北师大版数学高一必修1 第一章2 集合的基本关系 课时作业
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[学业水平训练]
1.下列表示①{0}=∅,②{2}⊆{2,4,6},③{2}∈{x |x 2-3x +2=0},④0∈{0}中,错误的是( )
A .①②
B .①③
C .②④
D .②③
解析:选B.①③不正确,②④正确.
2.集合{y ∈N |y =-x 2+6,x ∈N }的非空真子集的个数是( )
A .9
B .8
C .7
D .6
解析:选D.x =0时,y =6;x =1时,y =5;x =2时,y =2;
∴{y ∈N |y =-x 2+6}={6,5,2},
其非空真子集有23-2=6(个).
3.集合M ={(x ,y )|(x -3)2+(y +2)2=0},N ={-2,3},则M 与N 的关系是( )
A .M =N
B .M ⊆N
C .M ⊇N
D .M ,N 无公共元素
解析:选D.集合M 是点集,集合N 是数集,二者的代表元素和集合类型不同,故选
D.
4.设集合A ={x |x =m 2,m ∈Z },B ={x |x =n +12
,n ∈Z },则下列图形能表示A 与B 关系的是( )
解析:选A.令m =2n 或m =2n +1,其中n ∈Z .
则A ={x |x =m 2
,m ∈Z } ={x |x =n 或x =n +12
,n ∈Z }B . 5.设A ={x |1<x ≤2 014},B ={x |x <a },若A B ,则a 的取值范围是( )
A .{a |a ≥2 014}
B .{a |a <1}
C .{a |a ≤1}
D .{a |a >2 014}
解析:选D.由A B 可得a >2 014,注意当a =2 014时,A B 不成立,故选D.
6.已知集合A ={-1,3,2m -1},B ={3,m 2},若B ⊆A ,则实数m =________. 解析:∵B ⊆A ,又m 2≠-1,∴m 2=2m -1或m 2=3(舍去,不满足集合中元素的互异性),即m 2-2m +1=0,得m =1,经检验,符合题意.
答案:1
7.(2014·广州高一检测)设a ,b ∈R ,集合A ={1,a +b ,a },B ={0,b a
,b }且A =B ,则b -a =________.
解析:由已知可知,两个集合中的元素完全相同.因为b a
中的a 不能为0,所以必有⎩⎪⎨⎪⎧ a +b =0b =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧
a =-1
b =1
,故b -a =2.
答案:
2
8.已知集合A ={x |x 2-3x +2=0,x ∈R },B ={x |0<x <5,x ∈N },则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 有________个.
解析:由x 2-3x +2=0,得x =1或x =2,∴A ={1,2}.
由题意知B ={1,2,3,4},∴满足条件的C 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. 答案:4
9.(2014·辽宁省实验中学期中考试)已知集合A ={x |x 2-2x -3=0},B ={x |ax -1=0},若B ⊆A ,求实数a 的值.
解:由x 2-2x -3=0,得(x +1)(x -3)=0,解得x =-1或x =3,故集合A ={-1,3}. 当a =0时,方程ax -1=0无解,此时B =∅,满足B ⊆A ;
当a ≠0时,方程ax -1=0的解为x =1a ,故B ={1a
}. 由B ⊆A ,可得1a ∈A ,故1a =3或1a
=-1, 解得a =13
或a =-1. 综上,实数a 的值为0或13
或-1. 10.已知集合A ={x |-2≤x ≤5},B ={x |m +1≤x ≤2m -1},若B ⊆A ,求实数m 的取值范围.
解:∵B ⊆A ,
(1)若B =∅,
则m +1>2m -1,
∴m <2.
(2)若B ≠∅,将两集合在数轴上表示,如图所示.
要使B ⊆A ,则⎩⎪⎨⎪⎧ m +1≤2m -1,m +1≥-2,
2m -1≤5,
解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2,m ≥-3,
m ≤3,∴2≤m ≤3.
综上可知m ≤3,∴实数m 的取值范围是m ≤3.
[高考水平训练]
1.已知集合A ={x |x =a 2+1,a ∈N },B ={y |y =b 2-4b +5,b ∈N },则有( )
A .A =
B B .A ⊆B
C .B ⊆A
D .A ⃘B
解析:选A.对任意y ∈B ,有y =b 2-4b +5=(b -2)2+1.
∵b ∈N ,∴(b -2)2∈N .
令b -2=c ,则y =c 2+1,c ∈N ,
∴y ∈A ,∴B ⊆A .
对任意x ∈A ,有x =a 2+1,a ∈N .
不妨令a =b -2,则x ∈B ,∴A ⊆B .
因此A =B ,应选A.
2.已知集合A ={x |ax 2+2x +a =0,a ∈R },若集合A 有且仅有2个子集,则a 的取值是________.
解析:∵集合A 有且仅有2个子集,∴A 仅有一个元素,即方程ax 2+2x +a =0(a ∈R )仅有一个根.
当a =0时,方程化为2x =0,
∴x =0,此时A ={0},符合题意.
当a ≠0时,Δ=22-4·a ·a =0,即a 2=1,∴a =±1.
此时A ={-1}或A ={1},符合题意.
∴a =0或a =±1.
答案:0,-1,1
3.已知集合A ,B ,C ,且A ⊆B ,A ⊆C ,若B ={0,1,2,3,4},C ={0,2,4,8}.
(1)集合A 中最多含有几个元素?
(2)满足条件的集合A 共有几个?
解:(1)设x ∈A ,由题意知x ∈B 且x ∈C ,
即x 必为集合B 、C 的公共元素,
由于B 与C 的公共元素有0,2,4,
∴集合A 中最多有3个元素.
(2)由(1)可知满足条件的集合A 的个数就是集合{0,2,4}的子集的个数,
∴满足条件的集合A 共有23=8个.
4.已知A ={x ||x -a |=4},B ={1,2,b }.是否存在实数a ,使得对于任意实数b (b ≠1,b ≠2),都有A ⊆B ?若存在,求出对应的a 的值;若不存在,说明理由.
解:不存在.要使对任意的实数b 都有A ⊆B ,则1,2是A 中的元素.
又∵A ={a -4,a +4},
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a -4=1,a +4=2或⎩⎪⎨⎪⎧
a +4=1,a -4=2,
这两个方程组均无解,故这样的实数不存在.。