北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》4.5相似三角形判定定理的证明同步练习及答案

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相似三角形判定定理的证明（典型题）
知识点 1 证明相似三角形判定定理
图4－5－1
1．如图4－5－1，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝2，则DE BC
的值为( )
2．如图4－5－2，在▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ∶FC ＝( )
A ．1∶4
B ．1∶3
C ．2∶3
D ．1∶2
4－5－2
4－5－3
3．如图4－5－3，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，则DE 的长为( )
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
4．用相似三角形的定义证明平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
知识点 2 相似三角形判定的综合应用
5．如图4－5－4，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC 的延长线上找到一点A，测得AC＝5 m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于点B，测得AB＝6 m，则池塘的宽DE为( )
A．25 m B．30 m C．36 m D．40 m
4－5－4
4－5－5
6．如图4－5－5，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙脚 m，梯上点D距墙 m，BD长m，该梯子的长是________．
7．如图4－5－6所示，已知AD⊥BD，AE⊥BE，求证：AD·BC＝AC·BE.
图4－5－6
8．如图4－5－7，在正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.
(1)求证：△ABM∽△EFA；
222
(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
图4－5－7
9．如图4－5－8，△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥BC，EF∥CD，那么一定有( )
A．DE2＝AD·AE B．AD2＝AF·AB
C．AE2＝AF·AD D．AD2＝AE·AC
4－5－8
4－5－9
10．如图4－5－9，在边长为9的等边三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为________．
11．如图4－5－10，已知AB∶AD＝BC∶DE＝AC∶AE，请猜想∠ABD与∠ACE的关系，并说明理由．
333
图4－5－10
12．教材习题第3题变式题如图4－5－11，在△ABC中，AC＝BC，点E，F在直线AB 上，∠ECF＝∠A.
(1)如图4－5－11①，点E，F在AB上时，求证：AC2＝AF·BE；
(2)如图4－5－11②，点E，F在AB及其延长线上，∠A＝60°，AB＝4，BE＝3，求BF 的长．
图4－5－11
13．如图4－5－12，已知AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，问：在DB上是否存在点P，使得△PCD与△PAB相似？如果存在，请求出PD的长；如果不存在，请说明理由．
图4－5－12
444
555
14．如图4－5－13，已知直线l 的函数表达式为y ＝－4
3x ＋8，且l 与x 轴、y 轴分别
交于A ，B 两点，动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，同时动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，设点Q ，P 移动的时间为t 秒．
(1)求点A ，B 的坐标；
(2)当t 为何值时，以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？
(3)求出(2)中当以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似时线段PQ 的长度．
图4－5－13
666
详解
1．B
3．C [解析] 由DE ∥BC 可得出∠ADE ＝∠B ，结合∠ADE ＝∠EFC 可得出∠B ＝∠EFC ，进而可得出BD ∥EF ，结合DE ∥BC 可证出四边形BDEF 为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出DE ＝BF ，由DE ∥BC 可得出△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的性质可得出BC ＝8
5DE ，
再根据CF ＝BC －BF ＝3
5
DE ＝6，所以DE ＝10.
4．解：已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，并分别交AB ，AC 于点D ，E . 求证：△ADE 与△ABC 相似． 证明：∵DE ∥BC ，
∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C . 过点D 作DF ∥AC 交BC 于点F ， 又∵DE ∥BC ，
∴四边形DFCE 是平行四边形， ∴DE ＝FC ， ∴FC BC ＝DE BC ＝
AD
AB ，
∴AD AB ＝AE AC ＝
DE
BC
.
而∠A ＝∠A ，∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ， ∴△ADE ∽△ABC . 5．C. 6． m
777
7．证明：∵AD ⊥BD ，AE ⊥BE ， ∴∠ADC ＝90°，∠BEC ＝90°. 在△ACD 和△BCE 中，
∵∠ACD ＝∠BCE ，∠ADC ＝∠BEC ， ∴△ACD ∽△BCE ，∴AD BE ＝AC BC
， ∴AD ·BC ＝AC ·BE .
8．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B ＝90°，AD ∥BC ， ∴∠AMB ＝∠EAF .
又∵EF ⊥AM ，∴∠AFE ＝90°， ∴∠B ＝∠AFE ，∴△ABM ∽△EFA . (2)∵∠B ＝90°，AB ＝12，BM ＝5， ∴AM ＝122
＋52
＝13，AD ＝AB ＝12. ∵F 是AM 的中点，∴AF ＝1
2AM ＝.
∵△ABM ∽△EFA ，∴BM FA ＝AM EA
， 即错误!＝错误!，∴EA ＝， ∴DE ＝EA －AD ＝. 9．B 10．7.
11．解：∠ABD ＝∠ACE .理由如下： ∵AB ∶AD ＝BC ∶DE ＝AC ∶AE ， ∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE ，
888
∴∠BAD ＝∠CAE . 又∵AB ∶AD ＝AC ∶AE ， 即AB ∶AC ＝AD ∶AE ，
∴△BAD ∽△CAE ，∴∠ABD ＝∠ACE . 12．解：(1)证明：∵AC ＝BC ， ∴∠A ＝∠B .
∵∠BEC ＝∠ACE ＋∠A ，∠ACF ＝∠ACE ＋∠ECF ，∠ECF ＝∠A ， ∴∠ACF ＝∠BEC ，
∴△ACF ∽△BEC ，∴AC BE ＝AF BC
， ∴AC 2
＝AF ·BE .
(2)∵∠A ＝60°，AC ＝BC ， ∴△ABC 是等边三角形，
∴∠A ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°＝∠ECF ， ∴∠ACE ＝∠FCB .
又∵∠ECB ＝∠ACB －∠ACE ，∠F ＝∠ABC －∠FCB ，∴∠ECB ＝∠F . 又∵∠ABC ＝∠A ， ∴△ACF ∽△BEC ，
∴AC BE ＝AF BC ，∴AF ＝163
， ∴BF ＝AF －AB ＝43.
13．解：存在．
①若△PCD ∽△APB ，则CD PB ＝
PD AB ，即414－PD ＝PD
6，解得PD ＝2或PD ＝12；
②若△PCD ∽△PAB ，则CD AB ＝
PD PB ，即46＝PD
14－PD
，解得PD ＝.
∴当PD 的长为2或12或时，△PCD 与△PAB 相似．
999
14．解：(1)在y ＝－4
3x ＋8中，
当x ＝0时，y ＝8； 当y ＝0时，x ＝6.
故点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(0，8)．
(2)在△AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝6，OB ＝8，由勾股定理，得AB ＝10. 由题意易知BQ ＝2t ，AQ ＝10－2t ，AP ＝t . 在△AOB 和△AQP 中，∠BAO ＝∠PAQ ， 第一种情况：
当AQ AB ＝AP AO
时，△APQ ∽△AOB ， 即
10－2t 10＝t 6，解得t ＝30
11
； 第二种情况：
当AQ AO ＝AP AB
时，△AQP ∽△AOB ， 即
10－2t 6＝t 10，解得t ＝50
13
. 故当t 为3011或50
13时，以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似．
(3)∵以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似， ∴当t ＝3011时，PQ 8＝30
116，解得PQ ＝40
11；
当t ＝5013时，PQ 8＝501310，解得PQ ＝4013
.
故当以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似时，线段PQ 的长度是4011或4013
.
相似三角形判定定理的证明
101010
一、选择题
1.下列语句正确的是( )
A .在 △ABC 和△A ′
B ′
C ′中,∠B =∠B ′=90°,∠A =30°,∠C ′=60°,则⊿ABC 和
⊿A ′B ′C ′不相似;
B .在⊿AB
C 和⊿A ′B ′C ′中,AB =5,BC =7,AC =8,A ′C ′=16,B ′C ′=14,A ′B ′=10,则
⊿ABC ∽⊿A ′B ′C ′;
C .两个全等三角形不一定相似;
D .所有的菱形都相似
2.如图，在正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，且
AC AD ＝3
1
，AE ＝BE ，则有（ ）A .△AED ∽△BED B .△AED ∽△CBD C .△AED ∽△ABD D .△BAD ∽△BCD
( 3题 ) (4题)
3．已知：如图，∠ADE ＝∠ACD ＝∠ABC ，图中相似三角形共有（ ） 对 对 对 对
4.三角形三边之比为3:5:7,与它相似的三角形的最长边为21cm ,则其余两边之和为( )
5.可以判定∆ABC ∽'''C B A ∆，的条件是 （ ）
A .∠A =∠'C =∠'
B B .
'
''
'C A B A AC AB =，且∠A =∠'C
111111
C .'
'''C A AC B A AB 且∠A =∠'B D .以上条件都不对 二、填空题
6. 已知一个三角形三边长是6cm ，，9cm ，另一个三角形的三边是8cm ，10cm ，12cm ，则这
两个三角形 （填相似或不相似）
7. 如图，平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，且AM =9，BD =12，AD =10，则该平行四边形
的面积是_____________
8.四边形ABCD ∽四边形A ,B ,C ,
D , ∠A =70度，∠B ,=108度，∠C ,
=92度 则∠D =_______
9.在平行四边形ABCD 中，AB =10，AD =6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使⊿CBF ∽⊿CDE ，
则BF 的长为________
三、计算题
10.已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点．
求证：⊿ADQ ∽⊿QCP ．
11. ⊿ABC中,AD、CE是中线, ∠BAD=∠BCE,请猜想⊿ABC的形状,并证明.
A
E
D C
B
121212
参考答案
一、选择题
二、填空题
6.相似8.∠D=900
三、10.证明（主要步骤）有正方形性质及已知得PC=BC=CD，DQ=CD，即：DQ:PC=2:1 QC:AD=2:1 加上直角相等可证相似。

11.等腰三角形。

131313。