高二数学下学期期中试题理科实验班,含解析 试题

靖远四中2021-2021学年度第二学期期中考试
高二理科数学〔实验班〕
一、选择题
1.设复数21i
z i
=
-，那么z =〔 〕
A. 1
D. 2
【答案】C 【解析】 【分析】
利用复数的除法运算法那么化简求出z,再求z ． 【详解】z ()()()
212111i i i i i i +=
==---+1+i ，
所以应选:C
【点睛】此题主要考察复数的除法运算和复数的模的计算，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.
2.假设()sin cos f x x x =-，那么(0)f '=〔 〕 A. 0
B. 1
C. cos α
D.
cos 1α+
【答案】B 【解析】 【分析】
直接运用导数的减法运算法那么和导数公式，对()f x 求导得()cos sin f x x x '=+，再将
0x =代入()f x '，即可求出结果.
【详解】解：()sin cos f x x x =-，
那么()()()()sin cos cos sin cos sin f x x x x x x x '
'
=-'=--=+， 所以(0)cos0sin 01f '=+=. 应选：B.
【点睛】此题考察导数的减法运算法那么和导数公式的应用，以及某点处的导数值，属于根底题.
3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔塔顶，在第二秒末物体落地，自由落体的运动速度为v ＝gt(g 为常数)，那么电视塔高为( ) A. 12
g B. g C.
32
g D. 2g
【答案】C 【解析】
物体从1t =到2t =所走过的路程2
21
21312
2s gtdt gt g ．==
=⎰
应选C ．
4.欧拉公式i cos sin e i θθθ=+〔e 为自然对数的底数，i 为虚数单位〕是瑞士著名数学家欧拉创造的，根据欧拉公式可知，复数6i e π
的虚部为〔 〕 A. 1
2
i - B.
12
i C. 12
-
D.
12
【答案】D 【解析】
【分析】
根据欧拉公式，将所求的复数表示为代数形式，结合特殊角的三角函数值，即可得出结论.
【详解】631cos sin
6
6
22
i
i i e ππ
π
=+=
+. 应选：D.
【点睛】此题以数学文化为背景，考察复数的根本概念，属于根底题.
5.函数y ()y ()f x f x ==，
的导函数的图像如下图，那么函数y ()f x =的图像可能是
A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】
原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．
【名师点睛】此题主要考察导数图象与原函数图象的关系：假设导函数图象与x 轴的交点为
0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，那么0x 为原函数单调性的拐点，运用导
数知识来讨论函数单调性时，由导函数
'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．
6.假设532m m A A =，那么m 的值是〔 〕
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】A 【解析】
【分析】
根据排列数公式，化简得到关于m 的方程，求解即可.
【详解】由532m m A A =，得(1)(2)(3)(4)2(1)(2)m m m m m m m m ----=--，且5m ≥
所以(3)(4)2m m --=
即27100,5m m m -+=∴=或者2(5m m =≥舍去〕. 应选：A
【点睛】此题考察排列数方程的求解，注意排列数m
n A 中n m ≥不要忽略，属于根底题. 7.?数术记遗?是?算经十书?中的一部，相传是汉末徐岳〔约公元2世纪〕所著，该书主要记述了：积算〔即筹算〕太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，那么不同的分配方法有〔 〕
A. 4553
14105322C C C A A
B. 4552
14105233C C C A A
C. 45
5141052
2
C C C A D.
455
14105C C C
【答案】A 【解析】 【分析】
此题涉及平均分组问题，先计算出分组的方法，然后乘以3
3A 得出总的方法数.
【详解】先将14种计算器械分为三组，方法数有45514105
2
2
C C C A 种，再排给3个人，方法数有
4553
1410532
2
C C C A A ⨯种，应选A. 【点睛】本小题主要考察简单的排列组合问题，考察平均分组要注意的地方，属于根底题.
8.5
22x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中4x 的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80
【答案】C 【解析】
分析：写出10315
2r
r r r T C x -+=，然后可得结果
详解：由题可得()
52
10315
522r
r
r r r r
r T C
x C x
x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭
令103r 4-=,那么r 2= 所以22552240r
r C C =⨯=
应选C.
点睛：此题主要考察二项式定理，属于根底题．
9.函数()(1)e x
f x x =-有( )
A. 最大值为1
B. 最小值为1
C. 最大值为e
D. 最小值为e
【答案】A 【解析】 【分析】
对函数进展求导，判断出函数的单调性，进而判断出函数的最值情况.
【详解】解:()e (1)e e x x x
f x x x '=-+-=-，当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<，
()f x ∴在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， ()f x ∴有最大值为(0)1f =，应选A.
【点睛】此题考察了利用导数研究函数最值问题，对函数的导函数的正负性的判断是解题的关键.
10.()3
f x x ax =-在(],1-∞-上是单调函数，那么a 的取值范围是〔 〕
A. ()3,+∞
B. [)3,+∞
C. (),3-∞
D.
(]3,-∞
【答案】D 【解析】
【详解】因为()3
f x x ax =-在(],1-∞-上是单调函数，所以2
()3f x x a '=-不会恒小于
等于0，所以2
()30f x x a '=-≥在(],1-∞-上恒成立，即2min (3)3a x ≤=；应选D.
11.(x ＋2)15＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 15(1－x )15，那么a 13的值是( ) A. 945 B. －945 C. 1 024 D. －1 024
【答案】B 【解析】
由(x ＋2)15
＝[3－(1－x )]15
＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2
＋…＋a 15(1－x )15
，得
13
21313153(1)945a C =⋅⋅-=-.
12.设函数
'()f x 是奇函数()f x 〔x ∈R 〕的导函数，(1)0f -=，当0x >时，
'()()0xf x f x -<，那么使得()0f x >成立的x 的取值范围是〔 〕
A. (,1)(0,1)-∞-
B. (1,0)(1,
)
C. (,1)(1,0)-∞--
D. (0,1)(1,)⋃+∞
【答案】A
【解析】
【详解】构造新函数()()
f x
g x x =
,()()()2 'xf x f x g x x
-='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()
f x
g x x
=
单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()
0f x g x x
=
>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 应选A.
点睛：此题主要考察利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x
=
.一般：〔1〕条件含有()()f x f x '+，就构造()()x
g x e f x =,〔2〕假设()()f x f x -'，就构造()()x
f x
g x e
=
，〔3〕()()2f x f x +'，就构造()()2x
g x e f x =，〔4〕()()2f x f x -'就构造()()
2x
f x
g x e
=
，等便于给出导数时联想构造函数. 二、填空题
13.定义运算
a c ad bc
b d
=-，复数z 满足
i 1i 1i
z =+，z 为z 的一共轭复数，那么z ＝
___________. 【答案】2＋i 【解析】
根据题意得到
1z i zi i i
=-=1i +,故得到z=2-i ，z ＝2＋i.
故答案为2＋i. 14.曲线,
x
x y e y e -==和直线1x =围成的图形面积是______.
【答案】1
2e e
+
+ 【解析】 【分析】
作图，利用积分公式求解即可.
【详解】
如图，由x
x
y e y e
-⎧=⎨=⎩，解得交点为(0,1)， ∴所求面积为：11
00
1()()2x x x x S e e dx e e e e
--=⎰-=+=+- 故答案为：12e e
+
- 【点睛】此题考察定积分的应用，属于根底题.
15.?红海行动?是一部现代海HY 题材影片，该片讲述了中国海HY“蛟龙突击队〞奉命执行撤侨任务的故事.撤侨过程中，海HY 舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任必须A 须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，那么这六项任务的不同安排方案一共有_____种. 【答案】120
【解析】 【分析】
由题意重点任必须A 须排在前三位，分别讨论A 排在第一位、第二位、第三位的情况，再将E 、F 捆绑在一起，与另外三个任务安排顺序即可得解.
【详解】由题意重点任必须A 须排在前三位，E 、F 必须排在一起，分别讨论A 的位置： 当A 排在第一位时，E 、F 排在一起那么有2
2A 种方法，将E 、F 捆绑作为一个整体与另
外三个任务全排列那么有44A ，所以此时有2424=24321=48A A ⨯⨯⨯⨯种方案；
当A 排在第二位时，先从另外三个任务中选一个排在第一位，那么有1
3C ，E 、F 排在一起有2
2A 种方法，将E 、F 捆绑作为一个整体与另外两个任务全排列那么有3
3A ，所以此时有123
323=32321=36C A A ⨯⨯⨯⨯种方案；
当A 排在第三位时，分E 、F 在A 左侧与右侧两种情况：当E 、F 在A 左侧时，E 、F 二
个任务全排列，另外三个任务在A 的右侧全排列，所以有2323232112A A =⨯⨯⨯=种；
当E 、F 在A 右侧时，先将另外三个任务中的两个任务在左侧排列，再将E 、F 捆绑作为一个整
体排列在右侧，最后与另外一个任务全排列有222322322224A A A =⨯⨯⨯=种；所以此种情
况一共有12+24=36种方案；
综上可知，不同安排方案一共有48+36+36=120种. 故答案为：120.
【点睛】此题考察了排列组合问题的实际应用，对由位置要求的元素进展优先安排，通过别离讨论的方法分析各种情况，属于中档题. 16.假设函数()2
122
f x x x aInx =-+有两个不同的极值点，那么实数a 的取值范围是__________. 【答案】()0,1
【解析】 【分析】
对函数求导，要满足题意，只需导函数在定义域内有两个零点，数形结合即可求得. 【详解】由()2
122f x x x aInx =
-+可得函数定义域为()0,∞+且()2a f x x x
=+-' 假设满足()f x 有两个不同的极值点， 那么需要满足()20a
f x x x
=-'+
=有两个不同的实数根， 即22a x x =-+在区间()0,∞+上有两个不同的实数根， 也即直线y a =与函数()2
2,0,y x x x =-+∈+∞有两个交点，
在直角坐标系中作图如下：
数形结合可知，故要满足题意，只需()0,1a ∈. 故答案为：()0,1.
【点睛】此题考察由函数极值点的个数，求参数范围的问题，属根底题；此题也可转化为二次函数在区间()0,∞+上有两个实数根，从而根据二次函数根的分布进展求解. 三、解答题
17.〔1〕计算(
)
9897
3
100100101C C A +÷
〔2〕求函数2
()2ln f x x x =-，(0,)x ∈+∞的单调区间.
【答案】〔1〕
16；〔2〕单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
〔1〕根据排列与组合数的运算公式，直接计算，即可得出结果；
〔2〕先对函数求导，得到()241
x f x x
='-，解对应的不等式，即可求出单调区间.
【详解】〔1〕(
)()398
9733333
3
101100
100
101
100
101
101
101
1012100
3316A C
C
A
C
C
A
C
A A A =+÷+÷÷÷=== ；
〔2〕因为2
()2ln f x x x =-，所以()2141
4x f x x x x
-'=-=，
因为0x >，由2410x x ->得12x >；由241
0x x
-<得102x <<；
所以函数()f x 单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
. 【点睛】此题主要考察排列数与组合数的运算，以及导数的方法求函数的单调区间，属于常考题型.
18.(
)(
)
2
2
56815z m m m m i =-++-+，i 为虚数单位，m 为实数． 〔1〕当z 为纯虚数时，求m 的值；
〔2〕当复数8z i -在复平面内对应的点位于第四象限时，求m 的取值范围． 【答案】〔1〕2m =；〔2〕()()1,23,7⋃. 【解析】 【分析】
〔1〕根据纯虚数的概念可得出关于m 的等式与不等式，进而可求得实数m 的值； 〔2〕将复数8z i -表示为一般形式，结合条件得出该复数的实部为正数、虚部为负数，可
得出关于实数m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.
【详解】〔1〕由z 为纯虚数得22560
8150
m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解得2m =；
〔2〕复数(
)(
)
2
2
85687z i m m m m i -=-++-+，
因为复数8z i -位于第四象限，所以22560
870
m m m m ⎧-+>⎨-+<⎩，解得12m <<或者37m <<．
故m 的取值范围为()()1,23,7⋃.
【点睛】此题考察根据复数的概念与几何意义求参数，考察运算求解才能，属于根底题. 19.从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数.试问： 〔1〕五位数中，两个偶数排在一起的有几个？
〔2〕两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？〔所有结果均用数值表示〕 【答案】〔1〕576；〔2〕144 【解析】 【分析】
〔1〕先从3个偶数抽取2个偶数和从4个奇数中抽取3个奇数，利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进展全排列；
〔2〕利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，即可得出结果.
【详解】解：可知从1到7的7个数字中，有3个偶数，4个奇数， 〔1〕五位数中，偶数排在一起的有：2
3
4
1
3442576C C A A =个，
〔2〕两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有：2
3
2
3
3423144C C A A =个.
【点睛】此题考察数字的排列问题，涉及排列和组合的实际应用以及排列数和组合数的运算公式，考察利用捆绑法解决相邻问题，利用插空法解决不相邻问题，考察运算才能．
20.()22n
n N x +⎫∈⎪⎭的展开式中第二项与第三项的二项式系数之和为36. 〔1〕求n 的值；
〔2〕求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】〔1〕8；〔2〕61
1120x
⋅. 【解析】 【分析】
〔1〕由条件利用二项式系数的性质求得n 的值；
〔2〕首先求出二项式展开式的通项，进而得到展开式中二项式系数最大的项. 【详解】〔1〕由题意知，第二项的二项式系数为1n C ，第三项的二项式系数为2
n C ，
12
36n n C C ∴+=，得2720n n +-=，
(9)(8)0n n ∴+-=
得8n =或者9n =-〔舍去〕.
〔2〕8
22x ⎫⎪⎭的通项公式为： 85
8218
822(1)2k
k
k
k
k k k k T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
， 又由8n =知第5项的二项式系数最大，此时56
11120T x =⋅
. 【点睛】此题第一问考察二项式系数的性质，第二问考察二项式系数最大的项，熟记二项式展开式的通项为解题的关键，属于中档题.
21.设函数()()23x
x ax
f x a R e +=∈
〔1〕假设()f x 在0x =处获得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程；
〔2〕假设()f x 在[
)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围． 【答案】〔1〕0a =，切线方程为30x ey -=；〔2〕9
[,)2
-+∞. 【解析】
试题解析：此题考察求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法那么可得
'()f x =
23(6)x
x a x a
e
-+-+，由得'(0)0f =，可得0a =，于是有23()=,x x f x e 236()x
x x
f x e '-+=
，3(1)f e =，3'(1)f e =，由点斜式可得切线方程；〔2〕由题意'()0f x ≤在[3,)+∞上恒成立，即2
()3(6)g x x a x a =-+-+0≤在[3,)+∞上恒成立，
利用二次函数的性质可很快得结论，由63{6(3)0
a
g -≤≤得92
a ≥-．
试题解析：〔1〕对()f x 求导得()()()
()222
6336()x x
x
x
x a e x ax e x a x a
f x e e +-+-+-+'=
=
因为()f x 在0x =处获得极值，所以(0)0f '=，即0a =.
当0a =时，23()=,x x f x e 236()x
x x
f x e '-+=,故33(1)=,(1)f f e e '=,从而()f x 在点1(1)f （，）处的切线方程为33
(1)y x e e
-=-,化简得30x ey -=
〔2〕由〔1〕得，()236()x
x a x a
f x e
-+-+'=
,
令()2
()36g x x a x a =-+-+
由()0g x =
，解得1266=,66
a a x x --=
. 当1x x <时，()0g x <,故()f x 为减函数； 当12x x x <<时，()0g x >,故()f x 为增函数； 当2x x >时，()0g x <,故()f x 为减函数；
由()f x 在[3,)+∞上为减函数，知263
6
a x -+=≤，解得92a ≥- 故a 的取值范围为9
[,)2
-
+∞. 考点：复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性．考察综合运用数学思想方法分析与解决问题的才能．
22.函数()ln 1a
f x x x
=-
-. 〔1〕假设曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，务实数a 的取值范围； 〔2〕求()f x 的单调区间； 〔3〕设函数()ln x a
g x x
+=
，求证：当10a -<<时， ()g x 在()1,+∞上存在极小值. 【答案】(1) (),0-∞.(2)答案见解析；(3)证明见解析. 【解析】
【详解】试题分析：
〔1〕求出函数的导数，问题转化为20x x a ++=存在大于0的实数根，根据2
y x x a =++在0x >时递增，求出a 的范围即可；
〔2〕求出函数的导数，通过讨论a 的范围，判断导数的符号，求出函数的单调区间即可； 〔3〕求出函数()g x ，根据()0a
f e e
=-
>，得到存在0(1,)x e ∈，满足00()g x '=，从而让得到函数单调区间，求出函数的极小值，证处结论即可. 试题解析： 〔1〕由()ln 1a
f x x x
=-
-得()221'(0)a x a f x x x x x +=+=>.
由曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，所以()'1f x =-存在大于零的实数根， 即20x x a ++=存在大于零的实数根，因为2
y x x a =++在0x >时单调递增，
所以实数a 的取值范围(),0-∞. 〔2〕由()2
',0,x a
f x x a R x +=
>∈可得 当0a ≥时， ()'0f x >，所以函数()f x 的增区间为()0,∞+；
当0a <时，假设(),x a ∈-+∞， ()'0f x >，假设()0,x a ∈-， ()'0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(),a -+∞，减区间为()0,a -.
〔3〕由()ln x a
g x x
+=
及题设得()()()()
22ln 1'ln ln a
x f x x g x x x -
-==， 由10a -<<可得01a <-<，由〔2〕可知函数()f x 在(),a -+∞上递增， 所以()110f a =--<，取x e =，显然1e >，
()ln 10a a
f e e e e
=-
-=->，所以存在()01,x e ∈满足()00f x =，即存在()01,x e ∈满足()0'0g x =，所以()g x ， ()'g x 在区间〔1，+∞〕上的情况如下：
x 0(1,x ） 0x 0(+x ，）∞
()'g x － 0 + ()g x ↘ 极小 ↗
所以当-1<a<0时，g 〔x 〕在〔1，+∞〕上存在极小值.
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考察都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考察主要从以下几个角度进展： (1)考察导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联络. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；单调性，求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. (4)考察数形结合思想的应用.
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。