玉林市八年级数学上册第三单元《轴对称》测试卷(答案解析)

一、选择题
1．下列命题正确的是（ ）
A ．全等三角形的对应边相等
B ．面积相等的两个三角形全等
C ．两个全等三角形一定成轴对称
D ．所有等腰三角形都只有一条对称轴 2．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…，在射线ON 上，点B ，1B ，2B ，3B ，…，在射线OM 上，112A B B ，223A B B △，334A B B △，…，均为等边三角形．若11OB =，则202020202021A B B △的边长为（ ）
A ．20192
B ．20202
C ．20212
D ．20222
3．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，AD AE =，若40BAD ∠=︒，则CDE ∠的度数为（ ）
A ．10︒
B ．20︒
C ．30
D ．40︒
4．如图，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且62EBD ∠=，则AEB ∠的度数是（ ）
A ．124
B ．122
C ．120
D ．118
5．剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图①，②中的方式沿虚线依次对折后，再
沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．若a ，b 为等腰ABC 的两边，且满足350a b -+-=，则ABC 的周长为（ ）
A ．11
B ．13
C ．11或13
D ．9或15 7．定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值()1k k >称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC 中，36,A ∠=︒则它的优美比k 为（ ）
A ．32
B ．2
C ．52
D ．3
8．如图所示的是A 、B 、C 三点，按如下步骤作图：①先分别以A 、B 两点为圆心，以大于12
AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ；②再分别以B 、C 两点为圆心，以大于12
BC 的长为半径作弧，两弧相交于G 、H 两点，作直线GH ，GH 与MN 交于点P ，若66BAC ∠=︒，则BPC ∠等于（ ）
A ．100°
B ．120°
C ．132°
D ．140°
9．如图，在ABC 与A B C ''△中，,90AB AC A B A C B B ==''='∠+∠'=︒，ABC ，A B C '''的面积分别为1S 、2S ，则（ ）
A ．12S S >
B ．12S S
C ．12S S <
D ．无法比较1S 、2
S 的大小关系 10．下列图案是轴对称图形的是有（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．②③ 11．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ACB ＝45°，点D 是AB 中点，AF ⊥CD 于点H ，交BC 于点F ，B
E ∥AC 交A
F 的延长线于点E ，给出下列结论：①∠BAE ＝∠ACD ，②△ADC ≌△BEA ，③AC ＝AF ，④∠BDE ＝∠EDC ，⑤BC ⊥DE ．上述结论正确的序号是（ ）
A ．①②⑤
B ．②④⑤
C ．①②④
D ．①②③ 12．如果等腰三角形两边长分别是8cm 和4cm ，那么它的周长（ ）
A ．8cm
B ．20cm
C ．16cm 或20cm
D ．16cm 二、填空题
13．如图，在ABC 中，22A ∠=︒，D 为AB 边中点，E 为AC 边上一点，将ADE 沿着DE 翻折，得到A DE '，连接A B '．当A B A D ''=时，A EC '∠的度数为______．
14．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…在射线ON 上，1B ，2B ，3B ，…在射线OM 上，112A B A △，223A B A △，334A B A △，…均为等边三角形；若48OA =，则1n n n A B A +△的边长为______．
15．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()1,1A ，在x 轴上确定一点P ，使AOP 为
等腰三角形，则符合条件的等腰三角形的顶角度数为______．
16．嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用()1,1-表示，右下角的圆形棋子用()0,0表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置是__________．
17．如图，AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称，AO 的延长线交BC 于点D .若46BOD ∠=︒，22C ∠=︒，则ADC ∠=______°．
18．在△ABC 中，按以下步骤作图：
①分别以A ，C 为圆心，以大于12
AC 的同样长为半径画弧，两弧相交于两点M ，N ； ②作直线MN 交AB 于点D ，连结CD ．
请回答：若BC=DC ，∠B=100°，则∠ACB 的度数为____． 19．如图，在四边形ABCD 中，130DAB ∠=︒，90D B ∠=∠=︒，点M ，N 分别是CD ，BC 上两个动点，当AMN 的周长最小时，AMN ANM ∠+∠的度数为_________．
20．如图，点D 是ABC ∠内一点，点E 在射线BA 上，且15DBE BDE ∠=∠=︒，//DE BC ，过点D 作DF BC ⊥，垂足为点F ，若BE a =，则DF =___________（用含a 的式子表示）．
三、解答题
21．如图，△ABC 是边长为12cm 的等边三角形，动点M 、N 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动．
（1）若点M 的运动速度是2cm/s ，点N 的运动速度是4cm/s ，当N 到达点C 时，M 、N 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），当t=2时，判断△BMN 的形状，并说明理由； （2）当它们的速度都是2cm/s ，当点M 到达点B 时，M 、N 两点停止运动，设点M 的运动时间为t （s ），则当t 为何值时，△MBN 是直角三角形？
22．如图，,A B AE BE ∠=∠=，点D 在AC 边上，12,AE ∠=∠和BD 相交于点O ． （1）求证：AEC BED ∆≅∆
（2）若70BDE ︒∠=，求1∠的度数．
23．已知AOB ∠及一点P ，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）
（1）过点P 作OA 、OB 的垂线，垂足分别为点M 、N ；
（2）猜想MPN ∠与AOB ∠之间的数量关系，并说明理由．
24．（1）如图1，О是等边ABC 内一点，连接OA OB OC 、、，且
3,4,5,OA OB OC ===BAO BCD ≅△△，连接OD ．
①OBD ∠= __度；（答案直接填写在横线上）
②OD =_ __﹔（答案直接填写在横线上）
③求BDC ∠的度数．
（2）如图2所示，О是等腰直角()90ABC ABC ∠=︒△内一点，连接OA OB OC 、、，BAO BCD ≅△△，连接OD ．当OA OB OC 、、满足什么条件时，90ODC ∠=．请给出证明．
25．如图，在平面直角坐标系中，(2,4)A ，(3,1)B ，(2,1)C --．
（1）在图中作出ABC 关于x 轴的对称图形111A B C △，并直接写出点1C 的坐标：________；
（2）求ABC 的面积：
（3）点(),2P a a -与点Q 关于x 轴对称，若6PQ =，则点P 的坐标为________．
26．已知：如图，MON ∠为锐角，点A 在射线OM 上．
求作：射线AC ，使得//AC ON ．
小静的作图思路如下：
①以点A 为圆心，AO 为半径作弧，交射线ON 于点B ，连接AB ；
②作MAB ∠的角平分线AC ．
射线AC 即为所求的射线．
（1）使用直尺和圆规，按照小静的作图思路补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：OA AB =，
O ABO ∴∠=∠（__________）．
MAB ∠是AOB 的一个外角，
MAB ∴∠=∠_________+∠__________．
12
ABO MAB ∴∠=∠． AC 平分MAB ∠，
12
BAC MAB ∴∠=∠． ABO BAC ∴∠=∠．
//AC ON ∴（__________）．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
分别利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质判断得出即可．
【详解】
解：A 、全等三角形的对应边相等，是真命题；
B 、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；
C 、两个全等三角形不一定成轴对称，原命题是假命题；
D 、所有等腰三角形不一定都只有一条对称轴，如等边三角形有三条对称轴，原命题是假命题；
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了命题与定理，熟练掌握几何性质与判定是解题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
先求出∠O=∠OA 1B 1=30°，从而A 1B 1=A 1B 2= OB 1=1，然后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：∵△A 1B 1B 2是等边三角形，
∴∠A 1B 1B 2=∠A 1B 2O=60°，A 1B 1=A 1B 2，
∵∠O=30°，
∴∠A 2A 1B 2=∠O+∠A 1B 2O=90°，
∵∠A 1B 1B 2=∠O+∠OA 1B 1，
∴∠O=∠OA 1B 1=30°，
∴OB 1=A 1B 1=A 1B 2=1，
在Rt △A 2A 1B 2中，
∵∠A 1A 2B 2=30°，
∴A 2B 2=2A 1B 2=2，
同法可得A 3B 3=22，A 4B 4=23，…，A n B n =2n-1，
∴202020202021A B B △的边长=22019，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
3．B
解析：B
【分析】
根据AB AC =，D 为BC 的中点，∠CAD=40BAD ∠=︒，∠C=50︒，由AD AE =，得到∠AED =70︒，再根据∠AED=∠C+∠CDE 求得答案．
【详解】
∵AB AC =，D 为BC 的中点，
∴∠CAD=40BAD ∠=︒，∠BAC=802BAD ∠=︒，
∴∠B=∠C=50︒，
∵AD AE =，
∴∠AED=∠ADE=70︒，
∵∠AED=∠C+∠CDE ，
∴CDE ∠=20︒，
故选：B ．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质：等边对等角求角的度数以及三线合一，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟记并熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
由等边三角形的性质，得到AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=60°，然后证明△ACE ≌△BCD ，则∠CAE=∠CBD ，由角的关系，求出∠ABE+∠BAE=58°，即可得到答案．
【详解】
解：如图：
∵ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，
∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACE+∠BCE=∠BCD+∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD ，
∴△ACE ≌△BCD ，
∴∠CAE=∠CBD ，
即6062BAE EBC ︒-∠=︒-∠，
∵60EBC ABE ∠=︒-∠，
∴6062(60)BAE ABE ︒-∠=︒-︒-∠，
∴58ABE BAE ∠+∠=︒，
∴18058122AEB ∠=︒-︒=︒；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，以及角的和差关系，解题的关键是掌握所学的知识，正确求出58ABE BAE ∠+∠=︒． 5．A
解析：A
【分析】
对于此类问题，只要依据翻折变换，知道剪去了什么图形即可判断，也可动手操作，直观的得到答案．
【详解】
解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：
．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
6．C
解析：C
【分析】
根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据b是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【详解】
解：根据题意得a-3=0，b-5=0，
解得a=3，b=5，
（1）若3是腰长，则三角形的三边长为：3、3、5，能组成三角形，
周长为：3+3+5=11；
（2）若3是底边长，则三角形的三边长为：3、5、5，
能组成三角形，
周长为3+5+5=13．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形作出判断．
7．B
解析：B
【分析】
由已知可以写出∠B和∠C，再根据三角形内角和定理可以得解．
【详解】
解：由已知可得：∠B=∠C=k∠A=（36k）°，
由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180，
∴k=2，
故选B ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想的应用是解题关键 ．
8．C
解析：C
【分析】
根据基本作图可判断MN 垂直平分AB ，GH 垂直平分BC ，根据垂直平分线的性质可得PA PB PC ==，再利用等腰三角形的性质得到PAB PBA ∠=∠，PAC PCA ∠=∠，最后根据三角形的外角性质可得∠BPC=2∠BAC ，据此求解即可．
【详解】
解:如图，连接AB 、AC 、BC 、BP 、PC 、PA ，
由作法可知MN 垂直平分AB ，GH 垂直平分BC ，
∴PA PB PC ==，
∴PAB PBA ∠=∠，PAC PCA ∠=∠，
∴PBA PCA PAB PAC BAC ∠+∠=∠+∠=∠，
∴2BPC PAB PAC PBA PCA BAC ∠=∠+∠+∠+∠=∠，
∴2266132BPC BAC ∠=∠=⨯︒=︒．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的基本作图及线段垂直平分线的性质，利用等腰三角形的性质，三角形的外角性质．
9．B
解析：B
【分析】
分别做出两三角形的高AD ，A′E ，利用题干的条件证明△ABD ≅△A′B′E 即可得到两三角形的面积相等；
【详解】
分别做出两三角形的高AD ，A′E ，如图：
90B B '+=∵∠∠，90B A E B '''+=∠∠，90BAD B ∠+∠=,
∴∠B=∠B′A′E ，∠B′=∠BAD ，
又AB=A′B′，
∴△ABD ≅△A′B′E ，
同理△ACD ≅△A′C′E ；
∴ABD A B E S
S ''=，ACD A C E S S ''=， 故ABD ACD A B E A C E S S S S ''''+=+，
又ABC ，A B C '''的面积分别为1S 、2S ，
∴12S S
故选：B ．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质及三角形全等的判定及性质：两三角形全等，则对应边对应角相等，面积也相等．
10．C
解析：C
【分析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：①是轴对称图形，②不是轴对称图形，③不是轴对称图形，④是轴对称图形． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
11．A
解析：A
【分析】
由90BAE FAC ∠+∠=︒，90ACD FAC ，得出BAE ACD ∠=∠，①正确；由ASA 证明ADC BEA ∆≅∆，②正确；由AC AB AF ，得出③不正确；由全等三角形
的性质得出AD BE =，由AD BD =，得出BE BD =，45
BDE EDC ，④不正确；由等腰直角三角形的三线合一性质得出⑤正确；即可得出结论．
【详解】
90BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，
ABC ∴是等腰直角三角形，90BAE FAC ∠+∠=︒，
AB AC ∴=，45CBA ACB ，
AF CD ⊥，
90AHC ∴∠=︒，
90ACD FAC ，
BAE ACD ∴∠=∠，①正确；
//BE AC ，
180ABE BAC ，
90ABE ∴∠=︒，
在ADC ∆和BEA ∆中，
90CAD
ABE AC
AB ACD BAE
()ADC
BEA ASA ，②正确； AC AB AF ，
∴③不正确； ADC BEA ， AD BE ∴=，
点D 是AB 中点，
AD BD ∴=，
BE BD ∴=，
45BDE EDC ，④不正确； 90ABE ∠=︒，BE BD =，45CBA ∠=︒， 45EBP ，即BP 平分ABE ∠，△BDE 为等腰直角三角形，
∴根据“三线合一”可得BC ⊥DE ，⑤正确．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
解决本题要注意分为两种情况4cm 为底或8cm 为底，还要考虑到各种情况是否满足三角形的三边关系来进行解答．
【详解】
解：∵等腰三角形有两边分别分别是4cm 和8cm ，
∴此题有两种情况：
①4cm 为底边，那么8cm 就是腰，则等腰三角形的周长为4+8+8=20，
②8底边，那么4cm 是腰，4+4=8，所以不能围成三角形应舍去．
∴该等腰三角形的周长为20cm ．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形性质；解题时涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
二、填空题
13．【分析】根据折叠的性质可得根据及折叠的性质可得为等边三角形再根据三角形的外角性质求解即可【详解】在中将沿着翻折交于点得到如图；∴∴∵为边中点∴为等边三角形∴∴∵即∴故答案为：【点睛】本题考查了全等三 解析：16
【分析】
根据折叠的性质可得AED A ED '≅，根据A B A D ''=及折叠的性质可得
A BD '为等边
三角形，再根据三角形的外角性质求解即可
【详解】
在ABC 中，22A ∠=︒，将ADE 沿着DE 翻折，A D '交AC 于点F ,得到A DE '，如图；
∴
AED A ED '≅ ∴1=,222
AD A D AB EA D A ''===∠∠, ∵A B A D ''=，D 为AB 边中点，
∴A B A D DB ''==,A BD '为等边三角形， ∴=60A DB '∠，
∴60A AFD +=∠∠，
∵=AFD EA D A EC ''+∠∠∠
即()60A EA D A EC ''++=∠∠∠
∴=16A EC '∠.
故答案为：16
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质等知识点，解题的
关键是根据折叠找到对应的边角关系
14．【分析】根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出OA2=A2B2=OA3OA3=A3B3=OA4…再将解得OA3==OA2==OA1=找到规律进而得出答案【详解】解：∵△A1B1A2是等边
解析：12n -
【分析】
根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出OA 2=A 2B 2=
12OA 3，OA 3=A 3B 3=
12OA 4…，再将48OA =解得OA 3=1842⨯==312-，OA 2=1422⨯==212-，OA 1=1112122
-⨯==，找到规律，进而得出答案． 【详解】
解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，
∴A 1B 1=A 2B 1，∠B 1A 1A 2=∠A 1B 1A 2=60°
∵∠MON=30°，
∴∠OB 1A 1=30°，∠OB 1A 2=90°
∴OA 1=A 1B 1=12
OA 2， 同理可得OA 2=A 2B 2=
12OA 3，OA 3=A 3B 3=12OA 4 ∵48OA =
∴OA 3=1842
⨯==312-，OA 2=1422⨯==212-，OA 1=1112122-⨯==， 以此类推△A n B n A n+1的边长为2n-1．
故答案为2n-1．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，根据得出的数值找到规律是解题的关键．
15．90°45°135°【分析】此题应该分情况讨论以OA 为腰或底分别讨论当A 是顶角顶点时P 是以A 为圆心以OA 为半径的圆与x 轴的交点共有1个当O 是顶角顶点时P 是以O 为圆心以OA 为半径的圆与x 轴的交点共有2
解析：90°，45°，135°
【分析】
此题应该分情况讨论．以OA 为腰或底分别讨论．当A 是顶角顶点时，P 是以A 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，共有1个，当O 是顶角顶点时，P 是以O 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，共有2个，若OA 是底边时，P 是OA 的中垂线与x 轴的交点，有1个，进而求出对应等腰三角形的顶角度数，即可．
【详解】
（1）若AO 作为腰时，有两种情况，
①当A 是顶角顶点时，P 是以A 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，此时，顶角度数为：90°；
②当O 是顶角顶点时，P 是以O 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，此时，顶角度数为：45°或135°；
（2）若OA 是底边时，P 是OA 的中垂线与x 轴的交点，此时，顶角度数为：90°． 综上所述，符合条件的等腰三角形的顶角度数为：90°，45°，135°，
故答案是：90°，45°，135°．
【点睛】
此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 16．【分析】首先确定平面直角坐标系再根据轴对称图形的定义画出淇淇放的方形棋子的位置即可解决问题【详解】解：平面直角坐标系如图所示淇淇放的方形棋子的位置如图坐标为（-12）故答案为（-12）【点睛】本题考
解析：()1,2-
【分析】
首先确定平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义画出淇淇放的方形棋子的位置，即可解决问题．
【详解】
解：平面直角坐标系如图所示，淇淇放的方形棋子的位置如图，坐标为（-1，2），
故答案为（-1，2）．
【点睛】
本题考查坐标与图形的性质，坐标位置的确定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
17．70【分析】根据三角形的外角和定理得和再根据轴对称的性质得和列式求出的值即可得到结果【详解】解：∵是的外角∴∵是的外角∴∵与关于边OB 所在的直线成轴对称∴∴即解得∴故答案是：【点睛】本题考查轴对称的 解析：70
【分析】
根据三角形的外角和定理，得ADC A ABC ∠=∠+∠和ADC BOD OBD ∠=∠+∠，再
根据轴对称的性质得12OBD ABC ∠=
∠和22C A ∠=∠=︒，列式求出ABC ∠的值，即可得到结果．
【详解】
解：∵
ADC ∠是ABD △的外角， ∴ADC A ABC ∠=∠+∠， ∵
ADC ∠是BOD 的外角， ∴ADC BOD OBD ∠=∠+∠， ∵AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称，
∴12OBD ABC ∠=
∠，22C A ∠=∠=︒， ∴12A ABC BOD ABC ∠+∠=∠+
∠， 即122462
ABC ABC ︒+∠=︒+
∠， 解得48ABC ∠=︒， ∴224870ADC A ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．
故答案是：70．
【点睛】
本题考查轴对称的性质和三角形外角和定理，解题的关键是熟练运用这两个性质定理进行求解．
18．30°【分析】依据等腰三角形的性质即可得到∠BDC 的度数再根据线段垂直平分线的性质即可得出∠A 的度数进而得到∠ACB 的度数【详解】解：根据题意如图：∵BC=DC ∠ABC=100°∴∠BDC=∠CBD
解析：30°
【分析】
依据等腰三角形的性质，即可得到∠BDC 的度数，再根据线段垂直平分线的性质，即可得出∠A 的度数，进而得到∠ACB 的度数．
【详解】
解：根据题意，如图：
∵BC=DC ，∠ABC=100°，
∴∠BDC=∠CBD=180°-100°=80°，
根据题意得：MN是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠A，
∴∠A=1(18080)50
⨯︒-︒=︒，
2
∴∠ACB=∠CBD-∠A=80°-50°=30°．
故答案为：30°．
【点睛】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．解题时注意线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
19．100°【分析】作点A关于BC的对称点A′关于CD的对称点A″根据轴对称确定最短路线问题连接A′A″与BCCD的交点即为所求的点MN利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″再根据轴对称的性质和三
解析：100°
【分析】
作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得
∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解．
【详解】
解：如图，
作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，
连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，
∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，
∴∠A′+∠A″=180°-∠130°=50°，
由轴对称的性质得：A′N= AN，A″M=AM
∴∠A′=∠A′AN，∠A″=∠A″AM，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°．
故答案为：100°
【点睛】
本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一
个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M 、N 的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．
20．【分析】作DH ⊥AB 根据直角三角形的性质求出DH 根据平行线的性质角平分线的性质解答【详解】解：作DH ⊥AB 于
H ∵∴∠DEH=∠DBE+∠BDE=30°∴DH=∵DE ∥BC ∴∠DBF=∠BDE ∴∠DB 解析：12
a 【分析】
作DH ⊥AB ，根据直角三角形的性质求出DH ，根据平行线的性质，角平分线的性质解答．
【详解】
解：作DH ⊥AB 于H ，
∵15DBE BDE ∠=∠=︒
∴∠DEH=∠DBE+∠BDE=30°，DE BE a ==
∴DH=
11=22
DE a ， ∵DE ∥BC ，
∴∠DBF=∠BDE ， ∴∠DBF=∠DBH ，又DF ⊥BC ，DH ⊥AB ，
∴DF=DH=12
a ， 故答案为：
12a ． 【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
三、解答题
21．（1）△BMN 是等边三角形，见解析；（2）当t=2或t=4时，△BMN 是直角三角形．
【分析】
（1）先由等边三角形的性质解得，当t=2时，AM =4，BN=8，继而证明BM=BN ，再根据等边三角形的判定解题即可；
（2）若△MBN 是直角三角形，则∠BNM=90°或∠BMN=90°，根据直角三角形含30°角的性质列方程解题即可．
【详解】
解：（1）△BMN 是等边三角形
当t=2时，AM =4，BN=8，
∵△ABC 是等边三角形且边长是12
∴BM=12-4=8，∠B=60°
∴BM=BN
∴△BMN 是等边三角形；
（2）△BMN 中，BM=12-2t ，BN=2t
①当∠BNM=90°时，∠B=60°
∴∠BMN=30° ∴12
BN BM = ∴12(122)2t t =-
∴t=2
②当∠BMN=90°时，∠B=60°
∴∠BNM=30° ∴12
BM BN = ∴112222t t -=
⨯ ∴t=4
综上：当t=2或t=4时，△BMN 是直角三角形．
【点睛】
本题考查直角三角形的判定、等边三角形的判定与性质、几何动点与一元一次方程等知识，涉及含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
22．（1）见解析；（2）40°
【分析】
（1）由12∠=∠得到BED AEC ∠=∠，然后根据ASA 即可证明AEC BED ∆≅∆； （2）由（1）得DE=CE ，70C BDE ∠=∠=︒，由三角形内角和即可求出1∠的度数．
【详解】
解：()11=2∠∠，
BED AEC ∠=∠∴
又,A B AE BE ∠=∠=
()AEC BED ASA ∴∆≅∆；
()2AEC BED ∆≅∆
70,BDE C DE CE ∴∠=∠=︒=
70C EDC ︒∴∠=∠=
118027040︒︒︒∴∠=-⨯=；
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质进行解题．
23．（1）见解析；（2）∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB ，理由见解析
【分析】
（1）根据垂线的定义画出图形即可解决问题；
（2）根据四边形内角和为360°或“8字型”的性质即可解决问题；
【详解】
（1）过点P 作OA 、OB 的垂线PM 、PN 如图所示；
（2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB ．
理由：左图中，在四边形PMON 中，∵∠PMO=∠PNO=90°，
∴∠MPN+∠AOB=180°．
右图中，∵∠PJM=∠OJN ，∠PMJ=∠JNO=90°，
∴∠MPN=∠AOB ．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 24．（1）①60︒；②4；③150︒；（2）2222OA OB OC +=，证明见解析．
【分析】
（1）①由BAO BCD ≅△△得到,BO BD ABO CBD =∠=∠，继而证明
ABC OBD ∠=∠即可解题；
②由BAO BCD ≅△△得到BO BD =，结合①结论60OBD ∠=︒，可证明OBD 是等边三角形，即可解题；
③根据BAO BCD ≅△△得到=AO CD ，在ODC △中根据三角形三边关系即勾股定理的逆定理，可证明ODC △为直角三角形，继而得到90ODC ∠=，再结合OBD 是等边三角形即可解得60OBD ∠=︒据此解题即可；
（2）由,BAO BCD ≅可得90,,OBD ABC BO BD CD AO ∠=∠=︒==，可证明OBD 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边的关系可得2OD OB =，最后根据直角三角形三边满足勾股定理解题即可．
【详解】
解:（1）①
BAO BCD ≅
,BO BD ABO CBD ∴=∠=∠ ABO OBC CBD OBC ∴∠+∠=∠+∠
即ABC OBD ∠=∠
60ABC OBD ∴∠=∠=︒
故答案为：60︒；
②BAO BCD ≅
BO BD ∴=，
由①得60OBD ∠=︒
OBD ∴△是等边三角形，
4OD OB BD ∴===
故答案为：4；
③BAO BCD ≅
AO CD ∴=
4,3,5OD DC OC ===
222OD DC OC ∴+=
ODC ∴为直角三角形
90ODC ∴∠= OBD △为等边三角形
60BDO ∴∠=︒
90+60=150BDC ODC BDO ∴∠=∠+∠=︒︒；
（2）当2222OA OB OC +=时，90ODC ∠=︒．
理由如下:
,BAO BCD ≅
90,,OBD ABC BO BD CD AO ∴∠=∠=︒==，
OBD ∴△为等腰直角三角形，
2OD OB ∴=，
当222CD OD OC +=时，OCD 为直角三角形，90ODC ∠=︒
2222OA OB OC ∴+=，
当OA OB OC 、、满足2222OA OB OC +=时，90ODC ∠=︒．
【点睛】
本题考查勾股定理及其逆定理、全等三角形的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
25．（1）作图见详解，（−2，1）；（2）8.5；（3）（5，3）或（−1，−3）
【分析】
（1）分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可．
（2）利用分割法求解即可．
（3）先根据P ，Q 关于x 轴对称，得到Q 的坐标，再构建方程求解即可．
【详解】
（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求．点C 1的坐标（−2，1）．
故答案为：（−2，1）；
（2）S △ABC ＝5×5−12×1×3−12×4×5−12
×2×5＝8.5． （3）∵点(),2P a a -与点Q 关于x 轴对称，
∴Q (),2a a -，
∵6PQ =，
∴|(a-2)-(2-a)|=6，解得：a=5或a=-1，
∴P （5，3）或（−1，−3）．
故答案为：（5，3）或（−1，−3）．
【点睛】
本题考查了作图−轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，掌握关于坐标轴对称的两点的坐标特征，属于中考常考题型．
26．（1）见解析；（2）等边对等角；O；ABO；内错角相等，两直线平行
【分析】
（1）按照步骤作图即可；
（2）由作法知，OA=AB，AC是∠MAB的平分线，然后根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及角平分线的定义说明即可．
【详解】
解：（1）作图如下：
=，
（2）证明：OA AB
∴∠=∠（等边对等角）．
O ABO
∠是AOB的一个外角，
MAB
MAB O ABO ∴∠=∠+∠
12
ABO MAB ∴∠=∠． AC 平分MAB ∠，
12
BAC MAB ∴∠=∠. ABO BAC ∴∠=∠.
//AC ON ∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：等边对等角；O ；ABO ；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查了作一条线段等于已知线段，作角的角平分线，以及等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及角平分线的定义等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．。