高考数学二轮复习 大题规范天天练 第二周 星期六 综合限时练 文(2021年整理)

创新设计（全国通用）2017届高考数学二轮复习大题规范天天练第二周星期六综合限时练文
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星期六(综合限时练)
2017年____月____日
解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时:80分钟）
1.（本小题满分12分）某个团购网站为了更好地满足消费者,对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分.上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组:第一组[0，2),第二组［2，4),第三组［4，6)，第四组[6，8），第五组[8,10］，得到的频率分布直方图如图所示。

(1)分别求第三,四，五组的频率；
（2）该网站在得分较高的第三、四，五组中用分层抽样的方法抽取了6个产品作为下个月团购的特惠产品，某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，求他抽到的两个产品均来自第三组的概率.
解(1）第三组的频率是0.150×2＝0.3；第四组的频率是0。

100×2＝0.2;
第五组的频率是0.050×2＝0。

1。

(2）设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件A，
由题意可知，分别抽取3个，2个，1个。

不妨设第三组抽到的是A1，A2，A3；第四组抽到的是B1，B2；第五组抽到的是C1，所含基本事件总数为：
{A1，A2｝，｛A1，A3},{A2，A3}，｛A1,B1｝,｛A1，B2}，{A1，C1},{A2，B1}，
｛A2，B2},｛A2，C1｝，｛A3,B1｝，｛A3，B2},｛A3,C1｝，{B1，B2},{B1，C1},{B2，C1}共15种。

事件A包含的事件数为：{A1，A2｝，{A1，A3},｛A2，A3｝,所以P（A)＝错误!＝错误!.
2.(本小题满分12分）已知数列｛a n｝和｛b n}满足a1a2a3…a n＝（错误!)b n(n∈N＊）。

若{a n｝为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2。

(1)求a n与b n；
（2）设c n＝错误!－错误!（n∈N*）。

记数列{c n｝的前n项和为S n。

①求S n；
②求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n.
解（1)由题意a1a2a3…a n＝(错误!）b n，b3－b2＝6，
知a3＝(错误!）b3－b2＝8。

又由a1＝2，得公比q＝2（q＝－2舍去)，
所以数列{a n}的通项为a n＝2n（n∈N＊）。

所以,a1a2a3…a n＝2错误!＝(错误!）n（n＋1)。

故数列{b n}的通项为b n＝n(n＋1）(n∈N＊）.
(2）①由(1）知c n＝错误!－错误!＝错误!－错误!（n∈N＊），所以S n＝错误!－错误!（n∈N＊)。

②因为c1＝0，c2〉0，c3〉0,c4〉0；
当n≥5时,c n＝错误!错误!，
而错误!－错误!＝错误!>0，
得n（n＋1）
2n
≤错误!<1，所以，当n≥5时，c n<0.
综上，对任意n∈N*，恒有S4≥S n，故k＝4。

3.(本小题满分12分）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中,AA1⊥平面ABC，D、E分别为A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且AF＝错误!AB。

(1)求证：EF∥平面BDC1；
（2）在棱AC上是否存在一点G,使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1∶15，若存在，指出点G的位置;若不存在，说明理由.
（1）证明取AB的中点M，连接A1M，∵AF＝错误!AB，
∴F为AM的中点,
又∵E为AA1的中点，∴EF∥A1M.
在三棱柱ABC－A1B1C1中,D，M分别为A1B1，AB的中点，
在A1D∥BM,A1D＝BM,
∴A1DBM为平行四边形，∴A1M∥BD，
∴EF∥BD,
∵BD⊂平面BC1D,EF⊄平面BC1D，
∴EF∥平面BC1D.
（2）解 设AC 上存在一点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分的体积之比为1∶15， 则V E －AFG ∶V ABC －A 1B 1C 1＝1∶16,
∵错误!＝错误!＝错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!·错误!,
∴错误!·错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，∴AG ＝错误!AC >AC ,所以符合要求的点G 不存在.
4。

(本小题满分12分）如图，椭圆错误!＋错误!＝1（a ＞b ＞0)的上顶
点为A ，左顶点为B ，F 为右焦点，过F 作平行于AB 的直线交椭圆于
C 、
D 两点，作平行四边形OCED ,点
E 恰在椭圆上。

(1）求椭圆的离心率；
（2)若平行四边形OCED 的面积为26，求椭圆的方程.
解 (1）∵焦点为F （c ，0），AB 的斜率为错误!，故直线CD 的方程为y ＝错误!(x －c )。

与椭圆方程联立后消去y 得到2x 2－2cx －b 2＝0。

∵CD 的中点为G 错误!，点E 错误!在椭圆上。

∴将E 的坐标代入椭圆方程并整理得2c 2＝a 2，∴离心率e ＝错误!＝错误!。

(2）由（1）知错误!＝错误!，b ＝c ，则直线CD 的方程为y ＝错误!(x －c ),与椭圆方程联立消去y 得到2x 2－2cx －c 2＝0。

∵平行四边形OCED 的面积为S ＝c ｜y C －y D ｜
＝错误!c 错误!＝错误!c 错误!＝错误!c 2＝2错误!,所以c ＝2,b ＝2，a ＝2错误!。

故椭圆方程为错误!＋错误!＝1.
5.（本小题满分12分)已知函数f (x ）＝e x ＋ax ＋b (a ，b ∈R ，e 是自然对数的底数）在点(0，
1）处的切线与x 轴平行.
（1）求a ，b 的值;
（2）若对一切x ∈R ，关于x 的不等式f （x )≥（m －1）x ＋n 恒成立，求m ＋n 的最大值. 解 （1）求导得f ′（x )＝e x
＋a ，
由题意可知f （0)＝e 0＋b ＝1，且f ′（0）＝e 0＋a ＝0,
解得a ＝－1，b ＝0。

（2）由（1）知f （x ）＝e x －x ，
所以不等式f (x ）≥（m －1)x ＋n 可化为e x ≥mx ＋n ，
令g （x )＝e x －mx －n ，g ′（x )＝e x －m ，
当m ≤0时，g ′（x ）〉0恒成立，
则g(x)在R上恒增，没有最小值，故不成立，
当m〉0时，解g′(x）＝0得x＝ln m，
当g′(x)<0时，解得x<ln m;
当g′（x）>0时，解得x>ln m；
即当x∈（－∞，ln m)时,g（x）单调递减；x∈（ln m，＋∞）时，g(x)单调递增,
故当x＝ln m时取得最小值g(ln m）＝e ln m－m·ln m－n＝m－m·ln m－n≥0，
即m－m·ln m≥n，2m－m·ln m≥m＋n，令h（m）＝2m－m·ln m，
则h′(m)＝1－ln m,令h′(m)＝0，则m＝e，
当m∈（0，e)时，h(m)单调递增；m∈（e，＋∞)时，h（m)单调递减,
故当m＝e时，h(m)取得最大值h(e）＝e，∴e≥m＋n，
即m＋n的最大值为e.
6。

请考生在以下两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.
A。

(本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为：错误!（t为参数)，P是C上任意一点.以x 轴的非负半轴为极轴，原点为极点建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位.（1)求曲线C的直角坐标方程；
（2)直线l的极坐标方程为θ＝错误!（ρ∈R)，求P到直线l的最大距离。

解（1)由x＝3cos t，y＝2＋2sin t,消去参数t，
得曲线C的直角坐标方程为错误!＋错误!＝1。

（2）直线l的直角坐标方程为y＝x。

设与直线l平行的直线方程为y＝x＋m，
代入错误!＋错误!＝1，整理得13x2＋18（m－2)x＋9［(m－2)2－4]＝0.
由Δ＝[18(m－2)］2－4×13×9［（m－2)2－4］＝0，得（m－2)2＝13，
所以m＝2±错误!.
当点P位于直线y＝x＋2＋13与曲线C的交点(切点)时,点P到直线l的距离最大，为错误!＝错误!。

或：设点P(3cos t,2＋2sin t）,则点P到直线x－y＝0的距离为
错误!＝错误!，其中cos φ＝错误!，sin φ＝错误!.
所以距离的最大值是错误!＝错误!。

B.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
设函数f（x)＝|x－a｜,a＜0。

(1）证明：f(x)＋f 错误!≥2；
(2)若不等式f(x）＋f(2x)＜错误!的解集非空，求a的取值范围。

(1）证明f（x）＋f 错误!＝|x－a|＋错误!≥错误!＝错误!＝｜x｜＋错误!≥2。

(2)解y＝f(x）＋f（2x）＝｜x－a|＋|2x－a｜＝错误!
函数图象为：
当x＝错误!时，y min＝－错误!，依题意，－错误!＜错误!，则a＞－1，
∴a的取值范围是(－1，0）。