苏教版数学高二-选修2-1模块综合检测(B)

模块综合检测(B)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．用“p 或q ”“p 且q ”“⌝p ”填空，命题“a 2＋1≥1”是________形式，命题“奇数的平方不是偶数”是________形式．
2．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若⌝p 是⌝q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________________．
3．若双曲线x 24－y 2b ＝1 (b >0)的渐近线方程为y ＝±1
2
x ，则b ＝________.
4．设F 1、F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2
＝1与C 1的一个交点，
则△PF 1F 2的面积为________．
5．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程为________． 6．已知M (－1,3)，N (2,1)，点P 在x 轴上，且使PM ＋PN 取得最小值，则最小值为________． 7．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：
①若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α，m ∥β；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α；④若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n . 其中所有真命题的序号是________．
8．已知向量a ＝(－2,3,2)，b ＝(1，－5，－1)，则m a ＋b 与2a －3b 相互垂直的充要条件为________．
9．椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过点F 1且垂直于x 轴的弦的
弦长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是________．
10．设F 为抛物线x 2＝8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若FA →＋FB →＋FC →
＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →
|＝________.
11．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋λe 2，CD →
＝6e 1－2e 2，当A ，C ，D 三点共线时，λ＝________. 12.
在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝
2
2
a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 13．已知OA →＝(1,1,0)，OB →＝(4,1,0)，OC →＝(4,5，－1)，则向量AB →和AC →
的夹角的余弦值为________． 14.
如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°，则二面角A —A 1C —B 的余弦值是________． 二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知命题p ：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2≥0，x －10≤0，
命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m >0，若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
16.(14分)椭圆x 24＋y 2
3＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l 经过点F 1与椭圆交于
A ，
B 两点．
(1)求△ABF 2的周长；
(2)若l 的倾斜角为π
4，求△ABF 2的面积．
17.
(14分)如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，面ABCD 与面D 1C 1CD 垂直，且∠D 1DC ＝π3，DC ＝DD 1＝2，DA ＝3，∠ADC ＝π
2，求异面直线A 1C 与AD 所成角余弦
值．
18.(16分)已知命题p：方程ax2＋ax－2＝0在[－1,1]上只有一个解；命题q：只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p∨q”为假命题，求实数a的取值范围．
19．(16分)
在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证：CM⊥EM；
(2)求CM与平面CDE所成角的大小．
20.(16分)已知直线(1＋4k)x－(2－3k)y－(3＋12k)＝0 (k∈R)所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C的长轴长为10.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：mx＋ny＝1，当点P(m，n)在椭圆C上运动时，求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．
模块综合检测(B)
1．p或q綈p
解析a2＋1≥1，即a2＋1>1或a2＋1＝1是p或q形式，奇数的平方不是偶数为綈p形式．
2．－1≤a≤6
解析由已知q⇒p，∴(2,3)⊆(a－4，a＋4)．
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a －4≤2a ＋4≥3，∴－1≤a ≤6. 3．1 4. 2
解析 设P 点在第一象限，由⎩⎨⎧
x 26＋y 2
2
＝1x
2
3－y 2
＝1
，
得P 点坐标为⎝⎛
⎭⎫
322
，22. ∴S △PF1F2＝12F 1F 2·y p ＝12×4×2
2＝ 2.
5．x 2＝12y
解析 点P 到直线y ＝－3的距离和它到点(0,3)的距离相等． 6．5
解析 设M 关于x 轴的对称点为M ′，则M ′(－1，－3)，所求最小值为M ′N ＝(2＋1)2＋(1＋3)2＝5. 7．②④ 8．m ＝17
13
解析 由(m a ＋b )·(2a －3b )＝0，
可得(－2m ＋1,3m －5,2m －1)·(－7,21,7)＝0. ∴14m －7＋63m －105＋14m －7＝0. ∴91m ＝119，∴m ＝1713.
9.12
解析 由已知得2b 2a ＝a 2c －c ＝b 2
c ，
∴a ＝2c ，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝1
2.
10．12 11．－2
解析 设AB →＋BC →＝kCD →
，即有3e 1＋(1＋λ)e 2＝6k e 1－2k e 2，所以k ＝12
，λ＝－2.
12．平行
解析 MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝12(A 1A →＋A 1B 1→)＋BC →＋12(CB →＋CD →)＝12(A 1A →＋CB →)＋BC →
＝12B 1B →＋12BC →＝12B 1C →
. 所以MN ∥平面BCC 1B 1. 13.32626
解析 AB →＝(3,0,0)，AC →
＝(3,4，－1)， cos 〈AB →，AC →
〉＝32626.
14.
155
15．解 p ：x ∈[－2,10]，q ：x ∈[1－m,1＋m ]，m >0， ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴p ⇒q 且q ⇒p . ∴[－2,10]
[1－m,1＋m ]．
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10.
∴m ≥9.
16．解 (1)由椭圆的定义，得AF 1＋AF 2＝2a ， BF 1＋BF 2＝2a ，又AF 1＋BF 1＝AB ， 所以，△ABF 2的周长＝AB ＋AF 2＋BF 2＝4a . 又因为a 2＝4，所以a ＝2，故△ABF 2点周长为8. (2)由条件，得F 1(－1,0)，
因为AB 的倾斜角为π
4，所以AB 斜率为1，
故直线AB 的方程为y ＝x ＋1.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋1，x 24＋y 23＝1，
消去x ，得7y 2－6y －9＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 解得y 1＝3＋627，y 2＝3－62
7，
所以，S △ABF 2＝1
2F 1F 2·|y 1－y 2|
＝12×2×1227＝1227
. 17．解 建立如图所示的空间直角坐标系， 则
A (3，0,0)，D 1(0,1，3)，C (0,2,0)，D (0,0,0)， 由AA 1→＝DD 1→ 得A 1(3，1，3)． ∴A 1C →
＝(－3，1，－3)． D 1A →
＝(3，－1，－3)． ∴cos 〈A 1C →，D 1A →
〉＝A 1C →·D 1A →|A 1C →|·|D 1A →|
＝
(－3，1，－3)·(3，－1，－3)
7·7
＝－1
7
.
∴异面直线A 1C 与AD 1所成角的余弦值为1
7
.
18．解 p ：方程ax 2＋ax －2＝0在[－1,1]上只有一个解，令f (x )＝ax 2＋ax －2， 则f (－1)·f (1)<0或f (1)＝0或Δ＝0⇒a ≥1或a ＝－8； q ：x 2＋2ax ＋2a ≤0，只有一个x 满足， 则Δ＝4a 2－8a ＝0⇒a ＝0或a ＝2.
若p ∨q 为假命题，则p 假，且q 假．p 为假，则a <1，且a ≠－8，而q 为假，则a ≠0
且a ≠2.
综合得a <1且a ≠0，a ≠－8.
19．(1)证明 分别以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 且与平
面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C —xyz .
设AE ＝a ，则M (a ，－a,0)，E (0，－2a ，a )，
所以CM →＝(a ，－a,0)，EM →＝(a ，a ，－a )，
所以CM →·EM →＝a ×a ＋(－a )×a ＋0×(－a )＝0，
所以CM ⊥EM .
(2)解 CE →＝(0，－2a ，a )，CD →＝(2a,0,2a )，
设平面CDE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ －2ay ＋az ＝0，2ax ＋2az ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
z ＝2y ，x ＝－z ，
令y ＝1，则n ＝(－2,1,2)，
cos 〈CM →，n 〉＝CM →·n |CM →||n |
＝a ×(－2)＋(－a )×1＋0×22a ×3＝－22， 所以，直线CM 与平面CDE 所成的角为45°.
20．解 (1)由(1＋4k )x －(2－3k )y －(3＋12k )＝0 (k ∈R )，得(x －2y －3)＋k (4x ＋3y －12)＝0，
则由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2y －3＝04x ＋3y －12＝0，解得F (3,0)， 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b
2＝1 (a >b >0)，
则⎩
⎪⎨⎪⎧ c ＝3a ＝5，所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)因为点P (m ，n )在椭圆C 上运动，
所以1＝m 225＋n 216
<m 2＋n 2， 从而圆心O 到直线l ：mx ＋ny ＝1的距离 d ＝1m 2＋n 2
<1＝r . 所以直线l 与圆O 恒相交．
又直线l 被圆O 截得的弦长为
L ＝2r 2－d 2＝2
1－1m 2＋n 2 ＝21－1925
m 2＋16 由于0≤m 2≤25，所以16≤
925m 2＋16≤25， 则L ∈⎣⎡⎦
⎤152，465， 即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围是 L ∈⎣⎡⎦
⎤152，465.。