2019年太原市中考数学试题与答案

2019年太原市中考数学试题与答案
（试卷满分120分，考试时间
120分钟）
一.选择题（本大题共10个小题，每小题
3分，共30分）
1. -3
的绝对值是（
）
A.-3
B.3
C.
3
1 D.
3
12. 下列运算正确的是（
）
A.2
532a a a B.2
2
2
4)2(b a b a C.6
3
2
a a a D.6
3
3
2)(b
a a
b 3. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一中展开图，
那么在原正方体中，与“点”字所在面相对的面上的汉字是（
）
A.青
B.
春 C.
梦 D.
想
4. 下列二次根式是最简二次根式的是（
）
A.
2
1 B.
7
12 C.
8 D.3
5. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=30°，直线a ∥b ，顶点
C 在直线b 上，直线a 交AB 于点
D ，交AC 于点
E ，若∠1=145°，则∠2的度数是（）
A.30°
B.35
° C.40
° D.45
°
6. 不等式组
4
2231x
x 的解集是（）
A.
4x B.1x C.41x D.1
x 7. 五台山景区空气清爽，景色宜人.“五一”小长假期间购票进山游客
12万人次，再创历史新高
.
五台山景区门票价格旺季
168元/人.以此计算，“五一”小长假期间五台山景区进山门票总收入
用科学记数法表示为（）
A.2.016×108
元
B.0.2016×107
元
C.2.016×107
元
D.2016×104
元
8. 一元二次方程
0142
x x
配方后可化为（
）
A.3)2(2
x
B.
5)2(2
x C.3)2(2
x D.5
)
2(2
x 9. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图
1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型
钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图
2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象
- 抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于
A ，
B 两点，拱高为
78米（即最高点
O
到AB 的距离为78米），跨径为90米（即AB=90米），以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直
线为x 轴简历平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（
）
图1 图2
A.2
675
26x y
B.
2
675
26x y
C.
2
1350
13x y
D.
2
1350
13x
y
10. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=32，BC=2，以AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为（
）
A.
2
4
35 B.
2
4
35 C.3
2 D.
2
3
4第II 卷
非选择题（90分）
二.填空题（本大题共
5个小题，每小题
3分，共15分）
11.化简
x
x
x x 112的结果是 .
12.要表示一个家庭一年用于“教育”，服装，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，“从扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计是 . 13.如图，在一块长
12m ，宽8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与
矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为
x m ，则根据题意，
可列方程为 .
14.如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，菱形ABCD 的顶点B 在x 轴的正半轴上，点A 坐
标为（-4,0），点D 的坐标为（-1,4），反比例函数
)0(x x
k y
的图象恰好经过点
C ，则k 的值
为 .
15.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm ，点D 为△ABC 内一点，∠BAD=15°，AD=6cm ，连接BD ，将△ABD 绕点A 逆时针方向旋转，使AB 与AC 重合，点D 的对应点E ，连接DE ，DE 交AC 于
点F ，则CF 的长为 cm.
三.解答题（本大题共8个小题，共75分）
16.（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
（1）计算：0
2
)
2(60tan 3)
2
1(
27（2）解方程组：
②
02①823y
x y x 17.（本题7分）
已知：如图，点
B ，D 在线段AE 上，AD=BE ，A
C ∥EF ，∠C=∠H.求证：BC=DH
18.（本题9分）中华人民共和国第二届青年运动会（简称二青会）将于2019年8月在山西举行，太原市作为主赛区，将承担多项赛事，现正从某高校的甲、乙两班分别招募10人作为颁奖礼仪志愿
者，同学们踊跃报名，甲、乙两班各报了20人，现已对他们进行了基本素质测评，满分10分.各班
按测评成绩从高分到低分顺序各录用10人，对这次基本素质测评中甲、
乙两班学生的成绩绘制了如
图所示的统计图. 请解答下列问题：
（1）甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为7分，请你分别判断小华，小丽能否被录用（只
写判断结果，不必写理由）
.
（2）请你对甲、乙两班各被录用的10名志愿者的成绩作出评价
（从“众数”，“中位数”，或“平
均数”中的一个方面评价即可）
.
（3）甲、乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的两个场馆进行颁奖礼仪服务，四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场，山西省射击射箭训练基地，太原水上运动中心，这四个场馆分别用字母A ，B ，C ，D 的四张卡片（除字母外，其余都相同）
背面朝上，洗匀放好
.志愿者小玲从中随机抽取一张（不放回）
，再从中随机抽取一张，请你用列表
或画树状图的方法求小玲抽到的两张卡片恰好是“A ”和“B ”的概率
.
19.（本题9分）某游泳馆推出了两种收费方式.
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付
费30元.
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）.
（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式.
（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱.
20.（本题9分）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测
点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）
任务一：两次测量A ，B 之间的距离的平均值是 m.
任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校学校旗杆
GH 的高度.
（参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
任务三：该“综合与实践”小组在定制方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”
的方案，但未被采纳
.你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
.
21.（8分）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：莱昂哈德·欧拉（
Leonhard Euler ）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，
公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC 中，R 和r 分别为外接圆和内切圆的半径，
O 和
I 分别为其外心和内心，则
Rr R
OI
22
2
.下面是该定理的证明过程（部分）
：
延长AI 交⊙O 于点D ，过点I 作⊙O 的直径MN ，连接DM ，AN. ∵∠D=∠N ，∴∠DMI=∠NAI （同弧所对的圆周角相等），
∴△MDI ∽△ANI.∴
IN
ID IA
IM ，∴
IN IM ID IA ①
如图②，在图1（隐去MD ，AN ）的基础上作⊙O 的直径DE ，连接BE ，BD ，BI ，IF
∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DBE=90°．∵⊙I 与AB 相切于点F ，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA.
∵∠BAD=∠E （同弧所对圆周角相等），∴△AIF ∽△EDB.
∴
BD
IF DE
IA ，∴
IF DE BD
IA ②任务：（1）观察发现：
d R IM
，IN
（用含R ，d 的代数式表示）；
（2）请判断BD 和ID 的数量关系，并说明理由.
（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证
明的剩余部分；
（4）应用：若△ABC 的外接圆的半径为5cm ，内切圆的半径为2cm ，则△ABC 的外心与内心之间的距
离为 cm.
22.（本小题11分）综合与实践动手操作：第一步：如图
1，正方形纸片
ABCD 沿对角线AC 所在直线折叠，展开铺平.在沿过点C 的直线折叠，
使点B ，点D 都落在对角线AC 上.此时，点B 与点D 重合，记为点
N ，且点E ，点N ，点F 三点在同
一直线上，折痕分别为CE ，CF.如图 2.
第二步：再沿AC 所在的直线折叠，△
ACE 与△ACF 重合，得到图
3
第三步：在图
3的基础上继续折叠，使点
C 与点F 重合，如图4，展开铺平，连接
EF ，FG ，GM ，ME ，
如图5，图中的虚线为折痕
.
问题解决：
（1）在图5中，∠BEC 的度数是，
BE
AE 的值是；
（2）在图5中，请判断四边形EMGF 的形状，并说明理由；
（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形
除外），并写出这个菱形：
.
23.（本题13分）综合与探究
如图，抛物线62
bx
ax y 经过点A （-2,0），B （4,0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上
一个动点，设点
D 的横坐标为)41
(m
m .连接AC ，BC ，DB ，DC.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）△BCD 的面积等于△AOC 的面积的4
3
时，求m 的值；
（3）在（2）的条件下，若点
M 是x 轴上的一个动点，点
N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这
样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；
若不存在，请说明理由
.
参考答案
一.选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B
D
B
D
C
A
C
D
B
A
二.填空题11.
1
3x x 12.扇形统计图 13.77 14.16 15.
6
210三.解答题
16.（1）原式=5
133433（2）①+②得：
84x ，解得2x ，将2x 代入②得：
022y ，解得1
y ∴原方程组的解为
1
2
y x 17.证明：∵AD=BE ，∴AD-BD=BE-BD ，即AB=DE. ∵AC ∥EF ，∴∠A=∠E 在△ABC 和△EDH 中
∠C=∠H ，∠A=∠E ，AB=DE.∴△ABC ≌△EDH ，∴BC=DH
18.（1）小华：不能被录用，小丽：能被录用（2）从众数来看：甲、乙两班各被录用的10名志愿者成绩的众数分别为8分，10分，说明甲班被
录用的10 名志愿者中8分最多乙班被录用的10名志愿者中10分最多
从中位数来看：甲、乙两班各被录用的
10名志愿者成绩的中位数分别为
9分，8.5分，说明甲班被录用的10名志愿者成绩的中位数大于乙班被录用的10名志愿者成绩的中位数
从平均数来看：甲、乙两班各被录用的
10名志愿者成绩的平均数分别为
8.9分，8.7分，说明甲班
被录用的10名志愿者成绩的平均数大于乙班被录用的
10名志愿者成绩的平均数
（从“众数”，“中位数”或“平均数”中的一方面即可）（3）画树状图如下：
由树状图可知一共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中抽到“A ”和“B ”
的结果有2种.∴6112
2P
19.（1）x
y x
y 40;200302
1
（2）由21y y 得：x x
4020030解得：
20x ，∴当20x
时选择方式一比方式
2省钱
20.解：任务一：由题意可得：四边形ACDB ，四边形ADEH 都是矩形
∴EH=AC=1.5，CD=AB=5.5 任务二：设EC=x m
在Rt △DEG 中：∠DEC=90°，∠GDE=31°∵tan31°＝
DE
EG ，∴31
tan x DE
.
在Rt △CEG 中：∠CEG=90°，∠GC E=25.7°．
∵tan25.7°＝CE EG ，CE=
7
.25tan x ∵CD=CE-DE ，∴
5.531
tan 7
.25tan x x ，∴2
.13x ∴GH=CE+EH=13.2+1.5=14.7 答：旗杆GH 的高度为14.7m
任务三：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等
.
21.解：（1）R-d （2）BD=ID 理由如下：∵点
I 是△ABC 的内心
∴∠BAD=∠CAD ，∠CBI=∠ABI
∵∠DBC=∠CAD ，∠BID=∠BAD+∠ABI ，∠DBI=∠DBC+∠CBI ∴∠BID=∠DBI ，∴BD=ID （3）由（2）知：BD=ID ∴IA ·ID=DE ·IF
又∵DE ·IF=IM ·IN ，∴))((2d R d R Rr
，∴Rr
d
R
22
2
∴Rr
R d 22
2
（4）5252522
2
2
Rr
R
d
，∴5
d
22.解：（1）67.5°
2
（2）四边形EMGF 是矩形理由如下：∵四边形
ABCD 是正方形，∴∠B=∠BCD=∠D=90°
由折叠可知：∠1=∠2=∠3=∠4，CM=CG ，∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°由折叠可知：MH 、GH 分别垂直平分EC ，FC ，
∴MC=ME ，GC=GF
∴∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°，∴∠MEF ∠GFE=90°∵∠MCG=90°，CM=CG.∴∠CMG=45°
又∵∠BME=∠1+∠5=45°，∴∠EMG=180°-∠CMG-∠BME=90°∴四边形EMGF 是矩形.
（3）菱形FGCH 或菱形EMCH （一个即可），如下图所示
23.解：（1）抛物线c bx ax y
2
经过点A （-2,0），B （4,0），
∴
6
4160624b a b a ，解得
2
343b
a
，∴抛物线的函数表达式为
6
2
3432
x
x
y
（2）作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为 F. ∵点A 的坐标为（-2,0），∴OA=2 由
0x ，得6y ，∴点C 的坐标为（0,6）
，∴OC=6 ∴S △OAC =66221
21OC
OA ，∵S △BCD =43S △AOC =29
643
设直线BC 的函数表达式为
n kx y ，由B ，C 两点的坐标得
6
4n
n k ，解得
62
3n
k ∴直线BC 的函数表达式为
62
3x y
.
∴点G 的坐标为),62
3
,(m m ∴m
m m m m DG
34
3)623(623432
2
∵点B 的坐标为（4,0），∴OB=4
S △BCD=S △CDG+S △BDG=
BO
DG BE CF DG BE
DG CF DG 2
1)
(2
12
12
1=m
m
m m
62
34
3432
12
2
）（∴
2
96232
m m
，解得11m （舍），32
m ，∴m 的值为 3
（3）)
0,14(
),0,14(),0,0(),0,8(4321M M M M 如下图所示，以
BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图
以BD 为边进行构图，有
3种情况，采用构造全等发进行求解
.
∵D 点坐标为)4
15,
3(，所以21,N N 的纵坐标为
4
154
156
2
34
32
x x
，解得3,121x x （舍）
可得
)
0,0(),
4
15,1(22M N ∴43,N N 的纵坐标为
4
15时，
14
1,1414156
2
34
3212
x x x x
，∴)0,14(),
4
15,
141(33M N ，)
0,14(),4
15,141
(44M N 以BD 为对角线进行构图，有1种情况，采用中点坐标公式进行求解
.
∵)
0,8(),
4
150
4
15),
1(43(),
4
15,
1(111M M N。