3.4_一元一次方程的应用-等积变形问题

5.已知5台A型机器一天的产品装满8箱后还剩4 个,7台B型机器一天的产品装满11箱后还剩1个, 每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品,求每 箱有多少个产品.
请你来试一试: 6.某车间有28名工人,生产一种螺栓和螺 帽,平均每人每小时能生产螺栓12个或螺 帽18个,两个螺栓要配三个螺帽,应分配多 少人生产螺栓,多少人生产螺帽,才能使生 产的螺栓和螺帽刚好配套? 7.某服装厂要生产某种型号的学生校服, 已知3m长的某种布料可做上衣2件或裤 子3条,一件上衣和一条裤子为一套,库内 存这种布料600m,应如何分配布料做上衣 和做裤子才能恰好配套?
分析:设前年这个学校购买计算机x台
2x 那么,去年购买计算机_________台
今年购买计算机_________台 4x 根据问题中的相等关系:
前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台 可列得方程: x+2x+4x=140 ____________________________
解:设前年这个学校购买计算机x台,那么,去年购买计 算机2xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,今年购买计算机4x台,根据题意: x+2x+4x=140 解得:x=20 答:前年这个学校购买计算机20台 请您想一想?
一 创设情境 导入课题
要想求出某个同学的体积是多少？你怎么测量呢？
形状改变，
体积不变。
R h
你还能举出相类似的事例吗？ （古代：曹冲称象）
钢铁工人正在锻造车间工作
二 合作交流，探究新知， 用 决 程 方 解 问 题 小明想用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.
（1）使得这个长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽 各为多少米？
由于这批书的总数是一个定值,表示它的两个 式子应相等,根据问题的相等关系,可列得方程 3x+20=4x-25 _______________________
解:设这个班有x名学生,根据题意,得: 3x+20=4x-25 解得:x=45 答:这个班有45名学生
请您再想一想? 在这个问题中的基本 等量关系有什么特征?
在这个问题中的基本 等量关系有什么特征?
相等关系:总量=各部分量的和
某班学生分两组参加植树活动，甲组有17人， 乙组有25人，后来由于需要，又从甲组抽调了部 分同学去乙组，结果乙组人数是甲组的2倍。问从 甲组抽调了多少人去乙组？
分析： 设从甲组抽调了x人去乙组。 甲组
三 应用迁移巩固提高 用 方 程 决 题 解 问 怎样调配劳动力
80
300 300
三、根据等量关系列 出方程；
精讲
例题
200
分
析
思考4：如何解这个方程？ x
•（200/2)2 • x = 300×300×80
化简的3.14x=720，故x≈230。
80
四、解方程，求出未 知数的值；
300 300
精讲
例题
200
分
析
答：略。 x
80
300 300
五、检验求得的值 是否正确和符合实 际情形，并写出答 案.
拓展延伸 扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的 侧面展开图如图所示.如果长方体盒子的长 比宽多4cm，求这种药品包装盒的体积.
14cm
高
13cm
宽 长
练一练:
3.有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共104
条，龟、鹤各有几只？
4.有一群鸽子和一些鸽笼,如果每个鸽笼住6只鸽 子,则剩余3只鸽子无鸽笼可住;如果再飞来5只鸽 子,连同原来的鸽子,每个鸽笼刚好住8只鸽子.原 有多少鸽子和多少鸽笼?
0.52 x 0.32 ×0.5 （_________) r2h
解：设水面将升高x米, 根据题意得
0.52 x = 0.32 ×0.5 方程为：___________________ x =0.18 解这个方程：__________
容器内水面将升高0.18m。 答：______________________
例 如图，用直径为200
毫米的圆钢，锻造一个
x 长、宽、高分别为300 毫米、300毫米和80毫
米的长方体毛坯底板，
应截取圆钢多少（圆柱 的体积公式：体积 = 底面积 高线长.计算 时取3.14.要求结果误 差不超过1毫米）？
80 300
300
精讲
例题
200
分
析
思考1：题目中有哪些已知 量和未知量？它们之间有什么关
系？如何设未知数？
x 已知：圆钢直径（200mm）、 长方体毛胚的长宽高（300mm、
80
300 300
300mm、80mm） 一、分析题意，找出 未知：圆钢的高 等量关系，分析题中 相等关系： 数量及其关系，用字 圆钢体积=长方体毛胚的体积 母（例如x）,表示问 设未知数： 设应截取圆钢x毫米。 题里的未知数；
x
x+1.4
解：设此时长方形的宽为x米， 则它的长为（x+1.4）米， 根据题意，得 x+x+1.4=10÷2
2x=3.6
x=1.8 长方形的长为1.8+1.4=3.2 ∴长方形的长为3.2米，宽为1.8米
用一根长为10米的铁丝围成一个长方形。
(2)使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽 各为多少米？它所围成的长方形与（1）中所围成的长方 形相比、面积有什么变化？ 解：设此时长方形的宽为x米， 则它的长为（x+0.8）米， 根据题意，得 x+x+0.8=10÷2 2x=4.2 x=2.1 长方形的长2.1+0.8＝2.9
义务教育课程标准实验教科书
七年级上册






教学目标：1. 继续体验方程是刻画现实世界的 有效的数学模型 2.掌握等积变形，调配问题中常见的数量关系， 进一步掌握分析数关系，并列出方程的方法。 3.会用列表法分析应用题中的数量关系。 重点与难点：1.本节教学的重点是掌握等积变 形，调配问题中常见的数量关系，并列出方程 的方法。 教学的难点 2.例4的情境和数量关系较为复杂，是本节
米的长方体毛坯底板，
应截取圆钢多少（圆柱 的体积公式：体积 = 底面积 高线长.计算 时取3.14.要求结果误 差不超过1毫米）？
•（200/2)2 • x = 300×300×80
四、解方程求出未知数的值，即解这个 方程得： 3.14 x =720 x 230
五、检验求得的值是否正确和符合实际 情形，并写出答案：应截取圆钢的长为 230毫米.
精讲
例题
200
分
析
思考2：如何用字母（未知 数x）表示圆钢的体积？ x
圆钢的体积 =（200/2)2 x 立方毫米.
80
300 300
二、用含未知数x的 一次式表示有关的量；
精讲
例题
200
分
析
思考3：如何根据等量关系 “圆钢体积=长方体毛胚的体积” 列出方程？ 根据等量关系列出方程，得：
x
•（200/2)2 • x = 300×300×80
程
解
决
问 题
2.已知一圆柱形容器底面半径为0.5m,高线长为1.5m,里面盛 有1m深的水，将底面半径为0.3m，高线长为0.5m的圆柱形铁 块沉入水中，问容器内水面将升高多少?
5dm 1. 5m
3dm
0. 5m
分析： 根据以上演示我们知道了它们的等量关系： 水位上升部分的体积=小圆柱形铁块的体积 圆柱形体积公式是_______, 水升高后的体积 小铁块的体积 （__________）
大声读我们的课堂口号：
挑战自我 留心处处皆学问 细心题题有发现 专心路路有收获 恒心步步登高峰
•温故而知新
说说列方程解应用题的一半步骤：
列一元一次方程解应用题的一般步骤：
1审：分析题意，找出等量关系，分析题中数量及 其关系，用字母（例如x）,表示问题里的未知数. 2设：用字母的一次式表示有关的量. 3建模：根据等量关系列出方程. 4求解：解方程，求出未知数的值. 5作答 ：检验求得的值是否正确和符合实际情形， 并写出答案.

5厘米 36厘米 × 52×36

10厘米 X厘米 × 102 × x
根据等量关系，列出方程： × 52×36 × 102 × =


三 应用迁移巩固提高 用 方 程 决 题 先请您试一试: 怎样调配劳动力 解 问
例1:某校三年共购买计算机140台,去年购买数量是前 年的2倍,今年购买数量又是去年的2倍.前年这个学 校购买了多少台计算机?
巩固
延伸
用
方
程
解
决
问 题
1、如图一个铁片长30cm,宽20cm，打算从四个角各 截去一个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的 铁盒，铁盒的底面周长为60cm,问铁盒的高是多少？
xcm
x
20cm
30-2x
20-2x 30-2x
20-2x
相等关系： 铁盒的底面周长=60cm
30cm
用 巩固 延伸
方
原有人数 抽调后人数
17 25 （17-x)
乙组
(25+x)
等量关系式：抽调后甲组人数的2倍=抽调后的乙组人数
方程： 2(17-x) = 25+x
用
方
程
解
决
问 题
1在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在 调20人去支援，使甲处人数是乙处人数的2倍，应调 往甲、乙两处各多少人？
变式2： 全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐 10个同学， 如果增加一条船，每条船正好坐好8个同学，问这个 班有多少同学？
相等关系:表示同一个量的两个不同的式子相等
例4一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成， 如果1立方米木料可以做方桌的桌面50个 或做桌腿300条，现有5立方米木料，那 么用多少立方米木料做桌面、多少立方 米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰 好配成方桌？能配成多少方桌？
分析：本题的配套关系是：桌面：桌腿 =1：4，即一个桌面需要4个桌腿. 解：设用x立方米做桌面，(5-x)立方米做 桌腿，则可做桌面50x个，做桌腿300(5x)条.根据题意，得 4×50x=300(5-x), 解得x=3,5-x=2 所以用3立方米做桌面，2立方米做桌腿， 恰能配成方桌.共可做150张方桌.
3.14 x=720 x 230 答：应截取圆钢的长为230毫米 .
将一个底面直径是10厘米,高为36厘米的“瘦 长”形圆柱锻压成底面直径为20厘米的“矮 胖”形圆柱，高变成了多少？ 等量关系： 锻压前的体积=锻压后的体积
解：设锻压后圆柱的高为X厘米，填写下表：
锻压前 底面半径 高
锻压后
体 积
X+0. 8 2
X
∴长方形的长为2.9米，宽为2.1米，S=2.9×2.1＝6.09米 ， （1）中的长方形围成的面积：3.2×1.8＝5.76米2 比（1）中面积增大6..09－5.76＝0.33米2
用一根长为10米的铁丝围成一个长方形。
(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方 形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面 积与（2）中相比又有什么变化？ 解：设此时正方形的边长为x米，根据题意，得 同样长的铁丝围 x=2.5 成怎样的四边形面 积最大呢？ 正方形的边长为2.5米， S=2.5×2.5＝6.25 米2 比（2）中面积增大6.25－6.09＝0.16 米2 x+x=10÷2
精讲
例题
例 如图，用直径为200
毫米的圆钢，锻造一个
长、宽、高分别为300 毫米、300毫米和80毫 应截取圆钢多少（圆柱 的体积公式：体积 = 底面积 高线长.计算 时取3.14.要求结果误 差不超过1毫米）？ 解：设应截取的圆钢长为x 毫米， 根据题意得：
米的长方体毛坯底板， •（200/2)2 • x = 300 × 300 × 80
再请您试一试:
例2:把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本, 则剩余20本;如果每人分4本,则还缺25本.这个班有 多少学生?
分析:设这个班有x名学生,那么: 每人分3本,共分出3x本,加上剩余20本,这批书 3x+20 共________本 每人分4本,需要___本,减去缺的25本,这批书 4x 共________本 4x-25
精讲
例题
一、分析题意，找出等量关系 ：
圆钢体积 = 长方体毛坯体积， 设应截取圆钢长为x毫米
例 如图，用直径为200
毫米的圆钢，锻造一个
长、宽、高分别为300 毫米、300毫米和80毫
二、用字母的一次式表示有关的量：是 指圆钢的体积是 （200/2)2 x立方毫 米 . 三、根据等量关系列出方程，得：
X
面积：1.8 × 3.2=5.76
面积： 2.9 ×2.1=6.09
正 方 形
时 四 边 形 面 积 最 大
围 成
面积： 2.5 × 2.5 =6. 25
小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一个 菜地，使长比宽大4米，问小明要帮他爸 爸围成的菜地的长和宽各是多少呢？
墙面
x
X+4 铁线
精讲
例题
200