高中数学 平面向量复习题及答案

向量 1、在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则（ ）
A 、A
B 与A
C 共线 B 、DE 与CB 共线C 、1
sin AD θ-与AE 相等 D 、AD 与BD 相等
2、下列命题正确的是（ ）
A 、向量A
B 与BA 是两平行向量 B 、若a 、b 都是单位向量,则a =b
C 、若AB =DC ,则A 、B 、C 、
D 四点构成平行四边形
D 、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
3、在下列结论中，正确的结论为（ ）
(1)a ∥b 且|a |=|b |是a =b 的必要不充分条件；(2)a ∥b 且|a |=|b |是a =b 的既不充分也不必要条件；
(3)a 与b 方向相同且|a |=|b |是a =b 的充要条件；(4)a 与b 方向相反或|a |≠|b |是a ≠b 的充分不必要条件A 、(1)(3) B 、(2)(4) C 、(3)(4) D 、(1)(3)(4)
4、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是 。

5、已知|AB |=1，|AC |=2，若∠BAC =60°，则|BC |= 。

6、在四边形ABCD 中, AB =DC ，且|AB |=|AD |，则四边形ABCD 是 。

7、设在平面上给定了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：KL =NM 。

8、某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点,然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C 点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点。

(1)作出向量AB 、BC 、CD (1 cm 表示200 m )。

(2)求DA 的模。

T ={PQ 、
9、如图,已知四边形ABCD 是矩形,设点集M ={A 、B 、C 、D }，求集合
Q ∈M ,且P 、Q 不重合}。

向量的加法
1、下列四式不能化简为AD 的是 （ ）
A 、（A
B +CD ）+B
C B 、（A
D +MB ）+（BC +CM ）
C 、MB +-A
D BM D 、OC OA -+CD
2、M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB 共线的是 （ ）
第9题图
A、AM+MB+BC
B、3AM+AC
C、AB+BC+AC
D、AM+ BM+CM
3、在平行四边形ABCD中，BC+DC+BA等于（）
A、BC
B、DA
C、AB
D、AC
4、下列各等式或不等式中，一定不能成立的个数是
① |a|－|b|<|a+b|<|a|+|b|；② |a|－|b|=|a+b|=|a|+|b|；
③ |a|－|b|=|a+b|<|a|+|b|；④ |a|－|b|<|a+b|=|a|+|b|。

A、0
B、1
C、2
D、3
5、已知两个力F1,F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60 ，|F|=10N，求F1和F2的大小。

6、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

7、如图,是半个象棋盘，马从Ａ跳到Ｂ，如果不是从原路跳回，最少几步可跳回Ａ处？如果不限步数，从Ａ经Ｂ再跳回Ａ，所走步数有什么特点？
向量的减法
1、在△ABC中, BC=a, CA=b,则AB等于( )
A、a+b
B、-a+(-b)
C、a-b
D、b-a
2、O为平行四边形ABCD平面上的点,设OA=a, OB=b, OC=c, OD=d,则
A、a+b+c+d=0
B、a-b+c-d=0
C、a+b-c-d=0
D、a-b-c+d=0
3、在下列各题中,正确的命题个数为( )
(1)若向量a与b方向相反,且|a|＞|b|,则a+b与a方向相同
(2)若向量a与b方向相反,且|a|＞|b|,则a-b与a+b方向相同
(3)若向量a与b方向相同,且|a|＜|b|,则a-b与a方向相反
(4)若向量a与b方向相同,且|a|＜|b|,则a-b与a+b方向相反
A、1
B、2
C、3
D、4
4、如图，在四边形ABCD中,根据图示填空：
a+b= ,b+c= ,c- d= ,a+b+c- d= 。

5、一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向 行驶,而船实际行驶速度的大小为4 km/h,则河水的流速的大小为 。

6、若a 、b 共线且|a +b |＜|a -b |成立,则a 与b 的关系为 。

7、在五边形ABCDE 中,设AB =a , AE =b , BC =c , ED =d ，用a 、b 、c 、d 表示CD 。

确定a 、
8、如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，b 、c 、d 的方向（用箭头表示）,使a +b =AB ,c -d =DC ,并画
出b -c 和a +d .
OD =c ,
9、已知O 是□ABCD 的对角线AC 与BD 的交点,若AB =a , BC =b ,
试证明:c +a -b =OB . 实数与向量的积
1、下面给出四个命题：
① 对于实数m 和向量a 、b 恒有：()b m a m b a m -=-；②对于实数m,n 和向量a ,恒有：
()a n a m a n m -=-；
③若b m a m =(m ∈R)，则有：b a =；④若a n a m =(m 、n ∈R ，0≠a )，则m=n ．其中正确命题的个数是
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
2、设1e 和2e 为两个不共线向量，则a =21e －2e 与b =1e +λ2e （λ∈R ）共线的充要条件是
A 、λ=0
B 、λ=－1
C 、λ=－2
D 、λ=－
21 3、下列各式或命题中：
① →→→=-BC AC AB ② →→→=+0BA AB ③ →→=•00AB ④若两个非零向量a 、b 满足 b k a = (k≠0)，则a 、b 同向． 正确的个数为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3
4、点G 是△ABC 的重心，D 是AB 的中点，则GA +GB GC -等于
A 、4GD
B 、－4GD
C 、6G
D D 、－6GD
5、在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，若 →BC =3a , →DC =2b , 则→AO 等于
A 、21(3a +2b )
B 、21 (3a －2b )
C 、21 (2b －3a )
D 、2
1 (3b +2a ) 6、若向量方程2x －3(x －2a )=0，则向量x
N A B D M C A 、56a B 、－6a C 、6a D 、－5
6a 7、已知向量j i a 32-=，j i b -=5，则4a －3b =_____________．
8、在△ABC 中，D 是BC 的中点，→AB = a ，→AC =b ，则→AD =______ ___．
9、在ABCD 中，→AC = a ，→BD =b ，则→AB =_____ __，→AD =______ ___．
10、梯形ABCD ，AB ∥CD ，且||2||CD AB =，M 、N 分别是 DC 和AB
的中点，如图，若AB =a ,AD =b ，用a ，
b 表示 BC 和MN ，则BC = ；=MN ．
11、若ABCD 的中心为O ，P 为该平面上一点，a PO =，那么=+++PD PC PB PA ．
12、设a 、b 为二不共线向量，如果k a +b 与a +k b 共线，那么k = ．
13、已知M 、N 是线段AB 的三等分点，对平面上任一点O ，用OB OA ,来表示ON OM ,，
=OM ；=ON 。

14、如图所示，在任意四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，
F 为BC 的中点，求证：EF DC AB 2=+．
15、ΔABC 中，AB =a ，AC =b ，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，AD ：DB =AE ：EC ，
证明：DE 与BC 平行．
16、如图，
ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且 BN =
31BD ，求证：M 、N 、C 三点共线．
17、如图，在△ABC 中，AB =a , BC =b ，AD 为边BC 的中线，
G 为△ABC 的重心，求向量AG 。

D A
E C a b
B F G
实数与向量的积
1、下面向量a 、b 共线的有（ ）
(1)a =21e ,b =-22
e (2)a =1e -2e ,b =-21e +22e (3)a =41e -522e ,b =1e -1012e (4)a =1e +2e ,b =21e -22e (1e 、2e 不共线) A 、(2)(3) B 、(2)(3)(4) C 、(1)(3)(4) D 、 (1)(2)(3)(4)
2、设一直线上三点A 、B 、P 满足AP =λPB (λ≠±1),O 是空间一点,则OP 用OA 、OB 表示式为（ ）
A 、OP =OA +λO
B B 、OP =λOA +(1-λ) OB
C 、OP =1OA OB λλ++
D 、111OP OA OB λλ
=+- 3、若a 、b 是不共线的两向量,且AB =λ1a +b , AC =a +λ2b (λ1、λ2∈R ),则A 、B 、C 三点共线的充要条件为（ ）A 、λ1=λ2=-1 B 、λ1=λ2=1 C 、λ1λ2+1=0 D 、λ1λ2-1=0
4、若a =-1e +32e ,b =41e +22e ,c =-31e +122e ,则向量a 写为λ1b +λ2c 的形式是 。

5、已知两向量1e 、2e 不共线,a =21e +2e ,b =31e -2λ2e ,若a 与b 共线,则实数λ= 。

6、设平面内有四边形ABCD 和点O , OA =a , OB =b , OC =c , OD =d ,a +c =b +d ,则四边形ABCD 的形状是 。

7、设OA 、OB 不共线,点P 在O 、A 、B 所在的平面内,且OP =(1-t ) OA +t OB (t ∈R ),求证A 、B 、P 三点共线。

8、当不为零的两个向量a 、b 不平行时,求使p a +q b =0成立的充要条件。

9、已知向量a =21e -32e ,b =21e +32e ,其中1e 、2e 不共线，向量c =21e -92e ,问是否存在这样的实数λ、μ，使d =λa +μb 与c 共线?
平面向量的坐标运算
1、下列四组坐标中哪一组能构成平行四边形的四个顶点（ ）
A ．（1，2）（2，3）（3，4）（4，5） B.（1，2）（-2，3）（-5，4）（4，1）
C ．（0，0）（1，1）（2，2）（3，0） D.（0，0）（1，1）（-1，-1）（1，-1）
2、已知四边形ABCD 的四个顶点坐标分别为A （0，0），B （1，1），C （-1，1），D （0，2），此四边形为（ ）A ．平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
3、已知向量),3,2(),,(),1,6(--===CD y x BC AB 则AD 等于
(A) (4－x,y －2) (B)(4+x,y －2)
(C)(－4－x,－y+2) (D)(4+x,y+2) 4、点M （4，3）关于点N （5，－3）的对称点L 的坐标是 。

5、已知()1,1=AB ，且B 点坐标为（-2，1），则A 点坐标为 。

6、已知A （1，0），B （-2，1），且AB AD AB AC 2
1,3-==，则C 、D 两点的坐标分别为 ， 。

7、已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标A （-2，1），B （-1，3），C （3，4），求顶点D 及中心O 的坐标。

8、已知三个力F 1（3，4），F 2（2，－5），F 3（x,y ）的合力F 1+F 2+F 3=0，求F 3的坐标
9、已知点O （0，0），A ，（1，2），B （4，5）及AB t OA OP +=，求
（1）t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？
（2）四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由。

平面向量的坐标运算
1、若a =(x １,y １)，b =(x ２，y ２)，且a ∥b ,则坐标满足的条件为（ ）
A 、x １x ２－ｙ１ｙ２＝０
B 、ｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝０
C 、ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝０
D 、ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝０
2、设a =(23，sin α)，b =(ｃｏｓα，3
1)，且a ∥b ，则锐角α为（ ） A 、30°
B 、60°
C 、45°
D 、75° 3、设k ∈Ｒ，下列向量中，与向量a =(1,-1)一定不平行的向量是（ ）
A 、(k ,k )
B 、(-k ,-k )
C 、(k ２＋１，ｋ２＋１)
D 、（ｋ２－１，ｋ２－１）
4、若A (-1,-1),B (1,3),C (x ,5)三点共线，则x =
5、已知a =(3,2),b =(2,-1),若λa +b 与a +λb （λ∈Ｒ）平行，则λ＝
6、若a =(-1,x )与b =(-x ,2)共线且方向相同，则x =
7、设3(,sin )2a α=，1(cos ,)3
b α=，且//a b ，则锐角α为（ ） A 030 B 060 C 075 D 0
45 8、向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -平行，则m 等于（ ）
A 2-
B 2
C 21
D 12
- 9、已知a =(1,2),b =(-3,2)，当k 为何值时k a +b 与a -3b 平行?
10、试证明：平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和
线段的定比分点 1、已知点A 分有向线段BC 的比为2，则在下列结论中错误的是（ ）
A 、点C 分A
B 的比是-3
1
B 、点
C 分BA 的比是-3 C 、点C 分AC 的比是-32
D 、点A 分CB 的比是2
2、已知两点P １（－１，－６）、Ｐ２（３，０），点P （－
37，ｙ）分有向线段12PP 所成的比为λ，则λ、ｙ的值为（ ）A 、－41，８ B 、41，－８ C 、－41，－８ D 、４，8
1 3、△ABC 的两个顶点A (3，7)和B (-2，5)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标是（ ）A 、(2，-7) B 、(-7，2) C 、(-3，-5) D 、(-5，-3)
4、已知点A (x ,2),B (5,1),C (-4,2x )在同一条直线上，那么x = 。

5、△ABC 的顶点A (2，3)，B (-4，-2)和重心G (2，-1)，则C 点坐标为 。

6、已知M 为△ABC 边AB 上的一点，且Ｓ△ＡＭＣ＝8
1Ｓ△ＡＢＣ，则M 分AB 所成的比为 。

7、已知点A (-1,-4)、B (5,2)，线段AB 上的三等分点依次为P １、Ｐ２，求Ｐ１、Ｐ２点的坐标以及A 、B 分12PP 所成的比λ。

8、过P １（１，３）、Ｐ２（７，２）的直线与一次函数5
852+=x y 的图象交于点P ，求P 分12PP 所成的比值。

9、已知平行四边形ABCD 一个顶点坐标为A (-2,1)，一组对边AB 、CD 的中点分别为
M (3，0)、N (-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标。

10、已知点A （－1，－4），B （5，2），线段AB 上的三等分点依次为P 1，P 2，求P 1，P 2的坐标以及A ，B 分21P P 所成的比λ
11、已知三点A （0，8），B （－4，0），C （5，－3），D 点内分AB 的比为1：3，E 在BC 上，且使△BDE 的面积是△ABC 面积的一半，求E 点的坐标。

平面向量的数量积及运算律 1、判断下列各题正确与否： 1︒若a = 0，则对任一向量b ，有a ⋅b = 0 ( ) 2︒若a ≠ 0，则对任一非零向量b ，有a ⋅b ≠ 0 ( )
3︒若a ≠ 0，a ⋅b = 0，则b =0 ( )
4︒若a ⋅b = 0，则a 、b 至少有一个为零 ( )
5︒若a ≠ 0，a ⋅b = a ⋅c ，则b = c ( )
6︒若a ⋅b = a ⋅c ，则b = c 当且仅当a ≠ 0时成立 ( )
7︒对任意向量a 、b 、c ，有(a ⋅b )⋅c ≠ a ⋅(b ⋅c ) ( )
8︒对任意向量a ，有a 2 = |a |2 ( )
2、在四边形ABCD 中，,,,,d DA c CD b BC a AB ====且a d d c c b b a ⋅=⋅=⋅=⋅，问该四边形ABCD 是什么图形？
3、已知向量a 、b 、c 满足a+b+c=0，（1）若a 、b 、c 均为单位向量；（2）若
1,4,3===c b a ,试分别求出a c c b b a ⋅+⋅+⋅的值。

4、已知向量a 与b 的夹角为3
π，且4,2==b a ，求()()
b a b a -⋅+2。

平面向量的数量积及运算律 1、已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）
A 、60°
B 、30°
C 、135°
D 、４５°
2、已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3
π，那么向量m ＝a -4b 的模为（） A 、2 B 、23 C 、6 D 、12
3、已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ）
A 、充分但不必要条件
B 、必要但不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件 4、已知向量a 、b 的夹角为3
π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= 。

5、已知a +b =2i -8j ,a -b =-8i +16j ,其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = 。

6、已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,| c |=3,
则(a +2b -c )２＝______。

7、已知|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ·b ;(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；
(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角。

8、设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角。

平面向量数量积的坐标表示
一、选择题
1、若=（-3，4），=（5，12），则与夹角的余弦为（ ）
A ．6563
B ．6533
C ．6533-
D ．65
63- 2、已知a =（1，2），b =（x ，1），且a +2b 与2a -b 垂直，则x 等于（ ）
A ．2
B ．27
C ．-2
D ．2
7或-2 3、已知=（-1，1），=（2，y ），且2+2与-2平行，则y 等于（ ）
A ．2
B ．-2
C ．21
D ．2
1- 4、给定两个向量a =（3，4），b =（2，1），且()()b a b x a -⊥+，则x 等于（ ）
A ．3
B ．23
C ．-3
D ．2
3- 二、填空题
1、已知()2,32,2-==b a ，若a ⊥b ，则a = ．
2、向量a ()
13,13+-=在与a 成45角的单位向量上的投影为 ． 3、已知a ()()5,2,2,-==b λ，且a 与b 的夹角是钝角，则的取值范围是 ．
4、在∆ABC 中，()()k AC AB ,1,3,2==，且角B 为直角，则k 的值为 ．
5、正方形OABC 的边长为a ，D 、E 分别为AB 、BC 中点，则∠DOE 的余弦值为 ．
6、已知A （7，5），B （2，3），C （6，-7），那么∆ABC 的形状为 ．
三、解答题
1、已知a =（-1，2），b =（3，-1），求满足条件3,4=⋅=⋅b c a c 的向量c ．
2、已知∆ABC 的三顶点分别为A （2，-1），B （3，2），C （-3，-1），BC 边上的高为AD ，求点D 和AD 的坐标．
3、已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ABC ＝90°，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.
4、正方形ABCD 中，P 是对角线DB 上的一点，PFCE 是矩形，
证明：（1）PA=EF ；（2）PA ⊥EF ．
平移
一、选择题
1、将点A ()m ,0按向量平移后，得点'A ()0,m ，则向量等于（ ）
A ．()m m ,-
B ．()m m --,
C ．()m m -,
D ．()m m ,
2、已知A （5，7），B （2，3），将按a =（4，1）平移后的坐标为 （ ）
A ．（－3，－4）
B ．（－4，－3）
C ．（1，－3）
D ．（－3，1）
3、将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin 2πx y 的图像按向量⎪⎭
⎫ ⎝⎛=→1,6πa 平移后得到的函数为（ ） A ．1sin 2+=x y B ．13sin 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=πx y C ．1sin 2-=x y D ．13sin 2+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=πx y
4、将图像C 按()3,0=→
a 平移后，得到图像'C ，若'C 的解析式为()32+=x x f ，则原图像C 的解析式为（ ）A ．()32-=x x f B ．()63+=x x f C ．()x x f 2= D ．()3+=x x f
5、若将函数()x f y =的图像按向量a 平移，使图象上点P 的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图像的解析式为（ ）
A ．()21+-=x f y
B ．()21--=x f y
C ．()21-+=x f y
D ．()21++=x f y
二、填空题
1、把点()1,2-A 按向量()2,3=a 平移，对应点'A 的坐标为 。

2、按向量a 把()3,2-平移到()2,1-，则a 把点()5,11平移到 。

3、()
12+=x e
y 的图像C 按()0,2=→
a 平移得到'
C ，则'
C 的函数解析式为______ _。

4、将直线b kx y +=按向量()2,3-=a 平移，所得直线与原来直线重合，则k= .
5、把函数1162++=x x y 的图象经过向量a 平移，得到2
x y =的图象，则=a 。

6、已知点()2,1-A 和()1,6B 按向量a 平移后的坐标分别是()m ,3-和()4,n ，则=a ； AB 按a 平移后的坐标是 。

三、解答题
1、三角形ABC 的顶点A(1，2)， B(2， 3)， C(3，1)，把ΔABC 按向量→
a 平移后得到的 ΔDEF 的重心为(3，3)，求D 、E 、F 的坐标。

2、已知抛物线C ：322
+-=x x y ．（1）求抛物线顶点A 的坐标；
（2）若按向量)2,3(=a 平移，求点A 的对应点A′的坐标及抛物线C 的对应抛物线'C 的解析式； （3）将已知抛物线C 按向量b 平移后，对应的抛物线"C 顶点在原点，求向量b 的坐标及抛物线"C 的解析式；
3、已知把函数()5422
+-=x x x f 的图像按向量→
a 平移之后得到()2
2x x g = 的图像，
（1）求向量→a 的坐标；（2）若()1,1-=→n ，且4,=⋅⊥→→→→n m m a 。

求→
m 的坐标。

向量
作业：1—3、BAD ；4、一条直线、两点；5、3；6、菱形；7、略； 8、(1)如图所示，(2)450 m 。

9、答：{AC 、CA 、BD 、DB 、AB 、AD 、BA 、DA }
向量的加法
作业：1—4、CDAA ；
5、略；
6、Z k k n ∈=,4。

向量的减法
作业： 1—3、BBD ；
4、-f , -e , f , 0；
5、2 km/h ；
6、a 与b 的方向相反且都不为零向量；
7、b + d -a -c ；
8、
5.3.1实数与向量的积
作业：1—6、CDCAAC ；
5、j i 97--；
6、()
b a AD +=
2
1
； 7、()
b a AB -=21；()
b a AD +=21； 8、b a BC +-=21；b a MN -=4
1
；
9、PO 4； 10、OB OA OM 3132+=；OB OA ON 3
2
31+=；
11、、∵BF AB EA EF ++=，CF DC ED EF ++=，∴ DC AB EF +=2． 12、∵
EC AE DB AD =，∴ k AC
AE
AB AD ==，
∵ ()
BC k AB AC k AD AE DE =-=-=，∴ BC DE //． 13、∵ CB CD BD -=，∴ (
)
CD CB BD CB CN +=+
=23
1
31， ∵ (
)
CN CD CB CD CB BM CB CM 2
3
22321=+=+=+=，
∴ CM CN //，即：M 、N 、C 三点共线．
14、解法一：∵AB =a , BC =b 则BD =21BC =2
1b
∴AD =AB +BD =a +21b 而AG =3
2
AD
∴AG =32a +3
1b
解法二：过G 作BC 的平行线，交AB 、AC 于E 、F
∵△AEF ∽△ABC ， AE =32AB =32a EF =32BC =32b EG =21EF =31b
∴AG =AE +EG =32a +3
1b
D
A
E C
a b
B
F G
实数与向量的积
作业：1—3、ACD ； 4、-
181b +27
7c ； 5、-
4
1
； 6、平行四边形； 7、略。

8、p=q=0；
9、略。

10、解：由H 、M 、F 所在位置有： AM =AD +DM =AD +
21DC =AD +21AB =b ＋2
1
a ， HF ＝AF －AH ＝AB ＋BF －AH
＝AB ＋1132BC AD -＝AB ＋31AD －21AD ＝a －6
1
b
11、解：∵PQ ∥BC ，且BC
PQ
＝ｔ，有△APQ ∽△ABC ，且对应
边比为ｔ（＝
BC PQ ），即AC
AQ
AB AP =＝ｔ． 转化为向量的关系有：AP ＝ｔAB ，AQ ＝ｔAC ，
又由于：AP ＝OP －OA ，AQ ＝OQ －OA ，
AB ＝OB －OA ，AC ＝OC －
∴OP ＝OA ＋AP ＝OA ＋ｔ（OB －OA ）
＝a ＋ｔ（b －a ）＝（１－ｔ）a ＋ｔb ,
OQ ＝OA ＋AQ ＝OA ＋ｔ（OC －OA ）
＝ｔ（c －a ）＋a ＝(１－ｔ）a ＋ｔc
AM ＝
12、分析：首先把图形语言：M 、N 是AB 、AC 的中点翻译成向量语言：
21AB ，AN ＝2
1
AC 。

然后再把向量的一种语言转化为向量的另一种语言，即 MN ＝AN －AM ＝21AC －21AB ＝21（AC －AB ）＝21
BC 。

最后又将向量语言MN ＝21BC 翻译成图形语言就是：MN ＝2
1
BC 且MN ∥BC 。

13、证明：因为E 、F 为DC 、AB 的中点，∴DE ＝21DC ，BF ＝21
BA ，
由向量加法法则可知：AE ＝AD ＋DE ＝AD ＋21DC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋2
1
BA 。

∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ＝－CB ，DC ＝－BA ， ∴AE ＝－CB －
21BA ＝－（CB ＋2
1
BA ）＝－CF ∴ AE ∥CF ，∴ AE ∥CF 。

B
C
B
C
平面向量的坐标运算
作业：1、B ；2、D ；3、B ；4、（6，-9）；5、(-3,0)；6、（-8，3），)21,25(-；7、D(2,2)，)2
5
,21(O ；8、
(-5,1)；9、略。

平面向量的坐标运算
作业：1、D ； 2、C ； 3、C ； 4、2； 5、±1； 6、2； 7、D ；8、D ； 9、-
3
1
； 10、略。

线段的定比分点
作业：1、D 2、C 3、A 4、2或27 5、(8,-4) 6、 7
1
7、P 1(1,-2),P 2(3,0),A 、B 分12p p 所成的比λ1、λ2分别为-2
1
,-2
8、 12
5 9、Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ（－６，－１）
10.P 1（1，－2） P 2（3，0）λ1=－2
1
λ2= －24 11. E （2，－2）
平面向量的数量积及运算律
作业：1.（1），（8）正确 2、该四边形ABCD 为菱形 3. 1）2
3
-
（2）-13 4. -24。

平面向量的数量积及运算律
作业：1、D ； 2、B ； 3、C ； 4、21； 5、 –63； 6、 11；
7、(1)-
2； (2)23+； (3)45°； 8、 120°。

平面向量数量积的坐标表示
作业：一、BDBC
二、1、()
3,1=或()
3,1--=； 2、2；
3、()+∞∈,5λ
4、3
11=
k ；
5、5
4
cos =
θ；
6、2
π
=
∠B 的三角形。

三、1、()3,2=c 。

2、设()y x D ,，则()1,2+-=y x AD ，()2,3--=y x BD ，()3,6=CB ，
∵ ⎪⎩⎪⎨⎧⊥CB
BD CB AD // ，∴
()()()()⎩⎨
⎧-=-=++-263301326y x y x ，解得：⎩
⎨⎧==11
y x 。

于是：()1,1D ，()2,1-=AD 。

3.不能(理由略)
4、不妨设：()1,0A ，()1,1B ，()0,1C ，()a a P ,，则有：()a E ,1，()0,a F 。

∵()1,-=a a ，()a a --=,1，∴()EF a a PA =-+=2
21；
又∵()()()011=--+-a a a a ，∴⊥。

平移
作业：一、 CAACA 二、1、()3,1'A ；
2、()6,10；
3、3
2-=x e
y ； 4、3
2
-
=k ； 5、()2,3-=a ； 6、()3,2-=；()1,7-=。

三、1、∵ ABC ∆的重心为()2,2G ，DEF ∆的重心为()3,3'G ，∴ 平移向量()1,1=a 。

于是：()3,2D ，()4,3E ，()2,4F 。

2、（1）∵()212
+-=x y ，∴()2,1A ； （2）()4,4'A ，()442
+-=x y ； （3）()2,1--=，2
x y =。

3、（1）∵()()()22
2312x x g x x f =⇒+-=，∴()3,1--=；
（2）设()y x m ,=，则⎩⎨⎧=-=+403y x y x ，解得：⎩⎨⎧-==1
3
y x ，∴()1,3-=m 。