高中数学 《直线的交点坐标与距离公式》教案14 新人教A版必修2

《点到直线的距离》教学设计
教学背景：
解析几何第一章主要研究的是点线、线线的位置关系和度量关系，其中以点点距离、点线距离、线线位置关系为重点，点到直线的距离是其中最重要的环节之一，它是解决其它解析几何问题的基础。

教学目标：
知识目标：让学生掌握点到直线距离公式的推导方法并能利用公式求点线距离。

能力目标：通过让学生在实践中探索、观察、反思、总结,发现问题，解决问题，从而达到培养学生的自学能力,思维能力，应用能力和创新能力的目的。

情感目标：培养学生勇于探索、善于研究的精神，挖掘其非智力因素资源，培养其良好的数学学习品质。

重点难点：
教学重点：公式的推导与应用。

教学难点：知识教学方面：如何启发学生自己构思出距离公式的推导方案。

情感教育方面：如何营造课堂积极求解的氛围。

以激发学生的创造力。

增强学生知难而进的决心。

教学过程：
一、创设情境，引入问题
问题1 直线方程的一般式是怎么样的，其中的系数有什么要求？
(学生回答)是Ax+By+C=0 (A、B不同时为0）（板书）
问题2 两点A、B间的距离公式是什么？
(学生回答)PQ=
2
1
2
2
1
2
)
(
)y
y
x
x-
+
-
（
问题3 当直线AB垂直y轴或x轴时，公式又成什么样子的？(动画)
(学生回答)AB=|x
2-x
1
|或|y
2
-y
1
|
问题4 点B在直线Ax+By+C=0上,点A在直线外,则什么时候它们最近？
(学生回答)当直线AB与直线Ax+By+C=0垂直时。

(动画)
这时AB就是点A到直线Ax+By+C=0的距离，它会等于什么呢？这就是现在我们要研究的问题。

（板书课题）
二、课题解决
研究一般性的问题往往从研究特殊情形入手。

问题1 如何求点P(3,5)到直线L：y=2的距离？（作图）
问题2 变为求点P(3,5)到直线L：x=2/3的距离？如何求？
学生思考一会儿，教师再引导学生同理来求，并归纳：己知P（x
0,y
），当直线平行x
轴时，为d=|y
0-y
1
|；当直线平行y轴时，为d=|x
-x
1
|。

（板书）
问题3 那么一般情况下，己知P（x0,y0）与直线L：Ax+By+C=0，你们想到用什么方案
解决这个问题呢？
学生容易得到：先求过点P且垂直L的直线；再求两直线交点Q的坐标；最后用两点间的距离公式求|PQ|。

教师简要板书步骤，并让学生体会这种方法繁简程度？
教师指出，我们还要寻找其它的简便的方法。

我们用一个特殊点（0，0）来代P（x
0,y
）来思考一下，有没有其它的好方法。

问题4 若直线交两坐标分别于M、N两点，则有什么关系式存在？
学生得到：|OM||ON|=|MN||OQ|
教师：哪些可以求出来？
|OM|、|ON|、|MN|，从而算出|OQ|。

教师可举具体的直线让学生运算，体会过程。

如果学生想到其他办法，教师充分肯定。

（移到一般点处）（动画）如何求点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离呢？能否从特殊问题的解决中受到一些启发呢？
教师让想到的学生回答，过点P作x轴、y轴的平行线。

教师通过几何画板添加相关线。

|PM||PN|=|MN||PQ|
得到|PQ|=|PM||PN|/|MN|
学生口述，教师板演得到公式。

问题5 这个公式使用的条件是什么？
问题6 这个公式怎么记？
让学生分析，并观察归纳公式的特征。

师：点P坐标带入分子可能为0吗？
学生分析：可能，此时点在直线上。

师：从形式上看公式——下面根式好象楼梯，因此可说成“登上楼梯关上门”。

问题6 这个公式有什么限制条件吗？
学生反思：没有，对任意点和任意直线都成立。

教师将特殊直线和特殊点说一下，将特殊情况与一般情况进行统一。

归纳：点P（x
0,y
）到直线Ax+By+C=0的距离为d=
2
2
B
A
C
By
Ax
+
+
+
三、公式应用，简单模仿
例：求点P（-1，2）到下列直线的距离：
（1） 2x+y-10=0;
（2）3x=2.
教师板演，指出解题规范及注意点。

❖做以下的练习，直线与坐标轴平行时的应用。

1. 点A(-3,2)到直线L:y=-3的距离为______.
2. 点P(-1,2)到直线L:3x=2的距离为______.
3. 点P(5,-4)到两坐标轴的距离和为______.
4. 直线x=-1与直线x=7间的距离是_______.
以上的题目可学生口答,教师简要分析。

（1）在什么条件下，用什么公式？
己知P（x
0,y
），当直线平行x轴时，为d=|y
-y
1
|;当直线平行y轴时，为d=|x
-x
1
|。

（2）第4题中可取怎样的两点？与x轴的两个交点。

❖活用公式，理解本质
5. 求点P(-1,2)到直线L:x/5+y/10=1的距离。

6.已知点(a, 6)到直线 4x-3y-3=0的距离为28/5，求a的值。

7. 已知点A(1,0)到直线x/m+y=1的距离为1/2，求m的值。

8.求过原点且与点(-2,5)的距离为2的直线方程。

学生上来板书，教师再叫其它同学来评价。

注：一般式中A、B化整；求其它未知量；要注意数形结合，特别是第8题，要注意有两条直线。

四、小结内容，形成体系
问：我们学了几种推导点线距离的方法?
问：哪几种求点线距离的方式?①|坐标差|②距离公式.。

要注意我们在研究一般性问题时可以先从特殊问题入手，从特殊问题的解决过程中得到启发，这也是我们这节课的一个重要收获。

师：思考新的问题——两平行直线间的距离公式是什么？怎么求？
五、作业：
1．课本第97页第6、7、9题
２．思考题：你还能想出推导距离公式的其它方法吗？请课后讨论。