2021年高考数学专题复习 第6讲 函数的奇偶性与周期性练习 新人教A版

2021年高考数学专题复习第6讲函数的奇偶性与周期性练习新人教A
版
[考情展望] 1.考查函数奇偶性的判断.2.利用函数的奇偶性、周期性求函数值.3.与函数的对称性相结合，综合考查知识的灵活应用能力．
一、奇(偶)函数的定义及图象特征
1．奇、偶函数的定义
对于函数f(x)的定义域内的任意一个x.
(1)f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)；
(2)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．
2．奇、偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
1．奇、偶函数对称区间上的单调性
奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．
2．奇函数图象与原点的关系：
如果奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)＝0.
二、周期性
1．周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：
①T≠0；
②f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意x都成立．
2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．
周期性常用的结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝1
f x
，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－
1
f x
，则T＝2a.
(4)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．
(5)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a －b|.
1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－1
3
B.
1
3
C.
1
2
D．－
1
2
【解析】依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，
∴b＝0且a＝1 3，
则a＋b＝1
3 .
【答案】 B
2．下列函数为偶函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝x3
C．y＝e x D．y＝ln x2＋1
【解析】由函数奇偶性的定义知A、B项为奇函数，C项为非奇非偶函数，D项为偶函数．
【答案】 D
3．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2
【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
∴f(8)＝f(0)．
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(8)＝f(0)＝0，故选B.
【答案】 B
4．若函数y ＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝________. 【解析】 因为y ＝(x ＋1)(x －a )＝x 2
＋(1－a )x －a 由题意可知1－a ＝0，即a ＝1. 【答案】 1
5．(xx·山东高考)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2
＋1x
，则f (－1)
＝( )
A ．2
B ．1
C ．0
D ．－2
【解析】 利用奇函数的性质f (－x )＝－f (x )求解． 当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，∴f (1)＝12
＋11＝2.
∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2. 【答案】 D
6．(xx·北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1
x
B ．y ＝e －x
C ．y ＝－x 2
＋1
D ．y ＝lg|x |
【解析】 A 项，y ＝1
x
是奇函数，故不正确；
B 项，y ＝e －x
为非奇非偶函数，故不正确；
C ，
D 两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2
＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，故选C.
【答案】 C
考向一 [016] 函数奇偶性的判断
判断下列各函数的奇偶性： (1) f (x )＝(x ＋1)
1－x
1＋x
； (2)f (x )＝lg 1－x
2
|x －2|－2
；
(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
＋x x ＜0－x 2
＋x x ＞0
.
【思路点拨】 先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，带绝对值符
号的要尽量去掉，分段函数要分情况判断．
【尝试解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪
⎧
1＋x ≠0，1－x
1＋x
≥0得，定义域为(－1,1]，关于原点不对称，故
f (x )为非奇非偶函数．
(2)由⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－x 2
＞0
|x －2|≠2得，定义域为(－1,0)∪(0,1)．
∴x －2＜0，∴|x －2|－2＝－x ， ∴f (x )＝
lg
1－x
2
－x
. 又∵f (－x )＝
lg[1－－x
2
]
x
＝－
lg 1－x 2
－x
＝－f (x )，
∴函数f (x )为奇函数． (3)显然函数f (x )的定义域为：
(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2
－x ＝－x 2
－x ＝－f (x )；
当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2
－x ＝x 2
－x ＝－f (x )；
综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数． 规律方法1 1.本例第
1
题，若盲目化简：f
x ＝x ＋1
2
·
x －1
x ＋1
＝x 2－1 将扩大函数的定义域，作出错误判断.第2题易忽视定义域无从入手.
2.判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f －x
与f x 的关系作出判断，对于分段函数，
应分情况判断.
考向二 [017] 函数奇偶性的应用
(1)设函数f (x )＝
x ＋1
x ＋a
x
为奇函数，则实数a 的值为________．
(2)已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2
－2x ，则f (x )在R 上的解析式为________．
(3)设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式f x ＋f －x
x
＞0的解集为________．
【思路点拨】 (1)利用奇函数定义或特值法求解．
(2)设x ＜0，则－x ＞0，借助偶函数定义求其解析式． (3)分“x ＞0”和“x ＜0”两类分别解不等式，取并集即可． 【尝试解答】 (1)方法一：∵f (x )＝x ＋1
x ＋a
x
为奇函数，
∴f (－x )＝－f (x )， 即
－x ＋1
－x ＋a
－x
＝－
x ＋1
x ＋a
x
，
∴a ＝－1. 方法二：∵f (x )＝
x ＋1
x ＋a
x
为奇函数，
∴f (1)＋f (－1)＝0， 即
1＋1
1＋a
1＋
－1＋1
－1＋a
－1
＝0，
∴a ＝－1.
(2)设x ＜0，则－x ＞0，
∴f (－x )＝(－x )2
－2(－x )＝x 2
＋2x . 又y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2
＋2x (x ＜0)．
∴f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x ，x ≥0，
x 2
＋2x ，x ＜0.
(3)因为f (x )为偶函数，所以不等式f x ＋f －x x ＞0，等价于f x
x
＞0.
①当x ＞0时，
f x
x
＞0等价于f (x )＞0， 又f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0. 所以f (x )＞0的解集为{x |0＜x ＜2}． ②当x ＜0时，
f x
x
＞0等价于f (x )＜0， 又f (x )在(－∞，0)上为增函数，且f (－2)＝f (2)＝0. 所以f (x )＜0的解集为{x |x ＜－2}． 综上可知，不等式
f x ＋f －x
x
的解集为{x |x ＜－2或0＜x ＜2}．
【答案】 (1)－1 (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x ，x ≥0，
x 2
＋2x ，x ＜0
(3){x |x ＜－2或0＜x ＜2}
规律方法2 1已知函数的奇偶性求函数的解析式，常利用奇偶性构造关于f x
的方程，从而可得f x 的解析式.
2已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法：利用f x±f－x＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值.
3奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
对点训练(1)(xx·郑州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x－a－x＋2(a＞0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝( )
A．2 B.15
4
C.
17
4
D．a2
(2)已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)＞f(2a)，则实数a的取值范围是________．
【解析】(1)∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
∴f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)＝a，
∵f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，①
∴f(－2)＋g(－2)＝g(2)－f(2)＝a－2－a2＋2，②
由①、②联立，g(2)＝a＝2，f(2)＝a2－a－2＝15 4
.
(2)当x≥0时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1
∴函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数．
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴函数f(x)在R上是增函数．
由f(3－a2)＞f(2a)得3－a2＞2a.
解得－3＜a＜1.
【答案】(1)B (2)(－3,1)
考向三 [018] 函数的周期性及其应用
设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)．
【思路点拨】(1)证明f(x＋4)＝f(x)
(2)先求[－2,0]上的解析式，再求[2,4]上的解析式；
(3)根据周期性求解．
【尝试解答】(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得
f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.
又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，
∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.
所以x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)
＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0.
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0＋1＋0＋(－1)＝0.
规律方法3
1本例2在求解中先借助周期把区间[2，4]转换到区间[－2，0]上，然后借助奇函数实现[－2，0]与[0，2]间的转化.
2证明一个函数f x是周期函数的关键是借助已知条件探寻使“f x＋T＝f x”成立的非零常数T.
3周期性与奇偶性相结合的综合问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号的作用.
对点训练(1)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上是减函数，那么f(x)在[1,3]上是( )
A．增函数B．减函数
C．先增后减的函数D．先减后增的函数
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1
f x
，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 013)＋f(2 015)＝________.
【解析】(1)由f(x)在[－1,0]上是减函数，又f(x)是R上的偶函数，所以f(x)在[0,1]上是增函数．
由f(x＋1)＝－f(x)，
得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)，
故2是函数f(x)的一个周期．
结合以上性质，模拟画出f(x)的部分图象，如图．
由图象可以观察出，f(x)在[1,2]上为减函数，在[2,3]上为增函数．
(2)当x≥0时，f(x＋2)＝－
1
f x
，
∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．
∴f(2 013)＝f(1)＝log22＝1，f(－2 013)＝f(2 013)＝1，
f(2 015)＝f(3)＝－
1
f1
＝－1，
∴f(－2 013)＋f(2 015)＝0.
【答案】(1)D (2)0
思想方法之三利用奇偶性求值——“方程思想”闪光芒方程思想就是通过分析问题中的各个量及其关系，列出方程(组)、或者构造方程(组)，通过求方程(组)、或讨论方程(组)的解的情况，使问题得以解决．
在函数的奇偶性中，方程思想的具体体现如下：
(1)函数奇偶性的判断，即验证等式“f(x)±f(－x)＝0”是否对定义域中的每个x均成立．
(2)求解析式，在同时含有f(x)与f(－x)的表达式中，如bf(x)＋f(－x)＝a(ab≠0)中，常用“－x”代式子中的“x”，重新构建方程，联立求解f(x)．
(3)求值，已知f(a)的值探求f(－a)的值，其方法如同(2)．
————[1个示范例] ———[1个对点练] ———
(xx·湖南高考)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4 B．3
C．2 D．1
【解析】∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．
又g(x)是偶函数，∴g(－1)＝g(1)．
∵f(－1)＋g(1)＝2，∴g(1)－f(1)＝2.①
又f(1)＋g(－1)＝4，∴f(1)＋g(1)＝4.②
由①②，得g(1)＝3.
(xx·重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋b sin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg 2))＝( )
A．－5 B．－1 C．3 D．4
【解析】因为log210与lg 2(即log102)互为倒数，
所以lg(log210)与lg(lg 2)互为相反数．不妨令lg(log210)＝x，则lg(lg 2)＝－x，而f(x)＋f(－x)＝(ax3＋b sin x＋4)＋[a(－x)3＋b sin(－x)＋4]＝8，故f(－x)＝8－f(x)＝8－5＝3，故选C.
【答案】 C
a725472 6380 掀 31723 7BEB 篫36634 8F1A 輚23686 5C86 岆21453 53CD 反22262 56F6 囶28235 6E4B 湋5928151 6DF7 混25387 632B 挫。