北师大版八年级数学上册-1.1-探索勾股定理
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我们的猜想如何验证？
探究新知
请想办法计算左边图形中A，B，C的面积.
SA=9
A
SC=18 C
B
SB=9
A
C
B
你用什么办法计算C的面积呢？
数格子
探究新知
还可以用什么办法计算C的面积呢？
验证法1
方法：可 把正方形C分 成两个全等的 等腰直角三角 形，可求得正 方形C的面积 为18.
C A
B
探究新知
a+b
大正方形A1BCD的面积可以表示为：
4× 2 ab+c2 或者 (a + b
)2
可得等式
4 × 1 ab+c2 =(a+b)2 2
探究新知
你能用右图验证勾股定理吗？
证明：∵S正方形ABCD =4
×
1 2
ab+c 2，
又∵S正方形ABCD =（a+b）2，
∴4 × 1 ab+c2 =（a+b）2. 2
还可以用什么办法计算C的面积呢？
验证法2
方法：可 把正方形C分成 四个全等的等 腰直角三角形， 可求得正方形C 的面积为18.
C A
B
探究新知
还可以用什么办法计算C的面积呢？
验证法3
方法：可在
正方形C外边圈
C
一个大正方形，
A
用大正方形的面
积减去4个直角
B
三角形的面积，
即可求得正方形
C的面积为18.
9米
12米
解：设旗杆折断前有x m，由勾股定理得： （x－9）2=122+92=225. 因为x－9>0，所以x－9=15，所以x=24.
探究新知 求面积
求出下列字母所代表的正方形的面积.
A B
正方形A面积为625
正方形B面Байду номын сангаас为144
探究新知
在直角三角形中，
已知一边和另两边
台风使得一个旗杆折断倒下，的关系，可以用方
表格中.
画 一b
c
画 a
a2
b2
c2
1
2
3
4
观察表格数据，你有什么发现？
你是否得到了a2+b2=c2的关系呢？
探究新知
活动2：请看下图，直角三角形三边的平方分别是 多少？ 它们满足猜想的数量关系吗？
C A
B
A
C
B
你是如何计算的？
探究新知
思考：在这幅图中，边长的平方如何刻画？
C A
B
A
C
B
用正方形A，B，C的面积刻画，就是证SA+SB=SC.
答：旗杆折断之前有36 m高.
复习导入
直角三角形的三边有怎样的关系？
在Rt△ABC中，若直角边长分别是a，b，斜边长是c，
则： a2 +b2 =c2
你是通过怎样的方法验证的？
测量、数格子等
怎样用科学的方 法去验证勾股定理的 正确性呢？
探究新知
如下图，分别以直角三角形的三条边为边长向外 作正方形，你能利用这幅图说明勾股定理的正确性吗？
1.1 探索勾股定理
情境导入
强大的台风使得一个旗杆在离地面9 m处折断倒下， 旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，请问旗杆折断之前 有多高？
怎么解答
9米
这道题呢？
12米
在直角三角形中，任意两条边确定了，另一边 确定吗？为什么？
探究新知
活动1：任画一个直角三角形，分别度量三条边， 把长度标在图形中，并计算三边的平方，把结果填在
答：估计总造价为900 000万元.
强化练习
1. 如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面 3 m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4 m 处.旗杆折断前有多高？
8m
强化练习
2.1876年，美国总统伽菲尔利德（用Ja面me积s A法bram Garfield）利用下图证明了勾股定进理行，证你明能利用它验
探究新知 议一议：
你是如何求出右 侧图形中每个正方形 的面积的？
你得到什么结论？
S=5 S=8 S=9
结论2：若锐角三角形中较长边长为c，较 短边长为a、b，则a2+b2>c2.
探究新知
如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发 展，该地区拟修建一条连接M,O,Q三城市的沿江高速公 路，已知沿江高速公路的建设成本为5 000万元/km， 该沿江高速公路的造价预计是多少？
敌方汽车的速度吗？ 解：由勾股定理，
得BC 2 =AB2 - AC 2 =5002 - 4002 =90 000，
温馨提示： 勾股定理 的应用前
即BC=300 m.汽车10 s行驶300 m，那么它1 h行驶提的是距在离直为：
300 × 3 600=10 80（0 m）=10（8 km /h）. 10
你是如何做的？ 与同伴交流.
探究新知
如下图，分别以直角三角形的三条边为边长向外 作正方形，你能利用这幅图说明勾股定理的正确性吗？
割
补
探究新知
活动1：小明的证明思路如下图，想一想：小明是
怎样对大正方形进行割补的？
D
A C
B
补
你能将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式 表示出来吗？
探究新知
b）2，
A
又∵S正方形ABCD =c2，
∴4 × 1 ab+（a b）2 =c2， 2
C B
∴2ab+a2 2ab+b2 =c2， ∴a2 +b2 =c2.
也验证了 勾股定理
探究新知
割补法是几何证明题中常用的方法，要注 意这种方法的应用.你还能用其他方法证明勾 股定理吗？
探究新知
例 我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦 察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红 外测距仪，测得汽车与他相距400 m，10 s后，汽车 与他相距500 m ，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
探究新知
在直角三角形中，已
知两边求第三边.
求出下列三角形中未知边的长度.
（1）
y （2）
6
x
8 解：（1）由勾股定理得：
5 13
（2）由勾股定理得：
x2=62+82=100.
y2=132－52=144.
因为x>0，所以x=10.
因为y>0，所以y=12.
探究新知
强大的台风使得一个旗杆在离地面9 m处折断倒 下，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，请问旗杆折断 前有多高？
勾2 +股2 =弦2 即 a2 +b2 =c2
探究新知 勾股定理：
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于 斜边的平方.
在Rt△ABC中，直角边分别是a，b，斜边
是c，则：a2 + b2 = c2
说明：勾股定理的应用条件是在直角三角形中； 勾股定理是刻画直角三角形三边平方的关系.
探究新知
勾股定理刻画了直角三角形三边的数量关 系，由“形”定“数”，有“数与形的第一定 理”的美称，体现了“数”与“形”的完美结 合，它能解决哪些问题呢？
探究新知
SA=9
A
SC=18
C
B
SB=9
SA+SB=SC
由以上计算A，B ， C三个图形的面积，我 们能得到什么结论？
a2+b2=c2
探究新知
以上的三角形具有特殊性，都是等腰直角 三角形，一般直角三角形是否有这个关系，你 还能验证吗？ B
C
A
探究新知
活动3：看下图，验证是否满足 a2 b2 c2 .
倒下部分长比未倒下部分长4 m，程求出另两边.
如图，旗杆顶部落在离旗杆底部
12 m处，旗杆折断之前有多高？
解：设未折断部分为x m，则折断部分为（x+4）m.
根据题意得 x2 + 122 = (x + 4)2,
整理得x2 + 144 = x2 + 8x + 16.
即：8x=128.解得x=16. ∴x+4=20（m），16+20=36（m）.
角三角形 中！
答：敌方汽车速度为108 km /h.
探究新知 议一议：
观察下图，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.
探究新知 议一议：
你是如何求出左 侧图形中每个正方形 的面积的？
你得到什么结论？
S=29 S=8
S=9
结论1：若钝角三角形中较长边长为c，较 短边长为a、b，则a2+b2<c2.
∴2ab+c2 =a2 +2ab+b2. ∴a2 +b2 =c2.
验证了勾 股定理
探究新知
A
D C
B
小正4 ×方12形aAb+B(CaD的b)面2 积或可者以表示为c：2
可得等式
1 4 × ab+(a
b)2 =c2
2
探究新知
你能用右图验证勾股定理吗？
D
证明：S正方形ABCD =4
×
1 2
ab+（a
证勾股定理吗？说一说这个方法和本节的探索方法
的联系.
证明：S梯形 =2
1 ×
2
ab+
1 2
c 2，
又S梯形 =
1（a+b）（a+b）= 2
1（a+b）2， 2
∴2
1 ×
ab+
1
c2=
1（a+b）2，
2 22
∴a2 +b2 =c2.
400 m 500 m
思考： 1.你能求出BC的 长吗？你用的是什么 方法？ 2.你能求出汽车的 速度吗？
探究新知
例 我方侦察员小王在距离东西向
公路400 m处侦察，发现一辆敌方汽车
在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪， 测得汽车与他相距400 m，10 s后，汽
400 m 500 m
车与他相距500 m ，你能帮小王计算
C A
B
C A
B
结论：SA+SB=SC 即：a2 +b2 =c2
探究新知
活动3：看下图，验证是否满足 a2 b2 c2 .
C A
B
C A
B
为什么 不用数 格子的 方法？
结论：SA+SB=SC 即：a2 +b2 =c2
探究新知
勾股定理刻画了直角三角形三边的平方关系，你能 用语言描述吗？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为 “勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 通过以上探索可以发现：
30 km 40 km 50 km
120 km
探究新知
该沿江高速公路的造价预计是多少？怎样求？
解：在Rt△MNO中，
根据勾股定理得
30 km
∴MN 2 +NO2 =MO2，
40 km
∴302 +402 =MO2，
50 km
∴MO=5（0 km）.
120 km
同理：OQ=130 km.
∴总造价为：（50+130）× 5 000=900 00（0 万元）.
探究新知
请想办法计算左边图形中A，B，C的面积.
SA=9
A
SC=18 C
B
SB=9
A
C
B
你用什么办法计算C的面积呢？
数格子
探究新知
还可以用什么办法计算C的面积呢？
验证法1
方法：可 把正方形C分 成两个全等的 等腰直角三角 形，可求得正 方形C的面积 为18.
C A
B
探究新知
a+b
大正方形A1BCD的面积可以表示为：
4× 2 ab+c2 或者 (a + b
)2
可得等式
4 × 1 ab+c2 =(a+b)2 2
探究新知
你能用右图验证勾股定理吗？
证明：∵S正方形ABCD =4
×
1 2
ab+c 2，
又∵S正方形ABCD =（a+b）2，
∴4 × 1 ab+c2 =（a+b）2. 2
还可以用什么办法计算C的面积呢？
验证法2
方法：可 把正方形C分成 四个全等的等 腰直角三角形， 可求得正方形C 的面积为18.
C A
B
探究新知
还可以用什么办法计算C的面积呢？
验证法3
方法：可在
正方形C外边圈
C
一个大正方形，
A
用大正方形的面
积减去4个直角
B
三角形的面积，
即可求得正方形
C的面积为18.
9米
12米
解：设旗杆折断前有x m，由勾股定理得： （x－9）2=122+92=225. 因为x－9>0，所以x－9=15，所以x=24.
探究新知 求面积
求出下列字母所代表的正方形的面积.
A B
正方形A面积为625
正方形B面Байду номын сангаас为144
探究新知
在直角三角形中，
已知一边和另两边
台风使得一个旗杆折断倒下，的关系，可以用方
表格中.
画 一b
c
画 a
a2
b2
c2
1
2
3
4
观察表格数据，你有什么发现？
你是否得到了a2+b2=c2的关系呢？
探究新知
活动2：请看下图，直角三角形三边的平方分别是 多少？ 它们满足猜想的数量关系吗？
C A
B
A
C
B
你是如何计算的？
探究新知
思考：在这幅图中，边长的平方如何刻画？
C A
B
A
C
B
用正方形A，B，C的面积刻画，就是证SA+SB=SC.
答：旗杆折断之前有36 m高.
复习导入
直角三角形的三边有怎样的关系？
在Rt△ABC中，若直角边长分别是a，b，斜边长是c，
则： a2 +b2 =c2
你是通过怎样的方法验证的？
测量、数格子等
怎样用科学的方 法去验证勾股定理的 正确性呢？
探究新知
如下图，分别以直角三角形的三条边为边长向外 作正方形，你能利用这幅图说明勾股定理的正确性吗？
1.1 探索勾股定理
情境导入
强大的台风使得一个旗杆在离地面9 m处折断倒下， 旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，请问旗杆折断之前 有多高？
怎么解答
9米
这道题呢？
12米
在直角三角形中，任意两条边确定了，另一边 确定吗？为什么？
探究新知
活动1：任画一个直角三角形，分别度量三条边， 把长度标在图形中，并计算三边的平方，把结果填在
答：估计总造价为900 000万元.
强化练习
1. 如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面 3 m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4 m 处.旗杆折断前有多高？
8m
强化练习
2.1876年，美国总统伽菲尔利德（用Ja面me积s A法bram Garfield）利用下图证明了勾股定进理行，证你明能利用它验
探究新知 议一议：
你是如何求出右 侧图形中每个正方形 的面积的？
你得到什么结论？
S=5 S=8 S=9
结论2：若锐角三角形中较长边长为c，较 短边长为a、b，则a2+b2>c2.
探究新知
如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发 展，该地区拟修建一条连接M,O,Q三城市的沿江高速公 路，已知沿江高速公路的建设成本为5 000万元/km， 该沿江高速公路的造价预计是多少？
敌方汽车的速度吗？ 解：由勾股定理，
得BC 2 =AB2 - AC 2 =5002 - 4002 =90 000，
温馨提示： 勾股定理 的应用前
即BC=300 m.汽车10 s行驶300 m，那么它1 h行驶提的是距在离直为：
300 × 3 600=10 80（0 m）=10（8 km /h）. 10
你是如何做的？ 与同伴交流.
探究新知
如下图，分别以直角三角形的三条边为边长向外 作正方形，你能利用这幅图说明勾股定理的正确性吗？
割
补
探究新知
活动1：小明的证明思路如下图，想一想：小明是
怎样对大正方形进行割补的？
D
A C
B
补
你能将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式 表示出来吗？
探究新知
b）2，
A
又∵S正方形ABCD =c2，
∴4 × 1 ab+（a b）2 =c2， 2
C B
∴2ab+a2 2ab+b2 =c2， ∴a2 +b2 =c2.
也验证了 勾股定理
探究新知
割补法是几何证明题中常用的方法，要注 意这种方法的应用.你还能用其他方法证明勾 股定理吗？
探究新知
例 我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦 察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红 外测距仪，测得汽车与他相距400 m，10 s后，汽车 与他相距500 m ，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
探究新知
在直角三角形中，已
知两边求第三边.
求出下列三角形中未知边的长度.
（1）
y （2）
6
x
8 解：（1）由勾股定理得：
5 13
（2）由勾股定理得：
x2=62+82=100.
y2=132－52=144.
因为x>0，所以x=10.
因为y>0，所以y=12.
探究新知
强大的台风使得一个旗杆在离地面9 m处折断倒 下，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，请问旗杆折断 前有多高？
勾2 +股2 =弦2 即 a2 +b2 =c2
探究新知 勾股定理：
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于 斜边的平方.
在Rt△ABC中，直角边分别是a，b，斜边
是c，则：a2 + b2 = c2
说明：勾股定理的应用条件是在直角三角形中； 勾股定理是刻画直角三角形三边平方的关系.
探究新知
勾股定理刻画了直角三角形三边的数量关 系，由“形”定“数”，有“数与形的第一定 理”的美称，体现了“数”与“形”的完美结 合，它能解决哪些问题呢？
探究新知
SA=9
A
SC=18
C
B
SB=9
SA+SB=SC
由以上计算A，B ， C三个图形的面积，我 们能得到什么结论？
a2+b2=c2
探究新知
以上的三角形具有特殊性，都是等腰直角 三角形，一般直角三角形是否有这个关系，你 还能验证吗？ B
C
A
探究新知
活动3：看下图，验证是否满足 a2 b2 c2 .
倒下部分长比未倒下部分长4 m，程求出另两边.
如图，旗杆顶部落在离旗杆底部
12 m处，旗杆折断之前有多高？
解：设未折断部分为x m，则折断部分为（x+4）m.
根据题意得 x2 + 122 = (x + 4)2,
整理得x2 + 144 = x2 + 8x + 16.
即：8x=128.解得x=16. ∴x+4=20（m），16+20=36（m）.
角三角形 中！
答：敌方汽车速度为108 km /h.
探究新知 议一议：
观察下图，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.
探究新知 议一议：
你是如何求出左 侧图形中每个正方形 的面积的？
你得到什么结论？
S=29 S=8
S=9
结论1：若钝角三角形中较长边长为c，较 短边长为a、b，则a2+b2<c2.
∴2ab+c2 =a2 +2ab+b2. ∴a2 +b2 =c2.
验证了勾 股定理
探究新知
A
D C
B
小正4 ×方12形aAb+B(CaD的b)面2 积或可者以表示为c：2
可得等式
1 4 × ab+(a
b)2 =c2
2
探究新知
你能用右图验证勾股定理吗？
D
证明：S正方形ABCD =4
×
1 2
ab+（a
证勾股定理吗？说一说这个方法和本节的探索方法
的联系.
证明：S梯形 =2
1 ×
2
ab+
1 2
c 2，
又S梯形 =
1（a+b）（a+b）= 2
1（a+b）2， 2
∴2
1 ×
ab+
1
c2=
1（a+b）2，
2 22
∴a2 +b2 =c2.
400 m 500 m
思考： 1.你能求出BC的 长吗？你用的是什么 方法？ 2.你能求出汽车的 速度吗？
探究新知
例 我方侦察员小王在距离东西向
公路400 m处侦察，发现一辆敌方汽车
在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪， 测得汽车与他相距400 m，10 s后，汽
400 m 500 m
车与他相距500 m ，你能帮小王计算
C A
B
C A
B
结论：SA+SB=SC 即：a2 +b2 =c2
探究新知
活动3：看下图，验证是否满足 a2 b2 c2 .
C A
B
C A
B
为什么 不用数 格子的 方法？
结论：SA+SB=SC 即：a2 +b2 =c2
探究新知
勾股定理刻画了直角三角形三边的平方关系，你能 用语言描述吗？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为 “勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 通过以上探索可以发现：
30 km 40 km 50 km
120 km
探究新知
该沿江高速公路的造价预计是多少？怎样求？
解：在Rt△MNO中，
根据勾股定理得
30 km
∴MN 2 +NO2 =MO2，
40 km
∴302 +402 =MO2，
50 km
∴MO=5（0 km）.
120 km
同理：OQ=130 km.
∴总造价为：（50+130）× 5 000=900 00（0 万元）.