2019-2020学年山西省晋中市数学高二下期末学业质量监测试题含解析

2019-2020学年山西省晋中市数学高二(下)期末学业质量监测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知a ，b R ∈，复数21i
a bi i
+=+，则a b ⨯=（ ） A ．2-
B ．1
C ．0
D ．2
2．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取岀一个球放入乙罐，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲罐取岀的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．事件B 与事件1A 不相互独立 B ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件 C ．()3
5P B = D ．()17|11
P B A =
3．621
(1)(1)x x
-+展开式中2x 的系数为（） A ．30 B ．15
C ．0
D ．-15
4．设复数3422
i i
z +-=
，则复数z 的共轭复数是( )
A ．
52i - B ．
52
i + C ．52
i -
+ D ．52
i -
- 5．一个几何体的三视图如图所示，若主视图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，左视图是底边为2的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A ．
103
B ．
113
C ．2
D ．4
6．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③cos y x x =⋅；④2x y x =⋅的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）
A ．①④②③
B ．①④③②
C ．④①②③
D ．③④②①
7．若a v ，b v
均为单位向量，且(2)a a b ⊥-v
v v
，则a v 与b v
的夹角大小为 （ ） A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
23
π 8．如图所示，给出了样本容量均为7的A 、B 两组样本数据的散点图，已知A 组样本数据的相关系数为r 1，B 组数据的相关系数为r 2，则（ ）
A ．r 1＝r 2
B ．r 1<r 2
C ．r 1>r 2
D ．无法判定
9．已知()f x 是定义在R 上的函数，若2'()3f x x <且(1)1f =，则3()f x x >的解集为（） A ．(0,)+∞
B ．(,0)-∞
C ．(1,)+∞
D ．(,1)-∞
10．倾斜角为α的直线l 经过抛物线C ：()2
20x py p =>的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点（点A ，B 分别位于y 轴的左、右两侧）
，2BF
AF
=，则cos α的值是（ ） A ．
13
B ．
12 C ．
23
D ．
2
3
11．设全集U ＝{x ∈N |﹣1＜x ＜5}，集合A ＝{1，3}，则集合∁U A 的子集的个数是（ ） A ．16
B ．8
C ．7
D ．4
12．设函数2
()ln 2
a f x x x bx =+-，若1x =是函数()f x 的极大值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞
B ．(,1]-∞
C ．(,0)-∞
D ．(,0]-∞
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
1-
1
P
a
13
c
若()3
E ξ=
，则()D ξ=__________. 14．将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三所不同的学校去任教，每所学校至少分配一人且甲、乙两人不在同一所学校，则共有________ 种不同的分配方案（用数字作答）。

15．若
满足约束条件
，则函数
的最小值为__________．
16．若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动，则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是_____.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()2
2ln 3f x x x x ax =+-+
（1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线;
（2）若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
（e 是自然对数的底数），使不等式()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围.
18．已知函数2()ln 2()f x ax x x a =++∈R .
（1）当1a =时，求函数()f x 在点(1, (1))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 有两个不同极值点，求实数a 的取值范围；
（3）当0a >时，求证：对任意[1,)x ∈+∞，2
()(2)1f x x a x '<+++恒成立.
19．（6分）已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C 的长
轴长为直径的圆与直线20x y +-=相切．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设过椭圆右焦点且不重合于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，探究在x 轴上是否存在定点E ，
使得EA EB ⋅u u u r u u u r
为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（6分）如图，一张坐标纸上已作出圆()2
2:18E x y ++=及点()1,0P ，折叠此纸片，使P 与圆周上
某点P '重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线EP '的交点为M ，令点M 的轨迹为曲线C .
（1）求曲线C 的方程；
（2）若直线:l y kx m =+与轨迹C 交于A 、B 两点,且直线l 与以EP 为直径的圆相切，若
45
[,]56
OA OB ⋅∈u u u v u u u v ，求ABO V 的面积的取值范围．
21．（6分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成,A B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到()P C 的估计值为0.70. （1）求乙离子残留百分比直方图中,a b 的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 22．（8分）如图，四棱锥P ABCD -中，2PD CD ==，4AD AB ==，26PB =，23
PDC π
∠=
，//AB DC ，BC DC ⊥.
（1）求证：PD BC ⊥；
（2）求钝二面角A PD C --的余弦值.
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】
分析：先将等式右边化简，然后根据复数相等的条件即可. 详解：
2(1)111{
11i
a bi i i i i a
b ab +=
=-=++=⇒=⇒= 故选B.
点睛：考查复数的除法运算和复数相等的条件，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】
依次判断每个选项得到答案. 【详解】
A.乙罐取出的球是红球的事件与前面是否取出红球相关，正确
B. 1A ，2A ，3A 两两不可能同时发生，正确
C. ()5756131011101122
P B =⨯+⨯=，不正确 D. ()11117()7
211|1()112
P BA P B A P A ⨯
=
==，正确 故答案选C 【点睛】
本题考查了独立事件，互斥事件，条件概率，综合性强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力. 3．C 【解析】 【分析】
根据6
(1)x +的展开式的通项公式找出6
(1)x +中函数含2x 项的系数和4x 项的系数做差即可．
【详解】
6(1)x +的展开式的通项公式为16r r r T C x +=⋅ ，
故6
(1)x +中函数含2x 项的系数是2
6C 和4x 项的系数是46C 所以62
1(1)(1)x x
-
+展开式中2
x 的系数为26C -46C =0 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，熟练掌握二项式定理是解本题的关键． 4．B 【解析】
分析：根据复数模的定义化简复数，再根据共轭复数概念求结果. 详解：因为3422
i i
z +-=
，所以522
i
z -=
, 所以复数z 的共轭复数是5
2
i +, 选B.
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数
(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi
5．A 【解析】 【分析】
由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截掉两个三棱锥，利用所给数据，求出三棱柱与三棱锥的体积，从而可得结果. 【详解】
由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截掉两个三棱锥， 画出几何体的直观图，如图，
把几何体补形为一个直三棱柱ABG DCH -， 由三视图的性质可知三棱柱的底面面积1
2112
ABG S ∆=⨯⨯=，高4BC =， 所以4ABG DCH ABG V S BC -∆=⋅=，
13E DCH F ABG ABG V V S --∆==1
3
FG ⋅=,
所以，几何体的体积为1110
4333
--=.故选A.
【点睛】
本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 6．A 【解析】 【分析】
根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到． 【详解】
解：①sin y x x =⋅为偶函数，它的图象关于y 轴对称，故第一个图象即是； ②cos y x x =⋅为奇函数，它的图象关于原点对称，它在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上的值为正数， 在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上的值为负数，故第三个图象满足； ③cos y x x =⋅为奇函数，当0x >时，()0f x ≥，故第四个图象满足；
④2x
y x =⋅，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，
故选A ． 【点睛】
本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题． 7．C 【解析】
分析：由向量垂直得向量的数量积为0，从而求得a b ⋅r r
，再由数量积的定义可求得夹角．
详解：∵()
2a a b ⊥-v
v v ，∴2(2)20a a b a a b ⋅-=-⋅=r r r r r r ，∴12
a b ⋅=r r ，
∴1cos ,2a b a b a b ⋅<>==r r
r r r r ，∴,3
a b π<>=r r ．
故选C ．
点睛：平面向量数量积的定义：cos ,a b a b a b ⋅=<>r r r r r r ，由此有cos ,a b
a b a b
⋅<>=r r
r r r r ，根据定义有性质：
0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r
．
8．C 【解析】 【分析】
利用“散点图越接近某一条直线线性相关性越强，相关系数的绝对值越大”判断即可. 【详解】
根据,A B 两组样本数据的散点图知，
A 组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，
∴相关系数为1r 应最接近1，B 组数据分散在一条直线附近，也成正相关， ∴相关系数为2r ，满足21r r <，即12r r >，故选C ． 【点睛】
本题主要考查散点图与线性相关的的关系，属于中档题.判断线性相关的主要方法：（1）散点图（越接近直线，相关性越强）；（2）相关系数（绝对值越大，相关性越强）. 9．D 【解析】 【分析】
构造函数3
()()g x f x x =-，利用导数研究函数的单调性，然后将3
()f x x >转化为3
()0f x x ->，即
()(1)g x g >，根据单调建立关系，解之即可。

【详解】
令函数3
()()g x f x x =-；
由2
'()3f x x <，则2
()()30g x f x x =-'<'；
所以()g x 在R 上单调递减；
(1)1f =Q ，则(1)0g =，
∴3()f x x >转化为3()0f x x ->，即()(1)g x g >；
根据()g x 在R 上单调递减，则()(1)1g x g x >⇔<； 所以3
()f x x >的解集为(,1)-∞； 故答案选D
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用构造新函数解不等式，考查学生转化的思想，属于中档题。

10．D 【解析】 【分析】
设AF t =，则2BF t =，由抛物线的定义，得AC t =，2BD t =，进而可求BE 、AE ，最后由cos AE
AB
α=可求解. 【详解】
设AF t =，则2BF t = A 、B 两点到准线2
p
y =-
的距离分别为AC 、BD ， 由抛物线的定义可知：
AC AF t ==，2BD BF t ==
过A 作AE BD ⊥，垂足为E.
2BE BD DE BD AC t t t ∴=-=-=-= ()
2
222322AE AB BE t t t ∴=-=
-=
2222
cos cos 33
AE t BAE AB t α=∠=
==
. 故选：D 【点睛】
本题考查了抛物线的定义，考查了转化思想，属于中档题. 11．B 【解析】
因为{}{}|1501234U x N x ，，，，=∈-<<=，{}13A =，，所以{}024U C A =，，，集合U C A 的子集的个数是32=8 ，故选B.
12．A 【解析】
分析：()f x 的定义域为
1
0'f x ax b x
+∞=+-（，），（） ，由'10f =（）， 得1b a =+．
所以()1(1)'ax x f x x
--=
（） 能求出a 的取值范围．
详解：()f x 的定义域为
1
0'f x ax b x
+∞=+-（，），（） ，由'10f =（）， 得1b a =+．
所以()1(1)'ax x f x x
--=
（）．
①若0a = ，当01x ＜＜时，'0f x （
）＞，此时()f x 单调递增； 当1x ＞时，'0f x （
）＜ ，此时()f x 单调递减．所以1x =是函数()f x 的极大值点． 满足题意，所以0a =成立．
②若0a ＞，由'0f x =（
），得11x x a ==．，当1
1a
＞ 时，即1a < ，此时 当01x ＜＜时，'0f x （
）＞，此时()f x 单调递增； 当1x ＞时，'0f x （
）＜ ，此时()f x 单调递减．所以1x =是函数()f x 的极大值点． 满足题意，所以1a <成立．．
如果11a x =＞， 函数取得极小值，不成立；
②若0a ＜ ，由'0f x =（
） ，得11x x a
==．． 因为1x =是f （x ）的极大值点，成立； 综合①②：a 的取值范围是1a < ． 故选：A ．
点睛：本题考查函数的单调性、极值等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．
59
【解析】 【分析】
利用概率之和为1以及数学期望列方程组解出a 和c 的值，最后利用方差的计算公式可求出()D ξ的值。

【详解】
由题意可得()11313a c E a c ξ⎧++=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩
，解得16
12a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩，
因此，()222
11111151013633329D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：59。

【点睛】
本题考查随机分布列的性质以及随机变量的数学期望和方差的计算，解题时要注意概率之和为1这个隐含条件，其次就是熟悉随机变量数学期望和方差的公式，考查计算能力，属于中等题。

14．1 【解析】 【分析】
首先不考虑甲乙的特殊情况,算出总的分配方案,再减去甲乙同校的情况,得到答案. 【详解】
将四名老师分配到三个不同的学校，每个学校至少分到一名老师有23
4336C A ⨯=种排法； 甲、乙两名老师分配到同一个学校有3
36A =种排法；
故有甲、乙两名老师不能分配到同一个学校有36-6=1种排法. 故答案为1． 【点睛】
本题考查了排列组合里面的捆绑法和排除法,属于基本题型. 15．5. 【解析】
分析：作出约束条件所表示的平面区域，结合图象，得到目标函数经过点时，目标函数取得最小值，即可求解．
详解：作出约束条件所表示的平面区域， 如图所示，目标函数
，则
，
由图象可知当取可行域内点时，目标函数取得最小值， 由
，解得
，
此时函数的最小值为．
点睛：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如 .求这类目标函数的最值常将函数
转化为直线的斜截式：
，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如
；（3）斜率型：形如．
16．
5
7
【解析】 【分析】
选出的男女同学均不少于1名有两种情况： 1名男生2名女生和2名男生1名女生，根据组合数公式求出数量，再用古典概型计算公式求解. 【详解】
从5名男同学和2名女同学中选出3人，有3
735C = 种选法；
选出的男女同学均不少于1名，有12215252·
·25C C C C += 种选法； 故选出的同学中男女生均不少于1名的概率：255
357
P == . 【点睛】
本题考查排列组合和古典概型. 排列组合方法：1、直接考虑，适用包含情况较少时；2、间接考虑，当直接考虑情况较多时，可以用此法.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）4a =（2）1
32a e e
≤+- 【解析】 【分析】
（1）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，利用导数的几何意义，列出方程组，即可求解； （2）把不等式()0f x ≥成立，转化为32ln a x x x ≤++，构造函数()()3
2ln 0h x x x x x
=++>，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．
【详解】
（1）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，则()00f x =，()00f x '=，
即()()000000002ln 2202ln 30f x x x a f x x x x ax ⎧=++-=⎪⎨=+-+='⎪⎩
，
解得01
4
x a =⎧⎨
=⎩，即当4a =时，x 轴为曲线()y f x =的切线．
（2）由题意知22ln 30x x x ax +-+≥，即32ln a x x x
≤++， 设()()3
2ln 0h x x x x x =++
>，则()(
)()22
31231x x h x x x x +-'=+-=， 当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
时，()0h x '<，此时()h x 单调递减; 当(]1,x e ∈时，()0h x '>，此时()h x 单调递增.
存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，使()0f x ≥成立，等价于()max a h x ≤，即()1max ,a h h e e
⎧⎫⎛⎫≤⎨⎬ ⎪⎝⎭
⎩⎭
，
又1123h e e e ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()32h e e e =++，故()1h h e e ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
， 所以1
32a e e
≤
+-. 【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
18．（1）30x y -=（2）(),2-∞-（3）见解析 【解析】 【分析】
（1）当1a =时,求导数，将切点横坐标带入导数得到斜率，再计算切线方程. （2）求导，取导数为0，参数分离得到()1ln 1
02x x a x
+=>-，设右边为新函数，求出其单调性，求得取值范围得到答案.
（3）将导函数代入不等式，化简得到2ln 10a x x ax a --+-<，设左边为新函数，根据单调性得到函数最值，得到证明. 【详解】
（1）当1a =时，()()()
2
ln 20,f x x x x x =++∈+∞．
∴()ln 21f x x x +'=+ ∴()13f '=，又∵()13f = ∴()331y x -=-，即30x y -=
∴函 数 ()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程为30x y -=．
（2）由题意知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，()ln 2f x a x x a '=++ ， 令()0f x '=，可得ln 20a x x a ++=，
当0a =时，方程ln 20a x x a ++=仅有一解，∴0a ≠，
∴
()1ln 102x x a x
+=>- 令()()1ln 02x
g x x x
+=>-
则由题可知直线1
y a
=与函数()y g x =的图像有两个不同的交点． ∵()2
2ln 4x
g x x
=
' ∴当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 为单调递减函数； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为单调递增函数．
又∵10g e ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，()112g =-，且当x →+∞时，()0g x <
∴11
02a -<<，
∴2a <-
∴实数a 的取值范围为(),2-∞-． （3）∵()ln 2f x a x x a '=++
∴要证对任意[)1,x ∈+∞，()()2
+21f x x a x '<++恒成立
即证()2
ln 2+21a x x a x a x ++<++成立
即证2ln 10a x x ax a --+-<成立 设()()2
ln 11h x a x x ax a x =--+-≥
∴()()21a
h x x a x x
'=
--≥ ∵0a >时，易知()h x '在[
)1,+∞上为减函数
∴()()120h x h ''≤=-< ∴()h x 在[
)1,+∞上为减函数 ∴()()120h x h ≤=-<
∴2ln 10a x x ax a --+-<成立
即对任意[)1,x ∈+∞，()()2
+21f x x a x '<++恒成立．
【点睛】
本题考查了函数的导数，切线方程，极值点，参数分离法，恒成立问题，综合性强，计算量大，意在考查学生解决问题的能力.
19．（1）2
212x y +=；（2）定点为5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【解析】
分析：（1）根据一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直，以椭圆C 的长轴为直径的圆与直线20x y ++=相切，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 、c ，即可得结果；(2) 设
直线()()10y k x k =-≠联立()22
121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，得()22222
124220,880k x k x k k +-+-=∆=+>. 假设
x 轴上存在定点()0,0E x ，由韦达定理，利用平面向量数量积公式可得
()()
222
0002
241212x x k x EA EB k -++-⋅==+u u u v u u u v
，要使EA EB ⋅u u u v u u u v 为定值，则EA EB ⋅u u u v u u u v 的值与k 无关，所以()
2200024122x x x -+=-，从而可得结果.
详解：（1
）由题意知，222b c a b c a
=⎧
⎪
⎪
=⎨⎪⎪+=⎩
，解得11b a c =⎧⎪=⎨⎪=⎩则椭圆C 的方程是2
212
x y +=
（2）①当直线的斜率存在时，设直线()()10y k x k =-≠
联立()22
121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，得()22222
124220,880k x k x k k +-+-=∆=+>
所以2222
422
,1212A B A B k k x x x x k k
-+==++ 假设x 轴上存在定点()0,0E x ，使得EA EB ⋅u u u v u u u v
为定值。

所以()()()2
0000,,A A B B A B A B A B EA EB x x y x x y x x x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++u u u v u u u v
()()2
20011A B A B x x x x k x x =-++--
()()()22
2
2001A B A
B k x x x k x
x x k =+-++++
()(
)2
22
0002
2412
12x x k x k -++-=
+
要使EA EB ⋅u u u v u u u v 为定值，则EA EB ⋅u u u v u u u v
的值与k 无关， 所以(
)
2
2
00024122x x x -+=- 解得05
4
x =
， 此时716EA EB ⋅=-u u u v u u u v 为定值，定点为5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭
②当直线的斜率不存在时，,1,A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭
，7
16EA EB ⋅=-u u u v u u u v 也成立 所以，综上所述，在x 轴上存在定点5,04E ⎛⎫
⎪⎝⎭
，使得EA EB ⋅u u u v u u u v 为定值716-
点睛：本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
20．（1）2212x y +=；（2
）]65
【解析】 【分析】 【详解】
分析：（1）根据垂直平分线的性质可得E 的轨迹是以,E P
为焦点的椭圆，且1a c =
=，可得
2
2
2
1b a c =-=，M 的轨迹C 的方程为2212
x y +=；
（2）l 与以EP 为直径的圆22
1x y +=相切，则O 到l
1=，即221m k =+， 由22
12x y y kx m
⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消去y ，得()222
124220k x km m +++-=，
由平面向量数量积公式可得2
1143k ≤≤，由三角形面积公式可得
AOB S ∆=，换元后，利用单调性可得结果.
详解：
（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E
的半径为 ∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=|EP|，
∴E 的轨迹是以E 、P 为焦点的椭圆，且1a c =
=，
∴2
2
2
1b a c =-=，∴M 的轨迹C 的方程为2
212
x y +=．
（2）l 与以EP 为直径的圆x 2
+y 2
=1相切，则O 到
l 的距离：
1=，即221m k =+，
由2
212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消去y ，得（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2﹣2=0， ∵直线l 与椭圆交于两个不同点，
∴△=16k 2m 2﹣8（1+2k 2）（m 2﹣1）=8k 2＞0，k 2＞0，
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则2121222
422,1212km m x x x x k k
-+=-=++， y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2
x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2
=2
2
112k k
-+， 又212122112k OA OB x x y y k +⋅=+=+u u u v u u u v ，∴224155126
k k +≤≤
+，∴2
1143k ≤≤， 1
12AOB
S AB ∆
=⨯⨯=
12= 设μ=k 4+k 2
，则
54169
μ≤≤
，∴54,169AOB S μ∆⎡⎤
==∈⎢⎥⎣⎦
，…10分∵S △AOB 关于54,169μ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
单调递增，∴65
AOB S ∆≤≤
， ∴△AOB
的面积的取值范围是5⎣⎦
点睛：本题主要考查利用定义求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般
有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.
21． (1) 0.35a =，0.10b =；(2) 4.05，6. 【解析】 【分析】
(1)由()0.70P C =及频率和为1可解得a 和b 的值；(2)根据公式求平均数. 【详解】
(1)由题得0.200.150.70a ++=，解得0.35a =，由0.050.151()10.70b P C ++=-=-，解得0.10b =. (2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为
0.1520.2030.3040.2050.1060.057 4.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
乙离子残留百分比的平均值为0.0530.1040.1550.3560.2070.1586⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】
本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.
22．（1）见解析；（2）5
- 【解析】 【分析】
（1）推导出BC PC ⊥，BC DC ⊥，从而BC ⊥平面PCD ，由此能证明PD BC ⊥.
（2）过点C 在平面PCD 内作直线Cz CD ⊥，由（1）以点C 为坐标原点建立空间直角坐标系C xyz -，利用向量法求出钝二面角A PD C --的余弦值. 【详解】
（1）证明：在CDP V 中，2PD CD ==，且23
PDC π∠=，
由余弦定理，得PC =过点D 作DE AB ⊥，可知四边形BCDE 是矩形，
DE BC ∴=，且2AE EB ==.
又4=AD ，故DE BC ==(((2
2
2
2
2
2BC PC PB +=+==，
即BC PC ⊥.又BC DC ⊥，且PC DC C ⋂=，
BC ∴⊥平面PCD ，PD BC ∴⊥.
（2）过点C 在平面PCD 内作直线Cz CD ⊥， 由（1）可知BC ，DC 和直线Cz 两两垂直， 如图，以点C 为坐标原点建立空间直角坐标系C xyz -. 由题意，可得()2,0,0D ，(
)3,0,3P ，()
4,23,0
A ，
()
1,0,3DP ∴=u u u r ，(
)2,2
3,0DA =u u u r
.
设平面PAD 的法向量为(),,m x y z =u r
，
由0,0,m DP m DA ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得30,2230.
x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令3x =-，得1y =，1z =，即()
3,1,1m =-u r
.
再取平面PCD 的一个法向量()0,1,0n =r
.
设二面角A PD C --的大小为θ，
则5
cos cos ,5m n m n m n
θ⋅=-=-=-=-u r r
u r r u r r ，
即二面角A PD C --的余弦值为5-
.
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定定理、定义，空间向量法求面面角，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于基础题.。