2019_2020学年高中数学第1章数列2.2等差数列的前n项和教案北师大版必修5

2.2 等差数列的前n 项和
等差数列的前n 项和公式
阅读教材P 15～P 16“例7”以上部分，完成下列问题： (1)等差数列的前n 项和公式
对于公差为d 的等差数列，
S n ＝a 1＋(a 1＋d )＋(
a 1＋2d )＋…＋[a 1＋(n －1)d ]，① S n ＝a n ＋(a n －d )＋(a n －2d )＋…＋[a n －(n －1)d ]，②
由①＋②得
2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 1＋a n )＋…＋(a 1＋a n )
n 个
＝n (a 1＋a n )，
由此得等差数列前n 项和公式
S n ＝n (a 1＋a n )
2
，
代入通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 得
S n ＝na 1＋n (n －1)2
d .
(3)等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系
将等差数列前n 项和公式S n ＝na 1＋
n (n －1)2
d 整理成关于n 的函数可得S n ＝d 2
n 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 1－d 2n .
思考：(1)等差数列的前n 项和一定是n 的二次函数吗？
[提示] 不一定，当公差d ≠0时，前n 项和是n 的二次函数，当公差d ＝0时，前n 项和是n 的一次函数，它们的常数项都为0.
(2)求等差数列的前n 项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n 项和公式？ [提示] 求等差数列的前n 项和时，若已知首项、末项和项数，则选用第一个公式；若已知首项、公差和项数，则选用第二个公式．
1．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝－2，则前n 项和S 10＝( ) A ．－20 B ．－40 C ．－60
D ．－80
D [由公式S n ＝na 1＋
n (n －1)
2×d 得S 10＝10×1＋10×9
2
×(－2)＝－80.]
2．S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝________.
n (n ＋1)
2
[由题知等差数列的首项a 1＝1，末项a n ＝n .由前n 项和公式得S n ＝
n (n ＋1)
2
.]
3．已知等差数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝8，则S 17＝________. 85 [S 17＝1
2
×17×(2＋8)＝85.]
4．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，S 8＝64，则d ＝________. 2 [S 8＝8×1＋1
2
×8×7×d ＝64，解得d ＝2.]
n (1)已知a 3＝16，S 20＝20.求S 10；
(2)已知a 1＝32，d ＝－1
2
，S n ＝－15，求n 及a 12；
(3)已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝80，S n ＝210，求项数n .
[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则有⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 1＋2d ＝16，20a 1＋20(20－1)
2d ＝20，解得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝20，d ＝－2.所以S 10＝10×20＋10×9×(－2)
2
＝200－90＝110.
(2)因为S n ＝n ·32＋n (n －1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12＝－15，
整理得n 2
－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， 所以a 12＝32＋(12－1)×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－4. (3)因为a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝80， 所以4(a 1＋a n )＝40＋80，即a 1＋a n ＝30. 又因为S n ＝(a 1＋a n )n
2＝210，
所以n ＝2×210
a 1＋a n
＝14.
等差数列中基本量计算的两个技巧
(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝
n (a 1＋a n )
2
结合使用．
1．等差数列中：
(1)a 1＝105，a n ＝994，d ＝7，求S n ； (2)a n ＝8n ＋2，d ＝8，求S 20； (3)d ＝1
3
，n ＝37，S n ＝629，求a 1及a n .
[解] (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 且a 1＝105，d ＝7， 得994＝105＋(n －1)×7，解得n ＝128， ∴S n ＝
n (a 1＋a n )2
＝
128×(105＋994)
2
＝70 336.
(2)∵a n ＝8n ＋2，∴a 1＝10，又d ＝8，
∴S 20＝20a 1＋20×(20－1)
2×8＝20×10＋10×19×8＝1 720.
(3)将d ＝1
3
，n ＝37，S n ＝629代入a n ＝a 1＋(n －1)d ，
S n ＝
n (a 1＋a n )
2
，得⎩
⎪⎨⎪
⎧
a n ＝a 1＋12，37·(a 1＋a n )
2＝629，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝11，a n ＝23.
在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
[解] 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a 1，a 2，…，a 25.由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24，公差d ＝－1
3
.
25辆翻斗车完成的工作量为：a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．
应用等差数列解决实际问题的一般思路
2．(1)甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m ，则甲、乙开始运动后________分钟相遇．
(2)为了参加5 000 m 长跑比赛，李强给自己制订了10天的训练计划；第1天跑5 000 m ，以后每天比前一天多跑400 m ，李强10天一共跑了多少m?
(1)7 [设n 分钟后相遇，依题意，有2n ＋
n (n －1)
2
＋5n ＝70，
整理得n 2
＋13n －140＝0.解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)．所以相遇是在开始运动后7分钟．] (2)[解] 将李强每一天跑的路程记为数列{a n }，由题意知，{a n }是等差数列，则a 1＝5 000 m ，公差d ＝400 m.
所以S 10＝10a 1＋10×(10－1)2d ，
＝10×5 000＋45×400＝68 000(m)， 故李强10天一共跑了68 000 m.
( )
A ．130
B ．170
C ．210
D ．260
(2)已知数列{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5
b 5
＝
________.
(1)C (2)5
3 [(1)利用等差数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列．
所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)， 即30＋(S 9－100)＝2(100－30)， 解得S 9＝210.
(2)由等差数列的性质，知
a 5
b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92
＝
a 1＋a 9
2×9
b 1＋b 9
2
×9
＝
S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53.]
巧妙应用等差数列前n 项和的性质 (1)“片段和”性质．
若{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…构成公差为n 2
d 的等差数列．
(2)项数(下标)的“等和”性质．
S n ＝n (a 1＋a n )2
＝n (a m ＋a n －m ＋1)2
.
(3)项的个数的“奇偶”性质． {a n }为等差数列，公差为d .
①若共有2n 项，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)；
S 偶－S 奇＝nd ；S 偶S 奇＝a n ＋1a n
.
②若共有2n ＋1项，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；S 偶－S 奇＝－a n ＋1；S 偶S 奇＝n n ＋1
. (4)等差数列{a n }中，若S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )， 则S m ＋n ＝－(m ＋n )．
(5)等差数列{a n }中，若S n ＝S m (m ≠n )，则S m ＋n ＝0.
3．(1)在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值为( ) A ．9 B ．12 C ．16
D ．17
(2)等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 的前10项和为________．
(1)A (2)75 [(1)由等差数列的性质知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，…也构成等差数列，不妨设为{b n }，且b 1＝S 4＝1，b 2＝S 8－S 4＝3，于是求得b 3＝5，b 4＝7，b 5＝9，即a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝
b 5＝9.
(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3， 所以S n ＝
n (3＋2n ＋1)
2
＝n 2
＋2n ，
所以S n
n
＝n ＋2，
所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 的前10项和为3×10＋10×92×1
＝75.]
1．(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
－4n ，求S n 的最小值； (2)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
－3n ，求S n 的最小值．
[提示] (1)S n ＝n 2
－4n ＝(n －2)2－4，所以当n ＝2时，S n 的最小值为－4.
(2)S n ＝n 2
－3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －322－94
，因为n ∈N ＋，所以当n ＝2或n ＝1时，S n 的最小值为S 2＝S 1
＝－2.
2．(1)在等差数列{a n }中，若a 5＞0，a 6＜0，则其前多少项的和最大？
(2)在等差数列{a n }中，若a 5＜0，a 6＝0，其前n 项和有最大值还是有最小值？并表示出这个最大值或最小值．
[提示] (1)前5项的和S 5最大．
(2)因为a 5＜0，a 6＝0，故其公差d ＞0，所以前n 项和有最小值，其最小值为S 5＝S 6. 3．在等差数列{a n }中，若d ＜0，S 10＝0，则其前多少项的和最大？
[提示] S 10＝1
2
×10×(a 1＋a 10)＝5(a 1＋a 10)＝0，故a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝0，因为d ＜0，所以
a 5＞0，a 6＜0，所以S 5最大．
【例4】 在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值．
思路探究：(1)直接根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列关于首项a 1和公差d 的方程，求得a 1和d ，进而得解；
(2)可先求出前n 项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解．
[解] (1)由题意得⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 1＋9d ＝18，5a 1＋5×4
2×d ＝－15，
得a 1＝－9，d ＝3，∴a n ＝3n －12. (2)法一：S n ＝
n (a 1＋a n )2
＝1
2
(3n 2
－21n )
＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478，
∴当n ＝3或4时，
前n 项的和取得最小值S 3＝S 4＝－18.
法二：设S n 最小，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
a n ≤0，
a n ＋1≥0，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
3n －12≤0，
3(n ＋1)－12≥0，解得3≤n ≤4，
又n ∈N ＋，∴当n ＝3或4时，前n 项和的最小值S 3＝S 4＝－18.
1．(变条件)把例4中的条件“S 15＝－15”改为“S 5＝125”，其余不变，则数列{a n }的前
n 项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值．
[解] S 5＝12×5×(a 1＋a 5)＝1
2×5×2a 3＝5a 3＝125，故a 3＝25，a 10－a 3＝7d ，即d ＝－1＜0，
故S n 有最大值，
a n ＝a 3＋(n －3)d ＝28－n .
设S n 最大，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
a n ≥0，
a n ＋1≤0，解得27≤n ≤28，即S 27和S 28最大，又a 1＝27，故S 27＝S 28＝378.
2．(变结论)在例4中，根据第(2)题的结果，若S n ＝0，求n .
[解] 法一：因为S 3＝S 4＝－18为S n 的最小值，由二次函数的图像可知，其对称轴为x ＝7
2，所以当x ＝0或x ＝7时，图像与x 轴的交点为(0,0)，(7,0)，又n ∈N ＋，所以S 7＝0，所以n ＝7.
法二：因为S 3＝S 4，所以a 4＝S 4－S 3＝0，故S 7＝1
2
×7×(a 1＋a 7)＝7a 4＝0，所以n ＝7.
等差数列前n 项和的最值问题的三种解法
(1)利用a n ：当a 1＞0，d ＜0时，前n 项和有最大值，可由a n ≥0且a n ＋1≤0，求得n 的值；当a 1＜0，d ＞0，前n 项和有最小值，可由a n ≤0且a n ＋1≥0，求得n 的值．
(2)利用S n ：由S n ＝d
2n 2
＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫
a 1－d 2n (d ≠0)，利用二次函数配方法求取得最值时n 的值．
(3)利用二次函数的图像的对称性．
1．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．
在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a 1及末项a n ，用公式S n ＝n (a 1＋a n )
2
较好，若已
知首项a 1及公差d ，用公式S n ＝na 1＋
n (n －1)
2
d 较好．
2．数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
S 1，n ＝1，
S n －S n －1，n ≥2.
3．求等差数列前n 项和的最值
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N ＋，结合二次函数图像的对称性来确定n 的值，更加直观．
(2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩
⎪⎨
⎪⎧
a n ≥0，
a n ＋1<0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩
⎪⎨
⎪⎧
a n ≤0，
a n ＋1>0时，
S n 取得最小值．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n 项和公式求和．( ) (2)数列{n 2
}可以用等差数列的前n 项和公式求其前n 项和．( )
(3)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2
＋2n ＋1，则数列{a n }一定不是等差数列．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)不正确，不管公差是不是零，都可应用公式求和；(2)不正确，因为数列{n 2
}不是等差数列，故不能用等差数列的前n 项和公式求和；(3)正确．
2．在等差数列{a n }中，若S 10＝120，则a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36
D ．48
B [S 10＝1
2×10×(a 1＋a 10)＝5(a 1＋a 10)＝120，故a 1＋a 10＝24.]
3．在等差数列{a n }中，S 10＝120，且在这10项中，
S 奇S 偶＝11
13
，则公差d ＝________. 2 [由⎩⎪⎨⎪
⎧
S 奇＋S 偶＝120，S 奇S 偶＝11
13
，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
S 奇＝55，
S 偶＝65，所以S 偶－S 奇＝5d ＝10，所以d ＝2.]
4．在等差数列{a n }中，
(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10； (2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n . [解] (1)由已知条件得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58，a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝3，d ＝4，
S 10＝10a 1＋
10×9
2
×d ＝10×3＋45×4＝210. (2)S 7＝7(a 1＋a 7)
2＝7a 4＝42，所以a 4＝6.
所以S n ＝
n (a 1＋a n )2
＝
n (a 4＋a n －3)2
＝
n (6＋45)
2
＝510，
所以n ＝20.。