2021-2022学年吉林省长春市农安县八年级(上)期末数学试卷(附详解)

2021-2022学年吉林省长春市农安县八年级（上）期末数
学试卷
1.√81的算术平方根是()
A. 3
B. −3
C. −9
D. 9
2.下列运算正确的是()
A. a4⋅a2=a8
B. (2a3)2=4a6
C. (ab)6÷(ab)2=a3b3
D. (a+b)(a−b)=a2+b2
3.下列各式从左到右的变形属于因式分解的是()
A. (x+2)(x−3)=x2−x−6
B. 6xy=2x⋅3y
C. x2+2x+1=x(x+2)+1
D. x2−9=(x−3)(x+3)
4.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()
A. 4，5，6
B. 2，3，4
C. √7，3，4
D. 1，√2，3
5.如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为()
A. −3
B. 3
C. 0
D. 1
6.如图，AB=AC，AD=AE，∠A=105°，∠D=25°，则∠ABE等于()
A. 65°
B. 60°
C. 55°
D. 50°
7.下列选项中的尺规作图，能推出PA=PC的是()
A. B.
C. D.
8.若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为()
A. 9
B. 7
C. 12
D. 9或12
9.为了解中学300名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数
据整理后，画出频数分布直方图(如图).估计该校男生的身高在169.5cm～174.5cm 之间的人数有()
A. 12
B. 48
C. 72
D. 96
10.如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作AF⊥AE交
CB的延长线于点F，若AB=4，则四边形AFCE的面积是()
A. 4
B. 8
C. 16
D. 无法计算
11.实数8的立方根是______ ．
12.因式分解：x2y4−x4y2=______．
13.计算：(−x)2(−x)3=______．
14.如果x2−Mx+9是一个完全平方式，则M的值是______．
15.已知a<√17<b，a，b为两个连续的自然数，则a+b=______．
16.命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是______命题．(填“真”或“假”)
17.如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，
BF=CE，∠B=∠E，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，
这个添加的条件可以是______(只需写一个，不添加辅助线
)．
18.如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D.若∠A=
36°，则∠BDC的大小为______ 度.
19.如图，在一只底面半径为3cm，高为8cm的圆柱体状水杯中放入一
支13cm长的吸管，那么这支吸管露出杯口的长度是______ ．
20.如图所示，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，AB=
36cm，BC=24cm，S△ABC=144cm2，则DE的长是______ ．21.计算：|−7|+√16−(−3)2．
22.先化简，再求值：2a(1−2a)+(2a+1)(2a−1)，其中a=2．
23.如图，△ABC中，D为BC边上的一点，AD=AC，以线段AD
为边作△ADE，使得AE=AB，∠BAE=∠CAD.求证：DE=
CB．
24.如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON
有3米．
(1)求梯子顶端与地面的距离OA的长．
(2)若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离．
25.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，
(1)请在所给网格中画一个边长分别为√10，√13，√17的三角形；
(2)此三角形的面积是______ ．
26.为了解我市的空气质量情况，某环保兴趣小组从环境监测网随机抽取了若干天的空
气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出)．
请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)计算被抽取的天数；
(2)请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“优”的扇形的圆心角度数；
(3)请估计该市这一年(365天)达到“优”和“良”的总天数．
27.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC
于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
(1)求证：BF=AC；
(2)若CD=3，求AD的长．
28.如图，AE与BD相交于点C，AC=EC，BC=DC，AB=
4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t(s)．
(1)求证：AB//DE．
(2)写出线段AP的长(用含t的式子表示)．
(3)连结PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵√81=9，
∴√81的算术平方根是3．
故选：A．
根据算术平方根的定义是解决本题的关键．
本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解决本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、原式=a4+2=a6，故本选项运算错误．
B、原式=22⋅a3×2=4a6，故本选项运算正确．
C、原式=a6−2⋅b6−2=a4b4，故本选项运算错误．
D、原式=a2−b2，故本选项运算错误．
故选：B．
根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法以及平方差公式进行解答．本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法以及平方差公式，属于基础题，熟记计算法则即可解题．
3.【答案】D
【解析】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、不是多项式，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意；
故选：D．
根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
4.【答案】C
【解析】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、(√7)2+32=42，能构成直角三角形，故符合题意；
D、12+(√2)2≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5.【答案】A
【解析】解：∵(x+m)(x+3)=x2+3x+mx+3m=x2+(3+m)x+3m，
又∵乘积中不含x的一次项，
∴3+m=0，
解得m=−3．
故选：A．
先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．
本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：在△ABE和△ACD中，
{AB=AC
∠BAE=∠CAD AE=AD
，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴∠D=∠E，
∵∠D=25°，
∴∠E=25°，
∴∠ABE=180°−∠A−∠E=180°−105°−25°=50°．
故选：D．
依据SAS即可得判定△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质，得出∠D=∠E=25°，由三角形内角和定理可求出答案．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵PA=PC，
∴P点为AC的垂直平分线的上的点．
故选：B．
利用垂直平分线的性质和基本作图进行判断．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．
8.【答案】C
【解析】解：(1)若2为腰长，5为底边长，
由于2+2<5，则三角形不存在；
(2)若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为5+5+2=12．
故选：C．
求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
根据直方图求出身高在169.5cm～174.5cm之间的人数的百分比，然后乘以300，计算即可．
【解答】
解：根据统计图，身高在169.5cm～174.5cm之间的人数的百分比为：
12
6+10+16+12+6
×100%=24%，
所以，该校男生的身高在169.5cm～174.5cm之间的人数有300×24%=72(人)．
故选：C．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得Rt△ABF≌Rt△ADE 是关键.由正方形ABCD中的角边关系，易证得Rt△ABF≌Rt△ADE，即可得S四边形AFCE=
S
正方形ABCD
，求得答案．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠D=90°，AB=AD，
即∠ABF=∠D=90°，
∵AF⊥AE
∴∠FAB+∠BAE=90°，且∠DAE+∠BAE=90°
∴∠BAF=∠DAE
在Rt△ABF和Rt△ADE中，
{∠BAF=∠DAE AB=AD
∠ABF=∠ADE
，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE(ASA)，
∴S Rt△ABF=S Rt△ADE，
∴S Rt△ABF+S
四边形ABCE =S Rt△ADE+S
四边形ABCE
，
∴S
四边形AFCE =S
正方形ABCD
=16．
故选C．
11.【答案】2
【解析】解：∵23=8，
∴8的立方根是2．
故答案为：2．
根据立方根的定义解答．
本题考查了立方根的定义，找出2的立方是8是解题的关键．
12.【答案】x2y2(y−x)(y+x)
【解析】解：原式=x2y2(y2−x2)
=x2y2(y−x)(y+x)．
故答案为：x2y2(y−x)(y+x)．
首先提取公因式x2y2，再利用平方差进行二次分解即可．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13.【答案】−x5
【解析】
【分析】
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【解答】
解：(−x)2(−x)3=x2⋅(−x)3=−x5．
故答案为：−x5．
14.【答案】±6
【解析】解：∵x2−Mx+9是一个完全平方式，
∴−M=±6，
解得：M=±6，
故答案为：±6．
利用完全平方公式的结构特征判断即可得到M的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15.【答案】9
【解析】解：∵16<17<25，
∴4<√17<5，
∴a=4，b=5，
∴a+b=9，
故答案为：9．
估算无理数的范围，得到a，b的值，从而得到a+b的值．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
16.【答案】真
【解析】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，
故答案为：真．
将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题，然后判断正误即可．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
17.【答案】AB=ED(答案不唯一)
【解析】解：添加AB=ED，∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
{AB=DE ∠B=∠E CB=EF
，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
故答案为：AB=ED(答案不唯一)．
根据等式的性质可得BC=EF，添加AB=ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
18.【答案】72
【解析】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°．
故答案为：72．
根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可以得到∠ABC和∠ACB的度数，再根据BD平分∠ABC，即可得到∠ABD的度数，然后根据∠BDC=∠A+∠ABD，即可得到∠BDC的度数．
本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】3cm
【解析】
【分析】
根据半径我们可以求出直径，沿底面的半径切开圆柱，则平面为一
个底为6cm，高为8cm的矩形，根据勾股定理可以计算对角线的长
度，吸管露出杯口的长度为吸管长减去矩形对角线长．
本题考查了矩形中勾股定理的运用，考查了矩形各内角为直角的性质，本题中正确的根据勾股定理计算AB是解题的关键．
【解答】
解：由题意知AC=6cm，BC=8cm，AD=13cm
在直角△ABC中，BC=8cm，AC=6cm，
则AB2=AC2+BC2=102，
∴AB=10cm
∴BD=AD−AB=13cm−10cm=3cm．
故答案为：3cm．
20.【答案】4.8
【解析】解：如图，过D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，
∴DE=DF，
而S△ABC=S△ABD+S△CBD=1
2DE⋅AB+1
2
DF⋅BC，
∴144=1
2DE×36+1
2
DF×24，
∴144=18DE+12DF，
而DE=DF，
∴DE=4.8cm．
故填：4.8cm．
如图，过D作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到DE=DF，又S△ABC=S△ABD+
S△CBD，S△ABD=1
2DE⋅AB，S△CBD=1
2
DF⋅BC，由此可以得到关于DE的方程，解方程
即可求出DE．
此题主要考查了角平分线的性质；解题关键是通过作垂线利用角平分线构造全等三角形，然后利用全等三角形解决问题．
21.【答案】解：|−7|+√16−(−3)2
=7+4−9
=2．
【解析】首先计算乘方、开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
22.【答案】解：原式=2a−4a2+4a2−1=2a−1，
当a=2时，原式=4−1=3．
【解析】原式利用单项式乘以多项式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23.【答案】证明：∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD，
即∠DAE=∠CAB，
在△ADE和△ACB中，
{AD=AC
∠DAE=∠CAB AE=AB
，
∴△ADE≌△ACB(SAS)，
∴DE=CB．
【解析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，证明线段相等，通常转化证明三角形全等．先由角的和差性质证得∠DAE=∠CAB，再根据SAS定理证明△ADE≌△ACB，最后根据全等三角形的性质得出DE=CB．
24.【答案】解：(1)AO=√52−32=4(米)；
(2)OD=√52−(4−1)2=4(米)，
BD=OD−OB=4−3=1(米)．
【解析】能够运用数学知识解决实际生活中的问题，考查了勾股定理的应用．
(1)已知直角三角形的斜边和一条直角边，可以运用勾股定理计算另一条直角边；
(2)在直角三角形OCD中，已知斜边仍然是5，OC=4−1=3(米)，再根据勾股定理求得OD的长即可．
25.【答案】11
2
【解析】解：(1)如图，△ABC即为所求作．
(2)S△ABC=3×4−1
2×1×3−1
2
×2×3−1
2
×1×4=11
2
，
故答案为：11
2
(1)作出AB=√10，BC=√17，AC=√13，即可．
(2)利用分割法求解即可．
本题考查作图−应用与设计，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
26.【答案】解：(1)扇形图中空气为优所占比例为20%，条形图中空气为优的天数为12天，
∴被抽取的总天数为：12÷20%=60(天)；
(2)轻微污染天数是60−36−12−3−2−2=5天；
表示优的圆心角度数是12
60
×360°=72°，
如图所示：
；
(3)样本中优和良的天数分别为：12，36，
×365=292(天)．
一年(365天)达到优和良的总天数为：12+36
60
故估计本市一年达到优和良的总天数为292天．
【解析】(1)根据扇形图中空气为优所占比例为20%，条形图中空气为优的天数为12天，即可得出被抽取的总天数；
(2)轻微污染天数是60−36−12−3−2−2=5天；利用360°乘以优所占的份额即可得优的扇形的圆心角度数；
(3)利用样本中优和良的天数所占比例乘以一年(365天)即可求出达到优和良的总天数．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
27.【答案】(1)证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中，
{∠CAD=∠CBE
AD=BD
∠ADC=∠BDF=90°
，
∴△ADC≌△BDF(ASA)，
∴BF=AC；
(2)解：∵△ADC≌△BDF，
∴DF=CD=3，
在Rt△CDF中，CF=√DF2+CD2=√32+32=3√2，
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=CF=3√2，
∴AD=AF+DF=3√2+3．
【解析】(1)先判定出△ABD是等腰直角三角形，得出AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，由ASA证得△ADC≌△BDF，得出BF=AC；
(2)根据全等三角形对应边相等得出DF=CD，由勾股定理求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质等知识，根据等腰直角三角形性、证明△ADC≌△BDF是解题的关键．
28.【答案】(1)证明：在△ABC和△EDC中，
{AC=EC
∠ACB=∠ECD BC=DC
，
∴△ABC≌△EDC(SAS)，
∴∠A=∠E，
∴AB//DE．
(2)当0≤t≤4
3
时，AP=3t cm；
当4
3<t≤8
3
时，BP=(3t−4)cm，
则AP=4−(3t−4)=(8−3t)cm；
综上所述，线段AP的长为3t cm或(8−3t)cm；
(3)由(1)得：∠A=∠E，ED=AB=4cm，
在△ACP和△ECQ中，
{∠A=∠E
AC=CE
∠ACP=∠ECQ
，
∴△ACP≌△ECQ(ASA)，
∴AP=EQ，
当0≤t≤4
3
时，3t=4−t，解得：t=1；
当4
3<t≤8
3
时，8−3t=4−t，
解得：t=2；
综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为1s或2s．
【解析】(1)由SAS证明△ABC≌△EDC(SAS)，得∠A=∠E，即可得出结论；
(2)分两种情况计算即可；
(3)先证△ACP≌△ECQ(ASA)，得AP=EQ，再分两种情况，当0≤t≤4
3
时，3t=4−t，
解得t=1；当4
3<t≤8
3
时，8−3t=4−t，解得t=2即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及一元一次方程的应用等知识；证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．。