【名校精品解析系列】云南省部分名校2015届高三1月份统一考试(数学文)

【名校精品解析系列】云南省部分名校2015届高三1月份统一考试（数
学文）
命题 昆明三中高三年级数学备课组
【试卷综述】本次期末数学试卷，能以大纲为本，以教材为基准，基本覆盖了平时所学的知识点，试卷不仅有基础题，也有一定的灵活性的题目，能考查学生对知识的掌握情况，实现体现了新课标的新理念，试卷注重了对学生的思维能力、运算能力、计算能力、解决问题能力的考查，且难度也不大，在出题发面应该是一份很成功的试卷。

【题文】一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【题文】1．集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是（ ） A.(,2]-∞- B ．[2,)-+∞ C.(,2]-∞ D ．[2,)+∞ 【知识点】集合的运算A1
【答案】【解析】D 解析：因为{|20}A x x =-<{|2}x x =< ，A B A =，所以A B ⊆，即2a ≥，故
选D.
【思路点拨】由集合的运算直接计算即可.
【题文】2.已知i 为虚数单位，复数z 满足1iz i =+，则z = （ ） A ．1i +
B ．1i -
C ．1i -+
D ．1i --
【知识点】复数运算L4 【答案】【解析】A 解析：11i
z i i
+=
=-，1z i ∴=+ 故选A. 【思路点拨】由复数运算直接计算即可.
【题文】3.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(,0)-∞上单调递增的函数是( ) A.2
()f x x = B. ()2x
f x = C. 21
()log f x x
= D. ()sin f x x = 【知识点】函数的奇偶性，单调性B4 B3
【答案】【解析】C 解析： 2()f x x =和()2x
f x =是偶函数，在(,0)-∞上单调递减，()sin f x x =为奇函数，故选C.
【思路点拨】根据函数的性质之奇偶和增减的定义可求.
【题文】4.已知向量,a b ，其中2,2a b ==，且()a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角是（ ） A ．
6π B. 4π C. 2π D.
3π
【知识点】向量的定义F1
【答案】【解析】B 解析：()a b a
-⊥，
()0a a b ∴-=，即2
||0a a b -=， 2||||||cos 0a a b θ-=，2
222cos 0,cos 2
θθ∴-==
，所以4πθ=，故选B .
【思路点拨】
()a b a -⊥，()0a
a b ∴-=，即2
222cos 0,cos 2
θθ-==
，即可求θ. 【题文】5．执行如图所示的程序框图,输出的S 值为4-时，则输入的0S 的值为（ ） A.7 B.8 C.9 D.10
【知识点】程序框图L1 【答案】【解析】D 解析：设S m =，第一次循环，2S m =-，2i =；第二次循环，6S m =-，3i =；第三次循环，14S m =-，4i =；循环终止，此时，144m -=-，10m ∴=，故选D. 【思路点拨】按条件依次循环，当循环终止时，14S m =-，即可求解0S .
【题文】6. 设
1a b ＞＞，0c < ，给出下列三个结论：① c a ＞c b
；②a c c
＜b ； ③log ()log ()b a a c b c ->-，其中所有的正确结论的序号是 （ ）.
A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③
【知识点】不等式的性质E1
【答案】【解析】D 解析：①
1a b ＞＞，110a b ∴<<，又0c <， c
c a b
∴＞，正确；②由指数函数性质，可得a c
c
＜b ，正确；③1a c b c ->->，而
1a b ＞＞，∴ log ()log ()b a a c b c ->-正确；故选D.
【思路点拨】由不等式性质，结合其他性质，加以计算可得.
【题文】7.已知函数①sin cos y x x =+,②22sin cos y x x =,则下列结论正确的是( ) A ．两个函数的图象均关于点(,0)4
π
-
成中心对称图形
B ．两个函数的图象均关于直线4
x π
=-成轴对称图形
C ．两个函数在区间(,)44
ππ
-
上都是单调递增函数
D ．两个函数的最小正周期相同
【知识点】三角函数的性质C4
【答案】【解析】C 解析：①sin cos y x x =+ 2sin()4
x π=+，图像关于点(,0)4π
-成中心对称图形，
关于直线4x k ππ=+成轴对称图形，在区间3(,)44
π
π-上是单调递增, 最小正周期为2π;②
22sin cos y x x =2sin 2x =，图像关于点(,0)2k π成中心对称图形，关于直线24
k x ππ
=
+成轴对称图形，在区间(,)44
ππ
-
上是单调递增, 最小正周期为π,故选C.
【思路点拨】此类题一般都是先化简，再根据化简后的结果，由三角函数的性质一一判断.
【题文】8.已知P 是ABC ∆所在平面内一点，20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在ABC ∆内，则黄豆落在PBC ∆内的概率是 （ ） A.
14 B.13 C. 23 D. 12
【知识点】几何概型K3 【答案】【解析】D 解析：由
得
，设BC 边中点为D ，则
,P
为AD 中点，所以黄豆落在内的概率是，
故选D.
【思路点拨】：由得P 为BC 边中线AD 的中点，由此可得黄豆落在PBC ∆内的概率. 【题文】9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A.
3160
B. 32
C.323
D.
3523
【知识点】三视图G2 【答案】【解析】A 解析：由已知中的三视图，我们可以判断该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，三棱柱的底面是一个直角边长为4的直角三角形，高为4，四棱锥的底面是一个以4为边长的正方形，高为4，分别求出棱柱和棱锥的体积，其中直三棱的底面为左视图，高为8-4=4，故8432V =⨯=直三棱柱，四棱锥的底面为边长为4的正方形，高为4， 故16416433V =
⨯⨯=四棱锥，故该几何体的体积1603
V V V =+=直三棱柱四棱锥，故选A. 【思路点拨】由已知中的三视图，可以判断该几何体是一个直三棱柱和一个四棱锥的组合体.
【题文】10.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若ABC ∆的面积为S ,且2
2
2()S a b c =+-, 则tan C 等于（ ）
A.
34
B.
43
C. 43-
D.34
- 【知识点】正弦定理 余弦定理C8
【答案】【解析】C 解析：由余弦定理2
2
2
2cos c a b ab C =+-，联立222(b)S a c =+-，得
2221
2s i n 22
a b C a b a b c ⨯
⨯=++-，sin 22cos ab C ab ab C =+，即 sin 22cos C C =+，结合22sin cos 1C C +=，得3cos 5C =-或cos 1C =-（舍），从而4
sin 5
C =，
4
tan 3
C ∴=-，故选 C.
【思路点拨】联立222
2cos c a b ab C =+-和222(b)S a c =+-，得3cos 5C =-，从而可求tan C .
【题文】11．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(2)(2)f x f x -=+，且(1,0)x ∈-
时1
()25
x
f x =+
，则2(log 20)f =（ ） A.1- B.
45 C.1 D.45-
【知识点】函数的奇偶性 周期性B4 【答案】【解析】A 解析：因为，所以
是奇函数，所以当时，，
则
，因为
，所以
，所以
是周期为4
的周期函数。

而，所以
故选A.
【思路点拨】因为，所以是奇函数，因为，所以，
所以是周期为4的周期函数，从而
.
【题文】12.抛物线2
2y px =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足
120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则
||
||
MN AB 的最大值为( ) A.
3
3 B. 1 C. 233
D. 2 【知识点】抛物线 重要不等式 H7 E6 【答案】【解析】A 解析：如下图所示，设.
则
，
，所以
故选A.
【思路点拨】由抛物线性质可得，余弦定理得，再利用重要不等式即
可得
||||MN AB 3
3
≤
. 【题文】二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上）
【题文】13.设2z x y =+，其中实数,x y 满足10
2000
x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩， 则z 的取值范围是_______.【知识点】线
性规划E5
【答案】【解析】7[0,]2 解析：约束条件1020
00
x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪
⎨≥⎪
⎪≥⎩对应的平面区域如图示：
约束条件由图易得目标函数z=x+2y 在00O （，）处取得最小值，此时0z =,
在B 处取最大值，由1020
x y x y -+=+-=⎧⎨
⎩可得1322B （，），此时72z =, 故2z x y =+的取值范围为：7
[0,]2
故答案为：7[0,]2
.
【思路点拨】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，结合z 在目标函数中的几何意义，求出目标函数的最大值及最小值，进一步线出目标函数z 的范围．
【题文】14.已知圆2
2
:1O x y +=,直线250x y -+=上动点P ,过点P 作圆O 的一条切线,切点为A ,则
PA 的最小值为_________.
【知识点】圆的切线方程H4
【答案】【解析】2解析：由题意可得，OAP 为Rt ，且0
90OAP ∠=，
222|PA ||OA ||OP |+=，即2222
|P A ||O P ||O P |1r =-=
-，要使PA 取最小值，只需|OP |最小即可，|OP |
最小值为圆心O 到直线250x y -+=的距离，为5，所以|PA |2=，故答案为2. 【思路点拨】由题意可得，
OAP 中090OAP ∠=，222|PA ||OA ||OP |+=，即
2222
|P A |
|O P |
|O P |1
r =-=-，要使PA 取最小值，只需|OP |最小即可. 【题文】15．观察下列等式：3233233323333211,123,1236,123410,,=+=++=+++=根据上述规
律，第n 个等式为 【知识点】合情推理与演绎推理M1 【答案】【解析】3
3
3
32(n 1)123[
]2n n +++++=解析：由题意得1,3,6,10，，可得第n 项为(n 1)
2n +，所以第n 个等式为3
3
3
32
(n 1)123[]2
n n ++++
+=故答案为
33332
(n 1)123[
]2
n n +++++=. 【思路点拨】观察各个等式，找其中的规律，便可得到结果.
【题文】16．表面积为60π的球面上有四点,,,S A B C 且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若平面⊥SAB 平面ABC ,则棱锥ABC S -体积的最大值为 . 【知识点】棱锥的体积G7 【答案】【解析】27解析：由题意画出几何体的图形如图：
因为球的表面积为60π，，所以球半径为15，由于面SAB ⊥面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影D 落在AB 上，由于OO ′⊥平面ABC ，SD ⊥平面ABC ，即有OO ′∥SD ， 当D 为AB 的中点时，SD 最大，棱锥S-ABC 的体积最大．
由于15,'3,OC OO ==则'23,DO'3CO ==，则△ABC 是边长为6的正三角形，
则ABC 的面积为：2
36934
S =
⨯=.
在直角梯形SDO ′O 中，作OE SD ⊥于点E ，'3OE DO ==,'3DE OO ==,
315333SD DE SE =+=+-=,即有三棱锥S-ABC 体积
11
93332733
V Sh ==⨯⨯=,故答案为27.
【思路点拨】由于面SAB ⊥面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影D 落在AB 上，D 为AB 中点时，SD 最大，棱锥S-ABC 的体积最大．运用线面垂直的性质，结合勾股定理，即可求得CD ，AB ，及SD ，由三棱锥的体积公式即可得到最大值．
【题文】三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【题文】17. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足21n n S a +=,数列{}n b 中，11b =21,2
b =
, ()*12
211n n n n N b b b ++=+∈. （1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；
（2）数列{}n c 满足n
n n
a c
b =
，求{}n c 的前n 项和n T . 【知识点】数列求和D4
【答案】【解析】（1）n
1
1(),3
n n a b n ==
（2）3231
443
n n n T +=-
⨯ 解析：（1）由
21n n S a +=，得()112
n
n S a =-
当2n ≥时，()()1111111
112222
n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-+ 即111
23
n n n n n a a a a a --=-+∴
=（由题意可知10n a -≠） {}n a 是公比为1
3的等比数列，而()1111
12S a a ==-
113a ∴=，1
111333n n
n a -⎛⎫⎛⎫
∴=⨯= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
由
12211n n n b b b ++=+，得1221111111
1,2,1,,n n d n b b b b b b n
===-=∴=∴=
（2）13n
n n n a c n b ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，设12n n T c c c =++
+，则
()1
2
3
2
3
1
11111233333111111213
3333n
n n n n T n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⨯+⨯+⨯+
+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
由错位相减，化简得：
331113231
.
44323443n
n
n n n T n +⎛⎫⎛⎫=-⨯-=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（12
分） 【思路点拨】（1）由21n n S a +=，得
11123
n n n n n a a a a a --=-+∴=可求n a ；
（2））数列{}n c 为差比数列，利用错位相减法求解即可.
【题文】18．（本小题满分12分）
云南省2014年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的平均身高为170.5cm.现从我校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm 和187.5 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组 [157.5，162.5]，第二组[162.5，167.5]，…，第6组[182.5，187.5]， 下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；
（2）已知我校这50名男生中身高排名（从高到低）在全省前100名有2人，现从身高182.5cm 以上（含
182.5 cm ）的人中任意抽取2人，求该2人中至少有1人身高排名（从高到低）在全省前100名的概率.
【知识点】频率分布直方图 古典概率I2 K2 【答案】【解析】（1）170.5（2）10
7
)(=
A P 解析：（1）由直方图，经过计算我校高三年级男生平均身高为
1711.01851.01802.01753.01702.01651.0160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯高于全市
的平均值170.5（6分）
（2）这50人中182.5 cm 以上的有5人，分别设为A,B,C,D,E ，其中身高排名在全省前100名为A,B 。

设“该2人中至少有1人身高排名（从高到低）在全省前100名”为事件A, 由列举法可知10
7
)(=
A P （12分） 【思路点拨】由直方图中可直接求平均值；由列举法可得2人中至少有1人身高排名（从高到低）在全省前100名的概率，此问也可利用对立事件求解. 【题文】19．（本小题满分12分）
如图，AB 为圆O 的直径，点,E F 在圆O 上，且AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且1AD EF AF === ,2AB = （1）求证：平面AFC ⊥平面CBF ．
（2）在线段CF 上是否存在一点M ，使得OM ∥平面ADF ，并说明理由．
【知识点】面面垂直 线面平行G5 G4 【答案】【解析】(1)略（2）CF 中点M
解析: (1)∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ，
平面ABCD ∩平面ABEF=AB ，∴CB ⊥平面ABEF ，∵AF ⊂平面ABEF ， ∴AF ⊥CB ，又∵AB 为圆O 的直径，∴AF ⊥BF ，∴AF ⊥平面CBF ． ∵AF ⊂面AFC ，∴平面AFC ⊥平面CBF ；（6分）
（2）取CF 中点记作M ，设DF 的中点为N ，连接AN ，MN
则MN
，又AO
，则MN
AO ，所以MNAO 为平行四边形，（10分）
∴OM ∥AN ，又AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ，∴OM ∥平面DAF ． （12分）
【思路点拨】（1）要证面面垂直，只需线面垂直（2）要证线面平行，可通过线线平行，也可通过面面平行去证.
【题文】20．（本小题满分12分）
如图，已知椭圆E :()222210x y a b a b +=>>的离心率为2
2
，且过点()
2,2，四边形ABCD 的顶点在椭
圆E 上，且对角线,AC BD 过原点O ， 2
2AC BD b k k a
⋅=-。

（1）求OA OB ⋅的取值范围；
（2）求证：四边形ABCD 的面积为定值
.
【知识点】椭圆方程H5
【答案】【解析】（1）[2,2]-（2）略
解析：（1）2222222222
2842
112844c a
a x y a b
b a b
c ⎧=⎪
⎪⎧=⎪+=⇒∴+=⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎪⎩
分
当直线AB 的斜率存在时，设()()1122:,,,,.AB l y kx m A x y B x y =+
由()22222
12428028
y kx m
k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨
+=⎩ 2121222
428
,1212km m x x x x k k
--∴+==++.………………..4分 ()()2
2222
1212222
2848121212m km m k y y kx m kx m k km m k k k ---⎛⎫=++=++= ⎪+++⎝⎭。

2122122
2
2
2222
1
2
81284212212OA OB
y y b k k a x x m k m m b k k
⋅=-⇒⋅=-
--∴
=-⋅⇒=+++………………..6分
222212122222
288424
212122121
m m k k OA OB x x y y k k k k ---⋅=+=+==-++++， max 22OA OB=-2k AB x OA OB =2,
OA OB ∴-≤⋅<⋅⊥⋅，当k=0时，当不存在即轴时
所以OA OB ⋅的范围是[]2,2-。

………………..8分
()()22121222S 411421ABCD AOB AOB S
m
S k x x x x k ==⋅+⋅+-⋅+………………..10分
2224422
82ABCD k m S =-+=∴=………………..12分
【思路点拨】（1）由题意可得12
OA OB k k ⋅=-，所以可设出直线AB 的方程，联立椭圆，可得2242m b =+，OA OB ⋅121224221x x y y k =+=-
+可得其范围；
（2）4ABCD AOB S S =，而1|AB |d 2AOB S =⨯⨯，d 为原点到直线AB 的距离. 【题文】21.（本小题满分12分）
已知函数x
x a x f ln )(+=在点))1(,1(f 处的切线与x 轴平行． （1）求实数a 的值及()x f 的极值；
（2）如果对任意),[,221+∞∈e x x ，有2
12111)()(x x k
x f x f -≥-，求实数k 的取值范围． 【知识点】导数与极值B12
【答案】【解析】（1）1=a ，()x f 的极大值为1，无极小值（2）2k ≤ 解析：（1）22ln 1)ln (1)(x
x a x x a x x x f --=+-⋅=' ∵)(x f 在点))1(,1(f 处的切线与x 轴平行∴011ln 1)0(2=--=
'a f ∴1=a ∴0,ln 1)(>+=x x x x f ,,ln )(2x
x x f -=' 当10<<x 时，,0)(>'x f 当1>x 时，,0)(<'x f ∴)(x f 在)1,0(上单调递增，在),1(+∞单调递减，故)(x f 在1=x 处取得极大值1，无极小值.
（2）由（1）的结论知，)(x f 在),[2+∞e 上单调递减，不妨设221e x x ≥>， 则2
12111)()(x x k x f x f -≥-)11()()(1212x x k x f x f -≥-⇔ 1
122)()(x k x f x k x f -≥-⇔⇔函数x k x f x F -=)()(在),[2+∞e 上单调递减， 又x k x x x k x f x F -+=-=ln 1)()(，,0ln )(2≤-='∴x
x k x F 在),[2+∞e 上恒成立，x k ln ≤∴在),[2+∞e
上恒成立，在),[2+∞e 上2ln )(ln 2min ==e x ，2≤∴k
【思路点拨】（1）直接利用导数与极值的关系求解即可（2）由（1）的结论知，)(x f 在),[2+∞e 上单调递
减，不妨设221e x x ≥>，化简得函数x
k x f x F -=)()(在),[2+∞e 上单调递减，利用导数可得k 的取值范围.
请考生在第23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
选修4-4：坐标系与参数方程
【题文】23. （本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()252252x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
为参数，若以O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；
（Ⅱ）将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的
12
，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l 的距离的最小值.
【知识点】参数方程N3 【答案】【解析】（Ⅰ）曲线C ：()2224x y -+=直线l ：250x y -+=（Ⅱ）10
2
解析：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为：
224x y x += 即：()2224x y -+=
直线l 的普通方程为250x y -+= 4分
（Ⅱ）将曲线C 上的所有点的横坐标缩为原来的12
，得 ()22224x y -+=，即()22
114y x -+= 再将所得曲线向左平移1个单位，得1C ：2
2
14y x += 又曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y θθ
=⎧⎨=⎩（θ为参数），设曲线1C 上任一点()cos ,2sin P θθ
则()
cos 2sin 25
255sin 102
22p l d θθθϕ→-+-+==≥（其中1tan 2ϕ=-） ∴点P 到直线l 的距离的最小值为102。

【思路点拨】（Ⅰ）直接变换即可求解（Ⅱ）利用三角函数的有界性即可.
【题文】24. （本小题满分10分）
已知函数）a x x x f -++-=|2||1(|log )(2．
（Ⅰ）当7=a 时，求函数)(x f 的定义域；
（Ⅱ）若关于x 的不等式3)(≥x f 的解集是R ，求a 的取值范围.
【知识点】不等式的解法N4
【答案】【解析】（Ⅰ）43-∞-⋃+∞（，）（，）（Ⅱ）5]-∞-（， （Ⅰ）由题设知：127x x -++＞，由绝对值的几何意义可得4x <-或3x >，从而函数f （x ）的定义
域为43-∞-⋃+∞（，）（，）； …（5分） （Ⅱ）不等式3f x ≥（），即128x x a -++≥+，x R ∈时，恒有
2|113|2x x x x -++≥--+=（）（），…（8分）
∵不等式128x x a -++≥+解集是R ，83a ∴+≤ 即5a ∴≤-，
a ∴的取值范围是
5]-∞-（，． …（10分） 【思路点拨】（Ⅰ）由题意可得127x x -++＞，由绝对值的几何意义即得所求．
（Ⅱ）由不等式可得128x x a -++≥+恒成立，再由12x x -++的最小值等于3，故有83a +≤，由此求得实数a 的取值范围．。