课件1：2.4 等比数列（一）

新课引入
一位数学家说过：你如果能将一张 纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬 上月球。
这个实例所包含的数学问题:
1 ，2 ，4 ，8 ，16 ，32 ，…
观察这几个数列，看有何共同特点?
1.细胞分裂个数可以组成下面的数列： 1, 2, 4, 8 , ….
2. 一尺之棰,日取其半,万世不竭. 如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那 么得到的数列是 1, ____,____,____, ….
第二章 数列 2.4 等比数列
旧知回顾
名称 概 念
常数 性质 通项
通项 变形
等差数列
从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数
公差(d)
d可正可负,且可以为零
an a1 (n 1)d
an
am
(n m)d
(n, m N * )
(学生）阅读课本，填表格
等比数列
名称
等差数列
从第2项起,每一项与它前一项
an a1 (n 1)d
方法二:(迭代法)
a2 a1 d
a3 a2 d
(a1 d ) d
a1 2d
a4 a3 d
(a1 2d) d
…a1
3d
…
an a1 (n 1)d
等比数列通项公式的推导：
方法一:累乘法
a2 q
aa31 q a2 a4 q
…a3 …
(n-1)个 式子
小结
1、掌握等比数列、等比数列的公比、等比中项等概念. 2、掌握等比数列通项公式的一般形式
3、已知等比数列通项公式中的任意三个量，能用通 项公式，求另外一个量. 4、能用数列的通项公式判断某个数是否是这个数列 中的项. 5、会用定义证明某个数列是等比数列.
本节内容结束
更多精彩内容请登录：
分析：
时间： 剩留量:
最初
1
经过1年a1=0.84 经过2年a2=0.842 经过3年a3=0.843 经过n年an=0.84n
解：设这种物质最初的质量是1， 经过n年，剩留量是an ， 由条件可得数列｛ an ｝是 一个等比数列。
a1=0.84，q=0.84， an=0.84n=0.5. 解得n=4. 答：这种物质的半衰期大约为4年.
2
是,公比 q=1
是,公 比q= -1
不是等比数列 不是等比数列
(7) 1, x , x2, x3, x4, (x 0) 是,公比 q= x
等差数列通项公式的推导:
an an1 d
方法一:(累加法)
a2 a1 d
a3 a2 d
a4
…
a…3
d
(n-1)个 式子
an1 an2 d
an an1 d
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，… 是,公比 q=3
(2) 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，… (4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，…
(6) 0，0，0，0，0，…
是,公比 q= 1
观察这几个数列，看有何共同特点?
1, 2, 4, 8, 16, …,263;
①
111
1, , , ;
②
248
1, 20, 202, 203, …
;
③
1.0198, 1.01982, 1.01983,
…. ④
观察这几个数列，看有何共同特点?
1, 2, 4, 8, 16, …,263;
1, 1 , 1 , 1 ; 248
an 0
等比中项的定义
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列， 那么G就叫做a与b的等比中项 在这个定义下，由等比数列的定义可得
Gb 即 aG G2 ab G ab
等比数列通项公式的应用
an a1 qn1
例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每 经过一年剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半 衰期为多长（精确到1年）？
其通项公式是
an
1 n1 () 2
开始
A=1
n=1 输出A n=n+1 A=A×(1/2)
n>5? 是
否
结束
例3： 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，
求它的第1项与第2项.
解：设这个等比数列的第1项是 a1，公比是 q，那么
a1q2 12
①
a1q3 18
②
把②的两边分别除以①的两边，得 q 3
1, 20, 202, 203, … ; 1.0198, 1.01982, 1.01983,
① ② ③
….
④
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比 都等于同一个常数．
等比数列概念
• 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与 它的前一项的 比 等于同一个常数，那么这个数 列就叫做等比数列 ，这个常数叫做等比数列的 公比（q,q≠0）。
an q an1
an a1
qn1
an an1
q
n 2
方法二:迭代法
a2 a1q
a3
aa12qq2
(a1q)q
a4 a3q (a1q2 )q
a1q3
……
a = a q n-1 n1
等比数列的通项公式
等比数列 an ，首项为 a1 ,公比为q,则通项公式为
an a1 • qn1
当q=1时，这是 一个常函数。
4. 除了单利，银行还有一种支付利息的 方式——复利，这种复利计算本利和公 式是：本利和=本金×(1+利率)存期.
例如，现在存入银行10 000元钱，年 利率是1.98%，5年内各年末得到的本利 和（单位：万元）组成了下面的数列：
1.0198, 1.01982, 1.01983, 1.01984, 1.01985.
例2：根据图中的框图， 写出所打印数列的前5项， 并建立数列的递推公式， 这个数列是等比数列吗？
解：若将打印出来的数依次记为 a1（即A），a2，a3，…… 由图可知打印出来的数依次为
1， 1 , 1 , 1 , 1 . 2 4 8 16
a1 1,
于是，可得递推公式
1
an 2 an1(n 1)
把③代入① ，得
16 a1 3
2
a2
a1q
16 3
3 2
8

课堂互动
一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它 的第1项与第4项.
解：设它的第一项是
a 1
，公比是
q
，则由题
意得
a1q 10 ， a1q 2 20
解得， a1 5 ， q 2
因此 a4 a1q3 40
答：它的第一项是5，第4项是40.
从第2项起,每一项与它前一
的比等同一个常数
概念 项的差等同一个常数
公比(q) --------------------
常数
公差(d)
性质 d可正可负,且可以为零
an a1 • q n1
--------------------
通项 an a1 (n 1)d
通项 变形
an
am
(n m)d
(n, m N *)
3. 一种计算机病毒可以查找计算机中的地 址薄，通过邮件进行传播.如果把病毒制造 者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送 病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每 一台计算机都感染20台计算机，那么在不 重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计 算机数构成的数列是：
1, 20, 202, 203 , ….