人教A版高中必修二试题河北正定中学-第二学期高一期末考试.doc

河北正定中学2010-2011学年第二学期高一期末考试
数学试题
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1．ΔABC 中, a = 1, b =3, ∠A=30°，则∠B 等于 A ．60° B ．60°或120° C ．30°或150° D ．120°
2．已知两条相交直线a ，b ，a ∥平面 α，则b 与 α 的位置关系是
A ．b ⊂平面α
B ．b ⊥平面α
C ．b ∥平面α
D ．b 与平面α相交，或b ∥平面α
3． 圆x 2＋y 2＝1和圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0的位置关系是
A ．外切
B ．内切
C ．外离
D ．内含
8．原点在直线l 上的射影是P(－2，1)，则直线l 的方程是 A ．02=+y x B ．042=-+y x C ．052=+-y x D ．032=++y x
9．点P (－2, －1)到直线l : (1+3λ)x +(1+2λ)y =2+5λ的距离为d , 则d 的取值范围是
S
B 1
C 1A 1
C
B
A
A. 0≤ d ≤13
B. d ≥ 0
C. d =13
D. d ≥13
10．二次方程2
2
(1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小，则a 的取值范围是 A ．31a -<< B ．20a -<< C ．10a -<< D ．02a <<
11．在体积为15的斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S －ABC 的体积为3，则三棱锥S －A 1B 1C 1的体积为
A ．1
B ．
32
C ．2
D ．3
12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令1
2n
n S S S T n
++
+=， 称n T 为
数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列2，
1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为
A ．2002
B ．2004
C ．2006
D ．2008
二、填空题：（每小题5分，共20分）.
13．正四面体（所有面都是等边三角形的三棱锥）相邻两侧面所成二面角的余弦值是 ． 14．圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和较大底面的一条半径相交且成060角，则圆台的侧面积为____________．
15．如图，△ABC 为正三角形，且直线BC 的倾斜角是45°， 则直线AB ， AC 的倾斜角分别为：AB α=__________，
AC α=____________．
16．若{}
|3,,A x x a b ab a b R +==+=-∈，全集I R =，则I C A =_______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共70分). 17．（本小题满分10分）
a ，
b ，
c 为△ABC 的三边，其面积S △ABC ＝123，48=bc ，2=-c b ，求角A 及边长a ．
18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠PDA=45°，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点． （Ⅰ）求证：AF ∥平面PCE ； （Ⅱ）求三棱锥C －BEP 的体积．
E F
B
A
C
D
P
（第18题图）
20．（本小题满分12分）
如图，在组合体中，1111D C B A ABCD -是一个长方体，ABCD P -是一个四棱锥．4AB =，3=BC ，
点D D CC P 11平面∈且22PD PC ==． （Ⅰ）证明：PBC PD 平面⊥；
（Ⅱ）求PA 与平面ABCD 所成的角的正切值．
21．（本小题满分12分）
等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件24,1,2,n
n
S n S ==，
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式和n S ；
（Ⅱ）记12n n n b a -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
数学试题答案
一、选择题：（每小题5分，共60分） B D A C A D C C A C C A
18. （Ⅰ）取PC 的中点G ，连结FG 、EG ， ∴FG 为△CDP 的中位线， ∴FG 2
1
//
CD ， ∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， ∴AB 2
1
//CD ，
∴FG //AE ，
∴四边形AEGF 是平行四边形， ∴AF ∥EG ，
又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ， ∴AF ∥平面PCE ；
（Ⅱ）三棱锥C －BEP 即为三棱锥P －BCE ， PA 是三棱锥P －BCE 的高， Rt △BCE 中，BE=1，BC=2， ∴三棱锥C －BEP 的体积 V 三棱锥C －BEP =V 三棱锥P －BCE =111112
122322323
BCE S PA BE BC PA ∆⋅
⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=． 19．解：（Ⅰ）设圆心为M (m ，0)(m ∈Z )．
由于圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且半径为5，所以，5
294-m ＝5，
即|4m －29|＝25． 因为m 为整数，故m ＝1．
故所求的圆的方程是(x －1)2＋y 2＝25．
（Ⅱ）直线ax －y ＋5＝0即y ＝ax ＋5．代入圆的方程，消去y 整理，得 (a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0．
由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点，故△＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)＞0， 即12a 2－5a ＞0，解得a ＜0，或a ＞
12
5
． G
E
F
B
A
C
D
P
所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(
12
5
，＋∞)． 20． (Ⅰ)证明：因为22PD PC ==，4CD AB ==， 所以PCD ∆为等腰直角三角形， 所以PC PD ⊥．
因为1111D C B A ABCD -是一个长方体， 所以D D CC BC 11面⊥， 而D D CC P 11平面∈， 所以D D CC PD 11面⊂， 所以PD BC ⊥．
因为PD 垂直于平面PBC 内的两条相交直线PC 和BC ， 可得PBC PD 平面⊥．
(Ⅱ)解：过P 点在平面D D CC 11作CD PE ⊥于E ，连接AE ． 因为PCD ABCD 面面⊥， 所以ABCD PE 面⊥，
所以PAE ∠就是PA 与平面ABCD 所成的角 因为2PE =，13AE =， 所以2213
tan 1313
PE PAE AE ∠=
==
． 所以PA 与平面ABCD 所成的角的正切值为21313
． 21． 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ,由
24n
n
S S = 得：
12
1
4a a a +=，
所以2133a a ==，且212d a a =-=，所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=- 2(121)2
n n n S n +-==
（Ⅱ）由12n n n b a -=⋅，得1(21)2n n b n -=-⋅
所以12113252(21)2n n
T n -=+⋅+⋅++-⋅， ……①…
231223252(23)2(21)2n n n T n n -=+⋅+⋅+
+-⋅+-⋅， …… ②…
①-②得
211222222(21)2n n n T n --=+⋅+⋅+
+⋅--⋅2
12(1222)(21)21n n n -=+++
+--⋅-
2(12)(21)2112
n n n -=--⋅--
所以 (23)23n n T n =-⋅+
（Ⅲ）∵1
1
,41,41+=
∴=+=
n b b a n a n n n n ∴1433221+++++=n n n b b b b b b b b S
)2111()5141()4131()3121(2
1
11514141313121+-+++-+-+-=+⨯
+++⨯+⨯+⨯=
n n n n )2(22121+=
+-=n n n )
2)(1(2)1(11222++---=+-+=-∴n n n k kn n n kn b kS n n
由条件，可知当02)1(2
<---n k kn 恒成立时即可满足条件，设2)1()(2
---=n k kn n f。