重庆潼南柏梓中学高2016级高二2014年下期中考试理科数学

柏梓中学高2016级2014年下期期中考试
数学试题卷 命题人 蒋红伟
一、选择题（50105=⨯分）
1．已知直线l 的方程为043=++y x ，则直线l 的倾斜角为（ ）
A ．030
B ．0
60 C ．0
120 D ．0
150
2．已知直线l 1经过两点)4,1()2,1(---、，直线l 2经过两点(2，1)、(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝( )．
A ．2
B ．－2
C ．4
D ．1
3．设m ，n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：
①γβγαβα//////⇒⎭⎬⎫；②βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥m m //；③βαβα⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥//m m ； ④
αα////m n n m ⇒⎭
⎬⎫
⊂其中正确的命题是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为( )
A ．7＋2，3
B ．7＋2，
23 C ．8＋2，3 D ．8＋2，2
3
5．已知,a b αα⊂//，则直线a 与直线b 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交或异面 C ．平行或异面 D ．异面
6．经过点)0,1(-，且与直线230x y +-=垂直的直线方程是（ ）
A ．220x y -+=
B ．220x y ++=
C ．220x y --=
D ．210x y -+=
7．设正方体的全面积为24，那么其内切球的体积是（ ）
A ．π6
B ．
π34 C ．π38
D ．π3
32 8. 下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面．．．
的一个图是（ ）
P P P
P
Q Q Q Q
R R R R S
S S S P
P
P
P
Q
Q
Q
Q
R
R
R R S
S
S
S
P
P
P
P
Q Q
Q
Q
R
R
R
R S
S
S S
P
P
P
P
Q
Q
Q
Q
R
R
R R
S
S S
S
A B C D
9．如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，,2PA ABC PA AB ⊥=平面，则下列结论正确的是( ) A ．PB AD ⊥ B ．平面PAB PBC ⊥平面
C ．直线BC ∥平面PAE
D ．PD ABC ︒
直线与平面所成的角为45
10．直三棱柱111ABC A B C -中，0
90=∠BCA ，M N 、分别是1111A B A C 、的中点，
1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）
A ．
30 B ．25 C ．
22 D ．110 二、填空题（2555=⨯分）
11．若直线l 过点()()3,3,0,5--B A ，则直线l 的纵截距为 12．如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的 直观图，则这个平面图形的面积是 ．
13．一个几何体的三视图如右图所示, 则该几何体的体积为
14．三棱柱C B A ABC '''-的底面是边长为cm 1的正三角形，
cm 4，
一个小虫从
A 点出发沿表面一圈到达A ' 15．已知三条直线1021034,082
=-=+=++y x y x y ax 和它们也
不能构成三角形的三边，则实数a 的值为
三、解答题（6个小题共75分）
16．（本小题13分）已知直线l 经过两条直线062=+-y x 和043=++y x 的交点 （1）若直线l 与直线0443=+-y x 垂直，求直线l 的方程
（2）若直线m 与（1）中所求直线l 平行，且m 与l 之间的距离为2，求直线m 的方程
17．（本小题13分）如图，棱锥ABCD P -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，
22,2===BD AD PA .
（1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求二面角P —CD —B 的大小； （3）求点C 到平面PBD 的距离.
18．（本题满分13分）以直线0x y -=与320x y -+=的交点A ，及(0,4),(3,0)B C 组成三角形D ABC ,为BC 边上的中点，求： （1）AD 所在直线方程 （2）三角形ABC 的面积。

侧视图 俯视图
19．右图是一个正三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已
知111=B A ，14AA =，12BB =，13CC =． （1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ； （2）求AB 与平面11AAC C 所成的角的正弦值；
20．（本题满分12分）已知直线)(021:R k k y kx l ∈=++- （1）证明：直线l 过定点。

（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点O B ,为坐标原点，设三角形AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程。

21．（本小题满分12分)
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA 丄平面ABCD ，AC 丄AD ，AB 丄BC ，
45BAC ︒∠=，==2PA AD ，=1AC .
（1）证明：PC 丄AD ；
（2）求二面角A PC D --的正弦值； （3）求三棱锥ACD P -外接球的体积.
D
C
B
A
P
C
11
柏梓中学高2016级2014年下期期中考试数学参考答案
DACBC ABDDA 11．815-
12．22 13． 223
14．5 15．1- 16．解：（1）交点为)2,2(-，直线l 的斜率为3
4
-，
所以直线l 的方程为)2(3
4
2+-=-x y ，即0234=++y x 7分
（2）设直线m 的方程为034=++m y x ，由平行线间的距离公式23
422
2
=+-m
所以812-==m m 或
所求直线m 的方程为01234=++y x 或0834=-+y x 13分 17．证：（1）在Rt △BAD 中，AD =2，BD =22， ∴AB =2，
ABCD 为正方形，因此BD ⊥AC . ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA . 又∵PA ∩AC =A ∴BD ⊥平面PAC . 4分
解：（2）由PA ⊥面ABCD ，知AD 为PD 在平面ABCD 的射影，又CD ⊥AD ，
∴CD ⊥PD ，知∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角. 又∵PA =AD ，∴∠PDA=450 . 8分
（3）∵PA =AB =AD =2，∴PB =PD =BD =22 ，设C 到面PBD 的距离为d ，
由PBD C BCD P V V --=，有
d S PA S PBD BCD ••=••∆∆3
1
31， 即d •••=⨯⨯⨯•0
260sin )22(2
1312222131，得332=d 13分 18．解：由0320
x y x y -=⎧⎨-+=⎩得A （1，1），点D 的坐标为)2,23
(，直线AD 的斜率为2，
所以AD 的直线方程为)1(21-=-x y ，即012=--y x 6分
直线BC 的43120x y +-=，点A 到直线的距离d =1，…..10分
又5=BC ∴155
22
ABC S ∆⨯=
=--------------------------------13 19．（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ．
则11OD BB CC ∥∥，因为O 是AB 的中点，所以1111
()32
OD AA BB CC =
+==．则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥，1C D ⊂平面111C B A ，且OC ⊄平面111C B A ；
则OC ∥面111A B C ． 6分
（2）解：如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ，作22
BH A C ⊥于H ，因为平面22A BC ⊥平面11AAC C ，则BH ⊥面11AAC C ．连结AH ，则BAH ∠就是AB 与面11AAC C 所成的角． 因为23=
BH
，AB =10
15sin ==∠AB BH BAH ． 12分
（3）由（1）,//1AA OD 又 O 是AB 的中点，D 是11B A 的中点。

111C B A ∆ 是正三角形，
111B A D C ⊥∴,
又
D
C AA 11⊥,
B
B AA D
C 111面⊥∴，又
CO D C //1,B B AA CO 11面⊥∴,ABC CO 面⊂ ，B B AA ABC 11面面⊥∴ 12分
20.（1）略 4分 （2）最小值4，直线方程为240x y -+= 8分
21．解：（1）
PC DA PAC DA PA DA AC DA ⊥⇒⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥⊥平面.................4分
（2）过A 作PC AM ⊥交PC 于点M ，连接DM ，则AMD ∠为所求角 在三角形AMD 中，6
30
sin ==
∠DM AD AMD ........................8分 （3）求三棱锥ACD P -外接球即为以AC AD AP ,,为棱的长方体的外接球， 长方体的对角线为球的直径2
3)2(91222
2
2
2
2
=
⇒==++=R R l πππ2
9
)23(343433=⨯==R V ...............12分
D
C
B
A
P
M。