充要条件 教案

1.4.2 充要条件
教学目标
1.理解充要条件的意义.
2.理解数学定义与充要条件的关系.
教学重点：掌握充要条件的概念，理解充要条件的意义，会判断条件与结论之间的充要性．教学难点：判断条件与结论之间的充要性．
教学过程：
一、核心概念
充要条件
(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为
(sufficient and necessary condition)．
(2)当p是q的充要条件时，q也是p的条件．
(3)p是q的充要条件也常常说成“p成立q成立”，或“p与q”．
新知拓展
1．从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
(1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若p⇔q，则p是q的充要条件．
(3)若p⇒q，且q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．
(4)若p⇒/q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．
(5)若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
2．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件．
(2)若B⊆A，则p是q的必要条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
(4)若A⊆B且B A，即A B，则p是q的充分不必要条件．
(5)若B⊆A且A B，即B A，则p是q的必要不充分条件．
(6)若A B且B A，则p是q的既不充分也不必要条件．
3．“⇔”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．
二、评价自测
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( )
(2)符号“⇔”具有传递性．( )
(3)若p⇒/q和q不能推出p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．( )
(4)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分不必要条件．( )
(5)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件．( )
答案：（1）√、（2）√、（3）√、（4）×、（5）√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)“x2－3x＋2＝0”的充要条件是______________________．
(2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)
(3)若△ABC∽△DEF，“相似比为3∶2”是“对应高的比为3∶2”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)
答案：(1)x＝1或x＝2 (2)充要(3)充要
三、典例分析
题型一全称量词命题与存在量词命题的判定
例1在下列各题中，试判断p是q的什么条件．
(1)p：a＝b，q：ac＝bc；
(2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
C B C A.
(4)p：A∩B＝A，q：
U U
【答案】(1)因为a＝b⇒ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分条件，但不是必要条件．
(2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q 的充要条件．
(3)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．
(4)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UA⊇∁UB，并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p是q的充要条件．
题型探究
已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：
(1)p是r的什么条件？
(2)s是q的什么条件？
(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？
【答案】作出“⇒”图，如右图所示，可知：
p ⇒q ，r ⇒q ，q ⇒s ，s ⇒r .
(1)p ⇒q ⇒s ⇒r ，且r ⇒q ，q 能否推出p 未知，∴p 是r 的充分条件． (2)∵s ⇒r ⇒q ，q ⇒s ， ∴s 是q 的充要条件．
(3)共有三对充要条件，q ⇔s ；s ⇔r ；r ⇔q. 金版点睛：
判断p 是q 的充分必要条件的两种思路
(1)命题角度：判断p 是q 的充分必要条件，主要是判断p ⇒q 及q ⇒p 这两个命题是否成立．若p ⇒q 成立，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件；若q ⇒p 成立，则p 是q 的必要条件，同时q 是p 的充分条件；若二者都成立，则p 与q 互为充要条件．
(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p ⇒q 及q ⇒p 的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．
此外，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇔等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度． 跟踪训练1
指出下列各题中，p 是q 的什么条件？ (1)p ：A ∪B ＝A ，q ：A∩B ＝B ；
(2)p ：⎩⎪⎨⎪⎧ α>2，β>2，q ：⎩
⎪⎨⎪⎧
α＋β>4，αβ>4；
(3)已知实数a ，b ，p ：a>0且b>0，q ：a ＋b>0且ab>0.
【答案】(1)因为A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，而A∩B＝B ⇔B ⊆A ，所以A ∪B ＝A ⇔A∩B＝B ，所以p 是q 的充要条件．
(2)由⎩
⎪⎨
⎪⎧
α>2，β>2，根据不等式的性质可得⎩
⎪⎨
⎪⎧
α＋β>4，
αβ>4.
即p ⇒q ，而由⎩⎪⎨
⎪⎧
α＋β>4，
αβ>4
不能推出⎩⎪⎨
⎪⎧
α>2，
β>2.
如：α＝1，β＝5满足⎩⎪⎨
⎪
⎧
α＋β>4，αβ>4，
但不满足α>2.
所以p 是q 的充分不必要条件．
(3)由a>0且b>0⇒a ＋b>0且ab>0，并且由a ＋b>0且ab>0⇒a>0且b>0，所以p 是q 的充要条件．
题型二 充要条件的证明 例2已知0ab
，求证：1a b 是3
322
0a
b ab a b 的充要条件．
【证明】 ①充分性：
∵1a b ，∴1b a ， ∴3
322
3322(1)(1)(1)a
b ab a b a a a a a a
323222
133120a a a a a a a a a ，即3322
0a b ab a b .
②必要性：∵3
322
0a b ab a b ，
∴2
222()()()0a b a ab b a ab b ，
∴2
2()(1)0a
ab b a b . ∵0ab ，∴0a
且0b
，
∴220a
ab b .
∴10a b ，∴1a b .
综上可知，当0ab 时，1a b 是3
322
0a
b ab a b 的充要条件．
题型探究
已知a ，b 是实数，求证：a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的充分条件．该条件是否为必要条件？试证明你的结论．
【证明】因为a 2－b 2＝1，所以a 4－b 4－2b 2＝(a 2－b 2)·(a 2＋b 2)－2b 2＝(a 2＋b 2)－2b 2＝a 2－b 2＝1.
即a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的充分条件． 另一方面，若a 4－b 4－2b 2＝1，
即a 4－(b 4＋2b 2＋1)＝0，a 4－(b 2＋1)2＝0， (a 2－b 2－1)(a 2＋b 2＋1)＝0.
又a 2＋b 2＋1≠0，所以a 2－b 2－1＝0，即a 2－b 2＝1. 因此a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的必要条件．
金版点睛：
充要条件的证明
证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”.
跟踪训练2
求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac <0.
【证明】①必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，∴Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝
c
a <0，∴ac <0.
②充分性：由ac <0可得b 2－4ac >0及x 1x 2＝c
a
<0，
∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．
综上可知，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac <0.
题型三 探求充要条件
例3求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 【答案】①当a ＝0时，方程为一元一次方程，其根为x ＝－1
2
，符合要求．
②当a ≠0时，方程为一元二次方程，此时ax 2＋2x ＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a ≥0，从而a ≤1.设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2
a ，
x 1x 2＝1a
.
(ⅰ)方程ax 2＋2x ＋1＝0有一负根一正根的充要条件为⎩⎪⎨⎪
⎧
a ≤1，1a
<0⇒a <0；
(ⅱ)方程ax 2
＋2x ＋1＝0有两个负根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤1，
－2
a
<0，
1a >0
⇒0<a ≤1.
综上所述，方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1. 金版点睛：
探求充要条件的两种方法
(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 跟踪训练3
已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件． 【答案】方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，则方程有两个大于1的实数根x 1，x 2：
⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，(x 1－1)(x 2－1)>0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0
⇔⎩⎪⎨⎪⎧
k ≤14
，x 1x 2－(x 1
＋x 2
)＋1>0，(x 1
＋x 2
)－2>0
四、随堂练习
1．已知A ，B 是非空集合，命题p ：A ∪B ＝B ，命题q ：A B ，则p 是q 的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．既不充分也不必要条件
D ．必要不充分条件
答案：D
解析：由A ∪B ＝B ，得A ⊆B 或A ＝B ；反之，由A ⊆B ，得A ∪B ＝B ，所以p 是q 的必要不充分条件．
2．“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案：B
解析： x 2＋(y －2)2＝0，即x ＝0且y ＝2，∴x (y －2)＝0.反之，x (y －2)＝0，即x ＝0或y ＝2，x 2＋(y －2)2＝0不一定成立．故“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的充分不必要条件．
3．设x ∈R ，则“x <－1”是“|x |>1”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案：A
解析：因为x <－1⇒|x |>1，而|x |>1⇒x <－1或x >1，故“x <－1”是“|x |>1”的充分不必要条件．
4．关于x 的不等式|x |>a 的解集为R 的充要条件是________． 答案：a <0
解析：由题意知|x |>a 恒成立，∵|x |≥0，∴a <0.
5．已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1
y 的充要条件是xy >0.
证明：证法一：①充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1
y
.
②必要性：由1x <1y ，得1x －1
y <0，即y －x xy <0.
因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1
y 的充要条件是xy >0.
证法二：1x <1y ⇔1x －1
y <0⇔y －x xy
<0.
由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －x
xy <0⇔xy >0.
所以1x <1y ⇔xy >0，即1x <1
y
的充要条件是xy >0.。