ch06

二叉树的5种具体形式如下图6.3所示：
空 树 只有左子树 只有右子树
φ
(a) (b) (c) (d) (e)
图6.3二叉树的基本形态
只有 一个 结点
左，右子 树都存在
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数据结构C语言描述 6.2.1 二叉树的定义及逻辑结构（续）
二叉树的抽象数据类型可以定义如下： ADT binary_tree{ 数据关系R：若D为空集，则为空树。若D中仅含有一个数据 元素，则R＝Φ，否则R={H}，H是如下的二元关系： ① 在D中存在唯一的称为根的结点root，它在关系H下没有前驱。 ② 除root以外，D中其余结点存在m（0≤m≤2）个不相交的划分， 每个划分都是一棵二叉树，称为根的子树。
2、树的抽象数据类型定义： ADT Tree { 数据对象D：一个集合，该集合中的所有元素具有相 同的特性。 数据关系R：若D为空或D中仅含有一个数据元素，则 R＝Φ ，否则R={H}，H关系如下：
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6.1 树的逻辑结构和基本操作（续）
关系H下没有前驱。
数据结构C语言描述
① 在D中存在唯一的称为根的数据元素root，它在 ② 除root以外，D中其余结点存在m（m≥0）个不相 交的划分，每个划分都是一棵树，是根的子树。
点的子孙。在图6.1中结点D的子孙是H、I、J、M。
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6.1 树的逻辑结构和基本操作（续）
数据结构C语言描述
祖先：是从该结点开始追溯前驱直到根结点，所经 历的所有结点。图6.2（b）中结点F的祖先是A、B。
树的高度(深度)：树中所有结点的层次的最大值。
有序树：在树T中，如果各子树T之间是有先后次
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数据结构C语言描述 6.2.1 二叉树的定义及逻辑结构（续）
LeftChild（bt， x） 求以bt为根的二叉树结点x的左孩子。 若结点x无左孩子或x不
在bt中， 则返回“空”。
RightSibling（bt， x）求以bt为根的二叉树结点x的右孩子。若 结点x无右孩子或x不在bt中， 则返回“空”。 InsertChild（bt， p， child） 以bt为根的二叉树已存在，p指向bt中某个结点，非空树child与 bt不相交。将child子树插入bt，成为p所指向结点的子树。
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6.1 树的逻辑结构和基本操作（续）
数据结构C语言描述
如上面的描述的关系，我们可以用下图6.1来表示：
A
B E K L F C G H M D I
李奶奶
儿子（3个）
J 孙子（6个）
重孙子（3个）
图6.1 李奶奶的家庭关系树 出版社
6.1 树的逻辑结构和基本操作（续）
树的递归定义：
数据结构C语言描述
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6.1 树的逻辑结构和基本操作（续）
数据结构C语言描述
描述图6.1所示的家庭关系树的数据结构： Tree=(D,R)，其中： ◆数据元素D={Va Vb Vc Vd Ve Vf Vg Vh Vi Vj Vk Vl Vm } ◆数据关系R={<Va Vb> <Va Vc> <Va Vd> <Vb Ve> <Vb Vf > <Vc Vg> <Vd Vh> <Vd Vi><Vd Vj> <Ve Vk > <Ve Vl > <Vh Vm> }。 树的根为A，根结点无前驱。
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数据结构C语言描述 6.2.1 二叉树的定义及逻辑结构（续）
DeleteChild（bt，p，i）
以bt为根的二叉树已存在，p指向bt中某个结点，1≤i≤d≤2，d为 p所指向结点的度。删除bt中p所指向结点的第i棵子树. leverororderTraversertree（bt） 以bt为根的二叉树已存在，水平遍历二叉树中每个结点一次且 仅一次。 preororderTraversertree（bt）
序的，则称为有序树。图6.1中子树T1、T2…Tn有一
定的相对次序，若交换次序则由这些子树构成另外 一棵树，在这种意义下，称该树是有序的。图6.2(c)、 (d)是不同的两棵树。本章讨论的树均为有序树。
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6.1 树的逻辑结构和基本操作（续）
数据结构C语言描述
森林：m(m≥o)棵互不相交的树的集合。将一棵非 空树的根结点删去，树就变成个森林；反之，给森 林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树。
个结点一次且仅一次。
} ADT binary_tree;
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6.2.2 二叉树的性质
用数学归纳法可以证明（略）
数据结构C语言描述
性质1： 在二叉树中，第i层结点数最多为2i-1个 性质2： 深度为k的二叉树结点总数最多为：2k-1个
证明：∵二叉树中，第i层结点数最多为2i-1个
∴深度为k的二叉树总结点数 =20+21+…+2 k-1 =∑ (i层上结点的最大数) = ∑ 2 i-1=2k-1
第6章 树与二叉树
本章要点：
数据结构C语言描述
树和二叉树的逻辑结构和基本概念。
二叉树的性质和二叉树的存储形式。
二叉树的遍历与线索操作。
树的存储及树与二叉树的转换。
哈夫曼树与哈夫曼编码。
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数据结构C语言描述
线性结构特点是结点间具有唯一前驱和唯 一后继；而非线性结构的特征是：表示结点间 关系的前驱、后继不具有唯一性。
数据元素D：一个集合，该集合中的所有元素具有相同的特性。
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数据结构C语言描述 6.2.1 二叉树的定义及逻辑结构（续）
数据操作： InitTree（bt） 初始化空二叉树，bt为根节点。 CreateTree (bt) 创建一棵二叉树，以bt为根。 DestoryTree（bt） 销毁以bt为根二叉树，释放空间。 TreeEmpty（bt） 判断以bt为根的二叉树是否为空，若空则返回 TRUE，否则返回FALSE。
{D-{A}}存在三个不相交的划分： D1={ Vb Ve Vf Vk Vl } D2={ Vc Vg } D3={ Vd Vh Vi Vj Vm }
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6.1 树的逻辑结构和基本操作（续）
数据结构C语言描述
◆数据结点相应关系{R-{<Va Vb><Va Vc> <Va Vd> }}
存在三个不相交的划分： R1={<Vb Ve> <Vb Vf > <Ve Vk > <Ve Vl> } R2={<Vc Vg>} R3={<Vd Vh> <Vd Vi> <Vd Vj> <Vh Vm> } 且(D1 R1)﹑(D2 R2)﹑(D3 R3)分别组成三棵树，是根 的子树。 显然在这个描述中根是李奶奶，三棵子树(D1 R1)﹑(D2 R2)﹑(D3 R3)所描述的是李奶奶的三个儿子 的家庭关系。
次且仅一次。若Visit（）失败，则操作失败。
}ADT Tree
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6.2 二叉树
6.2.1 二叉树的定义及逻辑结构
数据结构C语言描述
二叉树是n(n≥0)个结点的有限集合，每个结点的 度都不大于2。
不难看出：二叉树存在空树，每个结点可以有0、 1或2个孩子。
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数据结构C语言描述 6.2.1 二叉树的定义及逻辑结构（续）
树(tree)T是n(n≥0)个结点的有限集合。 如果n=0是空树；否则满足如下两个条件： 第一有且只有一个称为根(root)的结点，根 结点无前驱；第二除根之外其余n-1个结点 可以划分成m(m＞0)个互不相交的有限集 T1，T2，T3，…，Tm ，其中Ti（i=1‥m） 又是一棵树，称为根的子树。显然，这是 递归定义。
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6.1 树的逻辑结构和基本操作（续）
数据结构C语言描述
除此之外，还有其他树的示例：如下图6.2所示。
A A E
A
D G B
A
B
C F
C
C
B
(a)
(b)
(c)
(d)
图6.2
树的示例
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6.1 树的逻辑结构和基本操作（续）
数据结构C语言描述
1、树的有关术语： 结点：包含一个数据元素及描述与其他结点关系的信 息（如前驱、后继指针）。 结点的度：一个结点后继的个数称为该结点的度。图 6.2（b）中A结点的度为3。 树的度：树所有结点的度的最大值。图6.2(b)中各结点 的最大度为3，树的度为3。 叶结点：度为0的结点，是无后继的结点，也称为终 端结点。图6.2(b)中{E，F，C，G}四个结点都是叶结点。 孩子：一个结点的后继称为该结点的孩子。
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6.1 树的逻辑结构和基本操作（续）
数据结构C语言描述
双亲：一个结点的前驱称为该结点的双亲。
结点的层次：从根结点开始层次为l，根节点的后
继结点的层次为2，依此类推。图6.2(b)结点A层次
号为1；B、C、D层次号为2；E、F、G的层次号为3。
兄弟：同一双亲的孩子结点之间互称兄弟。 堂兄弟：同一层上不同双亲的结点称为堂兄弟。 图6.2(b)中F、G互为堂兄弟。 子孙：一个结点的直接后继和间接后继称为该结
以bt为根的二叉树已存在，按先序遍历二叉树中每个结点一次
且仅一次。
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数据结构C语言描述 6.2.1 二叉树的定义及逻辑结构（续）
inorderTraversertree（bt）
以bt为根的二叉树已存在，中序遍历二叉树中每
个结点一次且仅一次。
lenorder Traversertree（bt）
以bt为根的二叉树已存在，后序遍历二叉树中每
单位人员组织机构等都是树结构。
数据结构C语言描述
现实生活中树的例子很多，如家庭成员关系、 例如：某家庭成员关系如下：李奶奶(为描述方便用 A表示)有三个儿子分别用B、C、D表示；大儿子B
有两个孩子，分别用E、F表示；二儿子C有一个孩
子用G表示；三儿子D有三个孩子，分别用H、I、J 表示；李奶奶的孙子E有两个孩子，分别用K、L表 示；另一个孙子H也有一个孩子M。李奶奶的家庭 关系就是树结构 ，我们可以用树的结构来表示。
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数据结构C语言描述 6.2.1 二叉树的定义及逻辑结构（续）
Root(P)
求P结点所在的二叉树根。若二叉树非空，函数返回根，否
则返回“空”。 Depth(bt)
求以bt为根的二叉树深度。如果二叉树非空，函数返回bt深
度，否则返“空”。 Parent（bt， x） 求双亲函数。求以bt为根的二叉树中结点x的双亲结点。若结 点x是二叉树的根或二叉树bt中无结点x， 则返回“空”。
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6.1 树的逻辑结构和基本操作（续）
DeleteChild（T，p，i）
数据结构C语言描述
以T为根的树已经存在，p指向T中某个结点，1≤i≤d，d为p所 指向结 点的度。删除T中p所指向结点的第i棵子树。
TraverseTree（T，Visit（））
以T为根的树已经存在，Visit（）是对结点进行访问的函数。 按照某种次序对树T的每个结点调用Visit（）函数访问一
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6.1 树的逻辑结构和基本操作（续）
FirstChild（T，x）
数据结构C语言描述
以T为根的树已经存，x是T中的某个结点。若x为非叶子结 点，则返回它的第一个孩子结点，否则返回“空”。 NextSibling（T，x）
x是T中的某个结点。若x不是其双亲的最后一个孩子结点，则
返回x后面的下一个兄弟结点，否则返回“空”。 InsertChild（T，p，Child） 以T为根的树已经存在，p指向T中某个结点，非空树Child与T 不相交。将Child插入T中，称为p所指向结点的子树。
基本操作：
InitTree（T）
初始化树一棵树，树根为T。
DestoryTree（T） 销毁以T为根的树，并释放所占内存空间。
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6.1 树的逻辑结构和基本操作（续）
数据结构C语言描述
CreateTree（T） 创建一棵以T为根的树。 TreeEmpty（T） 判断以T为根的树是否为空，如果为空返回TRUE，否则返回 FALSE。 Root（S） 求一棵树的根，S是某树中的一个结点，返回S所在的树的根。 Depth(T) 以T为根的树已经存在，求树T的深度并以函数值返回。 Parent（T，x） 以T为根的树已经存在，x是T中的某个结点。若x为非根结点， 则返回它的双亲，否则返回“空”。
证毕
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6.2.2 二叉树的性质（续）
的结点数为n2，则n0=n2+1。
树是非线性结构，结构中结点间关系是前 驱唯一而后继不唯一，结点之间的数据关系是 一对多的关系。直观地看，树结构是指具有分 支关系的结构。树形结构特别是二叉树应用非 常广泛，在文件系统、编译系统、目录组织等 方面更加突出。在计算机科学和软件工程中研 究它的有着现实意义。 出版社
6.1 树的逻辑结构和基本操作