高三理科数学一轮单元卷：第二十一单元 统计、统计案例、概率 A卷

一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A）
第二十一单元统计、统计案例、概率
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3
2．峨眉山市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（）
A．19 B．20 C．21.5D．23
3．总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）
附：第6行至第9列的随机数表：
26357900337091601620388277574950
32114919730649167677873399746732
27486198716441487086288885191620
74770111163024042979799196835125
A．3 B．16 C．38 D．49
4．九江联盛某超市为了检查货架上的奶粉是否合格，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5
袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（）
A．6，12，18，24，30 B．2，4，8，16，32
C．2，12，23，35，48 D．7，17，27，37，47
5．某校高二（16）班共有50人，如图是该班在四校联考中数学成绩的频率分布直方图，则成绩在[]
100,120内的学生人数为（）
A．36 B．25 C．22 D．11
6．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取（）件．
A．24 B．18 C．12 D．6
7．有人发现，多看手机容易使人变冷漠，下表是一个调査机构对此现象的调查结果：
附表：
则认为多看手机与人冷漠有关系的把握大约为（）
A．99%B．97.5%C．95%D．90%
8．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如
下表所示：
若x ，y 线性相关，线性回归方程为0.6y x a =+，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（ ） A ．7.2万盒
B ．7.6万盒
C ．7.8万盒
D ．8.6万盒
9．现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为（ ） A ．
16
B ．13
C ．
56
D ．
23
10．“0rand ”是计算机软件产生随机数的函数，每调用一次0rand 函数，就产生一个在区间[]0,1内的随机数．我们产生n 个样本点(),P a b ，其中201a rand =⋅-，201b rand =⋅-．在这n 个样本点中，满足220a b rand +=的样本点的个数为m ，当n 足够大时，可估算圆周率π的近似值为（ ） A ．
4m
n
B ．
4m n
C ．
4n m
D ．
4n m
11．下面给出的是某校高二（2）班50名学生某次测试数学成绩的频率分布折线图，根据图中所提供的信息，则下列结论正确的是（ ）
A ．成绩是50分或100分的人数是0
B ．成绩为75分的人数为20
C ．成绩为60分的频率为0.18
D ．成绩落在60—80分的人数为29
12．如果一组数1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，方差是2s 132x +232x +，，32n x +的平均数和方差分别是（ ）
A 3x 2s
B 32x 2s
C 32x 23s
D 32x 23262s s ++
二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[)25,30的一为等品，在区间[)20,25和[)30,35的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．
14．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得到如下实验数据，计算得回归直线方程为0.950.15y x =-．由以上信息，得到下表中c 的值为__________．
天数x (天) 3 4 5 6 7 繁殖个数y (千个)
2
3
4
5
c
15．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：
参照附表，在犯错误的概率最多不超过______(填百分比)的前提下，可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果”．参考公式：()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -++++＝
16．已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估计阴影部分的面积约为__________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． （1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（2）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．
18．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[)0,0.1 [)0.10.2，
[)0.20.3，
[)0.30.4， [)0.40.5， [)0.50.6， [)0.60.7， 频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [)00.1， [)0.10.2，
[)0.20.3， [)0.30.4， [)0.40.5， [)0.50.6， 频数
1
5
13
10
16
5
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
0.35m的概率；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于3
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
19．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m 的工人数填入下面的列联表：
超过m不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，
()
2
0.0500.0100.001
|
3.8416.63510.828
P K k
k
≥
．
20．（12分）某淘宝商城在2017年前7个月的销售额y(单位:万元)的数据如下表，已知y与t具有较好的线性关系．
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）分析该淘宝商城2017年前7个月的销售额的变化情况，并预测该商城8月份的销售额．附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
()()
()
1
2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
t t y y
b
t t
=
=
--
=
-
∑
∑
，ˆ
ˆa y bt
=-．
21．（12分）某超市为调查会员某年度上半年的消费情况制作了有奖调查问卷发放给所有会员，并从参与调查的会员中随机抽取100名了解情况并给予物质奖励．调查发现抽取的100名会员消费金额（单位：万元）都在区间[]
0.5,1.1内，调查结果按消费金额分成6组，制成如下的频率分布直方图．（1）求该100名会员上半年消费金额的平均值与
中位数；（以各区间的中点值代表该区间的均值）
（2）现采用分层抽样的方式从前4组中选取18
人进行消费爱好调查，然后再从前2组选取的人中
随机选2人，求这2人都来自第2组的概率．
22．（12分）海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，因其外形仿照古代海盗船而得名．现有甲、乙两游乐场统计了一天6个时间点参与海盗船游玩的游客数量，具体数据如表：
（1）从所给6个时间点中任选一个，求参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少的概率； （2）记甲、乙两游乐场6个时间点参与海盗船游玩的游客数量分别为i x ，i y （123456=，，，，，i ），现从该6个时间点中任取2个，求恰有1个时间点满足>i i x y 的概率．
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ） 第二十一单元 统计、统计案例、概率
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】D
【解析】设2名男同学为1A ，2A ，3名女同学为1B ，2B ，3B ，从以上5名同学中任选2人总共有12A A ，11A B ，12A B ，13A B ，21A B ，22A B ，23A B ，12B B ，13B B ，23B B 共10种可能，选中的2人都是女同学
的情况共有12B B ，13B B ，23B B 共三种可能，则选中的2人都是女同学的概率为3
0.310
P ==，
故选D ． 2．【答案】B
【解析】由题意的，这组数据是：08，09，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32， 根据中位数的定义，可知其中位数为20，故选B ． 3．【答案】C
【解析】从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始由左到右依次选取两个数字，
列举出选出来编号在0049~的前4个个体的编号为33，16，20，38，所以选出来的第4个个体的编号为38，故选C ． 4．【答案】D
【解析】∵系统抽样是确定出第一个数据后等距抽取的，因此只有D 符合，故选D ． 5．【答案】B
【解析】由频率分别直方图可知：()0.0150.0300.0100.005101a a +++++⨯=， 解得0.020a =，所以在[]100,120之间的概率为()0.0300.020100.5P =+⨯=， 所以在[]100,120之间人数为500.525⨯=人，故选B ． 6．【答案】B
【解析】由题意，丙中型号在总体中占的比例为3003
20040030010010
=
+++， 根据分层抽样可得丙种型号的产品中抽取3
601810
⨯=，故选B ． 7．【答案】A
【解析】∵2
2
1686838-204211.377888011058
K ⨯⨯⨯=≈⨯⨯⨯（）
，且11.377 6.635＞．
∴有99%的把握认为看电视与人变冷漠有关系，故选A ． 8．【答案】C
【解析】由题意，根据表格中的数据可知：1234535x ++++=
=，55668
65
y ++++==，
即样本中心为()3,6，代入回归直线0.6ˆˆy x a =+，解得ˆ 4.2a =，即0.6.2ˆ4y x =+令6x =， 解得0.6647.8ˆ.2y
=⨯+=万盒，故选C ． 9．【答案】C
【解析】根据古典概型的概率计算，设白球为A ，蓝球为B ，红球为CC ，则不同的排列情况为ABCC ，ACBC ，ACCB ，BACC ，BCAC ，BCCA ，CABC ，CACB ，CBCA ，CBAC ，CCAB ，CCBA 共
12种情况，其中红球在中间的有ACCB ，BCCA 两种情况，所以红球都在中间的概率为21126
=， 所以中间两个小球不都是红球的概率为15
166
-=，故选C ． 10．【答案】A
【解析】221x y +<发生的概率为21144
π
π⋅⋅
=，在这n 个样本点中，满足220a b rand +=的样本点的个数为m ，当n 足够大时，可估算圆周率π的近似值为，4m n π=，即4m
n
π=
，故选A ． 11．【答案】D
【解析】频率分布折线图表示的是某一个范围的频率，故A ，B ，C 选项是错误的，对于D 选项，60—80的人数为()500.0180.041029⨯+⨯=，故选D ． 12．【答案】C
【解析】∵1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，方差是2s
1+2+n +2
223s s =，故选C ．
二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】100
【解析】由题意得，三等品的长度在区间[)10,15，[)15,20和[]35,40内， 根据频率分布直方图可得三等品的频率为()0.01250.02500.012550.25++⨯=， ∴样本中三等品的件数为4000.25100⨯=． 14．【答案】9
【解析】根据上表的数据， 根据平均数的公式可得：3456755x ++++=
=，23451455c c
y +++++==
， 把()x y ，代入回归直线方程，得140.9550.155
c
+=⨯-，解得9c =． 15．【答案】5%
【解析】
参照附表，可得：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”．故答案为5%． 16．【答案】36
【解析】600601000
=S ，所以36=S ． 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；
（2）（i ）{}A B ，，{}A C ，，{}A D ，，{}A E ，，{}A F ，，{}A G ，，{}B C ，，{}B D ，，{}B E ，，{}B F ，，{}B G ，，{}C D ，，{}C E ，，{}C F ，，{}C G ，，{}D E ，，{}D F ，，{}D G ，，{}E F ，，
{}E G ，，{}F G ，；（ii ）521
P M =（）． 【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（2）（i ）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{}A B ，，{}A C ，，{}A D ，，{}A E ，，{}A F ，，{}A G ，，{}B C ，，{}B D ，，{}B E ，，{}B F ，，{}B G ，，{}C D ，，{}C E ，，{}C F ，，{}C G ，，{}D E ，，{}D F ，，{}D G ，，{}E F ，，{}E G ，，{}F G ，，共21种．
（ii ）由（1），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{}A B ，，{}A C ，，{}B C ，，{}D E ，，{}F G ，，共5种．
所以，事件M 发生的概率为521
P M =（）． 18．【答案】（1）见解析；（2）0.48；（3）()
347.45m ．
【解析】（1）
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为
0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48．
（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850
=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550
=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ． 估计使用节水龙头后，一年可节省水()()
30.480.3536547.45m -⨯=．
19．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）能，见解析．
【解析】（1）第二种生产方式的效率更高．理由如下：
（i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高． （iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．
（iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
（2）由茎叶图知7981802+=
=m ． 列联表如下：
（3）由于()
224015155510 6.63520202020K ⨯
-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
20．【答案】（1）1046ˆy t =
+；（2）预测该商城8月份的销售额为126万元．
【解析】（1
所求回归方程为1046ˆy
t =+． （2）由（1）知，ˆ100b =>，故前7个月该淘宝商城月销售量逐月增加，平均每月增加10万．将8t =，
代入（1）中的回归方程，108ˆ46126y
=⨯+=． 故预测该商城8月份的销售额为126万元．
21．【答案】（1）0.752万元，0.76万元；（2）27． 【解析】（1）根据频率分布直方图可知，所求平均数约为
0.550.150.650.200.750.250.850.300.950.08 1.050.020.752⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）
， 设所求中位数为x 万元，由()()1.5 2.00.10.7 2.50.5x +⨯+-⨯=，解得0.76x =，所以该100名会员上半年的消费金额的平均数，中位数分别为0.752万元，0.76万元． （2）由题意可知，前4组分别应抽取3人，4人，5人，6人，
在前2组所选取的人中，第一组的记为x ，y ，z ，第二组的记为a ，b ，c ，d ，所有情况有(),x y ，(),x z ，(),x a ，(),x b ，(),x c ，(),x d ，(),y z ，(),y a ，(),y b ，(),y c ，(),y d ，(),z a ，(),z b ，(),z c ，
(),z d ，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共21种．其中这2人都是来自第二组的情况
有(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共6种，故这2 22．【答案】（1）13；（2）815． 【解析】（1）事件“参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少”的情况有8点、10点两个时间点，一共有6个时间点，所以所求概率为2163
==P ． （2）依题意，i i x y >有4个时间点，记为A ，B ，C ，D ；i i x y <有2个时间点，记为a ，b ；
故从6个时间点中任取2个，所有的基本事件为()A B ，，()A C ，，()A D ，，()A a ，，()A b ，，()B C ，，()B D ，，()A B ，，()B b ，，()C D ，，()C a ，，()C b ，，()D a ，，()D b ，，()a b ，共15种， 其中满足条件的为()A a ，，()A b ，，()A B ，，()B b ，，()C a ，，()C b ，，()D a ，，()D b ，共8种，故所求概率815P =．。