河南省洛阳市示范高中2012届高三下学期联考测试文科数学试题

洛阳市示范高中联考文科数学试题
测试数学（文）试题
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.集合{}3,2a
M =，{},N a b =，若{}2M N ⋂=，则M N ⋃=（ ）
A ．{}0,1,2 Ｂ．{}0,1,3 C
．
{}0,2,3
D ．{}1,2,3
2．已知
212z
i i
=-+(z 是z 的共轭复数),则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限
3．若3sin 5
α=，α是第二象限的角，则2) (4cos =⎪⎭
⎫
⎝
⎛-πα
A
B
C
D
4.下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是 ( )
A 3y x = B
1
y x =+ C 21y x =-+
D
2
x
y -=
5.已知等比数列}{n
a 的公比为正数，且3
a ·9
a =225
a ，2
a =1，则1
a = （ ）
A. 2
1 B 。

2
2
C. 2 D 。

2
6．已知a ,b 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面,下列命题中正确的是（ ）
A.//a b ，//b α，则//a α
B. a ,b α⊂,//a β,//b β，则//αβ C 。

a α⊥，//
b α，则a b ⊥
D 。

当a α⊂,且b α⊄时,若b ∥
α，则a ∥b
7．函数y ＝cos2x 的图像可以看作由y ＝
2
cos2x ＋sinxcosx 的图像
（ ）得到．
A ．向左平移12
π个单位长度 B ．向右平移12
π个单位长
度
C ．向左平移6
π单位长度
D ．向右平移6
π单位长度
8.已知x 是函数f （x)=2x + 1
1x
-的一个零点。

若1
x ∈(1，0
x ），2
x ∈（0
x ，
+∞），则
A ．f （1
x )＜0，f （2
x )＜0
B ． f （1
x ）＜0，f （2
x )＞0
C ． f （1
x )＞0，f （2
x )＜0
D ． f （1
x ）＞0，f （2
x )＞0
9．若4
ln ,3ln 2ln ,46ln 22π
=•==c b a ，则a,b,c 的大小关系是 （ ） A a 〉b>c B c>a 〉b C c 〉b 〉a D
a>c>b
10.已知双曲线
22221(0,0)x y a b a b
-=>>的左顶点与抛物线2
2(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2,-1）,则双曲线的焦距为（ )
A 。

B. C 。

D 。

11．设函数f(x ）=e x (sinx-cosx ） (0≦x ≦2012π）,则函数f （x)的各极
小值之和为（ ）
A (
)πππ22012211e e e ---
B
(
)π
ππe e e ---
1110062 C
(
)π
ππ21006211e e e ---
D
(
)
π
ππ22010211e e e ---
12．定义()()
max{,}a a b a b b a b
≥⎧⎪=⎨
<⎪⎩
，已知实数y x ,满足1,1≤≤y x ,设{}max ,2z x y x y =+-，则z 的取值范围是 （ ） A ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-2,23 B
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,23 C
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡3,23
D
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-3,23
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分．
13.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为32，它
的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是_______。

14.ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且CB CA AB OA O AC AB OA •==++则2
等于_________
15．下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图,已知图甲中从左向右第一组的频数为4000
．
在
样
本
中
记
月
收
入
在
[)1000,1500,[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000),[3000,3500),[3500,4000]的人数依次为1A 、
2A 、……、6A ．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数
的算法流程图,图乙输出的S = ．（用数字作答）16．对于大于1的自然数m 的三次幂可以用技术进行以下方式的“分
裂”:333
13
73152,39,4,517
1119
⎧⎧⎪⎧⎪⎪===⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩……仿此，若3m 的“分裂数"中有一个是59，
则m= ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17（本小题满分12分）
已知等差数列{}n
a 中，1
5
2433,14,a a
a a ⋅=+=n S 为数列{}n a 的前n 项和.
（1)求数列{}n
a 的通项公式；
（2） 若数列{}n
a 的公差为正数,数列{}n
b 满足1
n
n
b
S =
, 求数列{}n
b 的前
n 项和n T .
18。

（本小题满分12分）
有A 、B 、C 、D 、E 五位工人参加技能竞赛培训．现分别从A 、B 二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．用茎叶图表示这两组数据如下：
（Ⅰ) 现要从A 、B 中选派一人参加技能竞赛,从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适?请说明理由；
（Ⅱ) 若从参加培训的5位工人中选2人参加技能竞赛，求A 、B 二人中至少有
一人参加技能竞赛的概率．
19．（本题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，
四边形ABCD 为正方形，PA ＝AB ＝4, G 为PD 中点，E 点在AB 上，平面PEC ⊥平
面PDC 。

（Ⅰ）求证：AG ⊥平面PCD ； (Ⅱ）求证：AG ∥平面PEC ； (Ⅲ）求点G 到平面PEC 的距离.
20.（本小题满分12分）
如图，在△ABC 中，|AB ｜=｜AC|=27,|BC|=2，以B 、C 为焦点的椭圆恰好过AC 的中点P 。

（Ⅰ)求椭圆的标准方程；
（Ⅱ） 过椭圆的右顶点作直线l 与圆E ：（x-1）2+y 2=2相交于M 、
N 两点，试探究点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1∶3的两段弧吗？若能，求出直线l 的方程；
若不能，请说明理由.
P A
G D
C
B
E
21．（本小题满分12分）
已知()22(0)b f x ax a a x
=++->的图像在点(1,(1))f 处的切线与直线21
y x =+平行。

（1）求a ，b 满足的关系式；
（2）若()2ln )f x x ≥∞在[1,+上恒成立，求a 的取值范围；
请考生在第（22)、（23）、（24）三题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4-1；几何证明选讲
如图，在△ABC 中,0
90,B ∠=以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，
点E 为BC 的中点，连接DE 、AE, AE 交⊙O 于点
F
（Ⅰ) 求证:DE 是⊙O 的切线; （Ⅱ） 若⊙O 的直径为2，求
AD AC ⋅的值．
23。

（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆2cos ρθ=与直线4(3x t a t y t a =+⎧⎨
=--⎩，
．
为参数）相切，求实数a 的值。

E
B
A
24。

（本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x ）=lg ()m x x --++21.
（1）当m=5时，求函数f(x ）的定义域；
（2）若关于x 的不等式f(x ）≥1的解集为R ，求m 的取值范围。

2011--—2012学年度高三试题数学（文)答案
一、选择题:
DDABB CABAB DD
二、填空题:
32 13.
14. 3 15. 6000 16. 8
17解：（1）设{}n
a 的公差为d ,则1
1
11(4)33
314
a a d a d a d +=⎧⎨
+++=⎩
即211433027a ad a d ⎧+-=⎨+=⎩
解得1
3
2
a
d =⎧⎨
=⎩或111
2
a d =⎧⎨
=-⎩
因此3(1)221n
a
n n =+-⋅=+或11(1)(2)213n a n n =+-⋅-=-+ (6)
(2)当公差为正数时,23(1)2n
S
n n n n n =+-=+
2111111()(2)222n n b S n n n n n n =
===-+++ 111111111111
(1)232435
2112
n T n n n n n n ∴=
-+-+-++
-+-+---++2111135(1)22124(1)(2)
n n n
T n n n n +∴=+--=
++++ (12)
18。

解：（Ⅰ）派B 参加比较合适。

理由如下：
B
x ＝()95929085838079788
1+++++++=85，
A x ＝
()95929085838080758
1
+++++++=85，…2分
S 2B ＝8
1［（78-85）2+（79-85）2+(80—85）2+（83-85）2+（85-85）
2
+（90—85）2+（92—85)2+（95-85）2]=35.5
S 2A ＝8
1［(75—85）2+（80-85）2+（80—85）2+（83—85)2+（85-85)2+
（90—85）2+（92—85）2+（95—85)2］=41……4分
∵A
x ＝B
x ,S 2B ＞S 2A ，∴B 的成绩较稳定，派B 参加比较合适。

……
6分
（Ⅱ）任派两个（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ）,（B,C ）,(B ，D ），（B,E ）,（C,D ），（C ，E)，(D,E ）共10种情况;A 、B 两人都不参加（C ，D)，（C ，E)，（D ，E)有3种．…10分
至少有一个参加的对立事件是两个都不参加，所以P=1—103=107
．…
12分
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明:∵CD⊥AD，CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥AG,
又PD⊥AG
∴AG⊥平面
PCD …………4分
（Ⅱ）证明：作EF⊥PC于F,因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD ∴EF∥AG,又AG ⊄面PEC，EF ⊂面PEC，
∴AG∥平面PEC ………………7分
（Ⅲ)由AG∥平面PEC知A、G两点到平面PEC的距离相等
由（Ⅱ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD∴AE ∥平面PCD
∴AE∥GF，∴四边形AEFG为平行四边形，∴AE＝GF、
PA＝AB＝4，G为PD中点，FG1
2
CD
∴FG＝ 2 ∴AE＝FG＝2 ………………………9分
∴1116
(24)4
323
P AEC
V
-
=⋅⋅⋅=
又EF⊥PC,EF＝AG=
∴11
22
EPC
S PC EF
=⋅=⋅=
又
P AEC A PEC
V V
--
=,∴116
33
EPC
S h⋅=,即16
=,∴h=
∴G点到平面PEC的距离为
∥＝
263。

………………………12分 20。

解:（Ⅰ)∵|AB|=|AC ｜=27,|BC|=2，
∴｜BO|=|OC|=1，|OA|=
2
2|OC |-|AC |=
14
49
-=
253……2分
∴B(-1,0)，C(1，0)，A （0，2
53），∴P(2
1，4
5
3）
依椭圆的定义有:2a=｜PB ｜+｜PC|=
220)-4
53(1)21(+++47=49+4
7
=4,……4分
∴a=2，又c=1，∴b 2=a 2—c 2=3
∴椭圆的标准方程为3
42
2y x +
=1……6分
(求出点P 的坐标后,直接设椭圆的标准方程，将P 点的坐标代入即可求出椭圆方程，也可以给满分。

）
（Ⅱ）椭圆的右顶点A 1(2,0)，圆E 圆心为E （1，0）,半径
r=
2。

(7)
分
假设点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1∶3两段弧，则∠MEN=90°，……8分
圆心E(1，0)到直线l 的距离d=
2
2
r=1,当直线l 斜率不存在时,l
的方程为x=2,此时圆心E(1，0）到直线l 的距离d=1（符合），当直线l 斜率存在时，设l 的方程为y=k （x-2)，即kx —y-2k=0，∴圆心E
（1,0)到直线l 的距离d=1k |
k |2+=1，无解。

……10分
综上:点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1∶3的两段弧，此时l 方程为x=2.…12分
21。

解:()2b -a 2)1(' ' (1) 2
=∴=-=f x b a x f 由题意知 ………3分
()[)[)[) ...12.............................. 1a .....10.................... 1a 0 0)(a 2-a 1,-x 0g(1) ,22,1)(1012 1a 1)(1121a 12lnx f(x)0g(x) 0222)1()(1)(11a
2-a - 6................21)2(222)('ln 2222ln 2)()()2(min 2222分
综上所述分不合题意时，当上单调递增上单调递减，在在时即当符合题意
上单调递增
，在时即当符合题意
上恒成立
，在即上单调递增
，在时即当分设≥<<∴<⎪⎭
⎫⎢⎣⎡∈∴=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞--⎪⎭⎫⎢⎣⎡--<<>--
=∴∞+==-->∴∞+≥≥∴=-+-+==∞+><⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=---=---=--+-+
=-=x g a a a a x g a a
a x g a a
a a a a g x g x g a x
a a x x x a x ax x x a a x g x a x
a ax x x f x g
22. 证明:(Ⅰ)连接.OD OE 。

,.AO OB CE EB OE ==∴//12AC ,CAB EOB ADO DOE ∴∠=∠∠=∠ .OA OD CAB ADO =∴∠=∠则.DOE EOB ∠=∠
E
B A
又,OD OB OE =是公共边。

0.90DOE BOE EDO EBO ∴∆≅∆∴∠=∠= DE ∴是⊙O 的
切线
……５分 （Ⅱ) 连接BD ，显然BD 是Rt ABC ∆斜边上的高.
可得.ABD
ACB ∆∆所以AB AD AC AB =,即2,AB AD AC =⋅ 所
以4AD AC ⋅= ……10分
23.解：22cos ρ
ρθ=，圆ρ=2cos θ的普通方程为：22222,(1)1x y x x y +=-+=， 3
分 直线4(3x t a t y t a =+⎧⎨=--⎩，．
为参数)的普通方程为：340x y a ++=,………… 6分 又圆与直线相切，
1,=解得:2a =，或8a =-。

………… 10分
24。

解:（1）由题意知0521>--++x x
解之得 x<—2或x 〉3
()()∞+⋃∞∴，，的定义域为32--f(x) …………….5分
（2）由题意知1021≥--++m x x 恒成立 1021+≥-++m x x 恒成立
(]
7m -7m 3
10-∞-∴≤∴≤+，的取值范围是m ……………。

.10分。