(压轴题)高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》检测(包含答案解析)(2)

一、选择题
1．已知函数222,0
()11,0
x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．222,1⎡⎤-⎣⎦
B ．(],1-∞
C ．()
222,0-
D ．222,0⎡⎤-⎣⎦
2．已知函数()
()2
2
1sin 1
x x
f x x ++=
+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则
()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（ ）
A ．0
B ．2
C ．2019
D ．2020
3．已知函数[](),1,2,x
ae f x x x
=∈且[]()()121212
12,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24,
e ⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
B ．24,e ⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
C ．(],0-∞
D ．[)0+，
∞ 4．已知111ln 20x x y --+=，22262ln 20x y +--=，记
()()2
2
1212M x x y y =-+-，则（ ）
A ．M 的最小值为25
B ．M 的最小值为45
C ．M 的最小值为
85
D ．M 的最小值为
165
5．某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3m ）与融化时间t （单位：h ）近似满足函数
关系：3
1()1010V t H t ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭（H 为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为(
)
3
m /h v .那么瞬时融化速度等于(
)
3
m /h v 的时刻是图中的（ ）.
A ．1t
B ．2t
C ．3t
D ．4t
6．已知函数()y f x =的导函数为()y f x '=，满足x R ∀∈，()()f x f x '>且
(1)f e =，则不等式(ln )f x x <的解集为（ ）
A ．(,)e +∞
B ．(1,)+∞
C ．(0,) e
D ．(0,1)
7．函数()3sin cos 2
x
x
f x x x =
+在[]2,2ππ-的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
8．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ） A ．7
B ．4
C ．0
D ．﹣4
9．已知函数2()sin cos f x x x x x =++，则不等式1(ln )(ln )2(1)0f x f f x
+-<的解集为（ ） A ．(,)e +∞
B ．(0,)e
C ．1(,)e e
D ．1(0,)
(1,)e e
10．R 上的函数()f x 满足：()()1f x f x '+>，()20f =，则不等式2()x x e f x e e <-的解集为（ ） A ．()(),00,2∞⋃-
B ．()(),02,-∞+∞
C ．()0+∞，
D ．(),2∞-
11．α，,22ππβ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（ ）
A ．αβ>
B ．0αβ+>
C ．αβ<
D ．22αβ>
12．已知函数()f x 与()'f x 的图象如图所示，则函数()
()x f x g x e
=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）
A ．()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．()()0,1,4,+∞
C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．(0,4)
二、填空题
13．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，若对任意的正实数，
()()()()220,xf x f x g x x f x '+<=，则不等式()(1
2
2x g g ->-的解集为______ 14．已知函数()x
f x a x e =-有3个零点，则实数a 的取值范围为_______________. 15．已知定义在(0,)+∞上的单调函数()f x ，对任意的(0,)x ∈+∞，都有
[]2()log 3f f x x -=，则函数()f x 的图象在1
ln 2
x =
处的切线的倾斜角为________. 16．已知函数()sin f x x x =+，若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b
+的最小值为______________. 17．已知2
1()34ln 2
f x x x x =--+在(,1)t t +上不单调，则实数t 的取值范围是______________
18．已知函数()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈的最小值为2，则实数m 的值为____________．
19．已知函数f(x)＝x 3－2x 2＋x ＋a ，g(x)＝－2x ＋
9
x
，若对任意的x 1∈[－1,2]，存在x 2∈[2,4]，使得f(x 1)＝g(x 2)，则实数a 的取值范围是________．
20．函数()f x 的定义域和值域均为()0,∞+，()f x 的导函数为()f x '，且满足
()()()2f x f x f x '<<，则()
()
20182019f f 的取值范围是____________．
三、解答题
21．已知函数1
()(2)ln 2f x a x ax x
=-+
+， （1）当2a =时，求函数()f x 的极值； （2）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；
（3）若对a ∀∈(-3，-2)，12,x x ∈[1，3] ，不等式12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围.
22．已知函数2()2ln f x x ax x =++（a 为常数）. （1）若()f x 是定义域上的单调函数，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，()212x x x <，且213
2
x x -≤，求()()12f x f x -的范围.
23．若函数()3
2143
f x x ax bx =
+-+在2x =-和1x =处取得极值. （1）求函数()f x 的解析式； （2）讨论方程()f x k =实数解的个数. 24．已知函数()x
a
f x x e =+
，其中a R ∈，e 是自然对数的底数. （1）当1a =-时，求函数() f x 在区间[0,)+∞的零点个数；
（2）若()2
x
e f x <对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，求实数a 的取值范围.
25．已知函数211
()ln (,0)22
f x x a x a R a =
--∈≠. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；
（3）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围. 26．已知函数()ln f x x x =.
（1）求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间；
（3）若对于任意1,x e e
⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，都有()1f x ax ≤-，求实数a 的取值范围.
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一、选择题
1．A 解析：A 【分析】
作出函数()f x 的图象，利用数形结合的思想判断a 的范围，找出临界点即相切时a 的取值，进而得出a 的范围． 【详解】
作出()f x 的图象，如图，
由图象可知： 要使()f x ax 恒成立，
只需函数()g x ax =的图象恒在图象()f x 的下方， 可得1a ，
设()g x ax =与函数2()22(0)f x x x x =++相切于点(),(0)P m n m <， 由()f x 的导数为22x +，可得切线的斜率为22m +， 即有22a m =+，222am m m =++， 解得2m =-，222a =-由图象可得222a -，
综上可得a 的范围是[22-1]． 故选：A 【点睛】
解决此类问题的关键是作出函数图象，根据数形结合的思想处理问题，本题关键找出相切时刻这一临界位置，利用直线与抛物线相切即可求解.
2．B
解析：B 【分析】
将函数解析式变形为()2
2sin 11
x x
f x x +=++，求得()f x '，进而可求得所求代数式的值. 【详解】
()
()2
22221sin 12sin 2sin 1111
x x x x x x x f x x x x ++++++=
==+
+++，
所以，
()()()()()22
22020sin 202022020sin 202020202020222020120201
f f ⨯-+-⨯++-=
++=+-+， ()()()()
()
22
2
2cos 122sin 1x x x x x f x x
++-+'=
+，函数()f x '的定义域为R ，
()()()()()22
22cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
-=
⎡⎤-+⎣⎦
'()()()()
()222
2cos 122sin 1x x x x x f x x ++-+'==+， 所以，函数()f x '为偶函数，
因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=. 故选：B. 【点睛】
结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：
（1）可导的奇函数的导函数为偶函数； （2）可导的偶函数的导函数为奇函数. 在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.
3．A
解析：A 【分析】
根据条件变形可知()()F x f x x =-在区间[]1,2上单调递减，转化()0F x '≤恒成立，即可求解. 【详解】 不妨设()()121212
,
1,f x f x x x x x -<<-可得()()1122.f x x f x x ->-
令()(),F x f x x =-则()F x 在区间[]1,2上单调递减， 所以()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，
()()2
110,x ae x F x x
--≤'=
当1x =时，,a R ∈
当(]1,2x ∈时，()
()2
1x
x a g x e x ≤=-， 而()(
)()
22
2201x x x x g x e x -'-+=
<-，
所以()g x 在区间[]1,2上单调递减，则()()2
min 42g x g e ==
， 所以24,a e ⎛
⎤∈-∞ ⎥⎝
⎦. 故选：A 【点睛】
关键点点睛：本题中[]()()12121212
,1,2,
1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，可转化为函数
()()F x f x x =-递减是解题的关键，突破此点后，利用导数()0F x '≤在区间[]1,2上恒
成立，分离参数就可求解.
4．D
解析：D 【分析】
设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线
22260x y ln +--=上，则221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的
图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方，利用导数求出切点坐标，再由点到直线的距离公式求解．求出d 的最小值为两直线平行时的距离，即可得到M 的最小值，并可求出此时对应的2x 从而得解． 【详解】
解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，
点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线24220x y ln +--=上，
221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方．
由2y lnx x =-+，得1
1y x
'=
-，与直线22260x y ln +--=平行的直线的斜率为12
k =-．
令
11
12
x -=-，得2x =，则切点坐标为(2,2)ln ， 切点(2,2)ln 到直线22260x y ln +--=
的距离d =
=
即221212()()M x x y y =-+-的最小值为
165
． 又过(2,2)ln 且与22260x y ln +--=垂直的直线为22(2)y ln x -=-，即2420x y ln --+=，
联立222602420x y ln x y ln +--=⎧⎨--+=⎩
，解得145x =，
即当M 最小时，214
5
x =． 故选：D ． 【点睛】
本题考查函数的最值及其几何意义，考查数学转化思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于中档题．
5．C
解析：C 【分析】
根据题意可知，平均融化速度为(100)(0)
1000
V V v -=
-，反映的是()V t 图象与坐标轴交点连线
的斜率，通过观察某一时刻处瞬时速度（即切线的斜率），即可得到答案. 【详解】
解：平均融化速度为(100)(0)
1000
V V v -=
-，反映的是()V t 图象与坐标轴交点连线的斜率，
观察可知3t 处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速度一致， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了图象的识别，瞬时变化率和切线斜率的关系，理解平均速度表示的几何意义（即斜率）是解题的关键.
6．C
解析：C 【分析】
由不等式()f lnx x <，令t lnx =，可知()()t f lnx x f t e <⇔<，令()
()x
f x
g x e =，求导可得函数单调性，从而可解：10lnx x e <⇔<<， 【详解】
解：令t lnx =，则()()t f lnx x f t e <⇔<，
令()()x
f x
g x e
=
，则()()
()0x f x f x g x e '-'=>， 因为：满足x R ∀∈，()()f x f x '>
()g x ∴在R 上单调递增，
∴()()()
()11t t
f t f t e
g t g e <⇔
<⇔<110t lnx x e ⇔<⇔<⇔<<， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查导数法研究函数的单调性，考查了导数的综合应用，属于中档题．
7．C
解析：C 【分析】 利用()()'
2,0f f π确定正确选项.
【详解】
()23sin 222cos 2202
f π
π
ππππ=
+⋅=>，由此排除BD 选项. 当0x ≥时，()3sin cos 2
x
x
f x x x =
+， ()'3cos 3ln 2sin cos sin 2x
x x
f x x x x -⋅=
+-，
()'031040f =+-=>，由此排除A 选项.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查函数图象识别，考查导数的运用.
8．A
解析：A 【解析】
()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处
的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，
()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ． 9．C
解析：C
【分析】
先判断出()f x 为R 上的偶函数，再利用当0x >时，()'0f x >得到函数的单调性，从而可解原不等式. 【详解】
因为()()()()2
2()sin cos sin cos f x x x x x x x x x f x -=--+-+-=++=，所以()f x 为R
上的偶函数，
又1(ln )(ln )2(1)0f x f f x
+-<等价于(ln )(ln )2(1)0f x f x f +--<
即：(ln )(1)f x f <，
()'()sin cos sin 22cos f x x x x x x x x =+-+=+，
当0x >时，()'0f x >，故()f x 在()0,∞+为增函数，故(ln )(1)f x f <等价于
ln 1x <即1ln 1x -<<即1x e e <<，故不等式的解集为1e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
,，故选C.
【点睛】
对于偶函数()f x ，其单调性在两侧是相反的，并且()()()f x f
x f x ==-，对于奇函
数()g x ，其单调性在两侧是相同的．另外解函数不等式要利用函数的单调性去掉对应法则f ．
10．D
解析：D 【分析】
构造函数()()x
x
F x e f x e =-，则由题意可证得()F x 在R 上单调递增，又()20f =，
()()22222F e f e e =-=-，故2()x x e f x e e <-可转化为()()2F x F <，解得2x <.
【详解】
令()()x
x
F x e f x e =-，则()()()()()1x
x
x
x
F x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-⎡⎤⎣⎦，
因为()()1f x f x '+>，所以()()()0x
F x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，
所以函数()F x 在R 上单调递增，
又()20f =，所以()()2
2
2
22F e f e e =-=-
故当2()x x e f x e e <-时，有2
()x x e f x e e -<-，即()()2F x F <，
由()F x 的单调性可知2x <. 故选：D. 【点睛】
本题考查导数与函数的应用，考查构造函数法，根据函数的单调性求解不等式，难度一般.
11．D
解析：D 【分析】
构造函数()sin f x x x =，利用其导函数判断出单调区间，根据奇偶性和对称性可得正确选项. 【详解】
构造()sin f x x x =形式，则()sin cos f x x x x +'=，0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时导函数()0f x '≥，()f x 单调递增；,02x π⎡⎫
∈-⎪⎢⎣⎭
时导函数()0f x '<，()f x 单调递减．又 ()f x 为偶函
数，根据单调性和对称性可知选D.故本小题选D. 【点睛】
本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性以及求解不等式，属于中档题.
12．B
解析：B 【分析】
结合函数图象比较()f x 与()f x '的大小，求出()()0f x f x -<′成立的x 的范围，求出
()g x 的导数，判断其与0的关系即可.
【详解】
结合图象：()01x ∈，和()4x ∈+∞，
时，()()f x f x '<，即()()0f x f x -<′， 而()()()0x
f x f x
g x e
-=<′′，故()g x 在()0,1，()4,+∞递减， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查了数形结合思想，考查函数的单调性与导数的关系，判断()f x 与()f x '的大小是解题的关键，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】根据条件可得函数为偶函数且在单调递减从而可得不等式【详解】当时且为偶函数在单调递减解得：故答案为：【点睛】求解的关键在于构造什么样的函数再利用导数研究函数的单调性进而将不等式进行等价转化
解析：1
32
2x x ⎧⎫<<
⎨⎬⎩⎭
【分析】
根据条件可得函数()g x 为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，从而可得不等式. 【详解】
当0x >时，()'
'
(()2())0g x x xf x f x =+<，且()g x 为偶函数，
∴()g x 在(0,)+∞单调递减，
∴()()()()1111
2
22222
2x x x g g g g
--->-⇔>⇔<112
x ⇔-<
， 解得：
1322
x <<， 故答案为：1
32
2x x ⎧⎫
<<
⎨⎬⎩⎭
. 【点睛】
求解的关键在于构造什么样的函数，再利用导数研究函数的单调性，进而将不等式进行等价转化.
14．【分析】对参数的取值分类讨论特别地考虑当时利用导数的几何意义求得相切状态时参数的临界值即可数形结合求得参数范围【详解】函数有3个零点也即的图象有3个交点当时没有零点故舍去；当时故此时也没有零点故舍去 解析：a e >
【分析】
对参数a 的取值分类讨论，特别地考虑当0a >时，利用导数的几何意义，求得相切状态时参数a 的临界值，即可数形结合求得参数范围. 【详解】
函数()f x 有3个零点，也即,x
y e y a x ==的图象有3个交点.
当0a =时，()x
f x e =没有零点，故舍去；
当0a <时，0x
a x e ≤<，故此时()f x 也没有零点，故舍去；
当0a >时，画出,x
y e y a x ==的函数图象，如下所示：
数形结合可知，当a 大于,(0)y ax x =>与x
y e =相切时切线的斜率即可.
不妨设此时切线斜率为k ，切点为(),m n ，
又x
y e '=，则m
m n e k e m m
===，解得1m =，故可得k e =.
即,(0)y ax x =>与x
y e =相切时切线的斜率为1， 故要满足题意，只需a e >. 故答案为：a e >. 【点睛】
本题考查由函数零点个数求参数范围，以及导数的几何意义，涉及数形结合的数学思想，属综合中档题.
15．【分析】设则求得的值进而得到的解析式然后利用对数函数的导数公式和导数的运算法则计算求解【详解】设则因为为单调函数故不随的变化而变化即是常数又切线斜率为1所以倾斜角为∴答案为:【点睛】本题考查利用换元 解析：45︒
【分析】
设2()log t f x x =-，则()3f t =，求得t 的值，进而得到()f x 的解析式，然后利用对数函数的导数公式和导数的运算法则计算求解. 【详解】
设2()log t f x x =-，则()3f t =.
因为()f x 为单调函数，故t 不随x 的变化而变化即t 是常数. 又2()log f x x t =+，，2log 3t t +=，2t =，
2()log 2f x x =+，1
()ln 2f x x '=，11ln 2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭
，切线斜率为1， 所以倾斜角为45︒. ∴答案为:45︒. 【点睛】
本题考查利用换元法和方程思想求函数的解析式，利用导数的几何意义研究函数的切线问题，涉及对数函数的导数公式和导数的运算，属小综合题，关键点在于利用换元法和方程思想求得函数的解析式，在于对数函数的导数公式的准确性掌握，难度一般.
16．1【分析】由知为奇函数求导分析为增函数故利用可以算得的关系再利用基本不等式的方法求的最小值即可【详解】故为奇函数又所以为增函数又故所以当且仅当时取得最小值1故答案为1【点睛】本题主要考查函数的奇偶性
解析：1 【分析】
由()sin f x x x =+知()f x 为奇函数,求导分析()f x 为增函数,故利用
()()490f a f b +-=可以算得,a b 的关系,再利用基本不等式的方法求
11
a b
+的最小值
即可. 【详解】
()sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=-,故()f x 为奇函数,又()'1cos 0f x x =+≥,
所以()f x 为增函数.又()()()()()490,499f a f b f a f b f b +-==--=-, 故49,49a b a b =-+=,所以
()111111
44599b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫
+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
1
519
⎛≥+= ⎝,当且仅当4b a
a b =时取得最小值1. 故答案为1 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性与单调性的运用以及基本不等式的用法,属于中等题型.
17．【解析】【分析】先由函数求f′（x ）＝﹣x ﹣3再由函数f （x ）x2﹣3x+4lnx 在(tt+1)上不单调转化为f′（x ）＝﹣x ﹣30在区间（tt+1）上有解从而有0在（tt+1）上有解进而转化为：x 解析：()0,1
【解析】 【分析】
先由函数求f ′（x ）＝﹣x ﹣34x +
，再由“函数f （x ）1
2
=-x 2﹣3x +4lnx 在(t ，t +1)上不单调”转化为“f ′（x ）＝﹣x ﹣34x +=0在区间（t ，t +1）上有解”从而有234
x x x
+-=0在（t ，
t +1）上有解，进而转化为：x 2+3x ﹣4＝0在（t ，t +1）上有解，进而求出答案． 【详解】 ∵函数f （x ）12=-
x 2
﹣3x +4lnx ， ∴f ′（x ）＝﹣x ﹣34x
+， ∵函数f （x ）12
=-
x 2
﹣3x +4lnx 在（t ，t +1）上不单调， ∴f ′（x ）＝﹣x ﹣34
x
+
=0在（t ，t +1）上有解 ∴234x x x
+-=0在（t ，t +1）上有解
∴g （x ）＝x 2+3x ﹣4＝0在（t ，t +1）上有解， 由x 2+3x ﹣4＝0得：x ＝1，或x ＝﹣4（舍）， ∴1∈（t ，t +1）， 即t ∈（0，1），
故实数t 的取值范围是（0，1）， 故答案为（0，1）． 【点睛】
本题主要考查导数法研究函数的单调性与极值的关系，考查了转化思想，属于中档题．
18．【分析】求出分三种讨论函数的单调性可得函数的最小值从而得到的值【详解】当时为减函数故解得舍；当时为减函数故舍；当时若故在上为减函数；若故在上为增函数；所以故符合；综上故填【点睛】求函数的最值应结合函 解析：e
【分析】 求出
'()f x ，分0m ≤，10m e <≤，1m e
>三种讨论函数的单调性可得函数的最小值，
从而得到m 的值. 【详解】
()1
'(),0,mx f x x e x
-=
∈， 当0m ≤时，'()0f x <，()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈为减函数，故 ()min 12f x me =-=，解得3
m e
=，舍；
当1
0m e
<≤时，'()0f x <，()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈为减函数，
()()min 12f x f e me ==-=，故3
m e
=，舍；
当1m e >
时，若10,x m ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，'()0f x <，故()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上为减函数； 若1,x m ⎛⎫∈+∞
⎪⎝⎭，'()0f x >，故()f x 在1,m ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上为增函数； 所以min 11
()ln 2f x m m m
=⨯
-=，故m e =，符合； 综上，m e =，故填e . 【点睛】
求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判断，如果导数的符号还不能判断，则需构建新函数（也就是原函数的导函数），再利用导数判断其符号．
19．【解析】【分析】分别求出g （x ）f （x ）的最大值和最小值得到不等式组解出即可【详解】问题等价于f （x ）的值域是g （x ）的值域的子集显然g （x ）单调递减∴g （x ）max=g （2）=g （x ）min=g （
解析：73,42⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
分别求出g （x ），f （x ）的最大值和最小值，得到不等式组，解出即可． 【详解】
问题等价于f （x ）的值域是g （x ）的值域的子集， 显然，g （x ）单调递减，∴g （x ）max =g （2）=
12，g （x ）min =g （4）=﹣234
； 对于f （x ），f′（x ）=3x 2﹣4x+1，令f′（x ）=0，解得：x=1
3
或x=1， x ，f′（x ），f （x ）的变化列表如下：
max min ∴1222344a a ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≥-
⎪⎩
，
∴a ∈[﹣
74，﹣3
2
]， 故答案为：[﹣74，﹣3
2
]． 【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想，是一道中档题．
20．【分析】根据题给定条件设构造函数g （x ）=与h （x ）=再利用导数判断在（0+∞）上函数的单调性得解【详解】设g （x ）=则g （x ）=＞0∴g （x ）在（0+∞）上单调递增所以g （2018）＜g （2019 解析：21(,)e e --
【分析】
根据题给定条件，设构造函数g （x ）=()x
f x e
与h （x ）=
()2x
f x e
，再利用导数判断在（0，
+∞）
上函数的单调性得解． 【详解】 设g （x ）=
()x
f x e
，则g'（x ）=
()()
'x
f x f x e
-＞0
∴g （x ） 在（0，+∞）上单调递增，所以g （2018）＜g （2019），即
2018
(2018)
f e ＜
()2019
2019f e ⇒
()()
20182019f f ＜
1e
； 令h （x ）=
()2x
f x e ，则h'（x ）=
()()
2'20x
f x f x e -＜
∴h （x ）在（0，+∞）上单调递减，所以h （2018）＞h （2019），即
()4036
2018f e ＞
()4038
2019f e ⇒
()()
20182019f f ＞
21e
综上，()
()20182019f f ＜1e 且 ()()20182019f f ＞21e
．
故答案为：(
)21
,e e --
【点睛】
本题主要考查了导数与函数的单调性以及构造法的应用，属中等难度题．解题的关键是构造
函数求函数的单调性，利用单调性解题.
三、解答题
21．（1）极小值为4，无极大值（2）答案见解析（3）13
3
m ≤- 【分析】
（1）利用导数可求得结果； （2）求导后，令()0f x '=得1x a =-或12
x =，对1a -与1
2的大小分类讨论可求得结果；
（3）转化为12max (ln3)2ln3()()m a f x f x +->-1max 2min ()()f x f x =-，根据（2）中的单调性求出1max ()f x 和2min ()f x 代入后得2
(4)03
m a +-
>对a ∀∈(-3，-2)恒成立，列式23(4)03
22(4)0
3m m ⎧
-+-≥⎪⎪⎨
⎪-+-≥⎪⎩
可解得结果.
【详解】
（1）当2a =时，1()4f x x x =+(0)x >，222
141
()4x f x x x
-'=-=， 当102
x <<
时，()0f x '<，当1
2x >时，()0f x '>，
所以()f x 在1
(0,)2
上递减，在1(,)2
+∞上递增， 所以()f x 在12
x =
处取得极小值1
()42f =，无极大值.
（2）当0a <时，1
()(2)ln 2f x a x ax x
=-+
+，定义域为(0,)+∞， 221()2a f x a x x -=-+'22
2(2)1ax a x x
+--=2(1)(21)
ax x x +-=， 令()0f x '=得1
x a =-或12
x =， 当112a -
>，即20a -<<时，由()0f x '<得102
x <<或1
x a >-，由()0f x '>得112x a
<<-， 所以()f x 在1
(0,)2和1(,)a -
+∞上单调递减，在11
(,)2a
-上单调递增， 当112a -=，即2a =-时，2
2
(21)()x f x x
--'=0≤，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减， 当112a -
<，即2a <-时，由()0f x '<得10x a
<<-或1
2x >，由()0f x '>得112
x a -<<， 所以()f x 在1
(0,)a -和1(,)2+∞上单调递减，在11
(,)2
a -
上单调递增， （3）由（2）可知对a ∀∈(-3，-2)，()f x 在[1,3]上单调递减， 因为不等式12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，
等价于12max (ln3)2ln3()()m a f x f x +->-1max 2min ()()f x f x =-， 而1max ()(1)12f x f a ==+，2min 1
()(3)(2)ln 363
f x f a a ==-++， 所以1
(ln 3)2ln 312(2)ln 363
m a a a a +->+----， 即2
(4)03
m a +-
>对a ∀∈(-3，-2)恒成立，
所以23(4)0322(4)0
3m m ⎧
-+-≥⎪⎪⎨⎪-+-≥⎪⎩
，解得133m ≤-.
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[]
,,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的
子集 ．
22．（1）4a ≥-；（2）150,4ln 24⎛⎤
- ⎥⎝⎦
.
【分析】
（1）求出2
()24f x x a a x
=++
≥+'，解不等式40a +≥即得解； （2）求导得到韦达定理，再化简2
2122222
1()()2ln f x f x x x x -=-
-，设2
2t x =，求出1
()2ln g t t t t
=--的最值即得解.
【详解】
（1）∵2
()24f x x a a x
=++≥+'，
∴只要40a +≥，即4a ≥-时()0f x '≥恒成立，()f x 在定义域()0,∞+上单调递增. （2）由（1）知()f x 有两个极值点则4a
，
22222
()20220x ax f x x a x ax x x
++=++==⇒++='的二根为1x ，2x
则121221
a x x x x ⎧
+=-⎪⎨⎪=⎩，1201x x <<<， ()()()()22121112222ln 2ln f x f x x ax x x ax x -=++-++ ()()221
12122
2ln
x x x a x x x =-+-+
()()()22
1
1212122
22ln
x x x x x x x x =---++ 22122
22222
122ln
12ln x x x x x x x =--=-+， 设2
2t x =，又22122232320122
x x x x x -≤
⇔--≤⇔<≤，∴(]1,4t ∈. 则()()121()2ln f x f x g t t t t -==--，222
12(1)()10t g t t t t
'
-=+-=>， ∴()g t 在(]
1,4递增，15
(1)()(4)0()4ln 24
g g t g g t <≤⇔<≤-. 即()()12f x f x -的范围是150,4ln 24⎛⎤
- ⎥⎝⎦
. 【点睛】
方法点睛：关于双变量的问题，一般转化成单变量的函数问题来解决.本题就是把双变量的
()()12f x f x -化成关于2x 的函数2
2
122222
1()()2ln f x f x x x x -=-
-再来解答. 23．（1）()32
112432
f x x x x =+-+；（2）答案见解析. 【分析】
（1）先对函数求导，根据函数的极值点，列出方程求解，得出,a b ，即可得出解析式； （2）由（1）的结果，利用导数的方法判定函数单调性，求出函数极值，即可得出结果. 【详解】 （1）由()3
2143
f x x ax bx =
+-+得()22f x x ax b =+-'， 因为函数()3
2143
f x x ax bx =
+-+在2x =-和1x =处取得极值， 所以()()2010f f ⎧-=⎪⎨=''⎪⎩
，即440120a b a b --=⎧⎨+-=⎩，
解得：1
2
a =
，2b =， 所以()32
112432
f x x x x =
+-+； （2）由（1）知，()32
112432
f x x x x =
+-+，则()22f x x x '=+-； 令()0f x '=，解得2x =-或1x =， 随x 变化，()f x '与()f x 的变化情况如下：
()f x ∴在2x =-处取得极大值，为()23f -=
；在1x =处取得极小值，为()17
16
f =
. ∴当17
6k <
或223
k >时，方程()f x k =有一解； 当176k =或223
k =时，方程()f x k =有两解； 当
172263k <<时，方程()f x k =有三解. 【点睛】 思路点睛：
利用导数的方法判定方程根的个数，或由方程根（函数零点）的个数求参数时，通常需要对函数求导，用导数的方法判定函数单调性，求出极值，再利用分类讨论的思想，即可求解；有时也需要利用数形结合的方法求解.
24．（1）1个；（2）21
22
e e a --+<.
【分析】
（1）求导得到函数的单调性，再利用零点存在性定理得解 （2）分离参变量，不等式恒成立转化为求函数的最值得解 【详解】
（1）()x f x x e -=-，0x ≥，()10x
f x e '-=+> 故()f x 在[0,)+∞递增，又(0)1f =-，1
(1)10f e -=->
(0)(1)0f f <，故()f x 在(0,1)上存在唯一零点
因此()f x 在区间[0,)+∞的零点个数是1个； （2）1x ∀≥-，2x x
e x ae
-+<恒成立，即1x ∀≥-，2e 2
x x a xe <-恒成立 令2()2x
x e g x xe =-，1x ≥-，则min ()a g x <
()()1x x g x e x e '=--，令()1x h x e x =--，1x ≥-
()1x h x e '=-，[1,0)x ∈-时，()0h x '<，0x >时，()0h x '>
故()h x 在[1,0)-递减，(0,)+∞递增，因此()(0)0h x h ≥= 所以，()0g x '≥，故 ()g x 在[1,)-+∞递增
故21min 2()(1)2e e g x g --+=-=
，因此21
22
e e a --+<. 【点睛】
不等式恒成立问题解决思路：一般参变分离、转化为最值问题. 25．（1）10x y +-=；（2）答案见解析；（3）()(],00,1-∞.
【分析】
（1）当2a =时，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求曲线()y f x =在点
()1,()f x 处的切线方程；
（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数()f x 的单调区间； （3）根据函数的单调性求出函数的最小值即可实数a 的取值范围． 【详解】
解：（1）2a =时，211
()2ln 22f x x x =
--，(1)0f =， 2'()f x x x
=- ，'(1)1f =- 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程10x y +-=
（2）2'()(0)a x a
f x x x x x
-=-=
>
①当0a <时，2'()0x a
f x x
-=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,∞+
②当0a >时，令'()0f x =，解得x =x =
所以函数()f x 的递增区间为
+∞，递减区间为
（3）对任意的[1,)x ∈+∞，使()0f x ≥成立，只需任意的[1,)x ∈+∞，min ()0f x ≥ ①当0a <时，()f x 在[1,)+∞上是增函数，所以只需(1)0f ≥ 而11
(1)ln1022
f a =
--= 所以0a <满足题意；
②当01a <≤时，01<≤，()f x 在[1,)+∞上是增函数，
所以只需(1)0f ≥ 而11
(1)ln1022
f a =
--= 所以01a <≤满足题意；
③当1a >1>，()f x 在上是减函数，)+∞上是增函数，
所以只需
0f ≥即可 而(1)0f f <= 从而1a >不满足题意；
综合①②③实数a 的取值范围为()(],00,1-∞.
【点睛】
本题主要考查函数切线的求解，以及函数单调性和函数最值的求解，综合考查函数的导数的应用，属于中档题．
26．（1）1y x =-（2）()f x 的单调递增区间是1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
；()f x 的单调递减区间是
10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭（3）1a e ≥-. 【分析】
（1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程；
（2）求得导函数，并令()0f x '=求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间；
（3）将不等式变形，并分离参数后构造函数()1
ln g x x x
=+，求得()g x '并令()0g x '=求得极值点，结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定a 的取值范围. 【详解】
（1）因为函数()ln f x x x =， 所以()1
ln ln 1f x x x x x
'=+⋅
=+，()1ln111f '=+=. 又因为()10f =，则切点坐标为()1,0，
所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为1y x =-. （2）函数()ln f x x x =定义域为()0,∞+， 由（1）可知，()ln 1f x x '=+. 令()0f x '=解得1=
x e
. ()f x 与()f x '在区间()0,∞+上的情况如下：
所以，()f x 的单调递增区间是1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
；
()f x 的单调递减区间是10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
（3）当
1
x e e
≤≤时，“()1f x ax ≤-”等价于“1ln a x x ≥+”.
令()1ln g x x x =+，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()22111x g x x x x -'=-=，1,x e e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
. 令()0g x '=解得1x =，
当1,1x e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减. 当()1,x e ∈时，()0g x '>，所以()g x 在区间()1,e 单调递增. 而1ln 1 1.5g e e e e ⎛⎫=+=-> ⎪⎝⎭，()11
ln 1 1.5g e e e e
=+
=+<. 所以()g x 在区间1
,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
. 所以当1a e ≥-时，对于任意1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，都有()1f x ax ≤-. 【点睛】
本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，由导函数求函数的单调区间，分离参数法并构造函数研究参数的取值范围，由导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题.。