2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算(用)

设
e 是轴 l 上的一个基向量, AB AB e
BAe ， 与 AB 绝对值相同， BA
显然，BA
符号相反，即
e
A O B
AB BA 0
C
l
AB BC AC
因为 所以
eo
AB e BC e AC e
( AB BC )e AC e
AB BC AC
在数轴
向量 AD 与向量 AB 共线，且有共同起点 A, 故 A, B, D 三点共线。
变式引申 已知非零向量 1和 e 2不共线，欲使 k e1 共线，是确定 k 的值。 解 ：因为 k e1 e2 和 所以存在实数 ，使 k e1 e2 则( k
e
e2
和
e1 k e2
e1 k e2
向量共线的条件与轴上向量坐标运算
引入：在学习向量概念时，我们们已给出向量共线 的概念： 如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线 或互相平行。
a
b
c
d
一、向量共线的条件 由向量平行和向量数乘的定义可以推知：
a λb ， 则 a b ；反之，如果 a b ( b o ) ， 则存在唯一一个实数λ ，使 a λ b
d
与
c
共线
某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正北 方吹来，而当速度为2a公里时，感到风从东北方向吹来， 试问实际风速和风向。
解:设 a 表示人以每小时 a 公里的速度向东行驶的向量。在无 风时此人感到的风速为 a 。设实际风速为 v ,那么此人所 感到的风速向量为 v a .设 OA a, OB 2a ，由于 P PO OA PA 这就是感到 v 从正北方向 从而 PA v a B O吹来得风速。 A
AC
M
B
N C

1 2
( AC AB )
1 2
BC
MN BC , MN
1
2
BC
例题讲解（二）
例2、已知 a
并求
3e, b 2e. 试问向量 a 与向量 b
是否平行
a:b
1
b 2e 得e b ，代入 a 3e 2 3 3 得a b 因此， 与 b 平行且 a : b a 2 2 定理的实质是向量相等，即存在唯一实数 使 b a
a
a
由于 PO OB PB ，从而 v 2 a PB 于是，当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方 向吹来的风速就是PB 由题意，得 PBO
45 , PA BO , BA AO
0
从而 PBO 为等腰直角三角形，故 PO PB 即
2a
v 2a
答：实际吹来的风是风速为 2a 的西北风。
共线
(e1 k e2 )
)e1 (k 1)e2 由于 e1 与 e 不共线， 2
只能有
k 0
k 1 0
，则 k 1
a b 与 c 共线？ 解：假设存在这样的实数 , 使 d a b 与
量d
a 2e1 3e2 , b 2e1 3e2 ，其中 e1 , e2 不共 线，向量 c 2e 9e 问是否存在这样的实数 , ，使向 1 2
平行向量基本定理 如果
为什么要 求
bo
如果
a 2b
则 a b ; 如果c 2b的 Nhomakorabea度是 b
则
c b
，如果 d
b
d
长的一半，并且方向相反，则
d b 2
d
b 2 1
1
b
a
2b
c
2b
单位向量
给定一个非零向量
a ，与 a
同方向且
长度等于1的向量，叫做向量
a 的 单位向量。
，由数乘向量定义可知
已知向量
c
共线，
d a b ( 2e1 3e2 ) ( 2e1 3e2 )
( 2 2 )e1 ( 3 3 )e2 要使 d 与 c 共线，则应
有 实数 k ，使 d k c 即( 2 2 )e1 ( 3 3 )e2 2k e1 9k e2 由 2 2 2 k 得 2 故存在这样的 , 使 3 3 9 k
e同方向时，x 是正 数 当 a与 e反方向时， 是负数 x
当 a与
设a
x1 e, b x2 e,
于是 ，得
如果 a
b,
则
x1 x2
反之，如果 x1
x2 ，则a b,
a b ( x1 x2 )e
轴上两个向量相等的条件是他们的坐标相等； 轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和。
e
2e1 3e2 ,
BC 6e1 23 e2 , CD 4e1 8e2 .
解：
求证： A, B, D 三点共线
AD AB BC CD 2e1 3e2 6e1 23 e2 4e1 8e2 12 e1 18 e2 6( 2e1 3e2 ) 6 AB
e e
a xe 反过来，任意给定一个实数 x ，我们总能作一个向量a ， 使它的长度等于这个实数 x 的绝对值，方向与实数
的符号一致。
给定一向量
e 能生成与它平行的所有向量的集合
xe x R
l
（其中 a
xe ）
这里的向量 e 叫做轴 的基向量。 叫做 坐标（或数量）
x
a 在 l 上的
-6
-2
O
4
解： AB (2) 4 6,
l
AB 6 6
BC 4 4
BC 6 (2) 4,
CA 4 (6) 10 ,
CA 10 10
练习1、已知数轴上三点 A 、B 、C 的坐标分别为 8,2,5, 求 AB、 BC、CA 的坐标和长度
如果向量
a 的单位向量记作 a 0
或
a a a0
a0
a a
1
a
a0
例题讲解（一）
1 例1、如图所示，M 、 是 ABC 的中位线。求证： N MN BC , 且 MN BC 2
证明：M、N分别是 AB、AC边上的中点
A
AM
1 2
AB , AM
1 2
1 2
AC
1 2 AB
MN AN AM
x 上，已知点 A 的坐标为 x1 ，点 B 的坐标
于是得到 AB
为
x2
AO OB OA OB
x2 x1
即 为
AB x2 x1
AB x2 x1
B
数轴上两点距离公式
o
0
x2
P 3
A
x1
x
例题讲解三 例3、 已知数轴上三点A、B、C的坐标分别是4、-2、-6， 求 AB , BC , CA 的坐标和长度。
解：由
( a o )，应从向量的大小和方向两个方面理 解，借助实数 沟通了两个向量 b 与 a 的联系
二、轴上向量坐标运算
轴的概念 规定了方向和长度单位的直 线叫做轴
想 轴和数轴 一 想 的区别
e
l
已知轴 l 取单位向量 ,使 的方向与 l 同方向，根据平行 的条件，对于轴 l 上任意向量 一定存在唯一数 x ，使
设
A 、B 、C 的坐标分别为
x x x
1, 2,
3
AB
x2 x1 2 (8) 6
AB 6
BC 7
BC
CA
x 3 x 2 5 ( 2 ) 7
x1 x3 8 5 13
CA 13
练 习2
已知两个非零向量 1 和 e2 不共线，如果 AB