八年级数学探索三角形相似的条件(2)鲁教版

探索三角形相似的条件（2）
教学目标
1．知识目标：掌握三角形相似的判定方法2、3，并会用判定方法2、3来证明及计算。

2．能力目标：通过对相似三角形的判定方法2、3的推导，培养学生思考问题的能力。

3．情感目标：通过探索相似三角形的判定方法2、3,体现数学活动充满着探索性和创造性，领会数学的分类思想。

教学重点
相似三角形判定方法2、3的推导过程，并能对其灵活运用.
教学难点
判定方法2、3的推导及运用
教学方法
探索类比法
教学过程
1．创设情境，自然引入
如下图，在R t△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于点D，则图中相似的三角形有几对，它们分别是哪些?
我们已经有两种方法可以判定两个三角形相似，一种是定义，一种是判定方法1，除此之
外，是否还有其他的办法来判定两个三角形相似？
2．设问质疑,探究尝试
相似三角形的判定方法1是只从角的方面考虑的，下面我们只从边的方面去考虑.我们在学习全等三角形的判定方法中，也有只用边来进行判断的，即SSS 公理. 能不能用类比的方法，猜想只用边来判定三角形相似的方法呢？
（一）动手画一画： 画△ABC 与△A ′B ′C ′，使
B A AB ''、
C B BC ''和A C CA
'
'都等于给定的值k . （1）设法比较∠A 与∠A ′的大小、∠B 与∠B ′的大小、∠C 与∠C ′的大小. （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？说说你的理由. 结论为∠A =∠A ′,∠B =∠B ′,∠C =∠C ′ △ABC ∽△A ′B ′C ′,
理由是：∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，∠C =∠C ′
B A AB ''=
C B BC ''=A C CA
'
' 根据相似三角形的定义可知：△ABC ∽△A ′B ′C ′. 改变k 值的大小，再试一试.
相似三角形的判定方法2：三边对应成比例的两个三角形相似. （二）动手画一画2：
（1）画△ABC 与△A ′B ′C ′，使∠A =∠A ′，
B A AB ''和
C A AC
'
'都等于给定的值k .设法比较 ∠B 与∠B ′的大小（或∠C 与∠C ′的大小）、△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？
（2）改变k 值的大小，再试一试.
按照要求作出的△ABC 与△A ′B ′C ′中，有∠B =∠B ′，∠C =∠C ′，因此根据判定方
法1可知，△ABC∽△A′B′C′.
相似三角形的判定方法3：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
（三）想一想
若两边对应成比例，其中一边的对角对应相等，这两个三角形相似吗？
在全等三角形的判定中SSA就不成立.大家还可以仿照上面的验证过程来进行推导，下面是小明和小颖分别画出的一个满足条件的三角形，由此你能得到什么结论？
从上面的图中可以得出结论：有两边对应成比例，其中一边的对角相等的三角形不相似.
3．归纳总结，概括知识
总结相似三角形的判定方法有几种？
第一种：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.即定义法.
第二种：即判定方法1：两角对应相等的两个三角形相似.
第三种：即判定方法2：三边对应成比例的两个三角形相似.
第四种：即判定方法3：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
从这四种方法中我们可以看出，第一种判定方法比较麻烦，需要研究三对角、三对边，而后面的几种方法最多只需要研究三对边或角.
如果已知条件只涉及角，就用第二种判定方法；
如果已知条件只涉及边，就用第三种判定方法；
如果既有角又有边，则可考虑用第四种方法判断.
4．变式训练，巩固提高
(1)如下图，△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？你有哪些判断方法？
解：△ABC ∽△A ′B ′C ′. 判断方法有.
①三边对应成比例的两个三角形相似. ②两角对应相等的两个三角形相似. ③两边对应成比例且夹角相等. ④定义法.
(2)下面每组的两个三角形是否相似？为什么？
解：①△ABC ∽△DEF ∵
EF
BC
DF AC DE AB =
==2 ∴△ABC ∽△DEF ②在△ABC 中 AB =2，AC =6
∵21
63,21===AC AF AB AE ∴
=
AB AE AC
AF
∵∠A =∠A ∴△ABC ∽△AEF
（3）∠A =120°,AB =7 cm,AC =14 cm ，∠A ′=120°,A ′B ′=3 cm,A ′C ′=6 cm, 判定△ABC 与△A ′B ′C ′是不是相似，并说明为什么.
解：∵C A AC B A AB ''='',37=3
7
614=
∴
C A AC
B A AB '
'=
'' 又∵∠A =∠A ′
∴△ABC ∽△A ′B ′C ′（两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似）
（4）AB =4 cm,BC =6 cm,AC =8 cm , A ′B ′=12 cm,B ′C ′=18 cm,A ′C ′=24 cm. 判定△ABC 与△A ′B ′C ′是不是相似，并说明为什么.
解：∵B A AB ''=124=31，C B BC ''=186=31,C A AC ''=248=3
1
∴
B A AB ''=
C B BC ''=C A AC '
' ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′（三边对应成比例，两三角形相似） 5．总结串联，纳入系统
本节课主要探讨了相似三角形的另两种判定方法，即三边对应成比例与两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.培养了大家的探索精神，同时让学生懂得了数学活动充满着探索与创新，学习的目的是能运用学过的知识去解决问题，在这里就是能利用判定方法进行有关证明.
教学检测
一、请你选一选
1．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，该图中共有x 个三角形与△ABC 相似，x 的值为（ ）
B.2
2．下列各组三角形中，相似的为（ ）
A.△ABC 中，∠A =35°,∠B =50°
△A ′B ′C ′中，∠A ′=35°,∠C ′=105° B.△ABC 中，AB =1.5，BC =1.25，∠B =38° △A ′B ′C ′中，A ′B ′=2,B ′C ′=3
5
,∠B ′=38° C.△ABC 中，AB =12，BC =15，AC =26
△A ′B ′C ′中，A ′B ′=20，B ′C ′=25，C ′A ′=40 3．如下图，下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是（ ）
A.
AB
AC
AD AE = B.∠B =∠ADE C.
BC
DE
AC AE = D.∠C =∠AED
4．如下图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，CD =2，BD =1，则AD 的长是
（ ）
A.1
B.2
二、请你填一填
1．如下图，在△ABC中，AC是BC、DC的比例中项，则△ABC∽______
2．如下图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，则△DEF∽________
3．如下图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端分别在CB、CD上滑动，那么当CM=________时，△ADE与△MN C相似.
三、请你想一想
如下图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ABD=∠ACD，试找出图中的相似三角形，并加以证明.
参考答案
一．请你选一选
1．B 2．B 3．C 4．D 二．请你填一填
1．△DAC 2．△ABC 3．552或5
5
三．请你想一想
（1）△AOB ∽△DOC （2）△AOD ∽△BOC
证明：（1）∵∠ABD =∠ACD ，∠AOB =∠DOC （对顶角相等） ∴△AOB ∽△DOC
（2）由（1）知△AOB ∽△DOC ∴OC OB
OD OA =， ∴
OC
OD
OB OA = 又∵∠AOD =∠BOC ∴△AOD ∽△BOC。