍 已知抛物线与x轴的交点坐标或对称轴，选择交点式。
速 课
4、平移式
时
将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐
学 练
标， 可将原函数用顶点式表示，再根据“左加右减， 上加下减“的法则，即可得出所求新函数的解析式。
二、求二次函数解析式的思想方法
1、 求二次函数解析式的常用方法： 待定系数法、配方法、数形结合等。
（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是米时， 高米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。 船的高度指船在水面上的高度）。
(2) 分析：船能否通过，只要看船在拱桥正中间时，船 及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标。
解： ∵
P
∴
Q
倍
∴顶点（-6，）, PQ是对称轴。
速
课
当水位为米时，
时
y = 水位+船高 =2.5+1.4 =3.9 ＞
且常与方程、几何、三角等综合在
一起，出现在压轴题之中。 因此，
倍 熟练掌握二次函数的相关知识，会
速 课
灵活运用一般式、顶点式、交点式
时 求二次函数的解析式是解决综合应
学 练
用题的基础和关键。
一、二次函数常用的几种解析式的确定
1、一般式
已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。
2、顶点式
已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。 3、交点式
学二次函数四种平移关系
倍 速 课 时 学 练
三、应用举例
例3、将抛物线
向左平移4个单位，
再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。
解法：将二次函数的解析式 转化为顶点式得
(1) 由
倍 速 （2）再将
课
时
学 练
即所求的解析式为
向左平移4个单位得： （左加右减） 向下平移3个单位得 （上加下减）
过A、C作OB的垂线，垂足为E、F点。
∴ OE = BF =（12-8）÷2 = 2。
∴O（0，0），B（-12，0），A（-2，2）。
设解析式为
F
E
倍
速
又 ∵A（-2，2）点在图像上，
课
时
学 练
∴
即
三、应用举例
例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度 OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。