2016年秋季新版湘教版八年级数学上学期2.5、全等三角形同步练习1

2．5 全等三角形
专题一 全等三角形的性质和判定
1．如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 交AC 的延长线于点F ，E 为垂足.则结论：①AD=BF ；②CF=CD ；③AC+CD=AB ；④BE=CF ；⑤BF=2BE 其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2. 如图，在等边△ABC 中，AD=BE=CF ，D 、E 、F 不是各边的中点，AE 、BF 、CD 分别交于P 、M 、H ，如果把三个三角形全等叫做一组全等三角形，那么图中全等三角形有（ ）
M
P H
A ．6组
B ．5组
C ．4组
D ．3组
3. 如图，点A 在DE 上，F 在AB 上，且AC=CE ，∠1=∠2=∠3，则DE 的长等于（ ）
A ．DC
B ．B
C C ．AB
D ．AC
4. 已知：如图AB=AC ，AD=AE ，BE 和CD 相交于G ．求证：AG 平分∠
BAC.
5.如图AB ∥DC ，AD ∥BC ，聪明的小老鼠哼哼和唧唧分别从B 站、D 站出发沿垂直于AC 的路径BE 、DF 去寻找奶酪, 假设AC 上堆满了奶酪,哼哼和唧唧的速度相同,问它俩谁最先 寻找到奶酪?为什么?
B
A E
F C D
专题二 构造全等三角形解决求边或角的问题
6.如图，过边长为3的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连接PQ 交边AC 于点D ，则DE 的长为（ ）
A ．
13 B ．32 C ．12
D ．不能确定 7.如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作C
E ⊥AB 于E ，并且AE=12 (AB+AD)，求∠ABC+∠ADC 的度数是___________．
8.如图，D 为等边△ABC 内一点，DA=DC ，P 为△ABC 外一点，CP=CA ，CD 平分∠BCP ，求∠P 的度数是___________．
9.如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA ．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．
10.已知△ABC为等边三角形，E为射线BA上一点，D为直线BC上一点，ED=EC．
（1）当点E在AB上，点D在CB的延长线上时（如图1），求证：AE+AC=CD；
（2）当点E在BA的延长线上，点D在BC上时（如图2），猜想AE、AC和CD的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上时（如图3），请直接写出AE、AC和CD的数量关系．
状元笔记
【知识要点】
1．全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．
2．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
3．全等三角形的判定：（1）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“SAS”．（2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“ASA”．（3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“AAS”．（4）三边分别相等的两个三角形全
等，简写为“SSS”．
【温馨提示】
1．正确理解“完全重合”，面积相等的两个三角形不一定全等，周长相等的两个三角形也不一定全等．
2．全等三角形中要注意边和角的对应．
3．全等三角形的判定条件中至少要有一边，没有判定方法“AAA”、“SSA”．
【方法技巧】
1．全等三角形中对应边或对应角，可以通过“大边对大角”、“小边对小角”、“大角对大边”、“小角对小边”，找出对应顶点，写在对应的位置上．
2．证明三角形全等需要三个条件，应用时要注意找准对应角．一般地，公共角、对顶角，同角的余角（或补角）都是相等的．解题时应注意挖掘题中的隐含条件．
3．判定两个三角形全等的常规思路可分为如下三大类：
第一类：已知两边
SAS
SSS
→
⎧
⎨
→
⎩
找夹角
找另一边
；第二类：已知两角
ASA
AAS
→
⎧
⎨
→
⎩
找夹边
找一角的对边
第三类：已知一边和一角：
AAS
ASA
AAS
→→
⎧
⎪
→
⎧
⎪
⎨⎪
→→
⎨
⎪
⎪
⎪→
⎩
⎩
边为角的对边找一角
找夹边的另一角
边为角的邻边找边的对角
找夹角的另一边SAS
4．证明三角形全等，从而证出对应边相等、对应角相等，成为今后证明边相等和角相等的最常用方法．
5．证明线段或角相等，当已知图形中不存在证题所需的全等三角形，我们需要添加辅助线，构造全等三角形，使欲证相等的线段或角转移位置，最终使问题得以解决．
参考答案：
1. D 解析：①②③⑤四项正确．
2. B 解析：△EBA≌△DAC≌△FCB（SAS）；△DBC≌△FAB≌△ECA（SAS）；△ADH≌△CFM ≌△BEP（ASA）；△BAP≌△ACH≌△CBM（SAS）；△DBM≌△FAP≌△ECH（AAS）．共5组．
3. C 解析：由∠1=∠3可得∠ACB=∠ECD，再根据∠2=∠3证得∠D=∠B，然后利用“角角边”定理证明△ABC≌△EDC，根据全等三角形对应边相等即可.
4.证明：因为AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，
所以△ABE≌△ACD，所以∠AEB=∠ADC，∠B=∠C.
又∠DGB=∠EGC,因AB-AD=AC-AE，
所以BD=CE,所以△DGB≌△EGC，所以DG=GE.
因为DG=GE，∠ADG=∠AEG，AD=AE，
所以△ADG≌△AEG，所以∠1=∠2，所以AG平分∠BAC.
5. 解：同时寻找到奶酪.
因为AB∥DC，AD∥BC，
所以∠CAD=∠ACB，∠ACD=∠CAB，
又AC=AC，所以△ACD≌△CAB，
所以AB=CD.又∠ACD=∠CAB，∠BEA=∠DFC，AB=CD，
所以△ABE≌△CDF，故BE=DF.
6. B 解析：过P作BC的平行线，交AC于M,则△APM也是等边三角形，在等边三角形APM中，PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE=EM,易证得△PMD≌△QCD，则DM=CD,此时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解．
7. 180°解析：延长AD过C作CF垂直AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF=CE．再
由条件AE=1
2
(AB+AD)可证BE=DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得∠ABC=∠CDF，所
以∠ABC+∠ADC=180°.
8. 30°解析：连接BD，已知△ABC是等边三角形，则AB=AC=BC，又AD=BD，易证△ABD ≌△CBD（SSS），可得∠ABD=∠CBD=30°；然后由△CDP≌△ADB（SAS），证得∠P=∠ABD=30°．
9.解：（1）在等腰直角△ABC中，
∵∠CAD=∠CBD=15o，
∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o，
∴BD=AD，∴△BDC≌△ADC，
∴∠DCA=∠DCB=45o．
由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o，
∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o，
∴∠BDM=∠EDC，
∴DE平分∠BDC.
（2）如图，连接MC，
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，
∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM=15°，∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB．
10.解：（1）证明：在CD上截取CF=AE，连接EF．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC．
∴BF=BE，△BEF为等边三角形．
∴∠EBD=∠EFC=120°．
又∵ED=EC，
∴∠D=∠ECF．
∴△EDB≌△ECF （AAS），
∴CF=BD．
∴AE=BD．
∵CD=BC+BD，BC=AC，
∴AE+AC=CD；
（2）在BC的延长线上截取CF=AE，连接EF．
同（1）的证明过程可得AE=BD．
∵CD=BC-BD，BC=AC，
∴AC-AE=CD；
（3）AE-AC=CD．
（在BC的延长线上截取CF=AE，连接EF．证明过程类似（2））．。