1数学思想篇--整体思想

数学思想-- 整体思想
知识梳理
整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后．得出结论．整体思想的应用，要做到观察全局、整体代入、整体换元、整体构造．整体思想作为重要的数学思想之一，我们在解题过程中经常使用．整体思想使用得恰当，能提高解题效率和能力，减少不必要的计算和走弯路，直奔主题．因而在处理数与式的运算、方程、几何计算等方面有着广泛应用．是初中数学学习中的重要思想方法．
典型例题
一、在数与式的运算中的应用
1. 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -
+的值为 ( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．7 2．先化简，再求值222142442
a a a a a a a a +--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭，其中a 满足a 2－2a －1=0． 3．计算：111111111234
20082342007⎛⎫⎛⎫+++++++++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (111111111234)
20082342007⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…+?+ 二、在方程中的应用
1.(08绍兴)若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支圆珠笔、4本日记本需__________元．
2.(08苏州)解方程：()2
221160x x x x +++-=． 三、在几何计算中的应用
【例5】如图⊙A ，⊙B ，⊙C
两两不相交，且半径都是0．5 cm ，则图中的阴影部分的面积是
( )
A ．12πcm 2
B ．8πcm 2
C ．4πcm 2
D ．6
πcm 2
综合训练
1．当代数式a +b 的值为3时，代数式2a +2b+1的值是 ( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
2．用换元法解方程(x 2+x) 2+2(x 2+x)－1=0，若设y=x 2+x ，则原方程可变形为 ( )
A ．y 2+2y+1=0
B ．y 2－2y+1=0
C ．y 2+2y －1=0
D ．y 2－2y －1=0
3．当x=1时，代数式a x 3+bx+7的值为4，则当x=－l 时，代数式a x 3+bx+7的值为
A ．7
B ．10
C ．11
D ．12 ( )
4．若方程组36133x y k x y +=+⎧⎨+=⎩
的解x ，y 满足0<x+y<1，则k 的取值范围是 ( ) A ．－4<k<0 B ．－1<k<0 C ．0<k<8 D ．k>－4
5．(08芜湖)已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y
----的值为_________． 6．已知x 2－2x －1=0，且x<0，则1x x -
=__________． 7．如果(a 2+b 2) 2－2(a 2+b 2)－3=0，那么a 2+b 2=_________．
8．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，
则地毯长度至少需________米．
9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__________cm 2．
10．如图，ABCD 是各边长都大于2的四边形，分别以
它的顶点为圆心、1为半径画弧(弧的端点分别在四边形的相
邻两边上)，则这4条弧长的和是__________．
11．如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其
直径CD 、EF 均和x 轴垂直，以O 为顶点的两条抛物线分别
经过点C 、E 和点D 、F ，则图中阴影部分的面积是________．
12．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支共需10元，若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需_________元．
13．(08烟台)已知x(x －1)－(x 2－y)=－3，求x 2+y 2－2xy 的值．
14．(07泰州)先化简，再求值：
2224124422a a a a a a
⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭，其中a 是方程x 2+3x+1=0的根．
15．解方程（1）(x 2－1) 2－5(x 2－1)+4=0 （2）x 4－x 2－6=0 （3）2
28011x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
为了解方程(x 2－1) 2－5(x 2－1)+4=0．我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1=
y ，则原方程可化为y 2－5y+4=0①．解得y 1=1，y 2=4．当y=1时，x 2－1=1，∴x 2=2，
∴x =y=4时，x 2－1=4，∴x 2=5，
∴x =．
∴1x
2x =
3x =
4x =．
解答问题：
(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；
(2)用上述方法解方程：x 4－x 2－6=0．
参考答案
1．C 2．C 3．B 4．A 5．4 6．2 7．3 8．
2+2+ 9．49
10．2π 11．2π
12．5
13．原题化简得x －y=3，∴x 2+y 2－2xy=(x －y) 2=32=9．
14．解：原式=()()
()()()
2222212122222
2a a a a a a a a a a a ⎡⎤+---+⎛⎫+⨯=+⨯⎢⎥ ⎪---⎝⎭-⎢⎥⎣⎦ ()
()231
322a a a a +==+
a 是方程x 2+3x+1=0的根，∴a 2+3a +1=0，∴a 2+3a =－1，∴原式=－1
2．
15．(1)换元 整体
(2)设x 2=y 则原方程可化为y 2－y －6=0，解得y 1=3，y 2=－2<0(舍去)
∴当y=3时，x 2=3，
∴x =
x =。