北京市昌平临川育人学校2021届高三数学下学期期中试题理

北京市昌平临川育人学校2021届高三数学下学期期中
试题理
数学（理科）
一、选择题：共12小题,每小题5分共60分,在每小题给出四个选项中选出符合题目要求的. 1.若集合{|31}A x x =-<<，{1B x x =<-或2}>x ，则=A
B
A.{|32}x x -<<
B.{|31}x x -<<-
C.{|11}x x -<<
D.{|12}x x <<
2.复数1i
z i
=
-在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.已知,R a b ∈，且a b >，则下列不等式一定成立的是
A.220a b ->
B.cos cos 0a b ->
C.11
0a b
-< D.0a b e e ---<
4.在平面直角坐标系xOy 中,角θ以Ox 为始边,终边与单位圆交于点34
(,)55
，则tan()πθ+=
A.43
B.
34
C.43
-
D.34
-
5.设抛物线2
4y x =上一点P 到y 轴的距离是2,则P 到该抛物线焦点的距离是
A.1
B.2
C.3
D.4
6.故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”四个展览。

某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有
A.6种
B.8种
C.10种
D.12种
7.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和，则“0d
>”是“{}n S 为递增数列”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8. 在△ABC 中,角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若222a c b ac +=+,则B =
A. 3
π
B.
4
π C.
6
π D.
2
π
9.若,x y 满足041x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则2x y +的最大值为
A.6
B.8
C.10
D.12
10.某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能
手”，关于某个题目，假如答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”，已知这次测试共有5个“学习能手”，则难题的个数最多为
A.4
B.3
C.2
D.1
11. 已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，且满足)()2
3
(x f x f =-，2)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且
12+=n
a
n S n n ，{}n a S n 为的前项和n ，则=)(5a f （ ） A.3- B.2- C.3 D.2
12. 若函数)(x f y =，M x ∈关于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x ，都有)()(T x f x af +=恒成立，现在T 为)(x f 的假周期，函数)(x f y =是M
上的a 级假周期函数，若函数)(x f y =是定义在区间[)∞+，
0内的3级假周期且2=T ， 当，)2,0[∈x 2
12,01
()2(2),12x x f x f x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-<<⎩
函数m x x x x g +++-=221ln 2)(，若[]8,61∈∃x ，
)0(2∞+∈∃，x 使0)()(12≤-x f x g 成立，则实数m 的取值范畴是（ ）
A.]2
13
,(-∞ B.]12,(-∞ C.]39,(-∞ D.),12[+∞
二、填空题：共4小题,每小题5分,共20分.
13. 在(1-2x )6
错误！未找到引用源。

的展开式中， x 2
的系数为___.（用数字作答）
14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____.
15.设平面向量a,b,c 为非零向量，能够说明若“⋅⋅a b =a c ， 则b =c ”是假命题的一组向量a,b,c 的坐标依次为______.
16.单位圆的内接正n (3n ≥)边形的面积记为()f n ，则(3)=f ________； 下面是关于()f n 的描述：
①2()=
sin 2n f n n
π；②()f n 的最大值为π；③()(1)f n f n <+；④()(2)2()f n f n f n <≤. 其中正确结论的序号为________（注：请写出所有正确结论的序号）
三、解答题：共6小题，共70分.解承诺写出文字说明，验算步骤或证明. 17.(本小题满分12分) 已知函数2
2
()sin 2sin cos cos f x x x x x =+- (Ⅰ)求()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
18.（本小题满分12分） 从高一年级随机选取100名学生，对他们期中考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示.
（Ⅰ）从这100名学生中随机选取一人， 求该生数学和语文成绩均低于60分的概率;
（Ⅱ）从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人， 记这两人中数学成绩高于80分的人数为ξ， 求ξ的分布列和数学期望()E ξ;
（Ⅲ）试判定这100名学生数学成绩的方差a 与 语文成绩的方差b 的大小.（只需写出结论）
19.（本小题满分12分） 如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点， 分别将,PAD PBC ∆∆沿,PA PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合于点O ，如图2. 在三棱锥P OAB -中，E 为PB 中点. （Ⅰ）求证：PO AB ⊥；
（Ⅱ）求直线BP 与平面POA 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角P AO E --的大小.
20．（本小题满分12分） 已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的离心率为3
，且过点
()2,0A ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设M ，N 是椭圆C 上不同于点A 的两点，且直线AM ，AN 的斜率之积等于1
4
-， 试问直线MN 是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．
21. （本小题满分12分） 已知函数()(1)x
f x e a x =-+.
（Ⅰ）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线斜率为0，求a 的值; （Ⅱ）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范畴
（Ⅲ）求证：当0a =时，曲线()(0)y f x x =>总在曲线2ln y x =+的上方.
选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.假如多做，则按所做的第一题计分。

22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 已知直线:30l x y +-=，曲线{
()2cos 2
:2sin x C y θθθ
=+=为参数.以坐标原点O 为极点, x 轴的
非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）分别求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）若射线:(,)4
2
m π
π
θααρ=-
<<
≥0分别交直线l 和曲线C 于M ,N 两点（N 点不同于坐
标原点O ），求ON
OM
的最大值.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数().32+-=x x x f
（1）若关于任意的实数x ，都有()m m x f 722
-≥成立，求m 的取值范畴；
（2）若(),ax x g =方程()()x g x f =有两个不同的实数解，求a 的取值范畴.
一、选择题：共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.【答案】B 【解析】由题易知，{|31}.A B x x =-<<-故选B
2.【答案】B 【解析】(1)1111(1)(1i)222i i i i z i i i +-=
===-+--+,因此z 在复平面上对应的点为11(,)22
-，在第二象限,故选B
3.【答案】D 【解析】
,,a b a b >∴-<-由x y e =在R 上单调递增可知,
,0,a b a b e e e e ----<∴-<故选D
4.【答案】A
【解析】由正切函数定义可知: 4
45tan 335
y x θ===，4
tan()tan 3
πθθ+==，
故选A
5.【答案】C
【解析】在抛物线中, 2
4.y x =焦点(1,0),F
准线 1.x =-|||||| 1.PF PH PM ==+P 点到y
轴的距离为2.|| 2.PM ∴
=即||||||1 3.PF PH PM ==+=故选C
6.【答案】C
【解析】法一：22
4210A A -=种
法二：1122
222210A A A A ⨯⨯+=种.故选C
7.【答案】D
【解析】充分条件的反例，当14a =-，1d =时，114S a ==-，2127S a a =+=-，充分不成立.
必要条件的反例，例n S n =，11n n n S S a --==，0d =， 必要不成立.故选D.
8.A 【解析】2221
cos 222
a c
b a
c B ac ac +-===,3B π∴=
9.A 可行域如右图所示：
设2+z x y =即2y z x =-，当2y z x =-过(2,2)B 时，z 取最大值， 因此6z =.
10.【答案】D
【解析】由题意可知每位“学习能手”最多做错1道题，5位“学习能手”则最多做错5道题.而至少有3个“学习能手”做错的题目才能称之为“难题”，因此难题最多1道.故选D. 11.D 12. C
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.60
14.【答案】2
3+12 【解析】该几何体如图所示：
可知2AB AC BC ===,ABC 为等边三角形,
因此1
2332
ABC
S
=⨯⨯=,因此四边形11ACC A 的面积为 11
224ACC A S
=⨯=,因此11
232312ABC
ACC A S S
S
=+=+表.
15.【答案】(1,1)a =，(1,2)b =，(2,1)c =（答案不唯独）
【解析】 设(1,1)a
=，(1,2)b =，(2,1)c =,则3⋅a b =，3⋅a c =，因此⋅⋅a b =a c 但≠b c ，
因此若⋅⋅a b =a c ，则b =c 为假命题。

16.【答案】
33
；①③④ 【解析】内接正n 边形可拆解为n 个等腰三角形，腰长为单位长度1，顶角为
2n
π. 每个三角形的面积为
12sin 2n
π，因此正n 边形面积为 2()sin 2n f n n π=.323333
(3)sin 23224
==
f π=⋅，①正确； 正n 边形面积无法等于圆的面积，因此②不对；
随着n 的值增大，正n 边形面积也越来越大，因此③正确；
当且仅当3n =时，有2(3)(6)f f =，由几何图形可知其他情形下都有(2)2()f n f n < 因此④正确.
四、解答题共6小题,共70分.解承诺写出文字说明，验算步骤或证明. 17、解:(Ⅰ)由题意得：()sin 2cos 22)4
f x x x x π
=-=
-,
22
T π
π∴=
= (Ⅱ)当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
当24
2
x π
π
-
=
时,即38
x π
=
时,()f x 取得最大值2. 当24
4
x π
π
-
=-
时,即0x =时,()f x 取得最小值1-.
因此()f x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值分别是2和1-.
18、解:（Ⅰ）由图知有9名学生数学和语文成绩均低于60分,则从100名学生中随机选一人,该生数学和语文成绩均低于60分的概率为9
100
. （Ⅱ）由题可知,ξ的可能取值为0,1,2
26210151(0)=453C P C ξ=== 1164210248(1)4515C C P C ξ⋅==== 242
1062
(2)=4515
C P C ξ===
（Ⅲ）a b >
19.解:（Ⅰ）由图1知,PD AD PC CB ⊥⊥ 由图2知,C D 重合于点O .则,PO AO PO BO ⊥⊥
AO BO O = AO ⊂面AOB BO ⊂面AOB
PO ∴⊥面AOB ,又
AB ⊂面AOB PO AB ∴⊥
1824
()012315155
E ξ=⨯+⨯+⨯=
（Ⅱ）由题知1OP = 2OA OB AB === ABO ∆为等边三角形
过O 取1OF = 延长作OF AO ⊥ 建立如图空间直角坐标系
则()()()()
0,0,02,0,0,0,0,11,3,0O A P B ，，
易知面POA 的法向量为()0,1,0OF = ()
1
3,1BP =--， 设BP 与平面POA 夹角为θ
则315sin cos ,15
OF BP OF BP OF BP
θ⋅-==
=
=⨯⋅
∴ 直线BP 与平面POA 所成角正弦值为155
（Ⅲ）由（Ⅱ）知面POA 的法向量为()0,1,0OF = 设面EOA 法向量为(,,)m x y z =
易知E 为PB 中点 131
()22E ∴，，，131()22
OE =，，，(200)OA =，，
00
OE m OA m ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩ 即30222
20x z y x ⎧+
+=⎪⎨⎪=⎩
令1y =- 则(0,1,3)m =-
则11
cos ,212
m OF m OF m OF
⋅-=
=
=-⨯⋅ 由图知二面角为锐角，∴ 二面角P AO E --为
3
π
20．解:（Ⅰ）
32e =
，32
c a ∴=， 过()2,0，2a ∴=，3c =，
2
2
2
1b a c =-=，2
214
x y ∴+=
（Ⅱ）①当MN 斜率不存在时，设()00,M x y ，则()00,N x y -，
00001224AM AN y y k k x x -⋅=
⋅=---，()2200124
y x =-， 又()00,M x y 在椭圆上，2
20014
x y ∴+=，解得00x =，01y =±，
:0MN l x ∴=．
②当MN 斜率存在时，设:MN
l y kx m =+，与椭圆联立，由2
21
4x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得(
)2
2
2148440k
x
kmx m +++-=，0∆>，即22410k m +->，
设()11,M x y ，()22,N x y ，
则12221228144414km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()()2212122
414m k y y kx m kx m k -=++=+， ()1212
1212122224
AM AN y y y y k k x x x x x x ⋅=
⋅=---++
22
2222222222
441144416416416164
141414m k m k k m km k m km k k k k --+===--+++++
+++，
2222444m k m km k ∴-=---，220m km +=，0m ∴=或2m k =-，
当2m k =-时，():2MN l y k x =-，恒过()2,0不符合①， 当0m =时，:MN l y kx =，结合①，恒过()0,0， 综上，直线MN 恒过()0,0．
21.解:（Ⅰ）()x
f x e a '=-，由题可得(0)0f '=，即10a -=，故1a =
（Ⅱ）()x
f x e a '=-
①当0a =时，()0x
f x e =>恒成立，符合题意。

②当0a <时，()0f x '>恒
成立，
则()f x 在R 上单调递增，当1
1x a
=
-时，111(1)10a
f e a
--=-<，不符合题意，舍去； ③当0a >时，令()0f x '=，解得ln x a = 当x 变化时，()f x 和()f x '变化情形如下
x (,ln )a -∞
ln a
(ln ,)a +∞
()f x ' -
+
()f x
极小值
min ()(ln )(ln 1)f x f a a a a ==-+，由题意可min ()0f x ≥，即ln 0a a -≥，
解得01a <≤。

综上所述，a 的取值范畴为[0,1]
（Ⅲ）由题可知要证()f x 的图像总在曲线2ln y x =+上方，即证2ln x e x >+恒成立，即
要证明ln 2x e x ->恒成立，构造函数()ln x
g x e x =-
1()x
g x e x '=-
，令1()x h x e x =-，故21()0x h x e x
'=+>，则()h x 在(0,)+∞单调递增，则'()g x 单调递增.因为(1)10g e '=->，1
21
()202
g e '=-<，由零点存在性定理可知，
()g x '在(0,)+∞存在唯独零点，设该零点为0x ，
令()0g x '=，即0
01x e x =
，且01(,1)2
x ∈ 当x 变化时，()g x 和()g x '变化情形如下
则0
00()()ln x g x g x e x ≥=-，因为0
1
x e x =
，因此00ln x x =-， 因此0001()()2g x g x x x ≥=
+≥，当且仅当01x =时取等，因为01(,1)2
x ∈， 0()()2g x g x ≥>，
即ln 2x e x ->恒成立，曲线()(0)y f x x =>总在曲线2ln y x =+的上方.
请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．
22.解：（1）:(cos sin )3l ρθθ+=
222
2:4404cos (2)C x x y y x ρθ+=⇒+-=⇒=- ……………..…4分
（2）由已知可设 12(,),(,),()4
2
M N π
π
αααρρ-<<
则123
,4cos cos sin αρραα
=
=+ ………………..…6分
2142cos (cos sin )(cos 2sin 21)
3322(21)
2cos(2)133
4ON
OM
ραααααρπα∴==+=++⎡⎤=
≤+-+⎢⎥⎣⎦
仅当8
π
α=
时，取得最大值
2
(21)3
+ …..…10分 23. 解：（1） 由于()()()()⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤≤----<-=+-=0,303,333,332x x x x x x x x x f ，
因此()x f 的最小值为()30-=f 。

又因为对任意的实数x ， 都有()m m x f 722
-≥成立，只需3722-≤-m m ，
即03722≤+-m m ，解得
321≤≤m ，故m 的取值范畴为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡3,21。

………5分 （2）方程()()x g x f =有两个不同的实数解，即函数()x f y =与
()x g y =的图像有两个不同的交点，作出这两个函数图像， 由图像可知，a 得取值范畴是[){}
.21,1-- ………10分。