2019-2020最新高中数学第1讲坐标系一平面直角坐标系练习新人教A选修4_4(1)
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9.平面直角坐标系中，在伸缩变换φ：作用下仍是其本身的点为________.
解析 设P(x，y)在伸缩变换φ：作用下得到P′(λx，μy).
依题意得其中λ>0，μ>0，λ≠1，μ≠1.∴x＝y＝0，即P(0，0)为所求.
答案 (0，0)
10.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则x2＋y2的最大值和最小值分别为________.
(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
解 (1)设曲线方程为y＝ax2＋.
因为D(8，0)在抛物线上，∴0＝a·82＋，
解得：a＝－.
∴曲线方程为y＝－x2＋.
(2)设变轨点为C(x，y).
根据题意可知
得4y2－7y－36＝0，
解得y＝4或y＝－(不合题意).
解析 x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
答案 7＋4；7－4
11.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.
A.25x2＋9y2＝0B.25x2＋9y2＝1
C.9x2＋25y2＝0D.9x2＋25y2＝1
解析 将伸缩变换代入x′2＋y′2＝0，得25x2＋9y2＝0，此即为曲线C的方程.
答案 A
2.平行四边形ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(－1，2)，(3，0)，(5，1)，则顶点D的坐标是( )
∴y＝4.得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去).
∴C点的坐标为(6，4).|AC|＝2，|BC|＝4.
所以当观测点A、B测得离航天器的距离分别为2、4时，应向航天器发出变轨指令.
A.(9，－1)B.(－3，1)
C.(1，3)D.(2，2)
解析 设D(x，y)，则由题意，得＝，即(4，－2)＝(5－x，1－y)，∴即D(1，3).
答案 C
3.已知四边形ABCD的顶点分别为A(－1，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(－1，1)，四边形ABCD在伸缩变换(a>0)的作用下变成正方形，则a的值为( )
A.B.2
C.3D.
解析 对照伸缩变换公式φ：由y＝sin x得到y′＝sin ωx′故，即.
∴＝，∴ω＝3.
答案 C
5.若点P(－20xx，20xx)经过伸缩变换后的点在曲线x′y′＝k上，则k＝________.
解析 ∵P(－2 016，2 017)经过伸缩变换得
代入x′y′＝k，得k＝x′y′＝－1.
进行比较，得故从而伸缩变换为
二、能力提升
8.在平面直角坐标系中，方程3x－2y＋1＝0所对应的直线经过伸缩变换后的直线方程为( )
A.3x′－4y′＋1＝0B.3x′＋y′－1＝0
C.9x′－y′＋1＝0D.x′－4y′＋1＝0
解析 由伸缩变换得代入方程3x－2y＋1＝0有9x′－y′＋1＝0.
答案 C
三、探究与创新
13.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＋＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8，0)，观测点A(4，0)，B(6，0)同时跟踪航天器.
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
——教学资料参考参考范本——
2019-2020最新高中数学第1讲坐标系一平面直角坐标系练习新人教A选修4_4(1)
______年______月______日
____________________部门
一、基础达标
1.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2＋y′2＝0，则曲线C的方程为( )
A.1B.2
C.D.
解析 如图，由矩形ABCD变为正方形A′B′C′D′，已知y′＝y，
∴边长为1，∴AB长由2缩为原来的一半，∴x′＝x，∴a＝.
答案 C
4.已知f1(x)＝sin x，f2(x)＝sin ωx(ω>0)，f2(x)的图象可以看作把f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的(纵坐标不变)而得到的，则ω为( )
(1)5x＋2y＝0；
(2)x2＋y2＝2.
解 (1)由伸缩变换得
将其代入5x＋2y＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′＋3y′＝0.
所以经过伸缩变换后，直线5x＋2y＝0变成直线5x′＋3y′＝0.
(2)将代入x2＋y2＝2，得到经过伸缩变换后的图形的方程是＋＝2，即＋＝1.
所以经过伸缩变换后，圆x2＋y2＝/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处.求城市B处于危险区内的时间.
解 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40，0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区.台风中心移动的轨迹为直线y＝x，与圆B相交于点M，N，点B到直线y＝x的距离d＝＝20.求得|MN|＝2＝20(km)，故＝1，所以城市B处于危险区的时间为1 h.
答案 －1
6.可以将椭圆＋＝1变为圆x2＋y2＝4的伸缩变换为________.
解析 将椭圆方程＋＝1，化为＋＝4，
∴＋＝4.令
得x′2＋y′2＝4，即x2＋y2＝4.
∴伸缩变换为所求.
答案
7.在同一平面直角坐标系中，求将曲线x2－2y2－3x＝0变成曲线x′2－8y′2－12x′＝0的伸缩变换.
解 令伸缩变换为将其代入x′2－8y′2－12x′＝0得λ2x2－8μ2y2－12λx＝0，与x2－2y2－3x＝0.
解析 设P(x，y)在伸缩变换φ：作用下得到P′(λx，μy).
依题意得其中λ>0，μ>0，λ≠1，μ≠1.∴x＝y＝0，即P(0，0)为所求.
答案 (0，0)
10.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则x2＋y2的最大值和最小值分别为________.
(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
解 (1)设曲线方程为y＝ax2＋.
因为D(8，0)在抛物线上，∴0＝a·82＋，
解得：a＝－.
∴曲线方程为y＝－x2＋.
(2)设变轨点为C(x，y).
根据题意可知
得4y2－7y－36＝0，
解得y＝4或y＝－(不合题意).
解析 x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
答案 7＋4；7－4
11.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.
A.25x2＋9y2＝0B.25x2＋9y2＝1
C.9x2＋25y2＝0D.9x2＋25y2＝1
解析 将伸缩变换代入x′2＋y′2＝0，得25x2＋9y2＝0，此即为曲线C的方程.
答案 A
2.平行四边形ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(－1，2)，(3，0)，(5，1)，则顶点D的坐标是( )
∴y＝4.得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去).
∴C点的坐标为(6，4).|AC|＝2，|BC|＝4.
所以当观测点A、B测得离航天器的距离分别为2、4时，应向航天器发出变轨指令.
A.(9，－1)B.(－3，1)
C.(1，3)D.(2，2)
解析 设D(x，y)，则由题意，得＝，即(4，－2)＝(5－x，1－y)，∴即D(1，3).
答案 C
3.已知四边形ABCD的顶点分别为A(－1，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(－1，1)，四边形ABCD在伸缩变换(a>0)的作用下变成正方形，则a的值为( )
A.B.2
C.3D.
解析 对照伸缩变换公式φ：由y＝sin x得到y′＝sin ωx′故，即.
∴＝，∴ω＝3.
答案 C
5.若点P(－20xx，20xx)经过伸缩变换后的点在曲线x′y′＝k上，则k＝________.
解析 ∵P(－2 016，2 017)经过伸缩变换得
代入x′y′＝k，得k＝x′y′＝－1.
进行比较，得故从而伸缩变换为
二、能力提升
8.在平面直角坐标系中，方程3x－2y＋1＝0所对应的直线经过伸缩变换后的直线方程为( )
A.3x′－4y′＋1＝0B.3x′＋y′－1＝0
C.9x′－y′＋1＝0D.x′－4y′＋1＝0
解析 由伸缩变换得代入方程3x－2y＋1＝0有9x′－y′＋1＝0.
答案 C
三、探究与创新
13.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＋＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8，0)，观测点A(4，0)，B(6，0)同时跟踪航天器.
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
——教学资料参考参考范本——
2019-2020最新高中数学第1讲坐标系一平面直角坐标系练习新人教A选修4_4(1)
______年______月______日
____________________部门
一、基础达标
1.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2＋y′2＝0，则曲线C的方程为( )
A.1B.2
C.D.
解析 如图，由矩形ABCD变为正方形A′B′C′D′，已知y′＝y，
∴边长为1，∴AB长由2缩为原来的一半，∴x′＝x，∴a＝.
答案 C
4.已知f1(x)＝sin x，f2(x)＝sin ωx(ω>0)，f2(x)的图象可以看作把f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的(纵坐标不变)而得到的，则ω为( )
(1)5x＋2y＝0；
(2)x2＋y2＝2.
解 (1)由伸缩变换得
将其代入5x＋2y＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′＋3y′＝0.
所以经过伸缩变换后，直线5x＋2y＝0变成直线5x′＋3y′＝0.
(2)将代入x2＋y2＝2，得到经过伸缩变换后的图形的方程是＋＝2，即＋＝1.
所以经过伸缩变换后，圆x2＋y2＝/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处.求城市B处于危险区内的时间.
解 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40，0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区.台风中心移动的轨迹为直线y＝x，与圆B相交于点M，N，点B到直线y＝x的距离d＝＝20.求得|MN|＝2＝20(km)，故＝1，所以城市B处于危险区的时间为1 h.
答案 －1
6.可以将椭圆＋＝1变为圆x2＋y2＝4的伸缩变换为________.
解析 将椭圆方程＋＝1，化为＋＝4，
∴＋＝4.令
得x′2＋y′2＝4，即x2＋y2＝4.
∴伸缩变换为所求.
答案
7.在同一平面直角坐标系中，求将曲线x2－2y2－3x＝0变成曲线x′2－8y′2－12x′＝0的伸缩变换.
解 令伸缩变换为将其代入x′2－8y′2－12x′＝0得λ2x2－8μ2y2－12λx＝0，与x2－2y2－3x＝0.