2006年高考数学试卷(广东卷)

2006年高考数学试卷（广东卷）
By ddy
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。

1、
函数2
()lg(31)f x x =+的定义域是
A.1(,)3
-+∞
B. 1(,1)3
-
C. 11(,)33
-
D. 1(,)3
-∞-
2、若复数z 满足方程2
20z +=，则3
z =
A.±
B. -
C. -
D. ±
3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A.3,y x x R =-∈
B. sin ,y x x R =∈
C. ,y x x R =∈
D. 1(),2
x
y x R =∈
4、如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量
CD =
A.12BC BA -+
B. 12BC BA --
C. 12
BC BA -
D. 12
BC BA +
5、给出以下四个命题：
○
1如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

○
2如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

○
3如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行。

○
4如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

其中真命题的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1
6、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15
，偶数项之和为30，则其公差为 A.5 B.4 C.3 D.2
7、函数()y f x =的反函数1
()y f x -=的图像与y 轴交于点P(0,2)，如图2所示，则方程()0f x =在[1,4]上的根
是x = A.4 B.3 C.2
D.1
8、已知双曲线2
2
39x y -=，则双曲线右支上的点P 到 右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于
C.2
D.4
9、在约束条件0,0,
,2 4.
x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪
⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数 32z x y =+的最大值的变化范围是 A.[6,15]
B.[7,15]
C.[6,8]
D.[7,8]
10、对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =当且仅当,a c b d ==；
A
B
C
D
运算“⊗”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+；
运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++，设,p q R ∈，若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=，则(1,2)(,)p q ⊕= A.（4，0） B.（2，0） C.（0，2） D.（0，－4）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

11、2
2
41
lim (
)42x x x →--=-+___________。

12、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为_____________。

13、在11
2()x x
-的展开式中，5
x 的系数为____________。

14、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4、……堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放。

从第二层开始，每层的小球自然垒放 在下一层之上，第n 堆第n 层就放一 个乒乓球。

以()f n 表示第n 堆的乒
乓球总数，则(3)f =_____;()f n =
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15、（本小题满分14分）
已知函数()sin sin(),2
f x x x x R π
=++
∈。

（1） 求()f x 的最小正周期； （2） 求()f x 的最大值和最小值； （3） 若3
()4
f α=
，求sin 2α的值。

16、（本小题满分12分）
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ。

（1） 求该运动员两次都命中7环的概率； （2） 求ξ的分布列； （3） 求ξ的数学期望E ξ。

17、（本小题满分14分）
如图5所示，AF 、DE 分别是O 、1O 的直径。

AD 与两圆所在的平面均垂直，AD=8。

BC 是
O 的直径，AB=AC=6，OE ∥AD 。

（1） 求二面角B-AD-F 的大小； （2） 求直线BD 与EF 所成的角。

18、（本小题满分14分）
设函数3()32f x x x =-++分别在12,x x 处取得极小值、极大值。

xoy 平面上点A 、B 的坐标分别为
D
E
A
F
B
C
O
O 1
11(,())x f x 、22(,())x f x 。

该平面上动点P 满足4PA PB ⋅=
,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点。

求：
（1） 点A ，B 的坐标； （2） 求动点Q 的轨迹方程。

19、（本小题满分14分）
已知公比(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9，无穷等比数列{}
2
n a 各项的和为
815。

（1） 求数列{}
n a 的首项1a 和公比q ；
（2） 对给定的(1,2,,)k k n = ，设()k T 是首项为k a ，公差为21k a -的等差数列。

求(2)T 的前10项之和； （3） 设i b 为数列i T 的第i 项，12n n S b b b =+++ 。

求n S ，并求正整数(1)m m >，使得lim n
m
x s n →∞存在且不
等于零。

（注：无穷等比数列各项和即当n →∞时该无穷等比数列前n 项和的极限） 20、（本小题满分12分）
A 是右定义在[2,4]是且满足如下条件的函数()x ϕ组成的集合：○1对任意的[1,2]x ∈，都有(2)(1,2)x ϕ∈；○
2存在常数(01)L L <<，使得对任意的12,[1,2]x x ∈，都有 1212|(2)(2)|||
x x L x x ϕϕ
-≤-。

（1） 设()[2,4]x x ϕ=∈。

证明：()x A ϕ∈；
（2） 设()x A ϕ∈，如何存在0(1,2)x ∈，使得00(2)x x ϕ=，那么这样的0x 是唯一的；
（3） 设()x A ϕ∈，任取1(1,2)x ∈，令1(2)n n x x ϕ+=，1,2,n = 。

证明：给定正整数k ，对任意的正整数
p ，成立不等式1
21||||1k k p k L x x x x L
-+-≤--。