(必考题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试(含答案解析)(2)

一、选择题
1．已知如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，以下四个结论：①AD＝BE；②△CPQ是等边三角形；③AD⊥BC；④OC平分∠AOE．其中正确的结论是（）
A．①②③④B．③④C．①②③D．①②④
2．已知点P是ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫
ABC的费马点（Fermat point）．已经证明：在三个内角均小于120︒的ABC中，当APB APC BPC时，P就是ABC的费马点．若点P是腰长为6的等
120
++=（）
腰直角三角形DEF的费马点，则PD PE PF
A．6 B．33
+C．63D．9
3．如图，在四边形ABCD中，点E在边AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D＝40°，AB＝DE，AC＝AE，则∠B的度数为（）
A．100°B．110°C．120°D．130°
4．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足3
a-+|b﹣4|＝0，则此等腰三角形的周长为（）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D．若∠A＝30°，AE＝10，则CE的长为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．如图，在平面直角坐标系中，点A1在x轴的正半轴上，B1在第一象限，且△OA1B1是等
边三角形．在射线OB 1上取点B 2，B 3，…，分别以B 1B 2，B 2B 3，…为边作等边三角形△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…使得A 1，A 2，A 3，…在同一直线上，该直线交y 轴于点C ．若OA 1＝1，∠OA 1C ＝30°，则点B 9的横坐标是（ ）
A ．2552
B ．
5112
C ．256
D ．5132
7．下列说法错误的是（ ） A ．有两边相等的三角形是等腰三角形 B ．直角三角形不可能是等腰三角形
C ．有两个角为60°的三角形是等边三角形
D ．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
8．如图，在ABC 中，AB AC =，以点C 为圆心，CB 长为半径 画弧，交AB 于点B 和点D ，再分别以点,B D 为圆心，大于12
BD 长为半径画弧，两弧相交于点M ，作射线CM 交AB 于点E ．若4,1AE BE ==，则EC 的长度是（ ）
A ．3
B ．5
C 5
D 7 9．如图，ABC 中，AB AC =，BD DC =，若80BAC ∠=︒，AD A
E =，则CDE
∠的度数为（ ）
A ．40°
B ．30°
C ．20°
D ．10° 10．如图，ABC 为等边三角形，BO 为中线，延长BA 至D ，使AD AO =，则DOB
∠的度数为（ ）
A ．105︒
B ．120︒
C ．135︒
D ．150︒ 11．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()1,0，以线段OA 为边在第四象限内作等边ABO ，点C 为x 轴正半轴上一动点（1OC >），设点C 的坐标为(),0x ，连结BC ，以线段BC 为边的第四象限内作等边CBD ，直线DA 交y 轴于点
E ，点E 的坐标是（ ）
A ．(3
B ．0,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．()0,3
D ．30,2x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 12．若以Rt ABC △的一边为边画一个等腰三角形，使它的第三个顶点也在Rt ABC △的其他边上，则这样的等腰三角形最多能画出（ ）
A ．3个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
二、填空题
13．如图，OA OB OC ==且30ACB ∠=︒，则AOB ∠的大小是______度．
14．如图，在等边ABC中，点D在AC边上，点E在ABC外部，若
∠=∠，CE BD
ACE ABD
=，连接AE，DE，则ADE的形状是______．
15．如图，△ACD是等边三角形，若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，则∠BAE＝_____°．
16．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于_____．
17．如图，∠MON=33°，点P在∠MON的边ON上，以点P为圆心，PO为半径画弧，角OM于点A，连接AP，则∠APN=____．
18．如图，∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，OP=6cm，点E、F分别为OA、OB上的动点，则△PEF周长的最小值为________cm．
19．如图，在ABC 中，AB BC =，30C ∠=︒，过点B 作BD BC ⊥，交AC 于点D ，若2CD =，则AD 的长为__________．
20．如图，AD 平分BAC ∠，DE AC ⊥，垂足为E ，//BF AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分ABF ∠．则下列结论中：
①AD 是ABC ∆的高；
②ABC ∆是等边三角形；
③ED FD =；
④AB AE BF =+．
其中正确的是______________（填写序号）
三、解答题
21．如图，Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，点D 是BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ．
（1）求证：△ACD ≌△CBF ；
（2）连结DF ，求证：AB 垂直平分DF ；
（3）连结AF ，试判断△ACF 的形状，并说明理由．
22．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝62°，∠B ＝78°，AC 的垂直平分线交BC 于点D ． （1）求∠BAD 的度数；
（2）若AB ＝8，BC ＝11，求△ABD 的周长．
23．如图．在△ABC 中，∠C =90 °，∠A =30°．
（1）用直尺和圆规作AB 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于D 、E ，交BC 的延长线于F ，连接EB ．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：EB 平分∠ABC ．
（3）求证：AE =EF ．
24．在△DEF 中，DE ＝DF ，点B 在EF 边上，且∠EBD ＝60°，C 是射线BD 上的一个动点（不与点B 重合，且BC≠BE ），在射线BE 上截取BA ＝BC ，连接AC ．
（1）当点C 在线段BD 上时，
①若点C 与点D 重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE 与BF 的数量关系为 ； ②如图2，若点C 不与点D 重合，请证明AE ＝BF ＋CD ；
（2）当点C 在线段BD 的延长线上时，用等式表示线段AE ，BF ，CD 之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．
25．如图，已知等腰ABC 的底边13BC cm =，D 是腰BA 延长线上一点，连接CD ，且12BD cm =，5CD cm =．
（1）判断BDC 的形状，并说明理由；
（2）求ABC 的周长．
26．已知：如图，,,C D Rt AC BD AD ∠=∠=∠=与BC 相交于点P ．
≌．
求证：（1）Rt ABC Rt BAD
△是等腰三角形．
（2）PAB
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
先由SAS判定△ACD≌△BCE，证得①正确；再由ASA证△ACP≌△BCQ，得到CP＝CQ，②正确，同理证得CM＝CN，得到④正确；易得③不正确．
【详解】
解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠BCD+∠ECD，∠BCD＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，故①正确；
∠CAD＝∠CBE，
∵∠BCA＝∠BCD＝60°，AC＝BC，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP＝CQ，
又∵∠PCQ＝60°，
∴△CPQ是等边三角形，故②正确；
过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°，
∴△CDN≌△CEM（AAS），
∴CM＝CN，
∵CM⊥BE，CN⊥AD，
∴OC平分∠AOE，故④正确；
当AC ＝CE 时，AP 平分∠BAC ，
则∠PAC ＝30°，此时∠APC ＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
则AD ⊥BC ，故③不正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
2．B
解析：B
【分析】
根据题意首先画出图形，过点D 作DM EF ⊥于点M ，在BDE ∆内部过E 、F 分别作30MEP MFP ∠=∠=︒，则120EPF FPD EPD ∠=∠=∠=︒，点P 就是费马点，求出PE ，PF ，DP 的长即可解决问题．
【详解】
解：如图：过点D 作DM EF ⊥于点M ，在BDE ∆内部过E 、F 分别作
30MEP MFP ∠=∠=︒，
则120EPF FPD EPD ∠=∠=∠=︒，点P 就是费马点，
在等腰Rt DEF △中，6DE DF ==DM EF ⊥，
223EF DE ∴==
3EM DM ∴=
∵∠PEM =30°，∠PME =90°，
∴EP =2PM ，
则()2
222PM EM PM +=，
解得：1PM =，则2PE =， 故31DP ，同法可得2PF =， 则312233PD PE PF ++++=
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，正确画出图形进而求出PE的长是解题关键．3．B
解析：B
【分析】
先ASA证明△BAC≌△EDC，再利用全等三角形的性质，等腰三角形的两底角相等即可求解．
【详解】
解：∵∠BCE＝∠ACD，
又∵∠BCE＝∠BCA＋∠ACE，∠ACD＝∠DCE＋∠ACE，
∴∠BCA＝∠DCE，
∵∠BAC＝∠D＝40°，AB＝DE，
∴△BAC≌△EDC（ASA），
∴AC＝CD，
∴∠CAE＝∠D＝40°，
∵AC＝AE，
∴∠AEC＝∠ACE＝1
（180°﹣∠CAE）＝70°，
2
∵∠AEC＝∠D＋∠DCE，
∴∠DCE＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝110°．
故选：B．
【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，关键是根据ASA证明
△BAC≌△EDC．
4．D
解析：D
【分析】
先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【详解】
解：根据题意得，a-3=0，b-4=0，
解得a=3，b=4，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、3，
∵4+4＞3，
∴能组成三角形，4+4+3=11，
②4是底边时，三角形的三边分别为3、3、4，
能组成三角形，周长=3+3+4=10，
所以，三角形的周长为11或10．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，偶次方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a 、b 的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
5．A
解析：A
【分析】
先根据含30°角的直角三角形的性质求出DE ＝5，再根据角平分线的性质求出CE ＝DE ＝5即可．
【详解】
解：∵DE ⊥AB ，
∴∠ADE ＝90°，
在Rt △ADE 中，∠A ＝30°，AE ＝10，
∴DE ＝12
AE ＝5， ∵BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，∠ACB ＝90°，
∴CE ＝DE ＝5，
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
利用待定系数法求得两条直线的解析式，根据等边三角形的性质，点的坐标规律，即可求解．
【详解】
解：∵OA 1=1，∠OA 1C=30︒，
∴OC=3
，
∴点C 的坐标为(0，-，
∵A 1、A 2、A 3所在直线过点A 1(1，0)，C (0，，
设直线A 1A 2的解析式为y kx =-
∴03k =-，
∴3
k =
∴直线A 1A 2的解析式为33y x =
-， ∵△OA 1B 1为等边三角形，
∴点B 1的坐标为(12，
∵B 1、B 2、B 3所在直线过点O(0，0)，B 1 (
12，2)，
同理可求得直线O B 1的解析式为y =，
∵△OA 1B 1和△B 1A 2B 2为等边三角形，
∴∠B 1OA 1=∠B 2 B 1A 2=60︒，
∴B 1A 2∥OA 1，
∵B 1 (12，
∴A 2的纵坐标为
2，则233x =-， 解得：52
x =，
∴点A 2的坐标为(
52，2)， ∴B 1A 2=2，
同理点B 2的坐标为(
32，
点B 3的坐标为(72，
点B 4的坐标为(152， ，
总结规律： B 1的横坐标为
12， B 2的横坐标为13122
+=， B 3的横坐标为171222
++=， B 4的横坐标为11512422
+++=，
，
∴B 9的横坐标为
1511124816326422
+++++++=， 故选：B
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标规律，等边三角形的性质，解决本题的关键是寻找点的坐标规律． 7．B
解析：B
【分析】
利用等腰三角形和等边三角形的判定解答即可．
【详解】
A.有两边相等的三角形是等腰三角形，所以A 选项正确；
B.等腰直角三角形就是等腰三角形，故B 选项错误；
C.有两个角为60°的三角形是等边三角形，正确；
D.有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确．
故选B ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握有关性质． 8．A
解析：A
【分析】
利用基本作图得到CE AB ⊥，再根据等腰三角形的性质得到5AC =，然后利用勾股定理计算即可；
【详解】
由做法得CE AB ⊥，则90AEC ∠=︒，
145AC AB BE AE ==+=+=,
在Rt △ACE 中，
3CE =
=
=； 故答案选A ．
【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，准确计算是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】 根据已知可求得∠DAC 及∠ADE 的度数，根据∠CDE=90°-∠ADE 即可得到答案．
【详解】
解：∵AB ＝AC ，BD=DC
∴ AD⊥BC（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）
∴∠ADC=90°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠BAD＝∠DAC＝ 80°÷2=40°（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合），
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝（ 180°−40°）÷2=70°，
∴∠CDE＝∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°，
故答案为：C.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键.
10．B
解析：B
【分析】
由△ABC为等边三角形，可求出∠BOA=90°，由△ADO是等腰三角形求出
∠ADO=∠AOD=30°，即可求出∠BOD的度数．
【详解】
解：∵△ABC为等边三角形，BO为中线，
∴∠BOA＝90°，∠BAC＝60°
∴∠CAD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∵AD＝AO，
∴∠ADO=∠AOD=30°，
∴∠BOD＝∠BOA+∠AOD＝90°+30°＝120°，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是熟记等边三角形的性质及等腰三角形的性质．
11．A
解析：A
【分析】
由等边三角形的性质可得AO＝OB＝AB＝1，BC＝BD＝CD，∠OBA＝∠CBD＝60°，可证
△OBC≌△ABD，可得∠BAD＝∠BOC＝60°，可求∠EAO＝60°，即可求OE
点E坐标．
【详解】
解：∵△AOB，△BCD是等边三角形，
∴AO＝OB＝AB＝1，BC＝BD＝CD，∠OBA＝∠CBD＝60°，
∴∠OBC＝∠ABD，且OB＝AB，BC＝BD，
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴∠BAD＝∠BOC＝60°，
∴∠EAO＝180°−∠OAB−∠BAD＝60°，
在Rt△AOE中，AO＝1，∠EAO＝60°，∠OEA=30°，
∴AE=2 AO=2，
∴OE=22
＝3，
21
∴点E坐标(0，3)，
故选A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，坐标与图形性质，灵活运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
先以Rt△ABC三个顶点分别为圆心，再以每个顶点所在的较短边为半径画弧，即可确定等腰三角形的第三个顶点，也可以作三边的垂直平分线确定等腰三角形的第三个顶点．
【详解】
解：如图1，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则△BCD是等腰三角形；
如图2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则△ACD是等腰三角形；
如图3，作AB的垂直平分线，交AC于点D，连接BD，则△BCD是等腰三角形；
如图4，以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，交AB于点F，连接BD，CF 则△BCD、△BCF是等腰三角形；
如图5，作BC的垂直平分线，交AB于点D，连接CD，则△BCD是等腰三角形；
如图6，作AC的垂直平分线，交AB于点D，连接CD，△ACD是等腰三角形，
∴符合题意的等腰三角形最多能画7个，
故选：D．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定的应用，通过作垂直平分线或者画弧的方法确定相等的边是解
题关键．
二、填空题
13．【分析】设∠OAC=x ∠CAB=y 根据等腰三角形的性质则
∠OCA=x ∠OBA=x+y ∠OBC=x+30°利用三角形内角和定理计算即可【详解】解：设∠OAC=x ∠CAB=y ∵OA=OC ∴∠OCA=x ∵
解析：60．
【分析】
设∠OAC=x ，∠CAB=y ，根据等腰三角形的性质，则∠OCA=x ，∠OBA=x+y ，∠OBC=x+30°，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】
解：设∠OAC=x ，∠CAB=y ，
∵OA=OC ，
∴∠OCA=x ，
∵OA=OB ，
∴∠OBA=x+y ，
∵OC=OB ，
∴∠OBC=x+30°，
∵30ACB ∠=︒，
∴∠CAB+∠OBA+∠OBC=150°，
∴y+x+y+ x+30°=150°，
∴2(x+y)=120°，
∵∠AOB=180°-2∠OBA
=180°-2(x+y)，
∴∠AOB=180°-120°=60°，
故答案为：60．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练应用性质，合理引进未知数，采用设而不求的思想计算是解题的关键．
14．等边三角形【分析】由等边三角形的性质可以得出AB=AC ∠BAD=60°由条件证明△ABD ≌△ACE 就可以得出∠CAE=∠BAD=60°AD=AE 就可以得出△ADE 为等
边三角形【详解】解：的形状是等边
解析：等边三角形
【分析】
由等边三角形的性质可以得出AB=AC ， ∠BAD=60°，由条件证明△ABD ≌△ACE 就可以得出∠CAE=∠BAD=60°，AD=AE ，就可以得出△ADE 为等边三角形．
【详解】
解：ADE 的形状是等边三角形，
理由：∵ABC 为等边三角形，
∴AB=AC ， ∠BAD=60°，
在∆ABD 和∆CAE 中 AB AC ACE ABD CE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴∆ABD ≌∆ACE ，
∴∠CAE=∠BAD=60°，AD=AE ，
∴∆ADE 为等边三角形，
故答案为：等边三角形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关性质．
15．125【分析】先证明得到再根据三角形内角和得到所求角中两角的和最后与等边三角形内角相加就得到结果【详解】解：是等边三角形在与中故答案为125【点睛】这道题考察的是等边三角形的性质全等三角形的判定和性 解析：125
【分析】
先证明ABC DEA ≌，得到BAC ADE ∠∠＝，再根据三角形内角和得到所求角中两角的和BAC DAE ∠+∠，最后与等边三角形内角CAD ∠相加就得到结果．
【详解】
解：ACD 是等边三角形，
AC AD ∴＝，60CAD ∠︒＝
在ABC 与DEA 中， =⎧⎪=⎨⎪=⎩
AB DE BC AE AC AD ABC DEA SSS ∴≌（）
BAC ADE ∴∠∠＝
18011565BAC DAE ADE DAE ∴∠+∠∠+∠︒-︒︒＝＝＝
6560125BAE BAC DAE CAD ∴∠∠+∠+∠︒+︒︒＝＝＝
故答案为125．
【点睛】
这道题考察的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和的概念．解题的关键在于熟练掌握这些相关知识点．
16．【分析】过点D 作DF ⊥BC 垂足为F 根据角平分线的性质得到FD=DE 再利用面积求DE 即可【详解】解：过点D 作DF ⊥BC 垂足为F ∵BD 是△ABC 的角平分线DE ⊥ABDF ⊥BC ∴FD=DEDE=4故答案为
解析：【分析】
过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，根据角平分线的性质得到FD=DE ，再利用面积求DE 即可．
【详解】
解：过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，
∵BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，
∴FD=DE ，
182ABD S
AB DE DE =⋅=， 172CBD
S BC DF DE =⋅=， ABC ABD DBC S S S =+△△△，
8760DE DE +=，
DE=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查是角平分线的性质，解题关键是熟知角平分线性质，作垂线，利用面积求DE ． 17．66°【分析】根据等腰三角形的性质可知∠MON=∠PAO 再用外角的性质求解即可【详解】解：由作图可知
PO=PA ∴∠MON=∠PAO=33°∠APN=∠MON+∠PAO=66°故答案为：66°【点睛】
解析：66°
【分析】
根据等腰三角形的性质可知∠MON=∠PAO ，再用外角的性质求解即可．
【详解】
解：由作图可知，PO=PA ，
∴∠MON=∠PAO=33°，
∠APN =∠MON+∠PAO=66°，
故答案为：66°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和外角的性质，解题关键是通过作图得到等腰三角形，依据等腰三角形的性质熟练计算．
18．6【分析】作点P 关于OA 对称的点作点P 关于OB 对称的点连接与OA 交于点E 与OB 交于点F 此时△PEF 的周长最小然后根据∠AOB=30°结合轴对称的性质证明△是等边三角形从而可得答案【详解】解：如图作点
解析：6
【分析】
作点P 关于OA 对称的点1P ，作点P 关于OB 对称的点2P ，连接
1122,,,OP PP OP 12PP 与OA 交于点E ，与OB 交于点F ，此时△PEF 的周长最小，然后根据∠AOB=30°，结合轴对称的性质证明△12OPP 是等边三角形，从而可得答案．
【详解】
解：如图，作点P 关于OA 对称的点1P ，作点P 关于OB 对称的点2P ，连接
1122,,,OP PP OP 12PP 与OA 交于点E ，与OB 交于点F ，此时△PEF 的周长最小．
此时△PEF 的周长就是12PP 的长，
由轴对称的性质可得：12,,POE POE P OF POF ∠=∠∠=∠12OP OP OP ==
()122222,POP POE POF POE POF AOB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠
∵∠AOB=30°，
∴1260POP ∠=︒，
∴△12OPP 是等边三角形．
6OP =，
∴121 6.PP OP OP ===
∴△PEF 周长的最小值是6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查轴对称最短路径问题，关键是确定E ，F 的位置，本题的突破点是证明△12OPP 是等边三角形．
19．【分析】利用等腰三角形的性质判定证明BD=AD 利用直角三角形中30°角的性质计算BD 即可得解【详解】
∵∴∠A=30°∠ABC=120°∵∴∠CBD=90°BD=1∴∠DBA=30°∴∠DBA=∠A ∴ 解析：1.
【分析】
利用等腰三角形的性质，判定，证明BD=AD ，利用直角三角形中30°角的性质计算BD 即可得解.
【详解】
∵AB BC =，30C ∠=︒，
∴∠A=30°，∠ABC=120°，
∵BD BC ⊥，2CD =，
∴∠CBD=90°，BD=1，
∴∠DBA=30°，
∴∠DBA=∠A ，
∴BD=AD ，
∴AD=1.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质，并灵活运用性质是解题的关键.
20．①③④【分析】利用平行线的性质∠C=∠FBD 则可证明∠C=∠ABC 于是可根据等腰三角形的性质对①②进行判断；过D 点作DH ⊥AB 如图利用角平分线的性质得到DE=DHDH=DF 则可对③进行判断；证明△A
解析：①③④
【分析】
利用平行线的性质∠C=∠FBD ，则可证明∠C=∠ABC ，于是可根据等腰三角形的性质对①②进行判断；过D 点作DH ⊥AB ，如图，利用角平分线的性质得到DE=DH ，DH=DF ，则可对③进行判断；证明△ADE ≌△ADH 得到AH=AE ，同理可得BH=BF ，则可对④进行判
断．
【详解】
解：∵BC 恰好平分∠ABF ，
∴∠ABC=∠FBD ，
∵AC ∥BF ，
∴∠C=∠FBD ，
∴∠C=∠ABC ，
∴△ABC 为等腰三角形，
∵AD 平分∠BAC ，
∴AD ⊥BC ，CD=BD ，
∴AD 是ABC ∆的高；ABC ∆是等腰三角形；
所以①正确；②错误；
过D 点作DH ⊥AB 于H ，如图，
∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，DH ⊥AB ，
∴DE=DH ，
∵AC ∥BF ，DE ⊥AC ，
∴DF ⊥BF ，
∵BD 平分∠ABF ，DH ⊥AB ，
∴DH=DF ，
∴DE=DF ，所以③正确；
在△ADE 和△ADH 中，AD AD DE DH =⎧⎨=⎩
， ∴△ADE ≌△ADH （HL ），
∴AH=AE ，
同理可得BH=BF ，
∴AB=AH+BH=AE+BF ，所以④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）△ACF 是等腰三角形，理由见解析
【分析】
（1）由AAS 证明△ACD ≌△CBF 即可；
（2）由全等三角形的性质得CD ＝BF ，由CD ＝BD ，得BF ＝BD ，证出∠ABC ＝∠ABF ，由等腰三角形的性质即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质得AD ＝CF ，由垂直平分线的性质得AD ＝AF ，得出AF ＝CF 即可．
【详解】
（1）证明：∵CE ⊥AD ，
∠BCF +∠ADC ＝90°，
∵∠BCA ＝90°，BF ∥AC ，
∴∠CBF ＝180°﹣∠BCA ＝90°，
∴∠BCF +∠CFB ＝90°，
∴∠CFB ＝∠ADC ，
在△ACD 和△CBF 中，
ACD CBF ADC CFB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△CBF （AAS ）；
（2）证明：由（1）得：△ACD ≌△CBF ，
∴CD ＝BF ，
∵D 为BC 的中点，
∴CD ＝BD ，
∴BF ＝BD ，
∵∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，
∴∠ABC ＝45°，
∴∠ABF ＝90°﹣∠ABC ＝45°，
∴∠ABC ＝∠ABF ，
∵BF ＝BD ，
∴AB 垂直平分DF ；
（3）解：△ACF 是等腰三角形，理由如下，如图：连接AF
由（1）得：△ACD ≌△CBF ，
∴AD ＝CF ，
由（2）得：AB垂直平分DF，
∴AD＝AF，
∴AF＝CF，
∴△ACF是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定定理是解题关键．
22．（1）22°；（2）19．
【分析】
（1）利用三角形内角和求得∠C＝40°，利用垂直平分线的性质，求得∠DAC＝40°，最后计算∠BAD的度数即可；（2）利用周长的定义，垂直平分线的性质计算即可．
【详解】
解：（1）∵∠BAC＝62°，∠B＝78°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣62°﹣78°＝40°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠CAD＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝62°﹣40°＝22°；
（2）∵AD＝CD，AB＝8，BC＝11，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝8+11＝19．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，熟练运用定理和性质是解题的关键．
23．见解析
【分析】
（1）先作线段AB的垂直平分线DE，再延长BC即可；
（2）先利用直角三角形的性质求∠ABC= 60︒，再垂直平分线的性质得到
∠ABE=∠A=30︒，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30︒，即可得到∠EBC=∠ABE，得到答案；（3）证明：先利用直角三角形的性质求∠DEB=90︒-∠ABE =60︒再利用三角形外角的性质求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒，进而得∠EFB=∠EBC，证得BE=EF，又因为AE= BE，利用等量代换即可求得答案．
【详解】
（1）如图，即为所求；
（2）证明：∵DE是AB的垂直平分线
∴DE⊥AB
∴AE=BE
∵∠A=30︒，∠ACB=90︒
∴∠ABE=∠A=30︒，∠ABC=90︒-∠A=60︒
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60︒-30︒=30︒
∴∠EBC=∠ABE
∴EB平分∠ABC．
（3）证明：∵DE是AB的垂直平分线
∴DE⊥AB
∴∠DEB=90︒-∠ABE =60︒
∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒
∴∠EFB=∠EBC
∴BE=EF
又∵AE= BE
∴AE=EF
【点睛】
本题考查了尺规作图和垂直平分线性质得应用，解决此题的关键利用尺规作图，画出图形．
24．（1）①AE＝BF；②见解析；（2）AE＝BF﹣CD或AE＝CD﹣BF
【分析】
（1）①如图1，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质得到AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，由邻补角的性质得到∠EAD＝∠FBD＝120°，推出
△ADE≌△BDF，根据全等三角形的性质即可得到结论；②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，得到△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形．求得AG＝CD，通过△DGE≌△DBF，得到GE＝BF，根据线段的和差即可得到结论；
（2）如图3，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换
即可得到结论．
【详解】
解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD＝∠FBD＝120°，
∵DE＝DF，
∴∠E＝∠F，
在△AEC与△BCF中，
E F
EAD FBD
AD BD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE＝BF；
故答案为：AE＝BF；
②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，∵∠EBD＝60°，BG＝BD，
∴△GBD是等边三角形．
同理，△ABC也是等边三角形．
∴AG＝CD，
∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．
又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，
∴∠DGE＝∠DBF＝120°，
在△DGE与△DBF中，
E F
EGD FBD
DG BD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△DGE≌△DBF（AAS），
∴GE＝BF，
∴AE＝BF＋CD；
（2）如图3，在BE上截取BG＝BD，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝EG﹣AG；
∴AE＝BF﹣CD，
如图4，在BE上截取BG＝BD，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝AG﹣EG；
∴AE＝CD﹣BF，
故AE＝BF﹣CD或AE＝CD﹣BF．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟练掌握相关知识的运用，利用截长补短的方法做辅助线构造全等三角形和等边三角形，运用类比的方法解决问题．
25．（1）直角三角形，理由见解析；（2）325 12
cm
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理得出答案即可；
（2）根据勾股定理求出AC，再求出ABC的周长即可．【详解】
解：（1）BDC是直角三角形，
理由是：∵BC=13cm，BD=12cm，CD=5cm，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠D=90°，
即BDC是直角三角形；
（2）设AB=AC=x cm，
在Rt ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2=AC2，
即（12-x）2+52=x2，
解得：x=169 24
，
∴AB=AC=169
24
（cm），∵BC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=169
24+
169
24
+13=
325
12
（cm）．
【点睛】
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．
26．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用HL即可证明；
（2）根据全等三角形的性质可得∠ABP=∠BAP，从而得到PA=PB，即可得证．
【详解】
解：（1）∵∠C=∠D=Rt∠，AC=BD，AB=BA，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；
（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠ABP=∠BAP，
∴PA=PB，
∴△PAB是等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，证明Rt△ABC≌Rt△BAD是解题的关键．。