辽宁省大连市第二十四中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题

辽宁省大连市第二十四中学2018-2019学年高二数学上学期期中
试题（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
2.若a，b，c∈R，则“”是“a，b，c成等比数列”的（）
A. 充分但不必要条件
B. 必要但不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3.如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）
A. B. C. D.
4.设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是（）
A. B. C. 1 D. 9
5.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=-，则{a n}的前10项和等于（）
A. B. C. D.
6.已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜-1或x＞}，则f（10x）＞0的解
集为（）
A. 或
B.
C. D.
7.已知椭圆的标准方程为（m＞0），点P在椭圆上，F是椭圆的右焦点，|PF|的最大
值为7，则m的值是（）
A. 7
B.
C. 3
D.
8.已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取
到最小值2时，a2+b2的最小值为（）
A. 5
B. 4
C.
D. 2
9.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2
为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）
A. B. C. D.
10.已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N﹡），且{a n}是递增数列，则
实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
11.已知x＞0，y＞0，z＞0，x-y+2z=0则的（）
A. 最小值为8
B. 最大值为8
C. 最小值为
D. 最大值为
12.椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2，
-1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知命题p：∀x＞1，使得，则￢p为______．
14.设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m-1=-2，S m=0，S m+1=3，则正整数m的值为______．
15.若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为______．
16.不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.设命题p：函数f（x）=（a-）x是R上的减函数，命题q：函数g（x）=x2-4x+3在
[0，a]的值域为[-1，3]．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．
18.解关于x的不等式ax2-（a+1）x+1＜0（a∈R）
19.已知等比数列{a n}满足：|a2-a3|=10，a1a2a3=125．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．
20.已知点M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若椭圆的右顶点为N，求△NAB的面积．
21.已知函数f（x）=-x2+7x，数列{a n}的前n项和为S n，点均在函数y=f（x）的图象
上．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n的最大值；
（Ⅱ）令，其中n∈N*，若b n＞0，求数列{（2n-1）b n}的前n项和．
22.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，点满足：F2在线段
PF1的中垂线上．
且∠NF2F1=∠MF2A，求k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．
【解答】
解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，
∴，
解得a1=-2，d=4，
∴{a n}的公差为4．
故选C．
2.【答案】D
【解析】
解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，
∵=ac推不出b2=ac，
b2=ac推不出=ac，
∴“”是“a，b，c成等比数列”的
既不充分也不必要条件．
故选：D．
由a，b，c成等比数列，得b2=ac，又=ac推不出b2=ac，b2=ac推不出=ac，得结果．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了推理能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】
解：由于a＜b＜0，不妨令a=-2，b=-1，可得=-1，∴，故A不正
确．
可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．
可得-ab=-2，-a2=-4，∴-ab＞-a2，故C不正确．
故选：D．
由于a＜b＜0，不妨令a=-2，b=-1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】
解：x、y满足约束条件的可行域如图：
z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由解得A（-6，-3），
故选：A．
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．
本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．
5.【答案】C
【解析】
解：∵3a n+1+a n=0
∴
∴数列{a n}是以-为公比的等比数列
∵
∴a1=4
由等比数列的求和公式可得，S10==3（1-3-10）
故选：C．
由已知可知，数列{a n}是以-为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入
等比数列的求和公式可求
本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题
6.【答案】D
【解析】
解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|-1＜x＜}，
故可得f（10x）＞0等价于-1＜10x＜，
由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞-1，
而10x＜可化为10x＜，即10x＜10-lg2，
由指数函数的单调性可知：x＜-lg2
故选：D．
由题意可得f（10x）＞0等价于-1＜10x＜，由指数函数的单调性可得解集．
本题考查一元二次不等式的解集，涉及对数函数的单调性及对数的运算，属中档题．7.【答案】B
【解析】
解：点P在椭圆上，F是椭圆的右焦点，|PF|的最大值为7，
∴7=a+c=4+c，解得c=3．
∴m===．
故选：B．
点P在椭圆上，F是椭圆的右焦点，|PF|的最大值为7，可得7=a+c，解得c．利用
m=即可得出．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
解：由约束条件作可行域如图，
联立，解得：A（2，1）．
化目标函数为直线方程得：（b＞0）．
由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．
∴2a+b=2．
即2a+b-2=0．
则a2+b2的最小值为．
故选：B．
由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b-2=0．a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b-2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．
9.【答案】D
【解析】
解：设点P在x轴上方，坐标为，
∵△F1PF2为等腰直角三角形
∴|PF2|=|F1F2|，即，即
故椭圆的离心率e=
故选：D．
设点P在x轴上方，坐标为，根据题意可知|PF2|=，|PF2|=|F1F2|，进而根据求得a和c的关系，求得离心率．
本题主要考查了椭圆的简单性质．椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目．应熟练掌握圆锥曲线中a，b，c和e的关系．
解：根据题意，a n=f（n）=；
要使{a n}是递增数列，必有；
解可得，2＜a＜3；
故选：C．
根据题意，首先可得a n通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得；解可得答案．
本题考查数列与函数的关系，{a n}是递增数列，必须结合f（x）的单调性进行解题，但要注意{a n}是递增数列与f（x）是增函数的区别与联系．
11.【答案】D
【解析】
解：∵x＞0，y＞0，z＞0，x-y+2z=0，
∴y=x+2z，∴==
≤==
当且仅当x=2z时取等号，
∴的最大值为
故选：D．
由题意可得y=x+2z，代入可得=，由基本不等式可得．
本题考查基本不等式，涉及不等式的性质，属基础题．
12.【答案】B
【解析】
解：由椭圆C：可知其左顶点A1（-2，0），右顶点A2（2，0）．
设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得．
∵=，=，
∴==，
∵，
∴，解得．
故选：B．
由椭圆C：可知其左顶点A1（-2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．
13.【答案】∃x＞1，x+≤3
【解析】
解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，
即￢p为∃x＞1，x+≤3，
故答案为：∃x＞1，x+≤3
根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．
本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．
14.【答案】5
【解析】
解：由题意可得a m=S m-S m-1=0-（-2）=2，
a m+1=S m+1-S m=3-0=3，
∴等差数列{a n}的公差d=a m+1-a m=3-2=1，
由通项公式可得a m=a1+（m-1）d，
代入数据可得2=a1+m-1，①
再由求和公式可得S m=ma1+d，
代入数据可得0=ma1+，②
联立①②可解得m=5
故答案为：5
由题意可得a m和a m+1的值，进而可得公差d，由通项公式和求和公式可得a1和m的方程组，解方程组可得所求．
本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及方程组的解法，属中档题．
15.【答案】2
【解析】
解：∵a，b∈R，ab＞0，
则×=×=2ab+≥2=2，
当且仅当2ab=且a2=2b2即时取得最小值2，
故答案为：2．
由×=×=2ab+，再次利用基本不等式
可求．
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题中要注意应用条件的合理配凑．
16.【答案】a＜2
【解析】
解：由题意，x2-1≥0，可得x≥1或x≤-1
当x=±1时，显然不等式恒成立，此时a∈R；
不等式，
可得
设，t≥0，则x2=t2+1
那么：（当且仅当t=取等号）
∴＞a
故答案为：a＜
先从分离出参数a，转化为对勾函数的最小值即可求解．
本题主要考查了函数恒成立问题的求解，换元思想，对勾函数的最值的应用．
17.【答案】解：命题p：∵函数是R上的减函数，
由得
命题q：∵g（x）=（x-2）2-1，在[0，a]上的值域为[-1，3]得2≤a≤4
∵p且q为假，p或q为真，得p、q中一真一假．
若p真q假，得
若p假q真，得
综上，＜a＜2或≤a≤4
【解析】
命题中，根据指数函数的性质，求出a的范围，对于命题q，根据二次函数的性质，求出a的范围，因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，得p、q中一真一假，然后再分类讨论；
此题主要考查指数函数的性质以及二次函数的性质，以及分类讨论思想的应用，另外计算量比较大要仔细计算．
18.【答案】解：不等式ax2-（a+1）x+1＜0等价于（ax-1）（x-1）＜0，其中a∈R；当a=0时，不等式化为x-1＞0，解得解集为（1，+∞），
当a＞0时，不等式等价于（x-）（x-1）＜0，
若0＜a＜1，则＞1，不等式的解集为（1，）；
若a=1，则=1，不等式的解集为空集；
若a＞1，则＜1，不等式的解集为（，1）；
当a＜0时，不等式等价于（x-）（x-1）＞0，
且＜0＜1，∴不等式的解集为（-∞，）∪（1，+∞）．
综上，a=0时，不等式的解集为（1，+∞），
0＜a＜1时，不等式的解集为（1，）；
a=1时，不等式的解集为空集；
a＞1时，不等式的解集为（，1）；
a＜0时，不等式的解集为（-∞，）∪（1，+∞）．
【解析】
不等式化为（ax-1）（x-1）＜0，
讨论a=0、a＞0和a＜0时，分别求出不等式的解集．
本题考查了含有字母系数的不等式的解法和应用问题，关键是分类讨论，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，则由已知可得
解得
故．
（Ⅱ）若，则，
故是首项为，公比为的等比数列，
从而．
综上，对任何正整数m，总有．
故不存在正整数m，使得成立．
【解析】
（I）设等比数列{a n}的公比为q，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求a1，q，进而可求通项公式
（Ⅱ）结合（I）可知是等比数列，结合等比数列的求和公式可求
，即可判断
本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力
20.【答案】解：（Ⅰ）由已知直线l的斜率存在，设l：y-2=k（x-4），代入x2+4y2=36，得（4k2+1）x2-（32k2-16k）x+64k2-64k-20=0，
由，得．∴l：x+2y-8=0．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由（Ⅰ）得，x2-8x+14=0，，
由得右顶点N（6，0），到直线l的距离，∴
【解析】
（Ⅰ）先判断直线l的斜率存在，然后设出直线l的方程为：y-2=k（x-4），代入椭圆
方程，利用韦达定理及中点坐标公式，可得斜率k=-，从而得直线l的方程；
（Ⅱ）用弦长公式算出弦长AB=；用点到直线的距离公式算出点N到直线l的距离
d=；再代入面积公式算得面积即可．
本题考查了直线与椭圆的综合．属中档题．
21.【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=-x2+7x，点均在函数y=f（x）的图象上；
∴；
当n=1时，a1=S1=6；当n≥2时，a n=S n-S n-1=-2n+8；
∴；
令a n=-2n+8≥0得n≤4；
∴当n=3或n=4时，S n取得最大值12；
（Ⅱ）由题意因为b n＞0，且，所以；
故{（2n-1）b n}的前n项和………………①；…………②；
①-②得：=2+2（22+23+…+2n）-（2n-1）×2n+1；
∴；
即．
【解析】
（Ⅰ）根据题意可得出，n=1时，得出a1=6；n≥2时，a n=-2n+8，从而得出通项公式a n=-2n+8（n∈N*），解a n=-2n+8≥0得出n≤4，从而可求出S n的最大值；
（Ⅱ）可知b n＞0，可由求出，从而得出{（2n-1）b n}的前n项和
①，+
=，化简即可
求出T n．
考查函数图象上的点和函数解析式的关系，根据前n项和公式求通项公式的方法，错位相减法求前n项和公式的方法，以及等比数列的前n项和公式．
22.【答案】解：（1）解法一：椭圆C的离心率，得，其中椭圆C的左、右焦点分别为F1（-c，0），、F2（c，0），
又点F2在线段PF1的中垂线上，∴F1F2=PF2，∴
解得c=1，a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为．…（6分）
解法二：椭圆C的离心率，得，其中
椭圆C的左、右焦点分别为F1（-c，0），、F2（c，0），
设线段PF1的中点为D，∵F1（-c，0），，∴，
又线段PF1的中垂线过点F2，∴，即c=1，a2=2，b2=1，
∴椭圆方程为
（2）由题意，直线l的方程为y=k（x-2），且k≠0，
联立，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，
由△=8（1-2k2）＞0，得，且k≠0
设M（x1，y1），N（x2，y2），则有，，（*）
∵∠NF2F1=∠MF2A，且由题意∠NF2A≠90°，∴，
又F2（1，0），∴，即，
∴，整理得2x1x2-3（x1+x2）+4=0，
将（*）代入得，，知上式恒成立，故直线l的斜率k的取值范围是．…（12分）【解析】
（1）解法一：由椭圆C 的离心率和点F2在线段PF1的中垂线上知|F1F2|=|PF2|，由此推出，从而可求出椭圆C的方程．
解法二：椭圆C 的离心率，得，先求得线段PF1的中点为D的坐标，根
据线段PF1的中垂线过点F2，利用，得出关于c的方程求出c值，最后求得a，b写出椭圆方程即可；
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用∠NF2F1=∠MF2A得出的斜率关系即可求得k的取值范围．
本小题主要考查椭圆的方程及几何性质、直线与圆锥曲线的综合问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．
11。