2020版高考数学二轮复习教程中难提分突破特训(四)理

中难提分突破特训（四）
1．在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b,c，其面积S ＝b2sin A。

(1)求错误!的值;
（2)设内角A的平分线AD交BC于D，AD＝错误!，a＝错误!,求b.
解(1)由S＝错误!bc sin A＝b2sin A,可知c＝2b，即错误!＝2。

（2）由角平分线定理可知，BD＝错误!，CD＝错误!，
在△ABC中，cos B＝错误!，
在△ABD中，cos B＝错误!，
即错误!＝错误!，解得b＝1.
2．现代社会，“鼠标手”已成为常见病，一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化,前臂表面肌电频率(sEMG)等指标．
(1）10名实验对象实验前、后握力（单位：N）测试结果如下：实验前：346，357，358，360,362,362,364，372,373，376
实验后:313,321,322，324，330,332，334,343,350,361
完成下列茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少N?
(2）实验过程中测得时间t（分）与10名实验对象前臂表面肌电频率（sEMG)的中位数y(Hz）的9组对应数据（t,y)为(0,87)，（20,84）,（40，86），（60,79)，（80,78），（100，78)，(120，76），(140，77），(160,75）．建立y关于时间t的线性回归方程；
(3)若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态,根据(2)中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？
参考数据：错误!（t i－错误!)(y i－错误!）＝－1800;
参考公式：回归方程y，^＝b^x＋错误!中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
错误!＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!.
解(1)根据题意得到茎叶图如下图所示,
由图中数据可得错误!1＝错误!×（346＋357＋358＋360＋362＋362＋364＋372＋373＋376）＝363，
x，－2＝错误!×（313＋321＋322＋324＋330＋332＋334＋343＋350＋361)＝333，
∴错误!1－错误!2＝363－333＝30(N），
∴故实验前后握力的平均值下降了30 N.
（2）由题意得错误!＝错误!×(0＋20＋40＋60＋80＋100＋120＋140＋160）＝80，
错误!＝错误!×(87＋84＋86＋79＋78＋78＋76＋77＋75）＝80，
错误!（t i－错误!)2＝(0－80)2＋（20－80）2＋（40－80)2＋(60－80）2＋(80－80）2＋(100－80）2＋(120－80）2＋(140－80）2＋（160－80）2＝24000，
又错误!(t i－错误!)（y i－错误!）＝－1800，
∴错误!＝错误!＝错误!＝－0.075，
∴错误!＝错误!－错误!错误!＝80－（－0。

075）×80＝86，
∴y关于时间t的线性回归方程为错误!＝－0.075t＋86.
(3)9组数据中40分钟到60分钟y的下降幅度最大,提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60分钟就该休息了．3．如图,四棱锥P－ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝错误!，AB＝AD＝错误!CD＝2，PD＝PB＝错误!,PD⊥BC。

(1）求证:平面PBD⊥平面PBC；
（2)在线段PC上是否存在点M，使得平面ABM与平面PBD所成锐二面角为错误!？若存在，求错误!的值;若不存在，说明理由．解（1）证明：因为四边形ABCD为直角梯形,
且AB∥DC，AB＝AD＝2，∠ADC＝错误!，
所以BD＝2错误!,
又因为CD＝4，∠BDC＝π4 .
根据余弦定理得BC＝22，
所以CD2＝BD2＋BC2，故BC⊥BD。

又因为BC⊥PD,PD∩BD＝D，且BD，PD⊂平面PBD,所以BC ⊥平面PBD，
又因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBD.
（2）由（1)得平面ABCD⊥平面PBD,
设E为BD的中点，连接PE，
因为PB＝PD＝错误!,所以PE⊥BD，PE＝2，
又因为平面ABCD⊥平面PBD,平面ABCD∩平面PBD＝BD，所以PE⊥平面ABCD.
如图，以A为坐标原点，分别以错误!,错误!,E错误!的方向为x,y，z 轴正方向，建立空间直角坐标系Axyz，
则A（0,0,0)，B(0，2，0)，C（2，4,0）,D(2，0,0)，P（1，1，2）,假设存在M(a，b，c)满足要求，
设错误!＝λ(0≤λ≤1），即错误!＝λ错误!，
(a－2，b－4,c)＝λ（－1，－3，2），得a＝2－λ,b＝4－3λ，c＝2λ，
则M(2－λ，4－3λ，2λ)，
易得平面PBD的一个法向量为错误!＝（2，2,0)．
设n＝(x,y，z)为平面ABM的一个法向量，
错误!＝（0，2,0)，错误!＝(2－λ，4－3λ，2λ）,
由错误!得错误!
不妨取n＝(2λ，0，λ－2)．
因为平面PBD与平面ABM所成的锐二面角为错误!，所以
｜cos〈B错误!，n>|＝错误!＝错误!，
解得λ＝错误!，λ＝－2（不符合题意，舍去）．
故存在点M满足条件，且错误!＝错误!.
4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为错误!（t为参数),以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝错误!.
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．
解(1)∵ρ＝错误!，
∴ρ－ρcosθ＝2，即ρ＝ρcosθ＋2.
∵x＝ρcosθ，ρ2＝x2＋y2，
∴x2＋y2＝（x＋2）2，
化简得y2－4x－4＝0.
∴曲线C2的直角坐标方程为y2－4x－4＝0。

(2)∵错误!∴2x＋y＋4＝0。

∴曲线C1的普通方程为2x＋y＋4＝0，表示直线2x＋y＋4＝0.
∵M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，
∴|M1M2｜的最小值等于点M2到直线2x＋y＋4＝0的距离的最小值．
不妨设M2（r2－1,2r),点M2到直线2x＋y＋4＝0的距离为d，
则d＝错误!＝错误!≥错误!＝错误!，
当且仅当r＝－错误!时取等号．
∴|M1M2|的最小值为错误!.
5．已知函数f（x)＝|x－1｜。

(1)求不等式f(2x）－f(x＋1）≥2的解集；
（2)若a>0，b〉0且a＋b＝f(3），求证：错误!＋错误!≤2错误!。

解(1)因为f(x）＝|x－1｜,
所以f(2x)－f(x＋1）＝|2x－1｜－｜x｜
＝错误!
由f（2x)－f(x＋1)≥2得
错误!或错误!或错误!
解得x≤－1或x∈∅或x≥3，
所以不等式的解集为(－∞，－1］∪［3，＋∞)．
（2)证明：a＋b＝f（3）＝2,又a>0,b〉0，
所以要证错误!＋错误!≤2错误!成立，
只需证（错误!＋错误!)2≤（2错误!）2成立，
即证a＋b＋2＋2错误!≤8，
只需证错误!≤2成立，
因为a>0，b〉0，所以根据基本不等式
错误!≤错误!＝2成立，
故命题得证．。