古典概型的交汇问题

高中数学：古典概型的交汇问题
角度1 古典概型与平面向量相结合
设平面向量a ＝(m ，－1)，b ＝(2，n )，其中m ，n ∈{－
2，－1,1,2}．
(1)记“使得a ∥b 成立的(m ，n )”为事件A ，求事件A 发生的概率；
(2)记“使得a ⊥(a －2b )成立的(m ，n )”为事件B ，求事件B 发生的概率．
解：有序数组(m ，n )的所有可能情况为(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－
2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，共16种．
(1)使得a ∥b 成立的(m ，n )满足mn ＝－2，所以事件A 发生的情况有(－2,1)，(－1,2)，(1，－2)，(2，－1)，共4种，故所求概率P (A )＝416＝14.
(2)使得a ⊥(a －2b )成立的(m ，n )满足m (m －4)＋2n ＋1＝0，即m 2－4m ＝－1－2n ，所以事件B 发生的情况只有(1,1)一种，故所求概
率P (B )＝116.
角度2 古典概型与直线、圆相结合
(2019·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点
数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为712 .
解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即满足2a a 2＋b
2≤2，即a ≤b ，
则当a ＝1时，b ＝1,2,3,4,5,6，共有6种，当a ＝2时，b ＝2,3,4,5,6，共5种，同理当a ＝3时，有4种，a ＝4时，有3种，a ＝5时，有2种，a ＝6时，有1种，故共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的
概率等于2136＝712.
角度3 古典概型与函数结合
已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－bx ＋1，设集合P ＝
{1,2,3}，Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数a 和b 得到数对(a ，b )．
(1)列举出所有的数对(a ，b )，并求函数y ＝f (x )有零点的概率；
(2)求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
解：(1)数对(a ，b )的所有可能情况为(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共15种．
函数y ＝f (x )有零点，即Δ＝b 2－4a ≥0，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种情况满足条件，所以函数y ＝f (x )有零点的概率为615＝25.
(2)函数y ＝f (x )图象的开口向上，对称轴为直线x ＝b 2a ，y ＝f (x )在
区间[1，＋∞)上是增函数，则有b 2a ≤1，即b ≤2a ，有(1，－1)，(1,1)，
(1,2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共13种情况满足条件，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋
∞)上是增函数的概率为1315.
角度4 古典概型与统计相结合
(2019·兰州模拟)某单位N 名员工参加“社区低碳你我
他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组
[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，
得到的频率分布直方图如图所示．
如表是年龄的频数分布表.
(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？
(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．
解：①由题干中的频率分布直方图可知，a ＝25，且b ＝25×0.080.02
＝100，总人数N ＝250.02×5
＝250. ②因为第1,2,3组共有25＋25＋100＝150(人)，利用分层抽样在150人中抽取6人，每组抽取的人数分别为：
第1组的人数为6×25150＝1(人)，
第2组的人数为6×25150＝1(人)，
第3组的人数为6×100150＝4(人)，
所以第1,2,3组分别抽取1人、1人、4人．
③由②可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为C 1，C 2，C 3，C 4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：
(A ，B )，(A ，C 1)，(A ，C 2)，(A ，C 3)，(A ，C 4)，(B ，C 1)，(B ，C 2)，(B ，C 3)，(B ，C 4)，(C 1，C 2)，(C 1，C 3)，(C 1，C 4)，(C 2，C 3)，(C 2，C 4)，(C 3，C 4)，共15种．
其中恰有1人在第3组的所有结果为：(A ，C 1)，(A ，C 2)，(A ，C 3)，(A ，C 4)，(B ，C 1)，(B ，C 2)，(B ，C 3)，(B ，C 4)，共8种，所以
恰有1人在第3组的概率为815.
求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识
(平面向量、直线与圆、函数、统计等)转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：
(1)(2019·黄山模拟)已知函数f (x )＝12ax 2＋bx ＋1，其中a ∈{2,4}，
b ∈{1,3}，则f (x )在(－∞，－1]上是减函数的概率为( B )
A.12
B.34
C.16 D ．0
解析：(a ，b )的所有可能情况为(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)，记事件A 为“f (x )在(－∞，－1]上是减函数”，由条件知f (x )的图象开口
向上，对称轴是x ＝－b a ，若f (x )在(－∞，－1]上是减函数，则－b a ≥
－1，即b ≤a ，所以事件A 包含(2,1)，(4,1)，(4,3)，共3个基本事件，
所以P (A )＝34.
(2)随机抽取某中学高三年级甲、乙两班各10名同学，测量出他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损.
①若已知甲班同学身高平均数为170 cm ，求污损处的数据． ②现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．
解：①设甲班的未知数据为a ，由 x ＝110(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋a ＋179＋182)
＝170，
解得a ＝179，所以污损处的数据是9.
②设“身高为176 cm 的同学被抽中”为事件A ，从乙班10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}，共10个基本事件，
而事件A 有{181,176}，{179,176}，{178,176}，{176,173}，共4个基本事件，
所以P (A )＝410＝25.
2即身高为176 cm的同学被抽中的概率为
5.。