121常数项级数 (2)

.1
2. n1
也收敛.
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性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
的和.
证注: 设:(1收)此敛性级质数说S明收敛u级n ,数若项按中某任一意规加律括加号括，弧既, 例如
不改变级数的收敛n性1，也不改变它的和.
则新(2级)若数一的个部级分数和加序括列号后收敛，则原级为数原敛级散数性部不分和
n1
n
lim
n
Sn
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定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前注n：项关和于无穷级数的定义是纯形式的，这里的
“+”与代数里的加号有区别，代数里的加法 只是对有限多项施行的.
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注意:
lim
n
un
0
并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级数
虽然
但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
调和级数发散很 慢，其一亿项的 部分和不超过20.
但
S2n Sn
1 1 1 1
n1 n 2 n3
2n
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
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Sn
1 1 2
1 23
1 34
n
1 (n 1)
1
1 2
1 2
1 3
1 3
14
1 n
n 11
1 1 1 ( n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
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二、无穷级数的基本性质
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当q 1 时,
Sn
a, 0,
级数变为a a a a ,
n 为奇数 n 为偶数
所以
lim
n
sn不存在，级数发散．
综上
aqn
n0
当 当
q q
1 时, 1 时,
收敛, 发散.
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1.等比级数的收敛性
aqn
n0
当 当
q q
1 时, 1 时,
收敛, 发散.
2.收敛等比级数的求和公式
n1
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(4)
记
un
n
1 ln n
e ,
ln(lnn n
)
因为 lim ln(ln x) lim 1 0,
n x
n x ln x
所以 lim ln(ln n) 0, n n
因
而
lim
n
un
lim e
ln(ln n
n
)
n
e0 1,
由于级数的一般项不趋于零,
所以级数
1 发散.
n 1
n 1
反之，给定数列{sn } , 就有以其为部分和数列的级数
s1 (s2 s1 ) (sn sn1 )
s1 (sn sn1) un ,
n2
n1 给出了由部分和数列确
其中u1 s1, un sn sn1 (n 2).
定该级数
un
的每一
项的公式.n1
由定义， un 与{sn}同时收敛或同时发散，
现在，我们来定义无穷级数.
数列： {un}
u1, u2 , u3,, un ,
考虑数列各项的和：
u1 u2 u3 un
无穷级数：
un u1 u2 u3
n1
un
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级数的例子：
n1
1 2n
1 2
11 48
1 2n
1 1 1 1 1 1
n1 n
第十二章
无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
付氏级数
无穷级数是研究函数的工具
表示函数 研究性质 数值计算
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第一节
第十二章
常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理
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一、常数项级数的概念
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k 1
这说明级数 (un vn ) 也收敛, 其和为 S .
n1
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说明:
(1)性质1、2结合起来可写成：
设有两个收敛级数 S un , vn 则级数
n1
n1
( un vn ) (, 为任意常数）也收敛,其和为 S .
n1
(2) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
n1
的部分和为
n
n uk l Skn Sk
l 1
注：一个级数是否收敛，极取限决状于况按相照同一, 定故规新律旧无两休级
数敛止散地性给相出同的. 那些项是怎样的，而不是取决于前面的
有限多项是什么.如级数
1当类 级似12 数可收证 敛2前n1时面1 ,加其上收和敛或的,改关变1系有5为限7项2的13S情况Sk
等比级数的和=
首项 1 公比
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例２ 判定无穷级数 22n31n 的收敛性.
n0
解
因为
un 22n31n
4
4 3
n1
,
已知级数为等比级数，
aqn
n0
当 当
q q
1 时, 收敛, 1 时, 发散.
公比q 4 , 因为| q | 1, 3
由等比级数的敛散性， 所以原级数发散.
例4.判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
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例5 判别下列级数的收敛性,如果收敛,求出它的和:
(1)
n;
n1 (n 1)!
(2)
n1
a
a
b
n
a
b
b
n
,
a,
b
R
;
(3) n 2 2 n 1 n;
n1
(4)
n2
(3)由于un n 2 2 n 1 n
( n 2 n 1) ( n 1 n), 因此 sn ( 3 2) ( 2 1) ( 4 3) ( 3 2)
( n 2 n 1) ( n 1 n)
1 2 n2 n1
1 2
1
,
n2 n1
lim
n
sn
1
2,
故级数 n 2 2 n 1 n收敛, 其和为1 2.
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三、级数收敛的必要条件
设收敛级数
则必有
证: un Sn Sn1
lim un lim Sn lim Sn1 S S 0
n
n
n
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
注例：如级, 数的一般项不趋于0 , 是判定级数发其散一的般项为 一种常用方法 .
不趋于0, 因此这个级数发散.
n1
n
在收敛时，有
un
n1
lim
n
sn
,
即
un
n1
lim
n
i 1
ui .
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例１ 讨论等比级数（几何级数）
aqn a aq aq2 aqn (a 0) 的收敛性.
n0
分析：利用级数收敛的定义来讨论
解 如果 q 1 时,
sn
a aq aq2
aqn1
称为级数的部分和.
则称无穷级数
收敛 , 并称 S 为级数的和,（也称级数收敛于S ）
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记作
则称无穷级数发散 . 发散级数没有和！
当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
若 sn s， 误差是 rn ．
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级数与数列极限的关系
n
给定级数 un 就有部分和数列 {Sn ui} ,
a aqn 1q
a aqn , 1q 1q
当q
1时,
由于
lim qn
n
0，从而
lim
n
sn
1
a
， q
级数收敛，
当q
1时,
由于
lim qn
n
，从而
lim
n
sn
，级数发散．
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aqn a aq aq2 aqn
n0
如果 q 1时,
当q 1 时, 由于 sn na ， 级数发散，
n
1. ln n
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解
(1)
n1
(n
n 1)!
n1
n11 (n 1)!
n1
1 n!
(n
1
1)!,
sn
1
21!
1 2!
31!
1 3!
41!
1 n!
(n
1 1)!
1 1 , (n 1)!
因
lim
n
1
(n
1
1)!
1,
故原级数收敛,
且
n 1.
n1 (n 1)!
二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数
收敛于 S , 即 S un , 则各项
n1
乘以常数 c 所得级数
也收敛 , 其和为 c S .
n
n
证: 令 Sn uk , 则 n c uk c Sn ,
k 1
k 1
lim
n
n
cS
思考：若 un
发散，则
n1
cun 收敛还是发散？
这说明 c un 收敛 , 其和为 c S .
收敛
发散
收敛
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小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
1.由定义,若sn s,则级数收敛;
2.当lim n
un
0,则级数发散;
3.按基本性质.
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作业 3, 4（2,5）
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例3. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln3 ln 2) ln(n 1) ln n
ln(n 1) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
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例7. 利用柯西审敛原理判别级数
解: 对任意 p Z , 有
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当 n﹥N 时, 对任意 p Z ,
都有 由柯西审敛原理可知, 级数
上页 下页 返回 结束Fra bibliotek课堂练习. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:
(1) (1 1)n ;
n1
2n 发散
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(2)因为0 a 1,0 b 1，
ab
ab
所以
n1
a
a
n
b
和
n1
a
b
b
n
均收敛，
且
a
n
a
,
n1 a b b
b
n
b
,
n1 a b a
根据收敛级数的性质得知
n1
a
a
b
n
a
b
b
n
收敛，且和为ab
b a
.
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序列定S. n ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
S
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如， (11) (11) 0 , 但
发散.
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三、级数收敛的必要条件
n1
n1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
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性质2. 设有两个收敛级数
S un, vn
n1
n1
则级数 (un vn )也收敛, 其和为 S .
n1
n
n
证: 令 Sn uk , n vk , 则
k 1
k 1
n
n (uk vk )
S ( n )
1 2n
2n 1 2n
1
1 2n
lim
n
Sn
lim(1
n
1 2n
)
1
1
n1
2n
lim
n
Sn
1
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又如
n 1 2 3 n
n1
S1 1 S2 1 2 3 S3 1 2 3 6
Sn 1 2 3
n n(n 1) 2
lim n
Sn
lim
n
n(n 1) 2
n n2
ln n
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*四、柯西审敛原理
定理.
的充要条件是: 0, N Z ,
当n N 时，对任意 p Z , 有
证: 设所给级数部分和数列为 Sn (n 1, 2,), 因为
所以, 利用数列 Sn (n 1, 2,) 的柯西审敛原理(第一章
第六节) 即得本定理的结论 .
(3) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( un vn )
必发散 . (用反证法可证)
n1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1,
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性质3. 在级数前面加上或去掉或改变有限项, 不会
影响级数的敛散性.
证: 将级数 un的前 k 项去掉, 所得新级数
234
n
n 1 23 n
n1
(1)n1 111 1 (1)n1
n1
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无穷多个数的和是否仍然是一个数？其和是什么？
n1
1 2n
1 2
1 4
1 8
1 2n
1
考虑它的前 n 项的和 S n 部分和
S1
1 2
S2
1 2
1 4
3 4
S3
1 2
1 4
1 8
7 8
Sn
1 2
1 4
1 8