第3章 3.2.2、3.2.3

第3章 3.2.2、3.2.3
设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)·(a＋2i)
＝(2a＋2)＋(4－a)i，
因为z1·z2∈R，
所以a＝4.
所以z2＝4＋2i.
【答案】4＋2i
教材整理2复数的除法法则
阅读教材P95～P96，完成下列问题．
1．已知z＝a＋b i，如果存在一个复数z′，使z·z′＝________，则z′叫
做z的__________，记作__________，则1
z＝__________且
1
z＝__________.
2．复数的除法法则
设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(c＋d i≠0)，
z1 z2＝a＋b i
c＋d i
＝________________________.
【答案】 1.1倒数1
z
a
a2＋b2
－
b
a2＋b2
i
z
|z|2
2.ac＋bd
c2＋d2
＋
bc－ad
c2＋d2
i
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
复数代数形式的乘法运算
(1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋b i互为共轭复数，
则(a ＋b i)2＝( )
A ．5－4i
B ．5＋4i
C ．3－4i
D ．3＋4i
(2)复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( )
A ．－2－3i
B ．－2＋3i
C ．2－3i
D ．2＋3i
(3)i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________.
【自主解答】 (1)由题意知a －i ＝2－b i ，∴a ＝2，b ＝1，∴(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.
(2)∵z ＝(3－2i)i ＝3i －2i 2＝2＋3i.
∴z ＝2－3i.故选C.
(3)(3＋i)(1－2i)＝3－6i ＋i －2i 2＝5－5i.
【答案】 (1)D (2)C (3)5－5i
1．两个复数代数形式乘法的一般方法
首先按多项式的乘法展开；再将i 2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2(a ，b ∈R)；
(2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)；
(3)(1±i)2＝±2i.
[再练一题]
1．若|z 1|＝5，z 2＝3＋4i ，且z 1·z 2是纯虚数，则z 1＝________.
【解析】 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则|z 1|＝a 2＋b 2＝5，即a 2＋b 2＝25， z 1·z 2＝(a ＋b i)·(3＋4i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i.
∵z 1·z 2是纯虚数．
∴⎩⎨⎧ 3a －4b ＝0，
3b ＋4a ≠0，
a 2＋
b 2＝25，解得⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎨⎧
a ＝－4，
b ＝－3.
∴z 1＝4＋3i 或z 1＝－4－3i.
【答案】 4＋3i 或－4－3i 复数代数形式的除法运算
(1＋i )3
(1－i )2
＝( ) A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i (2)i 是虚数单位，复数7＋i 3＋4i
＝( ) A ．1－i
B ．－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257
i 【自主解答】 (1)法一：(1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )(1＋i )2－2i ＝(1＋i )(1＋i 2＋2i )－2i
＝－2＋2i －2i
＝1－i i ＝－1－i.故选D. 法二：(1＋i )3(1－i )2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋i 1－i 2(1＋i)＝i 2(1＋i)＝－(1＋i)． (2)7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )
＝25－25i 25＝1－i ，故选A. 【答案】 (1)D (2)A
1．两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)首先将除式写为分式；
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)1i ＝－i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i
＝－i. [再练一题]
2．(1)满足z ＋i z ＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( )
A.12＋12i
B.12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12
i (2)若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )
【导学号：05410072】
A ．1
B ．2 C. 2 D. 3
【解析】 (1)∵z ＋i z ＝i ，∴z ＋i ＝z i ，∴i ＝z (i －1)．
∴z ＝i i －1＝i (－1－i )(－1＋i )(－1－i )
＝1－i 2＝12－12i. (2)∵z (1＋i)＝2i ，∴z ＝2i 1＋i
＝2i (1－i )2＝1＋i ， ∴|z |＝12＋12＝ 2.
【答案】 (1)B (2)C
[探究共研型]
i n 的周期性及应用
探究1 i 5与i 是否相等？
【提示】 i 5＝i 4·i ＝i ，相等．
探究2 i ＋i 2＋i 3＋i 4的值为多少？
【提示】 i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0.
计算i 1＋i 2＋i 3＋…＋i 2 016.
【精彩点拨】 本题中需求多个i n 和的值，求解时可考虑利用等比数列求和公式及i n 的周期性化简；也可利用i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N)化简．
【自主解答】 法一：
原式＝i (1－i 2 016)1－i ＝i[1－(i 2)1 008]1－i ＝i (1－1)1－i
＝0. 法二：∵i 1＋i 2＋i 3＋i 4＝0，
∴i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N)，
∴i 1＋i 2＋i 3＋…＋i 2019，
＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝0.
虚数单位i的周期性：
(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)．
(2)i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)．
[再练一题]
3．计算：1＋i
1－i ·
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1＋i
1－i
2·
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1＋i
1－i
3·…·
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1＋i
1－i
10.
【解】∵1＋i
1－i
＝i，
∴原式＝i·i2·i3·…·i10＝i1＋2＋3＋…＋10＝i55＝i3
＝－i.
[构建·体系]
1．已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝()
A．－3＋i B．－1＋3i
C．－3＋3i D．－1＋i
【解析】按照复数乘法运算法则，直接运算即可．(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.
【答案】 B
2．在复平面内，复数z＝
2i
1＋i
(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】z＝
2i
1＋i
＝
2i(1－i)
(1＋i)(1－i)
＝1＋i的共轭复数为1－i，对应的点为(1，
－1)，在第四象限．【答案】 D
3．若
2
1－i
＝a＋b i(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.
【解析】因为
2
1－i
＝
2(1＋i)
(1－i)(1＋i)
＝1＋i，所以1＋i＝a＋b i，所以a＝1，b
＝1，所以a＋b＝2.
【答案】 2
4．设z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2
为纯虚数，则实数a 的值为________. 【导学号：05410073】
【解析】 设z 1z 2
＝b i(b ∈R 且b ≠0)，所以z 1＝b i·z 2，即a ＋2i ＝b i(3－4i)＝4b ＋3b i ，所以⎩⎨⎧ a ＝4b ，
2＝3b ，所以a ＝83.
【答案】 83
5．计算：
(1)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3
2i (1＋i)；(2)2
＋3i
3－2i ；
(3)(2－i)2.
【解】 (1)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2＋3
2i (1＋i)
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1
2＋3＋12i (1＋i) ＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3
＋1
2i 2
＝－1＋3i.
法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12＋32i
＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12＋32i
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3
2i
＝－1＋3i. (2)2＋3i
3－2i ＝(2＋3i )(3＋2i )
(3－2i )(3＋2i )
＝(2＋3i)(3＋2i)
(3)2＋(2)2
＝6＋2i＋3i－6
5
＝5i
5＝i.
(3)(2－i)2＝(2－i)(2－i) ＝4－4i＋i2＝3－4i.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)。