福建省福州八中2013—2014学年高二下学期期末考试数学(理)试卷

第I 卷（100分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）
1．已知随机变量ξ的数学期望E ξ=0.05且η=5ξ+1，则E η等于
A. 1.15
B. 1.25
C. 0.75
D. 2.5
2. 某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，如果他连续射击5次，则这名射手恰有4次击中目标的概率是
A.40.80.2⨯
B.4
45
C 0.8⨯ C.4
45
C 0.80.2⨯⨯ D. 4
5
C 0.80.2⨯⨯ 3.6个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是
A.288
B.480
C.600
D.640
4.一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为
A ．41004901C C -
B ．4
100390
110490010C C C C C + C ．4100
110C C D ．4100
3
90110C C C
5. 已知服从正态分布2(,)N μσ的随机变量在
区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+和(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%。

某校高一年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布2(90,15)N ，则此次成绩在(60,120)范围内的学生大约有
A.997
B.972
C.954
D.683人
6．某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如下表：
现已求得上表数据的回归方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆb 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为
A ．84分钟
B ．94分钟
C ．102分钟
D ．112分钟
7. 先后抛掷红、蓝两枚骰子，事件A ：红骰子出现3点，事件B ：蓝骰子出现的点数为奇数，则(|)P A B =
A.
6
1
B.
3
1
C.
2
1
D.
36
5 8.甲、乙、丙、丁四个人排成一行，则乙、丙两人位于甲同侧的排法总数是
A.16
B.12
C.8
D.6
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9. 6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种.
10.若5(1)ax -展开式中各项系数和为32，其中a R ∈，该展开式中含2x 项的系数为_________.
11.已知某一随机变量X 的概率分布列如下，且E （X ）=7，求D （X ） . 12.给出下列结论：
（1）在回归分析中，可用相关指数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好；
（2）某工产加工的某种钢管，内径与规定的内径尺寸之差是离散型随机变量； （3）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度，它们越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；
（4）甲、乙两人向同一目标同时射击一次，事件A ：“甲、乙中至少一人击中目标”与事件B ：“甲，乙都没有击中目标”是相互独立事件。

其中结论正确的是
.（把所有正确结论的序号填上）
三、解答题（本大题共有3个小题，共40分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

）
13.（本小题满分13分） 已知(n
的展开式中，前三项的二项式系数之和为37. （Ⅰ）求n 的值； （Ⅱ）求x 的整数次幂的项. 14.（本小题满分13分）
淘宝卖家在某商品的所有买家中，随机选择男女买家各50位进行调查，他们的评分等级如下：
（Ⅰ）从评分等级为(3,4]的人中随机选2个人，求恰有1人是女性的概率；
（Ⅱ）规定：评分等级在[0,3]的为不满意该商品，在(3,5]的为满意该商品。

完成下列22⨯列联表并帮助卖家判断：能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为满意该商品与性别有关系？
15.（本小题满分14分）
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物。

规定
PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/
立方米之间空气质量为二级，在75微克/立方米及其以上空气质量为超标。

某市环保局从过去一年的市区
PM2.5监测数据中，随机抽取10天
的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）。

10个数据中x ，y 两个数据模糊，无法辨认，但知道这10个数据的中位数为45. （Ⅰ）求x 的值；
（Ⅱ）从这10个数据中抽取3天数据，求至少有1天空气质量超标的概率； （Ⅲ）把频率当成概率来估计该市的空气质量情况，记ξ表示该市空气质量未来3天达到一级的天数，求ξ的分布列及数学期望。

第Ⅱ卷
一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）
16. 对于小于55的自然数，积（55-n ）（56-n ）……（68-n ）(69-n)等于
A ．A n
n --5569
B. A 1569n -
C. A 1555n -
D. A 1469n -
PM2.5日均值（微克/立方米）
2 3 4 6 7 8
8 2 1 4
x 4
2
y 9 4
17. 已知0x >，*n N ∈，由下列结论12x x +≥，243x x +≥，327
4x x
+≥，…，得到一个正确的结论可以是
A. 21n n x n x +≥+
B.2n
n x n x +≥
C.n
n n x n x +≥
D.1n
n n x n x
+≥+
18．若1,x A A x ∈∈且，则称A 是“伙伴关系集合”，在集合11
{1,0,,,1,2,3,4}32M =-的
所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为
A ．
1
17
B ．
151
C ．
7255
D ．
4255
19.已知函数()x f 的定义域为
[]6,2-，x 与()x f 部分对应值如下
表，()x f 的导函数()x f y '=的图象如图所示.给出下列说法：
①函数()x f 在()3,0上是增函数；
②曲线()x f y =在4=x 处的切线可能与y 轴垂直；
③如果当[]t x ,2-∈时，()x f 的最小值是
2-，那么t 的最大值为5；
④[]6,2,21-∈∀x x ，都有()()a x f x f ≤-21恒成立，则实数a 的最小值是5.正确的个数是
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分） 20．如图所示，用五种不同的颜色分别给A 、B 、C 、D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有 种。

21.从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取
出m 个球(0,,)m n m n N <≤∈，共有1m n C +种取法，在这1m n C +种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，共有01m n C C ⋅种取法；另一类是取出的m 个球有1m -个白球，1个黑球，共有111m n C C -⋅种取法。

显然011111m m m n n n C C C C C -+⋅+⋅=，即有等式11m m m n n n C C C -++=。

试根据上述思想，类比化简下列式子：
1122_________(1,,,).m m m k m k
n k n k n k n C C C C C C C k m n k m n N ---+⋅+⋅++⋅=≤≤≤∈
三、解答题（本大题共有2个小题，共26分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

）
22. (本小题满分12分)
某学校举办“有奖答题”活动，每位选手最多答10道题，每道题对应1份奖品，每份奖品价值相同。

若选手答对一道题，则得到该题对应的奖品。

答对一道题之后可选择放弃答题或继续答题，若选择放弃答题，则得到前面答对题目所累积的奖品；若选择继续答题，一旦答错，则前面答对题目所累积的奖品将全部送给现场观众，结束答题。

假设某选手答对每道题的概率均为
2
3
，且各题之间答对与否互不影响。

已知该选手已经答对前6道题。

（Ⅰ）如果该选手选择继续答题，并在最后4道题中，在每道题答对后都选择．．．继续答题。

（ⅰ）求该选手第8题答错的概率；
（ⅱ）记该选手所获得的奖品份数为ξ，写出随机变量ξ的所有可能取值并求ξ的数学期望E ξ；
（Ⅱ）如果你是该选手，你是选择继续答题还是放弃答题？若继续答题你将答到第几题？请用概率或统计的知识给出一个合理的解释。

23. (本小题满分14分)
已知函数()()2x
f x e ax =+(e 为自然对数的底数，a ∈R 为常数）．对于函数
()(),g x h x ，若存在常数,k b ，对于任意x ∈R ，不等式()()g x kx b h x ≤+≤都成立，
则称直线y kx b =+是函数()(),g x h x 的分界线． （Ⅰ）若1a =-，求()f x 的极值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅲ）设2a =，试探究函数()2
42g x x x =-++与函数()f x 是否存在“分界线”？
若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由
14.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）从评分等级为(3,4]的28人中随机选2个人，共有2
28378C =种结果，…2分 其中恰有1人是女性的共有111810180C C ⋅=种结果，……4分
故所求的概率18010
37821
P ==……6分 （Ⅱ）
假设0H :是否满意该商品与买家的性别无关
则2
2
100(32302018) 5.769 3.84150505248
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ……11分
因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为满意该商品与性别有关。

……13分
15.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可知
452
44
40=++x 解得6=x .……3分
（Ⅱ）没有一天空气质量超标的概率为373107
24
C C =
至少有一天空气质量超标的概率为717
12424
-
=
. ……………7分 （Ⅲ）0,1,2,3ξ所有可能取值为 ……………………8分
12527)53()0(3===ξP 12554)53)(52()1(2
13=
==C P ξ 12536)53()52()2(223=
==C P ξ 125
8
)52()3(3===ξP 的分布列为
……12分
∴数学期望 2754368601231251251251255
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=. ………14分 第Ⅱ卷
一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

每题有且只有一个选项
是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）
BDAB
二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）
20.180 21. m
n k C +
三、解答题（本大题共有2个小题，共26分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

）
22. (本小题满分12分)
23. (本小题满分14分) 解：（Ⅰ）若1a =-，则()()2x
f x e x =-+，()()'1x f x e x ∴=-+， ………1分
由()'0f x =得1x =
又()'0f x >得1x <； ()'0f x <得1x >，
()f x ∴在(),1-∞单调递增，在()1,+∞单调递减；
()f x ∴在1x =处取得极大值()1f e =,无极小值． ……………………3分
（Ⅱ）()()'2x
f x e
ax a =++，……………………………………………………4分
①当0a >时，由'()0f x ≥得2
2,1;ax a x a
≥--∴≥-- 由'()0f x ≤得22,1;ax a x a
≤--∴≤-- 函数()f x 在区间21,a ⎡⎫--
+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数，在区间2,1a ⎛
⎤-∞-- ⎥⎝
⎦上是减函数：…6分 ②当0a =时，'()0f x >对x ∀∈R 恒成立，
此时函数()f x 是区间R 上的增函数；………………………………………………7分
③当0a <时，由'()0f x ≥得2
2,1;ax a x a
≥--∴≤--
由'()0f x ≤得2
2,1;ax a x a
≤--∴≥--
函数()f x 在区间2,1a ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦上是增函数，在区间21,a ⎡⎫
--+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数．…9分
（Ⅲ）若存在，则()24222x
x x kx b e x -++≤+≤+恒成立，
令0x =，则22b ≤≤，所以2b =， ……………………………………………11分 因此：2422x x kx -++≤+对x ∈R 恒成立，即()2
40x k x +-≥对x ∈R 恒成立，
由0∆≤得到4k =， ……………………………………………………………12分 现在只要判断()2242x
e
x x +≥+是否恒成立，
设()()()2242x
x e
x x φ=+-+，则()()'244x x e x φ=+-，
①当0x >时，()1,244,'0,x
e x x φ>+>>
②当0x <时，()01,244,'0,x
e x x φ<<+<< …………………………………13分
所以()()00x φφ≥=，即()2242x
e x x +≥+恒成立，
所以函数()2
42g x x x =-++与函数()f x 存在“分界线”，且方程为42y x =+14分。